2.7 Rökfærslur

Almennt tryggja forsendur tilleiðslurökfærslna ekki að niðurstöður þeirra séu sannar. Rökfærslurnar eru metnar sterkar eða veikar. Líkt og þegar skoðanir eru metnar ræðst matið oft af þekkingu á efninu og þeim gögnum sem sett eru fram í forsendunum. Fljótfærnisleg alhæfing er rökvilla þar sem almenn niðurstaða er dregin af ónógum gögnum.

Modus ponens er gilt form skilyrtrar rökfærslu. Ef bæði skilyrðingin $p\to q$ og forliðurinn $p$ eru sönn verður niðurstaðan $q$ einnig að vera sönn. Reglan nefnist líka staðfesting forliðar og á latínu modus ponens. Táknrænt hefur hún formið $\left(\left(p\to q\right)\wedge p\right)\to q$.

Í sanngildistöflunni sést að þegar bæði skilyrðingin og forliðurinn $p$ eru sönn er $q$ einnig sönn. Þetta gerist í fyrstu röðinni og staðfestir að modus ponens er gild rökfærsla.

Einnig má staðfesta gildi modus ponens með því að gera sanngildistöflu fyrir yrðinguna $\left(\left(p\to q\right)\wedge p\right)\to q$ og sýna að hún sé sísanna.

Venn-myndir má einnig nota til að staðfesta afleiðslurökfærslur með skilyrtum forsendum. Skoðum yrðinguna $p\to q:$ „Ef þú spilar á gítar þá ert þú tónlistarmaður.“ Mengi gítarleikara er hlutmengi mengis tónlistarmanna, $p\subset q.$ Til að staðfesta gildi rökfærslu með Venn-mynd skal aðeins teikna forsendur hennar eins og á mynd 2.15 og kanna síðan hvort niðurstaðan komi einnig fram á myndinni. Ef svo er, er rökfærslan gild; annars ekki. Mengi gítarleikara er teiknað sem hlutmengi mengis tónlistarmanna til að sýna forsenduna $p\to q.$ Táknið $\times$ sýnir að forsendan $p$ er sönn. Þar með eru allar forsendurnar komnar á myndina.

Skoðum nú Venn-myndina og könnum hvort niðurstaðan sé á henni. Niðurstaðan er $q$. Þar sem $\times$ er í menginu $p$ og $p$ er hlutmengi $q$ er $\times$ einnig í $q$. Modus ponens er því gild rökfærsla.

Annað gilt form skilyrtrar rökfærslu nefnist neitun bakliðar eða modus tollens. Skilyrðingin $p\to q$ er rökfræðilega jafngild gagnumhverfunni $~q\to ~p.$ Ef skilyrðingin er sönn er gagnumhverfan því einnig sönn. Samkvæmt modus ponens leiðir af því að yrðingin $~q$ sé einnig sönn að $~p$ sé sönn. Táknrænt hefur reglan formið $\left(\left(p\to q\right)\wedge ~q\right)\to ~p$.

Til að staðfesta að modus tollens sé gild rökfærsla skaltu gera sanngildistöflu fyrir $\left(\left(p\to q\right)\wedge ~q\right)\to ~p$ og sýna að hún sé sísanna.

Til að staðfesta rökfærslu af þessu formi með Venn-mynd skulum við aftur skoða forsenduna $p\to q:$ „Ef þú spilar á gítar þá ert þú tónlistarmaður.“ Nú breytum við seinni forsendunni í $~q.$ Táknið $\times$ sýnir forsenduna $~q.$ Táknið er sett í grunnmengið sem inniheldur allt fólk en utan mengis tónlistarmanna, eins og á mynd 2.16.

Þar sem $\times$ er einnig utan mengis gítarleikara leiðir yrðingin $~p$ af forsendunum og rökfærslan er gild.

Keðjuregla skilyrðinga er annað gilt form skilyrtrar rökfærslu. Hún nefnist einnig skilyrt rökhenda eða gegnvirkni leiðingar. Skilyrðinguna $p\to q$ má lesa sem $p$ leiðir af sér $q$. Þaðan kemur heitið gegnvirkni leiðingar. Gegnvirkniregla talna segir að ef 3 < 4 og 4 < 5 , þá sé 3 < 5. Keðjureglan yfirfærir þennan eiginleika á skilyrðingar. Ef forsendur rökfærslu eru skilyrðingarnar „ $p\to q$“ og „$q\to r,$“ leiðir af þeim $p\to r.$ Táknrænt hefur reglan formið $\left(\left(p\to q\right)\wedge \left(q\to r\right)\right)\to \left(p\to r\right)$.

Til að staðfesta keðjureglu skilyrðinga skaltu gera sanngildistöflu fyrir yrðinguna $\left(\left(p\to q\right)\wedge \left(q\to r\right)\right)\to \left(p\to r\right)$ og sýna að hún sé sísanna.

Til að staðfesta rökfærslu af þessu formi með Venn-mynd skulum við aftur skoða forsenduna $p\to q:$ „Ef þú spilar á gítar þá ert þú tónlistarmaður“, en breyta seinni forsendunni í $q\to r:$ „Ef þú ert tónlistarmaður þá ert þú listamaður.“ Mengi $p$, þ.e. mengi gítarleikara, er þá hlutmengi mengis $r$, þ.e. mengis listamanna. Af því leiðir að ef þú ert gítarleikari ertu listamaður. Niðurstaðan $p\to r$ leiðir því af forsendunum og keðjuregla rökfærslna er gild. Sjá mynd 2.17.