33 Rauntalnakerfi og talnafræði

3.10 Jafnmunarunur

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Borið kennsl á jafnmunarunur.
Fundið tiltekinn lið í jafnmunarunu.
Fundið $n$ -ta lið jafnmunarunu.
Fundið summu endanlegrar jafnmunarunu.
Notað jafnmunarunur við raunhæf verkefni.

Notum sömu forsendu og í síðasta hluta: að um 2,5 $\times ⁠$ 10¹⁸ bæti af gögnum bætist við internetið á hverjum degi. Ef þar eru 550 $\times ⁠$ 10¹⁸ bæti í dag verða þau 552,5 $\times ⁠$ 10¹⁸ á morgun og 555 $\times ⁠$ 10¹⁸ eftir tvo daga. Þetta er dæmi um jafnmunarunu. Fastar hækkanir af þessu tagi koma víða fyrir, til dæmis í launahækkunum og sætaskipan.

Jafnmunarunur bornar kennsl á

Talnaruna er listi talna í tiltekinni röð. Hún getur verið stuttur listi, til dæmis einkunnir fyrir verkefni í áfanga, svo sem {10, 10, 8, 9, 10, 6, 10}. Hún getur líka verið lengri, jafnvel óendanleg, eins og listi frumtalna. Dæmi um talnarunu eru ferningstölur fyrstu 12 náttúrlegu talnanna.

{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144}

Hvert gildi í rununni kallast liður. Oft er vísað til liða eftir sæti þeirra í rununni, til dæmis $n$ -ti liðurinn. Í rununni {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144} er fyrsti liðurinn 1, fjórði liðurinn 16 og svo framvegis. Í runu verkefnaeinkunna {10, 10, 8, 9, 10, 6, 10} er fyrsti liðurinn 10 og þriðji liðurinn 8 (mynd 3.47).

Talnaruna. Tölurnar eru 10, 10, 8, 9, 10, 6 og 10. Merking við fyrstu töluna 10 segir „Fyrsti liður, a með lágvísi 1“. Merking við aðra töluna 10 segir „Annar liður, a með lágvísi 2“. Merking við töluna 10 í fimmta sæti segir „Fimmti liður, a með lágvísi 5“. — **Mynd 3.47.** Runa sem sýnir fyrsta, annan og fimmta lið

Í rithætti fyrir runur er bókstafur notaður fyrir gildi liðar og lágvísir fyrir sæti hans í rununni. Í rununni {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144} táknum við gildi í rununni með $a$ og þá er $a_{5}$ liðurinn í fimmta sæti. Gildi hans er 25 og því má skrifa $a_{5} = 25$ .

Í þessum hluta skoðum við jafnmunarunur. Mismunur tveggja samliggjandi liða er alltaf sá sami og er táknaður með $d$ . Næsti liður fæst með því að leggja þennan fasta mismun við liðinn á undan. Hann getur verið jákvæður, neikvæður eða núll; þegar hann er núll eru allir liðirnir jafnir.

Til að sjá fastan mismun skulum við skoða rununa {7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79, 87}. Mynd 3.48 sýnir að hver liður fæst með því að leggja 8 við liðinn á undan. Fasti mismunurinn er því 8.

Talnaruna. Tölurnar eru 7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79 og 87. Bogar merktir „plús 8“ liggja frá hverri tölu að þeirri næstu frá vinstri til hægri. — **Mynd 3.48.** Talnaruna þar sem 8 er lagt við hvern lið

Dæmi 3.132

Jafnmunarunur bornar kennsl á

Ákvarðaðu hvort runurnar hér á eftir séu jafnmunarunur. Rökstyddu svarið.

${4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...}$
${20, 40, 80, 160, 320, 640}$
${7, 1, - 5, - 11, - 17, - 23, - 29, - 34, - 40}$

Lausn

Í rununni ${4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...}$ er hver liður þremur stærri en liðurinn á undan. Þrír punktar sýna að mynstrið heldur áfram, þannig að 3 er áfram lagt við fyrri lið til að fá næsta lið. Þetta er því óendanleg jafnmunaruna.
Í rununni ${20, 40, 80, 160, 320, 640}$ hækka liðirnir um mismunandi gildi. Frá fyrsta lið að öðrum hækkar runan til dæmis um 20 en frá öðrum lið að þriðja hækkar hún um 40. Þetta er því ekki jafnmunaruna.
Í rununni ${7, 1, - 5, - 11, - 17, - 23, - 29, - 34, - 40}$ er mismunur samliggjandi liða fyrst −6 en frá −29 til −34 og frá −34 til −40 er hann −5 og −6. Runan er því ekki jafnmunaruna.

Jafnmunarunur má setja fram með formúlu. Þegar fyrsti liður rununnar, táknaður með $a_{1}$ , og fasti mismunurinn $d$ eru þekktir má finna hvaða annan lið sem er. Formúlan fyrir $i -ta$ lið jafnmunarunu er $a_{i} = a_{1} + d \times (i - 1)$ .

Skoðum formúluna með jafnmunarununni ${4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...}$ . Í þessari runu er $a_{1} = 4$ og $d = 3$ . Taflan hér á eftir sýnir reiknuð gildi.

Tákn $i$ , sæti í runu	Tákn $a_{i}$ , $i$ -ti liður	Gildi liðar	Liður skrifaður sem $a_{1} + 3 \times (i - 1)$
1	$a_{1}$	4	$4 + 3 \times 0$
2	$a_{2}$	7	$4 + 3 \times 1$
3	$a_{3}$	10	$4 + 3 \times 2$
4	$a_{4}$	13	$4 + 3 \times 3$
5	$a_{5}$	16	$4 + 3 \times 4$
$i$	$a_{i}$		$4 + 3 \times (i - 1)$

Hér sést hvernig reikna má $i -ta$ liðinn beint. Formúla rununnar er $a_{1} + 3 \times (i - 1)$ , þar sem fyrsti liðurinn $a_{1}$ er 4 og fasti mismunurinn $d$ er 3. Þá má finna $47 .$ lið rununnar: $a_{47} = 4 + 3 \times (47 - 1) = 4 + 3 \times 46 = 4 + 138 = 142$ .

Dæmi 3.133

Liður jafnmunarunu reiknaður

Finndu $a_{1}$ og $d$ fyrir jafnmunarununa hér á eftir. Notaðu upplýsingarnar til að finna $60 .$ liðinn.

{18, 31, 44, 57, 70, 83, ...}

Lausn

Af rununni sést að $a_{1} = 18$ og $d = 13$ . Við setjum þessi gildi inn í formúluna og notum $i = 60$ .

a_{60} = a_{1} + d \times (i - 1) = 18 + 13 \times (60 - 1) = 18 + 13 \times 59 = 18 + 767 = 785

Ef tveir liðir jafnmunarunu í ólíkum sætum eru þekktir má ákvarða almennt form hennar: $a_{i} = a_{1} + d \times (i - 1)$ .

Dæmi 3.134

Fyrsti liður og fastur mismunur ákvarðaðir út frá tveimur liðum

Vitað er að runa er jafnmunaruna. Tveir liðir hennar eru $a_{7} = 56$ og $a_{19} = 104$ . Notaðu upplýsingarnar til að finna fasta mismuninn, fyrsta liðinn og síðan $50 .$ lið rununnar.

Lausn

Til að finna fasta mismuninn notum við $d = \frac{a_{j} - a_{i}}{j - i}$ . Sæti liðanna koma fram í lágvísum liðanna sem táknaðir eru með $a$ : $i = 7$ og $j = 19$ . Fasta mismuninn má því reikna þannig:

d = \frac{104 - 56}{19 - 7} = \frac{48}{12} = 4

Fasti mismunurinn 4 er síðan notaður til að finna $a_{1}$ .

a_{1} = a_{i} - d (i - 1) = a_{7} - 4 (7 - 1) = 56 - 4 \times 6 = 32

Því er $d = 4$ og $a_{1} = 32$ .

Með þessum upplýsingum má finna $50 .$ liðinn.

a_{50} = a_{1} + d \times (i - 1) = 32 + 4 \times (50 - 1) = 32 + 4 \times 49 = 32 + 196 = 228

Gildi $50 .$ liðarins er $a_{50} = 228$ .

Summa endanlegrar jafnmunarunu fundin

Stundum viljum við finna summu talnanna í endanlegri jafnmunarunu. Formúlan fyrir hana er einföld.

Dæmi 3.135

Summa endanlegrar jafnmunarunu fundin

Hver er summa fyrstu 60 liða jafnmunarunu þar sem $a_{1} = 4,5$ og $d = 2,5$ ?

Lausn

Formúlan notar fyrsta og síðasta lið rununnar. Fyrsti liðurinn er gefinn, $a_{1} = 4,5$ . Við þurfum $60 .$ liðinn. Með formúlunni $a_{i} = a_{1} + d (i - 1)$ finnum við gildi $60 .$ liðarins.

a_{60} = 4,5 + 2,5 (60 - 1) = 4,5 + 2,5 \times 59 = 4,5 + 147,5 = 152

Með formúlunni $s_{n} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2})$ finnum við summu fyrstu 60 liðanna.

s_{60} = 60 (\frac{4,5 + 152}{2}) = 60 \times \frac{156,5}{2} = 4.695

Summa fyrstu 60 liðanna er 4.695.

Jafnmunarunur notaðar í raunhæfum verkefnum

Jafnmunarunur koma við sögu í hvert sinn sem stærð hækkar um fast gildi í hverju skrefi. Hugsum okkur til dæmis að manneskja æfi skák í hverri viku og lengi æfingatímann vikulega. Fyrstu vikuna æfir hún í þrjár klukkustundir og ákveður að æfa hálfri klukkustund lengur í hverri viku. Þar sem æfingatíminn lengist um jafnmikið í hverri viku myndar hann jafnmunarunu.

Dæmi 3.136

Jafnmunaruna notuð

Jordan hefur nýlega horft á The Queen’s Gambit og ákveður að bæta sig í skák. Jordan æfir í þrjár klukkustundir fyrstu vikuna og lengir æfingatímann um 30 mínútur í hverri viku. Hve margar klukkustundir æfir Jordan skák í 20. viku?

Lausn

Æfingatími Jordans myndar jafnmunarunu því hann lengist um fasta stærð í hverri viku. Fyrstu vikuna æfir Jordan í þrjár klukkustundir og því er $a_{1} = 3$ . Jordan lengir vikulegan æfingatíma um 30 mínútur, eða hálfa klukkustund, svo $d = 0,5$ . Við notum þessi gildi og i = 20 í eftirfarandi formúlu til að finna æfingatímann í 20. viku: $a_{i} = a_{1} + d \times (i - 1)$ .

a_{20} = 3 + 0,5 \times (20 - 1) = 3 + 0,5 \times 19 = 3 + 9,5 = 12,5

Jordan æfir því í 12,5 klukkustundir í 20. viku.

Dæmi 3.137

Summa endanlegrar jafnmunarunu fundin

Lítum aftur á Jordan, sem ákvað eftir að hafa horft á The Queen’s Gambit að bæta sig í skák. Jordan æfði í þrjár klukkustundir fyrstu vikuna og lengdi æfingatímann um 30 mínútur í hverri viku. Hve margar klukkustundir hefur Jordan samtals æft eftir 30 vikur?

Lausn

Til að reikna samanlagðan æfingatíma Jordans notum við $s_{n} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2})$ . Formúlan notar fyrsta og síðasta lið rununnar. Jordan æfði í þrjár klukkustundir fyrstu vikuna og því er $a_{1} = 3$ . Þar sem finna á heildartímann eftir 30 vikur þurfum við $30 .$ liðinn. Fasti mismunurinn er $d = 0,5$ og því er $30 .$ liðurinn $a_{30} = 3 + 0,5 (30 - 1) = 3 + 0,5 \times 29 = 3 + 14,5 = 17,5$ .

Með formúlunni $s_{n} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2})$ finnum við summu fyrstu 30 liðanna.

s_{30} = 30 (\frac{3 + 17,5}{2}) = 30 \times \frac{20,5}{2} = 307,5

Jordan hefur því æft í samtals 307,5 klukkustundir eftir 30 vikur.

Athugaðu skilning þinn

Er runan hér á eftir jafnmunaruna? Rökstyddu svarið. {3, 6, 9, 15, 25, 39, 90}

Hver er 7. liður rununnar hér á eftir? {1; 5; 7; 100; 4; -17; 8; 100; 19; 7,6; 345}

Fyrsti liður jafnmunarunu er 10 og fasti mismunurinn er 4,5. Hver er 135. liðurinn?

Ef áttundi liður jafnmunarunu er 35 og 40. liðurinn er 131, hverjir eru fasti mismunurinn og fyrsti liður rununnar?

Hver er summa fyrstu 100 liða jafnmunarunu þar sem fyrsti liðurinn er 4 og fasti mismunurinn 7?

Ný markaðsstofa hóf könnun með 30 manns í úrtakinu og bætir fjórum við á dag. Hve margir verða í úrtakinu eftir 100 daga?

Æfingar úr hluta 3.10

Ákvarðaðu í dæmunum hér á eftir hvort runan sé jafnmunaruna.

\left\{ {3,7,11,15,25,100,...} \right\}

\left\{ {27,24,21,18,15,12,9,...} \right\}

\left\{ {6, - 1, - 8, - 15, - 23, - 31, - 39,...} \right\}

\left\{ { - 5,4,13,22,31,40,49,58,67,...} \right\}

\left\{ {14,19,24,29,34,50,60} \right\}

\left\{ {3.9,2.3,0.7, - 0.9, - 2.5, - 4.1, - 5.7,...} \right\}

\left\{ {4, - 8,12, - 16,20, - 24,28, - 32,...} \right\}

\left\{ {1,2,3,5,8,13,21,34,55,...} \right\}

Runurnar í dæmunum hér á eftir eru jafnmunarunur. Finndu fasta mismuninn í hverri runu og staðfestu að hver liður fáist með því að leggja fasta mismuninn við liðinn á undan.

\left\{ {18,68,118,168,218,268,...} \right\}

10.

\left\{ {13,35,57,79,101,123,145,167,...} \right\}

11.

\left\{ {14,11,8,5,2, - 1, - 4,...} \right\}

12.

\left\{ {4.5,1.9, - 0.7, - 3.3, - 5.9,...} \right\}

13.

\left\{ { - 27, - 13,1,15,29,43,57,71,...} \right\}

14.

\left\{ {3.8,10.6,17.4,24.2,31,37.8,44.6,...} \right\}

Í dæmunum hér á eftir eru fyrsti liður og fasti mismunur jafnmunarunu gefnir. Notaðu upplýsingarnar til að finna tilgreindan lið rununnar.

15.

{a_1} = 12

d = 11

; finndu

{a_{20}}

16.

{b_1} = 5

d = 8

; finndu

{b_{38}}

17.

{c_1} = 48

d = - 7

; finndu

{c_{50}}

18.

{a_1} = 110

d = - 16

; finndu

{a_{27}}

19.

{t_1} = 15.3

d = 4.2

; finndu

{t_{17}}

20.

{b_1} = 23.8

d = 11.7

; finndu

{b_{120}}

21.

{b_1} = 27.45

d = - 3.67

; finndu

{b_{40}}

22.

{a_1} = 67.4

d = - 12.3

; finndu

{a_{200}}

Í dæmunum hér á eftir eru tveir liðir jafnmunarunu gefnir. Notaðu upplýsingarnar til að finna fyrsta liðinn og fasta mismuninn.

23.

{a_5} = 27

{a_{15}} = 77

24.

{b_{10}} = 47

{b_{25}} = 137

25.

{a_9} = 38

{a_{45}} = 189.2

26.

{a_6} = 43

{a_{41}} = - 377

27.

{a_4} = - 12.3

{a_{54}} = - 106.5

28.

{a_{12}} = 45.9

{a_{60}} = - 563.7

Í dæmunum hér á eftir eru fyrsti liður og fasti mismunur jafnmunarunu gefnir. Notaðu upplýsingarnar til að finna tilgreindan lið eða summu fyrstu n liða rununnar, sₙ.

29.

{a_1} = 15

d = 7

; reiknaðu

{s_{10}}

30.

{a_1} = 2

d = 13

; reiknaðu

{s_{20}}

31.

{a_1} = 105

d = 0.3

; reiknaðu

{s_{15}}

32.

{a_1} = 56.2

d = 1.1

; reiknaðu

{a_{35}}

33.

{a_1} = 450

d = - 20

; reiknaðu

{s_{20}}

34.

{a_1} = 1.400

d = - 35

; reiknaðu

{s_{40}}

Beittu þekkingu þinni á jafnmunarunum í raunhæfu verkefnunum hér á eftir.

35.

Safnað er fyrir fjölskyldu sem þarf á aðstoð að halda. Í upphafi eru 135 dalir í söfnuninni og hver þátttakandi leggur 20 dali til hennar. Hve mikið er í söfnuninni þegar 35. þátttakandinn hefur lagt sitt framlag inn?

36.

Á spilunarlista eru 50 lög. Á hverri mínútu bætast þrjú lög við listann. Hve mörg lög eru á honum eftir 40 mínútur?

37.

Í einum efnisflokki Netflix eru 1.000 þættir. Í hverri viku bætast 20 þættir við flokkinn. Hve margir þættir eru þar eftir 15 vikur?

38.

Tíu manns mæta á fyrstu tónleika nýrrar hljómsveitar á staðnum. Síðan berst orðspor hennar út og í hverri viku mæta fjórir fleiri en vikuna á undan. Hve margir mæta á tónleikana eftir 50 vikur?

39.

Teiknimyndasöguverslunin The Jester er að hætta rekstri og tekur ekki inn nýjar vörur. Hún á nú 13.563 titla á lager og selur eða gefur 250 titla á dag. Hve margir titlar eru eftir að 15 dögum liðnum?

40.

Jasmyn ákveður að æfa fyrir maraþon. Fyrstu vikuna hleypur hún 5 mílur og lengir vegalengdina um 2 mílur í hverri viku. Hve margar mílur hleypur Jasmyn í 13. viku æfingaáætlunarinnar?

41.

Í baðkari sem rúmar 42 gallon eru 14 gallon. Skrúfað er frá krananum og 2,2 gallon renna í karið á mínútu en jafnframt leka 1,8 gallon úr því á mínútu. Hve mörg gallon eru í karinu eftir 20 mínútur?

42.

Þjálfaður kafari er á 250 feta dýpi. Hann á nær ekkert loft eftir og þarf að fara upp á yfirborðið en getur aðeins farið upp um 30 fet á mínútu með góðu móti. Á hve miklu dýpi er kafarinn eftir að hafa farið upp í fimm mínútur?

43.

Fjárfestirinn Jaclyn stofnar sprotafyrirtæki til að gera upp hús í South Bend í Indiana. Hún leggur sjálf fram 10.000 dali sem fyrsti fjárfestirinn. Hver nýr fjárfestir leggur fram 500 dölum meira en sá á undan. Hve mikið leggur 50. fjárfestirinn í verkefnið? Hve mikið hefur þá verið lagt í verkefnið samtals?

44.

Jasmyn ákveður að æfa fyrir maraþon. Fyrstu vikuna hleypur hún 5 mílur og lengir vegalengdina um 2 mílur í hverri viku. Hve margar mílur hefur Jasmyn hlaupið samtals eftir 14 vikna æfingar?

45.

Neðsta lag pýramídalaga byggingar hefur 144 kubba. Í hverju lagi fyrir ofan eru fimm kubbum færri en í laginu á undan. Hve margir kubbar eru samtals í byggingunni ef lögin eru 25?

46.

Vinur þinn býðst til að gefa þér 10 dali fyrsta daginn, 20 dali annan daginn og 30 dali þriðja daginn og heldur sama mynstri áfram alla 30 daga mánaðarins. Hve mikið hefur vinurinn gefið þér samtals í lok mánaðarins?