1010 Rúmfræði

10.2 Horn

Útsýni yfir byggingu að utan. — **Mynd 10.21.** Í þessari nútímalegu byggingarhönnun eru skörp speglunarhorn gerð að áberandi hluta fagurfræðinnar með glerveggjum. (mynd: „Société Générale @ La Défense @ Paris“ eftir Images Guilhem Vellut/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Greint og táknað horn með réttum rithætti.
Flokkað horn eftir stærð þeirra.
Leyst hagnýt verkefni sem varða horn.
Reiknað horn sem þverlína myndar við samsíða línur.
Leyst hagnýt verkefni um horn sem myndast við samsíða línur.

Óvenjuleg sjónarhorn á byggingarlist geta leitt í ljós afar skapandi myndir. Loftmyndir af borgum sýna til dæmis spennandi og óvænt horn. Þegar speglun í gleri eða stáli, lýsing og áhrifamikil áferð bætast við verður byggingin að listaverki. Skilningur á hornum er mikilvægur á mörgum sviðum, þar á meðal í verkfræði, byggingarlist, landslagshönnun og skipulagi rýma. Um það fjallar þessi hluti.

Við hefjum umfjöllunina með því að lýsa hvernig horn myndast og hvernig þau eru flokkuð. Horn myndast af tveimur geislum sem hafa sameiginlegan endapunkt og mynda arma hornsins. Sameiginlegi endapunkturinn kallast oddpunktur. Oft þarf að vísa til fleiri en eins oddpunkts.

Á mynd 10.22, skal geislinn $\vec{A B}$ vera kyrr. Snúðu hinum geislanum $\vec{A C}$ rangsælis þar til hornið hefur þá stærð sem óskað er. Stærð hornsins ræðst af snúningi seinni geislans. Þegar geislinn $\vec{A C}$ heldur áfram rangsælis aftur í upphafsstöðu og fellur saman við geislann $\vec{A B},$ hefur hann farið heilan hring, $360^{\circ} .$ Geislarnir kallast armar hornsins.

Geislarnir AB og AC mynda hvasst horn. Punkturinn C er merktur á geislann AB. Ör frá AB bendir að AC. — **Mynd 10.22.** Oddpunktur og armar horns

Flokkun horna

Horn eru mæld í radíönum eða gráðum. Horn sem mælist $π$ radíanar, eða 3,14159 radíanar, er jafnstórt horninu $180^{\circ} .$ Horn sem mælist $\frac{π}{2}$ radíanar, eða 1,570796 radíanar, mælist $90^{\circ} .$ Til að breyta gráðum í radíana margföldum við gráðutöluna með $\frac{π}{180} .$ Til að skrifa $45^{\circ}$ í radíönum fæst til dæmis

45^{\circ} (\frac{π}{180}) = \frac{π}{4} = 0.785398 radians.

Til að breyta radíönum í gráður margföldum við með $\frac{180}{π} .$ Til að skrifa $2 π$ radíana í gráðum fæst til dæmis

2 π (\frac{180}{π}) = 360^{\circ} .

Annað dæmi um breytingu milli radíana og gráða er $\frac{2 π}{3} .$ Í gráðum fæst $\frac{2 π}{3} (\frac{180}{π}) = 120^{\circ} .$ Til að skrifa $30^{\circ}$ í radíönum fæst $30^{\circ} (\frac{π}{180}) = \frac{π}{6}$ . Í þessum kafla verða gráður þó notaðar.

Nokkrar hornagerðir koma svo oft fyrir að þær hafa sérstök heiti. Beint horn mælist $180^{\circ}$ ; rétt horn mælist $90^{\circ};$ hvasst horn mælist minna en $90^{\circ};$ og gleitt horn mælist milli $90^{\circ}$ og $180^{\circ} .$ Sjá mynd 10.23.

Fjögur horn eru sýnd. Beint horn: 180 gráður. Rétt horn: 90 gráður. Hvasst horn: 60 gráður. Gleitt horn: 135 gráður. — **Mynd 10.23.** Flokkun og heiti horna

Auðvelt er að mæla horn með gráðuboga (mynd 10.24). Gráðubogi er handhægt lítið verkfæri, yfirleitt úr gagnsæju plasti, eins og hér sést.

Gráðubogi með merktum miðpunkti og tommustiku neðst. — **Mynd 10.24.** Gráðubogi (mynd: aðlögun á „School drawing tools“ eftir Marco Verch/Flickr, CC BY 2.0)

Leggðu beina neðri brún gráðubogans að láréttum armi hornsins og stilltu miðmerkið nákvæmlega á oddpunktinn. Finndu síðan merkið þar sem hinn armurinn sker kvarðann. Gráðumerkin á kvarðanum sýna stærð hornsins.

Ritháttur

Horn má nefna á fleiri en einn hátt. Nota má þrjá punkta, einn á hvorum armi og oddpunktinn í miðju, eða aðeins oddpunktinn. Einnig má setja táknið $∠$ eða $∡$ á undan punktunum. Þegar vísað er til stærðar horns er táknið $m ∡$ notað. Sjá mynd 10.25.

Geislarnir AC og AB mynda hvasst horn. — **Mynd 10.25.** Heiti horns

Hornið má nefna $∡ B A C$ , eða $∡ C A B$ , eða $∡ A .$

Dæmi 10.7

Flokkun horna

Ákvarðaðu hvaða horn á myndritinu (mynd 10.26) eru hvöss, rétt, gleið eða bein. Gott getur verið að nota gráðuboga.

Átta geislar eru teiknaðir á ferningsnet og allir hefjast í sama punktinum O. Geislarnir OL og OE eru láréttir og OH er lóðréttur. OK myndar hvasst horn við OL, OJ við OK, OJ við OH, OG við OH, OF við OG og OE við OF. Áttundi geislinn er hornréttur á OF og OA.

Lausn

Hvöss horn mælast minna en 90 ∘ .	Gleið horn mælast milli 90 ∘ og 180 ∘ .	Rétt horn mælast 90 ∘ .	Bein horn mælast 180 ∘ .
∠ 𝐸 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐹 ∠ 𝐸 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐺 ∠ 𝐹 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐺 ∠ 𝐺 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐻 ∠ 𝐹 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐻 ∠ 𝐻 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐽 ∠ 𝐻 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐾 ∠ 𝐽 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐾 ∠ 𝐾 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐿 ∠ 𝐽 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐿 ∠ E ⁢ O ⁢ F ∠ E ⁢ O ⁢ G ∠ F ⁡ O ⁢ G ∠ G ⁡ O ⁢ H ∠ F ⁡ O ⁢ H ∠ H ⁡ O ⁢ J ∠ H ⁡ O ⁢ K ∠ J ⁢ O ⁢ K ∠ K ⁢ O ⁢ L ∠ J ⁢ O ⁢ L	∠ 𝐸 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐽 ∠ 𝐸 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐾 ∠ 𝐹 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐽 ∠ 𝐹 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐾 ∠ 𝐹 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐿 ∠ 𝐺 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐾 ∠ 𝐺 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐿 ∠ E ⁢ O ⁢ J ∠ E ⁢ O ⁢ K ∠ F ⁡ O ⁢ J ∠ F ⁡ O ⁢ K ∠ F ⁡ O ⁢ L ∠ G ⁡ O ⁢ K ∠ G ⁡ O ⁢ L	∠ 𝐸 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐻 ∠ 𝐻 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐿 ∠ 𝐺 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐽 ∠ E ⁢ O ⁢ H ∠ H ⁡ O ⁢ L ∠ G ⁡ O ⁢ J	∠ 𝐸 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐿 ∠ E ⁢ O ⁢ L

Flest horn má flokka út frá útliti eða lýsingu. Notaðu gráðuboga ef vafi leikur á.

Aðlæg horn

Tvö horn sem hafa sama oddpunkt og einn sameiginlegan arm kallast aðlæg horn. Á mynd 10.27 er hornið $∠ D B C$ aðlægt horninu $∠ C B A$ . Horn er táknað með einum punkti á hvorum armi og oddpunktinum í miðju.

Geislarnir BA, BC og BD hefjast allir í punktinum B. Geislarnir BA og BC mynda hvasst horn og BC og BD mynda annað hvasst horn. Hornið ABD er hvasst. — **Mynd 10.27.** Aðlæg horn

Grannhorn

Tvö horn eru grannhorn ef summa þeirra er $180^{\circ} .$ Á mynd 10.28 er gefið að $m ∡ F B E = 35^{\circ},$ og finna skal $m ∡ A B E ?$ Hornin eru grannhorn. Þar sem $m ∡ A B F = 180^{\circ}$ og $180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ},$ fæst $m ∡ A B E = 145^{\circ} .$

Fimm geislar hefjast í punktinum B. Geislarnir BF og BA eru láréttir og BD er lóðréttur. BE liggur milli BF og BD og myndar hvasst horn við hvorn þeirra. BC liggur milli BD og BA og myndar hvasst horn við hvorn þeirra. — **Mynd 10.28.** Grannhorn

Dæmi 10.8

Ákvörðun hornastærða og grannhorna

Reiknaðu stærð hornanna á mynd 10.29.

Lárétt lína og geisli sem hefst í miðju hennar. Línan myndar hvasst hornið 5x + 2 við geislann og gleiða hornið 32x − 7 við hann.

Lausn

Skref 1: Hornin eru grannhorn því þau liggja saman á beinni línu sem myndar $180^{\circ} .$ Summa þeirra er því $180^{\circ} .$

Skref 2:

\begin{matrix} (32 x - 7) + (5 x + 2) & = & 180 \\ 37 x - 5 & = & 180 \\ 37 x & = & 185 \\ x & = & 5 \end{matrix}

Skref 3: Finndu stærð hvors horns:

\begin{matrix} 32 x - 7 & = & 32 (5) - 7 \\ = & 153^{\circ} \\ 5 x + 2 & = & 5 (5) + 2 \\ = & 27^{\circ} \end{matrix}

Skref 4: Prófun: $153^{\circ} + 27^{\circ} = 180^{\circ} .$

Fyllihorn

Tvö horn eru fyllihorn ef summa þeirra er $90^{\circ} .$ Á mynd 10.30 gildir $m ∡ A B C = 30^{\circ},$ en einnig $m ∡ A B D = 90^{\circ} .$ Hvert er $m ∡ C B D ?$ Hornin eru fyllihorn. Þar sem $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ},$ fæst $∡ C B D = 60^{°} .$

Línurnar AB og BD skerast hornrétt. Geislinn BC myndar hvasst horn, 6x − 5, við BA. Annar geisli frá B myndar hvasst horn, 9x, við BD. Milli geislanna er 20 gráða hvasst horn. — **Mynd 10.30.** Fyllihorn

Dæmi 10.9

Ákvörðun hornastærða og fyllihorna

Reiknaðu stærð hornanna á mynd 10.31.

Tvær línur skerast hornrétt. Geisli myndar hvasst hornið 7x − 5 við láréttu línuna. Annar geisli frá skurðpunktinum myndar hvasst hornið 9x − 5 við lóðréttu línuna. Geislarnir mynda saman hvasst horn, 4x.

Lausn

Við höfum

\begin{matrix} (9 x - 5) + 4 x + (7 x - 5) & = & 90 \\ 20 x & = & 100 \\ x & = & 5 \end{matrix}

Then, 𝑚∡(9⁢𝑥−5)=40∘ $m ∡ (9 x - 5) = 40^{\circ}$ , 𝑚∡(4⁢𝑥)=20∘ $m ∡ (4 x) = 20^{\circ}$ , and 𝑚∡(7⁢𝑥−5)=30∘. $m ∡ (7 x - 5) = 30^{\circ} .$

Topphorn

Þegar tvær línur skerast kallast gagnstæð horn topphorn og þau eru jafnstór. Á mynd 10.32 skerast til dæmis tvær beinar línur. Annað par gagnstæðra horna er merkt og þau horn eru jafnstór. Hin tvö gagnstæðu hornin eru einnig jafnstór.

Tvær línur skerast. Annað par gagnstæðra horna er skyggt. — **Mynd 10.32.** Topphorn

Dæmi 10.10

Útreikningur topphorna

Á mynd 10.33 mælist eitt horn $40^{\circ} .$ Finndu stærð hinna hornanna.

Tvær línur skerast. Annað par topphorna er merkt 1 og 3. Hitt parið er merkt 2 og 40 gráður.

Lausn

40 gráða hornið og $∠ 2$ eru topphorn. Því er $m ∡ 2 = 40^{\circ} .$

Hornin $∡ 2$ og $∡ 1$ eru grannhorn, svo summa $m ∡ 2$ og $m ∡ 1$ er $180^{\circ} .$ Því er $m ∡ 1 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$ .

Þar sem $∡ 1$ og $∡ 3$ eru topphorn er $m ∡ 3$ jafnt $140^{\circ} .$

Þverlínur

Þegar bein lína, eða þverlína, sker tvær samsíða línur myndast átta horn, meðal annars víxlhorn innan samsíða línanna, víxlhorn utan þeirra, einslæg horn, topphorn og grannhorn. Sjá mynd 10.34. Horn 1, 2, 7 og 8 kallast ytri horn en horn 3, 4, 5 og 6 innri horn.

Þverlína sker samsíðu línurnar l₁ og l₂. Við l₁ myndast hornin 1, 2, 3 og 4 og við l₂ hornin 5, 6, 7 og 8. Horn 1, 2, 7 og 8 eru ytri horn en 3, 4, 5 og 6 innri horn. — **Mynd 10.34.** Þverlína

Víxlhorn innan samsíða lína

Víxlhorn innan samsíða lína eru innri horn sitt hvorum megin við þverlínuna og eru jafnstór. Hornin $∡ 3$ og $∡ 6$ eru til dæmis slík víxlhorn og jafnstór; hið sama gildir um $∡ 4$ og $∡ 5$ . Sjá mynd 10.35.

Þverlína sker samsíðu línurnar l₁ og l₂ og myndar hornin 1–4 við l₁ og 5–8 við l₂. Horn 1, 2, 7 og 8 eru ytri horn en 3, 4, 5 og 6 innri horn. Víxlhornin 3 og 6 innan samsíða línanna eru auðkennd. — **Mynd 10.35.** Víxlhorn innan samsíða lína

Víxlhorn utan samsíða lína

Víxlhorn utan samsíða lína eru ytri horn sitt hvorum megin við þverlínuna og eru jafnstór. Á mynd 10.36 eru $∡ 2$ og $∡ 7$ slík víxlhorn og jafnstór; hið sama gildir um $∡ 1$ og $∡ 8$ .

Þverlína sker samsíðu línurnar l₁ og l₂ og myndar hornin 1–4 við l₁ og 5–8 við l₂. Horn 1, 2, 7 og 8 eru ytri horn en 3, 4, 5 og 6 innri horn. Víxlhornin 2 og 7 utan samsíða línanna eru auðkennd. — **Mynd 10.36.** Víxlhorn utan samsíða lína

Einslæg horn

Einslæg horn eru eitt ytra horn og eitt innra horn sömu megin við þverlínu og eru jafnstór. Á mynd 10.37 eru $∡ 1$ og $∡ 5$ einslæg; einnig $∡ 3$ og $∡ 7$ , $∡ 2$ og $∡ 6$ , og $∡ 4$ og $∡ 8$ . Hornin í hverju pari eru jafnstór.

Þverlína sker samsíðu línurnar l₁ og l₂ og myndar hornin 1–4 við l₁ og 5–8 við l₂. Horn 1, 2, 7 og 8 eru ytri horn en 3, 4, 5 og 6 innri horn. Einslægu hornin 1 og 5 eru auðkennd. — **Mynd 10.37.** Einslæg horn

Dæmi 10.11

Mat á rými

Þú býrð á horni First Avenue og Linton Street. Þú vilt gera garð í fjærhorni lóðarinnar (mynd 10.38) og girða hann af. Lóðarhornið er þó ekki rétt horn. Göturnar skerast í $150^{\circ} .$ Hve stórt verður hornið við garðinn?

Göturnar First Avenue og Linton Street skerast. Annað par topphorna er óþekkt horn og 150 gráður. Í hinu parinu er garðurinn vinstra megin en hægra hornið ómerkt.

Lausn

Hornið milli Linton Street og First Avenue er $150^{\circ},$ svo grannhornið er $30^{\circ} .$ Garðurinn myndar því $30^{\circ}$ horn við lóðarhornið.

Dæmi 10.12

Ákvörðun horna sem þverlína myndar

Á mynd 10.39, þar sem horn 3 mælist $40^{\circ},$ skaltu finna stærð hinna hornanna og rökstyðja svarið.

Þverlína sker samsíðu línurnar l₁ og l₂. Við l₁ myndast hornin 1, 2, 40 gráður og 4 og við l₂ hornin 5, 6, 7 og 8. Horn 1, 2, 7 og 8 eru ytri horn en 40 gráða hornið og horn 4, 5 og 6 innri horn. Einslægu hornin 1 og 5 eru auðkennd.

Lausn

$m ∡ 2 = m ∡ 3 = 40^{\circ}$ vegna topphorna.

$∡ 3 = m ∡ 7$ vegna einslægra horna.

$m ∡ 7 = m ∡ 6 = 40^{\circ}$ vegna topphorna.

$m ∡ 1 = 180 - 40 = 140^{\circ}$ vegna grannhorna.

$m ∡ 4 = m ∡ 1 = 140^{\circ}$ vegna topphorna.

$m ∡ 8 = m ∡ 1 = 140^{\circ}$ vegna víxlhornanna utan samsíða línanna.

$m ∡ 5 = m ∡ 8 = 140^{\circ}$ vegna topphorna.

Dæmi 10.13

Mæling horna sem þverlína myndar

Á mynd 10.40, þar sem horn 2 mælist $23^{\circ},$ skaltu finna stærð hinna hornanna og rökstyðja svarið.

Þverlína sker samsíðu línurnar l₁ og l₂. Við l₁ myndast hornin 1, 23 gráður, 3 og 4 og við l₂ hornin 5, 6, 7 og 8. Horn 1, 23 gráða hornið, 7 og 8 eru ytri horn en 3, 4, 5 og 6 innri horn. Einslægu hornin 1 og 5 eru auðkennd.

Lausn

$m ∡ 2 = m ∡ 3 = 23^{\circ}$ vegna topphorna; $∡ 2$ og $∡ 3$ eru gagnstæð horn sem tvær skurðlínur mynda.

$m ∡ 1 = 157^{\circ}$ vegna þess að það er grannhorn við $m ∡ 2$ eða $m ∡ 3.$ Hornin $∡ 1$ og $∡ 2$ mynda beint horn, líkt og $∡ 1$ og $∡ 3.$ Beint horn mælist $180^{\circ},$ svo $180^{\circ} - 23^{\circ} = 157^{\circ} .$

$m ∡ 4 = m ∡ 1 = 157^{\circ}$ vegna topphorna; $∡ 4$ og $∡ 1$ eru gagnstæð horn sem tvær skurðlínur mynda.

$m ∡ 5 = m ∡ 1 = 157^{\circ}$ vegna einslægra horna; þverlínan myndar þau í sömu stöðu við samsíðu línurnar, annað ytra og hitt innra.

$m ∡ 8 = m ∡ 5 = 157^{\circ}$ vegna topphorna; $∡ 8$ og $∡ 5$ eru gagnstæð horn sem tvær skurðlínur mynda.

$m ∡ 7 = m ∡ 2 = 23^{\circ}$ vegna víxlhornanna utan samsíða línanna; þau liggja sitt hvorum megin þverlínunnar utan við samsíðu línurnar.

$m ∡ 6 = m ∡ 7 = 23^{\circ}$ vegna þess að þau eru topphorn sem tvær skurðlínur mynda.

Dæmi 10.14

Finndu óþekkt horn

Finndu stærð hornanna 1, 2, 4, 11, 12 og 14 á mynd 10.41 og rökstuddu svörin, að gefnu að $l_{1}$ og $l_{2}$ séu samsíða.

Tvær þverlínur skera samsíðu línurnar l₁ og l₂. Fyrri þverlínan myndar hornin 62 gráður, 9, 7 og 8 við l₂. Hin myndar hornin 14, 62 gráður, 11 og 12 við l₂. Þverlínurnar skerast í punkti á l₁ og mynda þar sex horn, merkt 1, 2, 62 gráður, 4, 5 og 6.

Lausn

$m ∡ 12 = 118^{\circ}$ , grannhorn

$m ∡ 14 = 118^{\circ}$ , topphorn

$m ∡ 11 = 62^{\circ}$ , topphorn

$m ∡ 4 = 62^{\circ}$ , einslæg horn

$m ∡ 1 = 62^{\circ}$ , topphorn

$m ∡ 2 = 56^{\circ}$ , grannhorn

Athugaðu skilning þinn

Flokkaðu eftirfarandi horn sem hvöss, rétt, gleið eða bein.

𝑚∡ =180∘

m\measuredangle = {180^ \circ }

𝑚∡ =176∘

m\measuredangle = {176^ \circ }

𝑚∡ =90∘

m\measuredangle = {90^ \circ }

𝑚∡ =37∘

m\measuredangle = {37^ \circ }

Finndu stærð hornanna á myndinni í eftirfarandi æfingum.

Þverlína sker samsíðu línurnar l₁ og l₂. Við l₁ myndast hornin 1, 31 gráða, 3 og 4 og við l₂ hornin 5, 6, 7 og 8. Horn 1, 31 gráða hornið, 7 og 8 eru ytri horn en 3, 4, 5 og 6 innri horn.

Finndu stærð

\measuredangle 1

og rökstuddu svarið.

Finndu stærð

\measuredangle 3

og rökstuddu svarið.

Finndu stærð

\measuredangle 5

og rökstuddu svarið.

Æfingar í hluta 10.2

Flokkaðu hornin í eftirfarandi æfingum sem hvöss, gleið, rétt eða bein.

𝑚∡ =32∘

m\measuredangle = {32^ \circ }

𝑚∡ =120∘

m\measuredangle = {120^ \circ }

𝑚∡ =180∘

m\measuredangle = {180^ \circ }

𝑚∡ =90∘

m\measuredangle = {90^ \circ }

𝑚∡ =110∘

m\measuredangle = {110^ \circ }

𝑚∡ =45∘

m\measuredangle = {45^ \circ }

Notaðu myndina til að reikna stærð hornanna.

Tvær línur skerast hornrétt. Geisli frá skurðpunktinum myndar hvasst hornið 5x + 4 við láréttu línuna og hvasst hornið 39x − 2 við lóðréttu línuna.

Notaðu myndina til að reikna stærð hornanna.

Lárétt lína og tveir geislar frá miðpunkti hennar. Fyrri geislinn myndar hornið 3x + 2 við lárétta ásinn. Hornið milli geislanna er 3x + 7 og seinni geislinn myndar hornið 2x + 3 við lárétta ásinn.

Finndu stærð grannhornsins við

{89^ \circ }.

Notaðu myndina í eftirfarandi æfingum. Látum horn 2 mælast

∘

10.

Finndu stærð horns 1 og rökstuddu svarið.

11.

Finndu stærð horns 3 og rökstuddu svarið.

12.

Finndu stærð horns 4 og rökstuddu svarið.

13.

Finndu stærð horns 5 og rökstuddu svarið.

14.

Finndu stærð horns 6 og rökstuddu svarið.

15.

Finndu stærð horns 7 og rökstuddu svarið.

16.

Finndu stærð horns 8 og rökstuddu svarið.

17.

Notaðu myndina til að reikna stærð hornanna.

Tvær línur skerast. Annað par topphorna er merkt 5x − 129 og 2x − 21.

Notaðu myndina í eftirfarandi æfingum.

Þverlína sker tvær samsíða línur. Við línuna l₁ myndast fjögur horn; tvö eru ómerkt og tvö gagnstæð horn merkt 3 og 50 gráður. Við línuna l₂ myndast fjögur horn. Horn 8 og 50 gráða hornið eru ytri horn en horn 3 er innra horn.

18.

Finndu stærð horns 3 og rökstuddu svarið.

19.

Finndu stærð horns 8 og rökstuddu svarið.