33 Heildunaraðferðir

Meginatriði

Hlutheildunarformúlan gerir kleift að umbreyta einu heildi í annað sem kann að vera auðveldara að reikna.
Hlutheildun má nota fyrir bæði ákveðin og óákveðin heildi.

Heildi hornafalla má reikna með ýmsum aðferðum. Þær eru meðal annars að beita samsemdum hornafalla til að endurrita heildið svo reikna megi það með u-innsetningu, að nota hlutheildun, að beita samsemdum hornafalla til að endurrita margfeldi sínus- og kósínusfalla með mismunandi rökum sem summu stakra sínus- og kósínusfalla og að beita lækkunarformúlum
1. Að beita samsemdum hornafalla til að endurrita heildið svo reikna megi það með u-innsetningu
2. Að nota hlutheildun
3. Að beita samsemdum hornafalla til að endurrita margfeldi sínus- og kósínusfalla með mismunandi rökum sem summu stakra sínus- og kósínusfalla
4. Að beita lækkunarformúlum

Fyrir heildi sem innihalda $\sqrt{a^{2} - x^{2}},$ skal nota innsetninguna $x = a sin θ$ og $d x = a cos θ d θ .$
Fyrir heildi sem innihalda $\sqrt{a^{2} + x^{2}},$ skal nota innsetninguna $x = a tan θ$ og $d x = a {sec}^{2} θ d θ .$
Fyrir heildi sem innihalda $\sqrt{x^{2} - a^{2}},$ skal nota innsetninguna $x = a sec θ$ og $d x = a sec θ tan θ d θ .$

Stofnbrotaliðun er aðferð til að liða rætt fall í summu einfaldra ræðra falla sem má heilda með aðferðum sem áður hafa verið kynntar.
Þegar stofnbrotaliðun er beitt þarf að ganga úr skugga um að stig teljarans sé lægra en stig nefnarans. Ef svo er ekki þarf að framkvæma langdeilingu áður en stofnbrotaliðun er framkvæmd.
Form liðunarinnar ræðst af gerð þáttanna í nefnaranum. Þeir geta verið einfaldir línulegir þættir, endurteknir línulegir þættir, einfaldir núllstöðvalausir annars stigs þættir og endurteknir núllstöðvalausir annars stigs þættir.

Nota má heildatöflu til að reikna óákveðin heildi.
Nota má tölvualgebrukerfi (CAS) til að reikna óákveðin heildi.
Það getur kostað nokkra vinnu að sýna fram á að lausnir sem fást með ólíkum aðferðum séu jafngildar.

Nota má tölulega heildun til að nálga gildi ákveðinna heilda þegar erfitt er að setja heildið fram á lokuðu formi eða þegar aðeins þarf nálgunargildi þess.
Algengustu aðferðirnar við tölulega heildun eru miðpunktsreglan, trapisureglan og regla Simpsons.
Miðpunktsreglan nálgar ákveðna heildið með rétthyrningum en trapisureglan með trapisum.
Regla Simpsons nálgar ákveðna heildið með því að nálga fyrst upprunalega fallið með bútavísum annars stigs föllum.

Heildi falla yfir óendanleg bil eru skilgreind með markgildum.
Heildi falls yfir bil þar sem fallið er ósamfellt í endapunkti bilsins má skilgreina með markgildi.
Ákvarða má hvort óeiginlegt heildi sé samleitið eða ósamleitið með samanburði við óeiginlegt heildi sem vitað er að er samleitið eða ósamleitið.

33 Heildunaraðferðir

Hlutheildunarformúlan gerir kleift að umbreyta einu heildi í annað sem kann að vera auðveldara að reikna.
Hlutheildun má nota fyrir bæði ákveðin og óákveðin heildi.

Heildi hornafalla má reikna með ýmsum aðferðum. Þær eru meðal annars að beita samsemdum hornafalla til að endurrita heildið svo reikna megi það með u-innsetningu, að nota hlutheildun, að beita samsemdum hornafalla til að endurrita margfeldi sínus- og kósínusfalla með mismunandi rökum sem summu stakra sínus- og kósínusfalla og að beita lækkunarformúlum
1. Að beita samsemdum hornafalla til að endurrita heildið svo reikna megi það með u-innsetningu
2. Að nota hlutheildun
3. Að beita samsemdum hornafalla til að endurrita margfeldi sínus- og kósínusfalla með mismunandi rökum sem summu stakra sínus- og kósínusfalla
4. Að beita lækkunarformúlum

Fyrir heildi sem innihalda $\sqrt{a^{2} - x^{2}},$ skal nota innsetninguna $x = a sin θ$ og $d x = a cos θ d θ .$
Fyrir heildi sem innihalda $\sqrt{a^{2} + x^{2}},$ skal nota innsetninguna $x = a tan θ$ og $d x = a {sec}^{2} θ d θ .$
Fyrir heildi sem innihalda $\sqrt{x^{2} - a^{2}},$ skal nota innsetninguna $x = a sec θ$ og $d x = a sec θ tan θ d θ .$

Stofnbrotaliðun er aðferð til að liða rætt fall í summu einfaldra ræðra falla sem má heilda með aðferðum sem áður hafa verið kynntar.
Þegar stofnbrotaliðun er beitt þarf að ganga úr skugga um að stig teljarans sé lægra en stig nefnarans. Ef svo er ekki þarf að framkvæma langdeilingu áður en stofnbrotaliðun er framkvæmd.
Form liðunarinnar ræðst af gerð þáttanna í nefnaranum. Þeir geta verið einfaldir línulegir þættir, endurteknir línulegir þættir, einfaldir núllstöðvalausir annars stigs þættir og endurteknir núllstöðvalausir annars stigs þættir.

Nota má heildatöflu til að reikna óákveðin heildi.
Nota má tölvualgebrukerfi (CAS) til að reikna óákveðin heildi.
Það getur kostað nokkra vinnu að sýna fram á að lausnir sem fást með ólíkum aðferðum séu jafngildar.

Nota má tölulega heildun til að nálga gildi ákveðinna heilda þegar erfitt er að setja heildið fram á lokuðu formi eða þegar aðeins þarf nálgunargildi þess.
Algengustu aðferðirnar við tölulega heildun eru miðpunktsreglan, trapisureglan og regla Simpsons.
Miðpunktsreglan nálgar ákveðna heildið með rétthyrningum en trapisureglan með trapisum.
Regla Simpsons nálgar ákveðna heildið með því að nálga fyrst upprunalega fallið með bútavísum annars stigs föllum.

Heildi falla yfir óendanleg bil eru skilgreind með markgildum.
Heildi falls yfir bil þar sem fallið er ósamfellt í endapunkti bilsins má skilgreina með markgildi.
Ákvarða má hvort óeiginlegt heildi sé samleitið eða ósamleitið með samanburði við óeiginlegt heildi sem vitað er að er samleitið eða ósamleitið.