22 Rökfræði

2.2 Samsettar yrðingar

Tvær manneskjur eru í bíl; önnur er farþegi en hin ekur bílnum. — **Mynd 2.6.** Til að fá ökuréttindi þarf að standast tvö próf. Með samsettri yrðingu má lýsa niðurstöðum beggja prófanna í einu. (mynd: aðlögun á verkinu „Drivers License -Teen driver“ eftir State Farm/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta ættir þú að geta:

sett samsettar yrðingar fram með táknum;
sett samsettar yrðingar með svigum fram með orðum;
beitt forgangsröð setningatengja.

Hugsum okkur að vinur þinn sé að reyna að fá ökuréttindi. Víðast hvar þarf fyrst að standast skriflegt próf sem sýnir þekkingu á lögum og reglum um öruggan akstur. Að því loknu þarf vinurinn einnig að standast aksturspróf og sýna að hann geti ekið örugglega og í samræmi við umferðarreglur.

Skoðum yrðinguna: „Vinur minn stóðst skriflega prófið en stóðst ekki akstursprófið.“ Þetta er samsett yrðing, það er yrðing sem mynduð er með setningatengi sem tengir tvær sjálfstæðar setningar eða rökfræðilegar yrðingar. „Vinur minn stóðst skriflega prófið“ er sjálfstæð setning því hún felur í sér fullmótaða hugsun og getur staðið ein. Hin sjálfstæða setningin er „Vinur minn stóðst ekki akstursprófið.“ Setningatengið „en“ tengir yrðingarnar og myndar samsetta yrðingu. Fékk vinurinn þá ökuréttindi?

Í þessum hluta eru algeng setningatengi og tákn þeirra kynnt og framsetning samsettra yrðinga með orðum og táknum æfð. Einnig er fjallað um forgangsröð setningatengja þegar mörg tengi koma fyrir í sömu yrðingu.

Algeng setningatengi

Til að tileinka sér efni kaflans er mikilvægt að skilja eftirfarandi setningatengi, eiginleika þeirra, tákn og heiti. Nánar verður fjallað um hvert tengi síðar í kaflanum.

Þegar tvær rökfræðilegar yrðingar eru tengdar með „og“ eða „en“ myndast samsett yrðing sem nefnist samtenging. Samtenging er aðeins sönn ef allar sjálfstæðu yrðingarnar sem mynda hana eru sannar. Tákn samtengingar er $\land$ . Skoðum yrðinguna: „Derek Jeter lék hafnabolta sem atvinnumaður með New York Yankees og hann var stuttstoppari.“ Ef $p$ táknar „Derek Jeter lék hafnabolta sem atvinnumaður með New York Yankees“ og $q$ táknar „Derek Jeter var stuttstoppari“, þá er samtengingin táknuð með $p \land q .$

Þegar tvær rökfræðilegar yrðingar eru tengdar með „eða“ myndast samsett yrðing sem nefnist mistenging. Nema annað sé tekið fram er um innifalið eða að ræða. Samsetta yrðingin sem fæst með því að tengja tvær sjálfstæðar setningar með eða er sönn ef að minnsta kosti önnur setningin er sönn. Skoðum yrðinguna: „Skrifstofustjórinn pantaði köku í afmæli starfsmanns eða pantaði ís.“ Þetta er mistenging því sjálfstæðu setningarnar „Skrifstofustjórinn pantaði köku í afmæli starfsmanns“ og „Skrifstofustjórinn pantaði ís“ eru tengdar með eða. Mistengingin er sönn ef aðeins kaka var pöntuð, aðeins ís eða hvort tveggja. Innifalið eða heimilar annan kostinn eða báða!

Þegar tvær rökfræðilegar yrðingar eru tengdar með orðasambandinu leiðir af sér, eða með orðalaginu „ef fyrri yrðing, þá seinni yrðing“, myndast skilyrðing eða leiðing. Setningin á eftir „ef“ nefnist tilgáta eða forliður, en setningin á eftir „þá“ eða orðasambandinu leiðir af sér nefnist niðurstaða eða bakliður. Skilyrðing líkist einhliða samningi eða loforði. Hún er aðeins ósönn þegar forliðurinn er sannur en bakliðurinn ósannur. Skoðum skilyrðinguna: „Ef Pedro vinnur heimavinnuna sína, þá má hann spila tölvuleiki.“ Forliðurinn er setningin á eftir ef, það er „Pedro vinnur eða vann heimavinnuna sína.“ Bakliðurinn er setningin á eftir þá, það er „Pedro má spila tölvuleikina sína.“

Þegar tvær rökfræðilegar yrðingar eru tengdar með „ef og aðeins ef“ myndast tvískilyrðing. Táknið fyrir „ef og aðeins ef“ er $\leftrightarrow .$ Tvískilyrðingin er $p \leftrightarrow q,$ þar sem $p$ nefnist forliður og $q$ nefnist bakliður. Tvískilyrðing er sönn þegar sanngildi $p$ og $q$ eru eins; báðar yrðingarnar verða að vera sannar eða báðar ósannar.

Taflan hér á eftir sýnir algengustu setningatengin, táknrænt form þeirra og heiti.

Setningatengi	Tákn	Heiti
„og“; „en“	∧	samtenging
eða	∨	mistenging, innifalið eða
ekki	$~$	neitun
„ef … , þá …“; „leiðir af sér“	→	skilyrðing, leiðing
ef og aðeins ef	↔	tvískilyrðing

Dæmi 2.8

Tengjum setningatengi við tákn og heiti

Skrifaðu heiti og tákn hvers eftirfarandi setningatengis.

eða
leiðir af sér
en

Lausn

Samsett yrðing með setningatenginu eða nefnist mistenging og er táknuð með $\lor$ tákninu.
Samsett yrðing með setningatenginu leiðir af sér eða orðalaginu „ef …, þá“ nefnist skilyrðing eða leiðing og er táknuð með $\to$ tákninu.
Samsett yrðing með setningatengjunum en eða og nefnist samtenging og er táknuð með $\land$ tákninu.

Samsettar yrðingar settar fram með táknum

Fylgdu eftirfarandi skrefum til að setja samsetta yrðingu fram með táknum.

Finndu allar sjálfstæðar játandi rökfræðilegar yrðingar og táknaðu hverja þeirra með lágstaf, til dæmis $p$ , $q$ , eða $r$ .
Finndu allar neikvæðar rökfræðilegar yrðingar og táknaðu hverja þeirra með lágstaf með neitunartákni á undan, til dæmis $~ p$ , $~ q$ , eða $~ r$ .
Settu tákn setningatengjanna í stað orðanna, til dæmis $\land, \lor, \to, eða \leftrightarrow .$

Skoðum aftur vininn sem er að reyna að fá ökuréttindi. Hann stóðst skriflega prófið en ekki akstursprófið. Látum $p$ tákna „Vinur minn stóðst skriflega prófið“ og látum $~ q$ tákna „Vinur minn stóðst ekki akstursprófið.“ Setningatengið en er rökfræðilega jafngilt og. Táknið fyrir en er því hið sama og táknið fyrir og; en er því táknað með $\land .$ Samsetta yrðingin er táknuð með: $p \land ~ q$ . Vinur minn stóðst skriflega prófið en stóðst ekki akstursprófið.

Dæmi 2.9

Samsettar yrðingar settar fram með táknum

Látum $p$ tákna „Það er hlýr og sólríkur dagur“ og látum $q$ tákna „Fjölskyldan fer á ströndina.“ Skrifaðu táknrænt form hverrar eftirfarandi samsettrar yrðingar.

Ef dagurinn er hlýr og sólríkur, þá fer fjölskyldan á ströndina.
Fjölskyldan fer á ströndina og dagurinn er hlýr og sólríkur.
Fjölskyldan fer ekki á ströndina ef og aðeins ef dagurinn er ekki hlýr og sólríkur.
Fjölskyldan fer ekki á ströndina eða dagurinn er hlýr og sólríkur.

Lausn

Gefið er $p$ : „Það er hlýr og sólríkur dagur“ og $q$ : „Fjölskyldan fer á ströndina.“ Þar sem setningatengið er ef …, þá skaltu setja skilyrðingartáknið $\to$ milli $p$ og $q$ . Samsetta yrðingin er: $p \to q .$
Gefið er $q$ : „Fjölskyldan fer á ströndina“ og $p$ : „Það er hlýr og sólríkur dagur.“ Þar sem setningatengið er og skaltu setja táknið $\land$ milli $q$ og $p$ . Samsetta yrðingin er táknuð $q \land p .$
Gefið er $~ q$ : „Fjölskyldan fer ekki á ströndina“ og $~ p$ : „Dagurinn er ekki hlýr og sólríkur.“ Þar sem setningatengið er ef og aðeins ef skaltu setja tvískilyrðingartáknið $\leftrightarrow$ milli $~ q$ og $~ p$ . Samsetta yrðingin er táknuð $~ q \leftrightarrow ~ p .$
Gefið er $~ q$ : „Fjölskyldan fer ekki á ströndina“ og $p$ : „Dagurinn er hlýr og sólríkur.“ Þar sem setningatengið er eða skaltu setja táknið $\lor$ milli $~ q$ og $p$ . Samsetta yrðingin er táknuð $~ q \lor p .$

Samsettar yrðingar á táknrænu formi með svigum settar fram með orðum

Svigar í rökfærslu hópa samsetta yrðingu á sama hátt og í tölulegum eða algebrulegum segðum. Fara skal með yrðingu innan sviga sem einn lið segðarinnar. Ef svigar eru margir er byrjað á innstu svigunum.

Skoðum aftur vininn sem reynir að fá ökuréttindi. Látum $p$ tákna „Vinur minn stóðst skriflega prófið“, látum $q$ tákna „Vinur minn stóðst akstursprófið“ og látum $r$ tákna „Vinur minn fékk ökuréttindi.“ Yrðinguna $(p \land q) \to r$ má setja fram með orðum þannig: Yrðingin $p \land q$ myndar forlið skilyrðingarinnar og $r$ er bakliðurinn. Skilyrðingin hefur formið „ef $p \land q,$ þá $r .$ “ Yrðingin er því þessi í orðum: „Ef vinur minn stóðst skriflega prófið og akstursprófið, þá fékk hann ökuréttindi.“

Stundum þarf að neita samsettri yrðingu innan sviga sem einni heild. Þá er orðalaginu „það er ekki svo að“ bætt framan við orðalag yrðingarinnar innan svigans. Notum $p$ , $q$ og $r$ úr dæminu um ökuréttindin og setjum yrðinguna $~ (p \land q) \to ~ r$ fram með orðum.

Hér er forliður skilyrðingarinnar $~ (p \land q)$ og bakliðurinn $~ r .$ Til að neita forliðnum er „það er ekki svo að“ sett á undan orðalagi yrðingarinnar innan svigans. Forliðurinn verður „Það er ekki svo að vinur minn hafi staðist skriflega prófið og akstursprófið“ og bakliðurinn „Vinur minn fékk ekki ökuréttindi.“ Skilyrðingin í heild $~ (p \land q) \to ~ r$ er: „Ef það er ekki svo að vinur minn hafi staðist skriflega prófið og akstursprófið, þá fékk hann ekki ökuréttindi.“

Dæmi 2.10

Samsettar yrðingar á táknrænu formi með svigum settar fram með orðum

Látum $p$ tákna „Barnið mitt lauk heimavinnunni“, látum $q$ tákna „Barnið mitt tók til í herberginu sínu“, látum $r$ tákna „Barnið mitt spilaði tölvuleiki“ og látum $s$ tákna „Barnið mitt streymdi kvikmynd.“ Settu hverja eftirfarandi táknræna yrðingu fram með orðum.

$~ (p \land q)$
$(p \land q) \to (r \lor s)$
$~ (r \lor s) \leftrightarrow ~ (p \land q)$

Lausn

Skiptu ~ út fyrir „Það er ekki svo að“ og $\land$ út fyrir „og“. Ein möguleg þýðing er: „Það er ekki svo að barnið mitt hafi lokið heimavinnunni og tekið til í herberginu sínu.“
Forliður skilyrðingarinnar er „Barnið mitt lauk heimavinnunni og tók til í herberginu sínu.“ Bakliðurinn er „Barnið mitt spilaði tölvuleiki eða streymdi kvikmynd.“ Ein möguleg framsetning í orðum er: „Ef barnið mitt lauk heimavinnunni og tók til í herberginu sínu, þá spilaði það tölvuleiki eða streymdi kvikmynd.“
Forliður tvískilyrðingarinnar er $~ (r \lor s)$ og verður með orðum: „Það er ekki svo að barnið mitt hafi spilað tölvuleiki eða streymt kvikmynd.“ Bakliður tvískilyrðingarinnar er $~ (p \land q)$ , sem verður: „Það er ekki svo að barnið mitt hafi lokið heimavinnunni og tekið til í herberginu sínu.“ Þar sem tvískilyrðingin $\leftrightarrow$ merkir ef og aðeins ef er ein möguleg þýðing: „Það er ekki svo að barnið mitt hafi spilað tölvuleiki eða streymt kvikmynd ef og aðeins ef það er ekki svo að það hafi lokið heimavinnunni og tekið til í herberginu sínu.“

Forgangsröð setningatengja

Forgangsröð reikniaðgerða tryggir samræmdar niðurstöður í algebrulegum og tölulegum segðum. Ef þú fengir dæmið $1 + 3 \times 2$ án þess að þekkja forgangsröðina gætirðu reiknað frá vinstri til hægri: lagt saman 1 og 3, fengið 4 og margfaldað með 2, sem gefur ranga svarið 8. Sláðu segðina inn í vísindareikni; hann ætti að gefa 7 en ekki 8.

Vísindareiknir

Samkvæmt forgangsröð algebrulegra og tölulegra aðgerða skal margfalda áður en lagt er saman. Svigar sýna hvor aðgerðin, samlagning eða margföldun, skuli framkvæmd fyrst. Með svigum má breyta eða skýra röðina. Í segðinni $1 + (3 \times 2)$ sýna svigarnir að fyrst skal margfalda 3 með 2 og fá 6, en síðan leggja 1 við og fá 7: $1 + (3 \times 2) = 7.$

Eins og um algebrulegar segðir gilda reglur um samsettar rökfræðilegar yrðingar sem tryggja samræmt mat. Þær nefnast forgangsröð setningatengja. Við mat á samsettum yrðingum er tengjunum beitt í eftirfarandi röð:

Fyrst eru yrðingar innan sviga metnar. Bættu við eins mörgum svigum og þarf til að sýna í hvaða röð hvert tengi skal metið.
Næst eru neitanir metnar.
Þá eru samtengingar og mistengingar metnar frá vinstri til hægri, enda hafa þær sama forgang.
Eftir samtengingar og mistengingar eru skilyrðingar metnar.
Að lokum er tvískilyrðingin metin. Ef mörg tengi hafa sama forgang eru þau metin frá vinstri til hægri.

Sjá mynd 2.7, þar sem forgangsröð setningatengja er sýnd myndrænt.

Tafla með fjórum dálkum sýnir forgang, setningatengi, tákn og matsröð. Í forgangsdálkinum vísar lóðrétt ör niður frá því sem er metið fyrst að því sem er metið síðast. Dálkur setningatengja sýnir sviga, neitun, mistengingu eða samtengingu, skilyrðingu og tvískilyrðingu. Táknadálkurinn sýnir opinn og lokaðan sviga, bylgjutáknið ~, ∨ og ∧, hægri ör og tvíátta ör. Matsdálkurinn sýnir fyrst, ör niður, frá vinstri til hægri eða sviga til að tilgreina röð þegar ∨ og ∧ hafa sama forgang, ör niður og síðast. — **Mynd 2.7.** Matsröð setningatengja. Svigar eru metnir fyrst og tvískilyrðing síðast. Í vinstri dálki myndarinnar eru heitin „Minnstur forgangur“ og „Mestur forgangur“ víxluð; efst ætti að standa „Mestur forgangur“ og neðst „Minnstur forgangur“.

Skref 1: Engir svigar eru í yrðingunni, svo því þrepi má sleppa.

Skref 2: Næst er neitunin $~ q$ metin. Til skýrleika má bæta við svigum: $p \land ~ q \to r$ er jafngilt $p \land (~ q) \to r .$

Skref 3: Næst er metin samtengingin $\land$ . $p \land (~ q) \to r$ er jafngilt $(p \land (~ q)) \to r .$

Skref 4: Að lokum er lagt mat á skilyrðinguna $\to,$ enda er hún metin síðust þeirra tengja sem koma fyrir í þessari samsettu yrðingu.

Vissir þú?

Hefurðu tekið eftir að grunnaðgerðir á borð við summu, meðaltal og vexti hafa sömu heiti og sömu notkunarreglur í töflureiknum eins og Microsoft Excel og Google Sheets? Það er ekki tilviljun. Ýmsar staðlastofnanir hafa sett kröfur sem hugbúnaðarframleiðendur þurfa að uppfylla fyrir stjórnvöld og stóra viðskiptavini um allan heim. OASIS-staðallinn OpenDocument Format gerir kleift að flytja gögn milli ólíkra skrifstofuforrita og var samþykktur af Alþjóðlegu staðlasamtökunum (ISO) og Alþjóðaraftækniráðinu (IEC) 6. maí 2006.

Áður en þessir staðlar voru teknir upp gátu stjórnvöld, fyrirtæki eða einstaklingar misst aðgang að eigin gögnum vegna þess eins að þau voru vistuð á sniði sem lokaður hugbúnaður studdi ekki lengur, jafnvel þótt lög kvæðu á um varðveislu gagnanna eða eigandinn vildi einfaldlega halda aðgangi að þeim.

Rétt eins og forgangsröð setningatengja stuðlar að skilningi og samræmi þegar samsettar yrðingar og rökfærslur eru skrifaðar og túlkaðar, tryggja staðlar gagnagrunnshugbúnaðar heilleika og aðgengi milli kerfa og notendahópa um allan heim.

Dæmi 2.11

Forgangsröð setningatengja beitt

Bættu svigum við hverja eftirfarandi samsetta yrðingu til að sýna matsröðina. Mundu að innstu svigar eru metnir fyrst.

$p \land ~ q \lor r$
$q \to ~ p \land r$
$~ (p \lor q) \leftrightarrow ~ p \land ~ q$

Lausn

Neitunin er metin fyrst: $p \land (~ q) \lor r .$ Samtenging og mistenging hafa sama forgang og eru metnar frá vinstri til hægri. Samtengingin er því næst, eins og viðbótarsvigarnir sýna: $(p \land (~ q)) \lor r .$ Aðeins mistengingin er eftir og er metin síðast, eins og ystu svigarnir sýna. Lausnin er: $((p \land (~ q)) \lor r) .$
Neitunin er metin fyrst: $q \to (~ p) \land r .$ Eftir eru skilyrðingin og samtengingin. Samtengingin er metin næst, eins og næstu svigar sýna: $q \to ((~ p) \land r) .$ Að lokum er lagt mat á skilyrðinguna, eins og ystu svigarnir sýna: $(q \to ((~ p) \land r)) .$
Þessi yrðing nefnist regla De Morgans um neitun mistengingar og er alltaf sönn. Hluti 2.6 fjallar nánar um reglur De Morgans.
- Fyrst eru neitanirnar hægra megin við tvískilyrðinguna metnar á undan samtengingunni.
- Þá er mistengingin vinstra megin metin og síðan neitun hennar.
- Að lokum er tvískilyrðingin metin eftir að báðar hliðar hennar hafa verið metnar að fullu. Ekki skiptir máli hvor hliðin er tekin fyrst.
Lausnin er: (~(p∨q))↔((~p)∧(~q)).

Prófaðu

Samstæðuleikur um rökfræðihugtök og eiginleika

Efniviður: Hver fjögurra nemenda hópur fær 30 spil (leikja-, safn- eða venjuleg spil), 30 glær plastumslög fyrir spil og 30 blöð á stærð við spil. Undirbúðu 60 spurningar og svör um skilgreiningar og verkefni úr hlutunum Yrðingar og magnarar og Samsettar yrðingar. Láttu hvern hóp fá 20 spurningar ásamt svörum. Hópurinn velur 15 spurningar og býr til eitt spjald með hverri spurningu og annað með svarinu. Hver spurning og hvert svar fara í sitt umslag. Þegar 15 spurningarspjöld og 15 svarspjöld eru tilbúin eru spilin stokkuð.

Hóparnir skiptast á spilastokkum svo enginn byrji með stokkinn sem hann bjó til. Hverjum fjögurra manna hópi er skipt í tvö tveggja nemenda lið. Annað liðið leggur stokkaða spilin á grúfu í fimm sinnum sex reita grind. Hitt liðið byrjar.

Hver leikmaður reynir í sinni umferð að para spurningu við rétt svar með því að snúa tveimur spilum upp. Fái lið par má það snúa tveimur spilum til viðbótar; annars er spilunum snúið aftur á grúfu og hitt liðið á leik. Leikurinn heldur áfram þar til öllum spurningum hefur verið parað við rétt svör. Liðið með flest pör vinnur.

Í fyrsta hluta kaflans mátum við sanngildi neitana. Í næstu hlutum lærum við að meta samtengingar, mistengingar, skilyrðingar og tvískilyrðingar og síðan samsettar yrðingar með sanngildistöflum og þekkingu á forgangsröð setningatengja.

Athugaðu skilning þinn

__________ __________ er rökfræðileg yrðing sem mynduð er með því að tengja tvær eða fleiri yrðingar með orðum á borð við og, eða, en, ekki og ef …, þá.

_____ er orð eða tákn sem tengir tvær eða fleiri rökfræðilegar yrðingar og myndar samsetta yrðingu.

Tengið sem er metið síðast er _____.

_____ eru notaðir til að tilgreina hvaða setningatengi skal meta fyrst í samsettri yrðingu.

Bæði _____ og _____ hafa sama forgang og eru metnar frá vinstri til hægri þegar engir svigar eru í samsettri yrðingu.

Æfingar úr hluta 2.2

Settu hverja eftirfarandi samsetta yrðingu fram með táknum.

Gefið er p: „Layla á tveggja vikna frí,“ q: „Marcus er vinur Laylu,“ r: „Layla fer til Parísar í Frakklandi,“ og s: „Layla og Marcus fara saman til Niagara Falls í Ontario.“

Ef Layla á tveggja vikna frí, þá fer hún til Parísar í Frakklandi.

Layla og Marcus fara saman til Niagara Falls í Ontario eða Layla fer til Parísar í Frakklandi.

Ef Marcus er ekki vinur Laylu, þá fara þau ekki saman til Niagara Falls í Ontario.

Layla og Marcus fara saman til Niagara Falls í Ontario ef og aðeins ef þau eru vinir.

Ef Layla á ekki tveggja vikna frí og Marcus er vinur hennar, þá fara þau saman til Niagara Falls í Ontario.

Ef Layla á tveggja vikna frí og Marcus er ekki vinur hennar, þá fer hún til Parísar í Frakklandi.

Settu hverja eftirfarandi samsetta yrðingu fram með táknum.

Gefið er p: „Tom er köttur,“ q: „Jerry er mús,“ r: „Spike er hundur,“ s: „Tom eltir Jerry,“ og t: „Spike nær Tom.“

Jerry er mús og Tom er köttur.

Ef Tom eltir Jerry, þá nær Spike Tom.

Ef Spike nær ekki Tom, þá elti Tom ekki Jerry.

10.

Tom er köttur og Spike er hundur eða Jerry er ekki mús.

11.

Það er ekki svo að Tom sé ekki köttur og Jerry sé ekki mús.

12.

Spike er ekki hundur og Jerry er mús ef og aðeins ef Tom eltir Jerry en Spike nær ekki Tom.

Settu táknrænt form hverrar eftirfarandi samsettrar yrðingar fram með orðum.

Gefið er p: „Tracy Chapman leikur á gítar,“ q: „Joan Jett leikur á gítar,“ r: „Í öllum rokkhljómsveitum eru gítarleikarar,“ og s: „Elton John leikur á píanó.“

13.

p \vee r

14.

\text{~}s\, \to \,\text{~}q

15.

(p \wedge q)\, \leftrightarrow \,r

16.

\text{~}r \wedge (q \vee s)

17.

\text{~}(p \wedge \text{~}q)

18.

(q\, \to \,\text{~}r) \leftrightarrow (\text{~}p\, \vee \text{~}r)

Settu táknrænt form hverrar eftirfarandi samsettrar yrðingar fram með orðum.

Gefið er p: „Miðgildið er talan í miðjunni,“ q: „Tíðasta gildið er algengasta talan,“ r: „Meðaltalið er meðaltal talnanna,“ s: „Miðgildi, meðaltal og tíðasta gildi eru jöfn,“ og t: „Gagnasafnið er samhverft.“

19.

t \to s

20.

p \wedge (q \wedge r)

21.

\text{~}t\, \to \,\text{~}s

22.

(r \wedge p) \leftrightarrow q

23.

(t \to \,\text{~}q) \vee (r \to s)

24.

\text{~}(q \vee r) \to t

Beittu réttri forgangsröð setningatengja í eftirfarandi æfingum með því að bæta við svigum sem sýna matsröðina.

25.

p \to q \vee r

26.

p \wedge q\, \leftrightarrow \,\text{~}r

27.

p \vee r \vee \text{~}q

28.

p \wedge \text{~}q \wedge r

29.

p \wedge r \vee s \wedge t

30.

q\, \to \,\text{~}r\, \leftrightarrow \,\text{~}p\, \vee \text{~}r

31.

p \to r \vee s\, \leftrightarrow \,\text{~}t

32.

\text{~}(t \wedge s) \vee (p \to q) \wedge \text{~}r