33 Rauntalnakerfi og talnafræði

3.9 Staðalform

Jafnan sýnir 5 mól af C, deilt með 1, margfaldað með 6,02 sinnum 10 í 23. veldi atómum af C á hvert mól af C. Niðurstaðan er 3,01 sinnum 10 í 24. veldi atóm af C. — **Mynd 3.45.** Útreikningar í raunvísindum fela oft í sér tölur á staðalformi.

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Skrifað tölur með venjulegum rithætti eða á staðalformi.
Breytt tölum milli venjulegs ritháttar og staðalforms.
Lagt saman og dregið frá tölur á staðalformi.
Margfaldað og deilt tölum á staðalformi.
Notað staðalform í raunhæfum útreikningum.

Gagnamagnið á internetinu er nánast óskiljanlega mikið. Ein áætlun gerði ráð fyrir að árið 2025 yrðu þar 175 zettabæti. Eitt zettabæti er 10²¹ bæti, eða 1.000.000.000.000.000.000.000 bæti. Önnur áætlun gerir ráð fyrir að við framleiðum $2,5 \times 10^{18}$ bæti af gögnum á dag. Til að ákvarða hve marga daga tekur að auka gagnamagnið á internetinu um eitt zettabæti deilum við 1.000.000.000.000.000.000.000 með 2.500.000.000.000.000.000. Niðurstaðan er 400 dagar. Slíkur útreikningur er þó óþjáll á reiknivél. Það er seinlegt að halda utan um núllin og auðvelt að gera mistök.

Á hinum enda kvarðans er þvermál rauðs blóðkorns úr manni 7,8 míkrómetrar. Einn míkrómetri er milljónasti hluti metra og 7,8 míkrómetrar eru því 0,0000078 metrar. Enn minna er þvermál veiru, um 100 nanómetrar, en nanómetri er milljarðasti hluti metra. Hundrað nanómetrar eru 0,0000001 metri. Til samanburðar getur einn smári í tölvukubbi verið 14 nanómetrar, eða 0,000000014 metrar. Þvermál atóms er enn minna, á bilinu 0,1 til 0,5 nanómetrar.

Stundum eru tölur svo gríðarlega stórar að þær hafa óhemjumarga tölustafi og stundum svo smáar að þær hafa marga aukastafi. Venjulegur ritháttur og heiti þessara stærða gera samanburð og útreikninga óþjála. Þá kemur staðalform að gagni.

Tölur skrifaðar með venjulegum rithætti eða á staðalformi

Þegar tala er á staðalformi tilgreinum við ákveðinn rithátt. Hann hefst á tölu sem hefur algildi að minnsta kosti 1 en minna en 10. Á eftir fyrsta tölustafnum getur komið tugabrotskomma og fleiri tölustafir. Þessi tala er síðan margfölduð með 10 í heiltöluveldi. Hafi talan aðeins einn tölustaf annan en núll er staðalformið sá tölustafur margfaldaður með 10 í veldi. Hafi talan fleiri en einn tölustaf annan en núll er tugabrotskomma sett á eftir fyrsta tölustafnum, hinir tölustafirnir fylgja á eftir og síðan er margfaldað með veldi af 10.

Tölurnar hér á eftir eru á staðalformi:

$1,45 \times 10^{3}$

$- 8,345 \times 10^{- 4}$

$3 \times 10^{2}$

$3,14159 \times 10^{0}$

Tölurnar hér á eftir eru ekki á staðalformi:

$1,45$ , því talan er ekki margfölduð með 10 í veldi.

$- 50,053 \times 10^{7}$ , því algildi −50,053 er ekki að minnsta kosti 1 og minna en 10.

$41,7 \times 10^{9}$ , því 41,7 er ekki að minnsta kosti 1 og minna en 10.

$0,036 \times 10^{- 3}$ , því 0,036 er ekki að minnsta kosti 1 og minna en 10.

Dæmi 3.117

Greining talna á staðalformi

Hverjar talnanna hér á eftir eru á staðalformi? Ef tala er ekki á staðalformi skaltu útskýra hvers vegna.

$- 9,67 \times 10^{20}$
$145 \times 10^{- 8}$
$1,45$

Lausn

Talan $- 9,67 \times 10^{20}$ er á staðalformi því algildi −9,67 er að minnsta kosti 1 og minna en 10.
Talan $145 \times 10^{- 8}$ er ekki á staðalformi því 145 er ekki að minnsta kosti 1 og minna en 10.
Talan $1,45$ er ekki á staðalformi. Þótt hún sé að minnsta kosti 1 og minni en 10 er hún ekki margfölduð með 10 í veldi.

Sumar tölur eru svo stórar eða smáar að óhentugt er að skrifa þær með öllum tölustöfum. Tala Avogadros er mikilvæg í efnafræði og táknar fjölda einda í einu móli efnis. Eindirnar geta verið rafeindir, atóm, sameindir eða annað. Fullskrifuð er talan 602.214.076.000.000.000.000.000. Annað dæmi er bylgjulengd ljóss. Bylgjulengd blás ljóss er um 0,000000450 til 0,000000495 metrar. Slíkar tölur eru óþjálar og því er staðalform oft notað. Við þurfum bæði að geta breytt tölum yfir á staðalform og af staðalformi yfir í venjulegan rithátt.

Munum að þegar tala er margfölduð með 10 bætist núll aftan við heiltölu eða tugabrotskomman færist um eitt sæti til hægri, eins og í $43 \times 10 = 430$ og $3,89 \times 10 = 38,9$ . Við margföldun með 100 bætast tvö núll aftan við heiltölu eða tugabrotskomman færist um tvö sæti til hægri, og svo framvegis. Til dæmis er $38 \times 100.000 = 3.800.000$ og $32,998 \times 10.000 = 329.980$ . Þegar tala er margfölduð með 1 og tilteknum fjölda núlla bætast jafnmörg núll aftan við heiltölu eða tugabrotskomman færist jafnmörg sæti til hægri. Tölur sem eru 1 ásamt núllum eru veldi af 10: $10^{1} = 10$ , $10^{2} = 100$ , $10^{3} = 1.000$ og svo framvegis. Almennt er $10^{n} = 1 \underset{n}{\underset{︸}{0...0}}$ .

Þetta má nota til að skrifa mjög stórar tölur. Tala Avogadros er til dæmis 602.214.076.000.000.000.000.000 og hana má skrifa sem $6,02214076 \times 10^{23}$ . Margföldunin færir tugabrotskommuna um 23 sæti til hægri.

Á sama hátt færist tugabrotskomman um eitt sæti til vinstri þegar deilt er með 10, eins og $\frac{46,7}{10} = 4,67$ . Þegar deilt er með 100 færist hún um tvö sæti til vinstri, eins og $\frac{3,456}{100} = 0,03456$ . Almennt færist tugabrotskomman um $n$ sæti til vinstri þegar deilt er með 1 og $n$ núllum, eins og $\frac{8.244,902}{1.000.000} = 0,008244902$ . Nefnarann má skrifa sem $10^{6}$ . Með neikvæðum veldisvísum má endurrita stæðuna sem $\frac{8.244,902}{1.000.000} = \frac{8.244,902}{10^{6}} = 8.244,902 \times 10^{- 6}$ . Því má skrifa deilingu með 1 og $n$ núllum sem margföldun með 10 í veldinu $‒ n$

Með þessum upplýsingum getum við sýnt hvernig tölu með venjulegum rithætti er breytt yfir á staðalform.

Tilvik 1: Algildi tölunnar er að minnsta kosti 1 en minna en 10.

Í þessu tilviki er staðalform tölunnar $tala \times 10^{0}$ .

Tilvik 2: Algildi tölunnar er meira en 0 en minna en 1.

Fylgdu skrefunum hér á eftir.

Skref 1: Teldu núllin milli tugabrotskommu og fyrsta tölustafsins sem er ekki núll. Kallaðu fjöldann $n$ .
Skref 2: Skrifaðu tölustafina frá og með fyrsta tölustafnum sem er ekki núll. Ef talan var neikvæð skaltu hafa mínusmerkið með.
Skref 3: Ef tölustafirnir eru fleiri en einn skaltu setja tugabrotskommu á eftir fyrsta tölustafnum úr skrefi 2.
Skref 4: Margfaldaðu töluna úr skrefi 3 með $10^{- (n + 1)}$ .

Tilvik 3: Algildi tölunnar er 10 eða meira.

Fylgdu skrefunum hér á eftir.

Skref 1: Teldu tölustafina vinstra megin við tugabrotskommuna. Kallaðu fjöldann $n$ .
Skref 2: Skrifaðu tölustafi tölunnar án tugabrotskommu, ef hún er til staðar. Ef talan er neikvæð skaltu hafa mínusmerkið með.
Skref 3: Ef tölustafirnir eru fleiri en einn skaltu setja tugabrotskommu á eftir fyrsta tölustafnum.
Skref 4: Margfaldaðu töluna úr skrefi 3 með $10^{n - 1}$ .

Dæmi 3.118

Tala færð á staðalform

Skrifaðu tölurnar hér á eftir á staðalformi:

428,9
−0,00000981
8

Lausn

Þar sem algildi 428,9 er 10 eða meira notum við ferlið úr tilviki 3.
1. Þrír tölustafir eru vinstra megin við tugabrotskommuna, svo $n = 3$ .
2. Skrifum tölustafina án tugabrotskommunnar og fáum 4289.
3. Tölustafirnir eru fleiri en einn og því setjum við tugabrotskommu á eftir fyrsta tölustafnum. Þá fæst $4,289$ .
4. Þar sem $n = 3$ margföldum við 4,289 með 10 í öðru veldi, $4,289 \times 10^{2}$ .
Staðalform 428,9 er $4,289 \times 10^{2}$ .
Þar sem algildi −0,00000981 er minna en 1 notum við ferlið úr tilviki 2.
1. Fimm núll eru milli tugabrotskommu og fyrsta tölustafsins sem er ekki núll, svo $n = 5$ .
2. Skrifum tölustafina frá fyrsta tölustafnum sem er ekki núll ásamt mínusmerkinu og fáum −981.
3. Setjum tugabrotskommuna hægra megin við fyrsta tölustafinn og fáum −9,81.
4. Þar sem $n = 5$ margföldum við −9,81 með 10 í mínus sjötta veldi, $- 9,81 \times 10^{- 6}$ .
Staðalform −0,00000981 er − $9,81 \times 10^{- 6}$ .
Þar sem 8 er eins stafs heiltala beitum við tilviki 1. Staðalform tölunnar er $8 \times 10^{0}$ .

Þegar tala er rituð sem margfeldi tölu og tugveldis má færa tugabrotskommuna og breyta veldisvísi 10 til samræmis. Skoðum $145,8141 \times 10^{8}$ . Ef tugabrotskomman er færð um eitt sæti til vinstri þarf að hækka veldisvísi 10 um einn: $145,8141 \times 10^{8} = 14,58141 \times 10^{9}$ . Færslan til vinstri er jöfnuð með hækkun veldisvísisins um einn. Ef tugabrotskomman er færð um eitt sæti til hægri þarf að lækka veldisvísinn um einn: $145,8141 \times 10^{8} = 1458,141 \times 10^{7}$ . Almennt gildir um tölu á forminu $tala \times 10^{n}$ :

Ef tugabrotskomman er færð um $k$ sæti til vinstri hækkar veldisvísirinn um $k$ .
Ef tugabrotskomman er færð um $k$ sæti til hægri lækkar veldisvísirinn um $k$ .

Dæmi 3.119

Veldisvísir hækkaður

Breyttu $456,142 \times 10^{5}$ með því að færa tugabrotskommuna um tvö sæti til vinstri.

Lausn

Þar sem tugabrotskomman er færð um tvö sæti til vinstri hækkum við veldisvísi 10 um 2, svo hann verður 7. Þá fæst $456,142 \times 10^{5} = 4,56142 \times 10^{7}$ .

Dæmi 3.120

Veldisvísir lækkaður

Breyttu $12,3 \times 10^{2}$ með því að færa tugabrotskommuna um fimm sæti til hægri.

Lausn

Þar sem tugabrotskomman er færð um fimm sæti til hægri lækkum við veldisvísi 10 um 5, svo hann verður −3. Þá fæst $12,3 \times 10^{2} = 1230000,0 \times 10^{- 3}$ .

Tölur færðar af staðalformi yfir í venjulegan rithátt

Í hlutanum á undan skoðuðum við hvernig tölu með venjulegum rithætti er breytt yfir á staðalform. Nú skoðum við hvernig tölu á staðalformi er breytt aftur yfir í venjulegan rithátt. Tugabrotskomman er færð um jafnmörg sæti og algildi veldisvísis 10 segir til um. Þegar veldisvísirinn er neikvæður færist komman til vinstri en þegar hann er jákvæður færist hún til hægri.

Dæmi 3.121

Tala færð af staðalformi yfir í venjulegan rithátt

Breyttu tölunum hér á eftir yfir í venjulegan rithátt:

$2,78 \times 10^{9}$
$9,04 \times 10^{- 8}$

Lausn

Þar sem veldisvísirinn er jákvæður færist tugabrotskomman um níu sæti til hægri, svo $2,78 \times 10^{9}$ er $2.780.000.000$ .
Þar sem veldisvísirinn er neikvæður færist tugabrotskomman um átta sæti til vinstri, svo $9,04 \times 10^{- 8}$ er $0,0000000904$ .

Tölur á staðalformi lagðar saman og dregnar frá

Til að leggja saman eða draga frá tölur á staðalformi þurfa veldisvísar tugveldanna fyrst að vera eins. Samlagninguna hér á eftir má framkvæma vegna þess að tugveldin eru eins: $4,5 \times 10^{4} + 3,15 \times 10^{4} = 7,65 \times 10^{4}$

Athugaðu að töluhlutarnir voru lagðir saman en veldisvísirinn hélst óbreyttur. Þetta leiðir af dreifireglu rauntalna. Talan $10^{4}$ er tekin út fyrir sviga: $4,5 \times 10^{4} + 3,15 \times 10^{4} = (4,5 + 3,15) \times 10^{4} = 7,65 \times 10^{4}$

Tölur á staðalformi má leggja saman eða draga frá beint með reiknivél. Sláðu gildin inn á staðalformi og stilltu reiknivélina þannig að hún sýni staðalform.

Dæmi 3.122

Tölur á staðalformi með sama tugveldi lagðar saman og dregnar frá

Reiknaðu dæmin hér á eftir:

$3,8 \times 10^{- 3} + 1,006 \times 10^{- 3}$
$9,61 \times 10^{8} - 3,85 \times 10^{8}$

Lausn

Þar sem tugveldin eru eins notum við dreifireglu rauntalna til að taka 10⁻³ út fyrir sviga. Síðan leggjum við töluhlutana saman og fáum 4,806: $3,8 \times 10^{- 3} + 1,006 \times 10^{- 3} = (3,8 + 1,006) \times 10^{- 3} = 4,806 \times 10^{- 3}$
Þar sem tugveldin eru eins notum við dreifireglu rauntalna til að taka 10⁸ út fyrir sviga. Síðan drögum við töluhlutana hvorn frá öðrum og fáum 5,76:
$9,61 \times 10^{8} - 3,85 \times 10^{8} = (9,61 - 3,85) \times 10^{8} = 5,76 \times 10^{8}$

Einfalt er að leggja saman og draga frá á staðalformi þegar veldisvísarnir eru eins. Tvö atriði geta þó komið upp. Hið fyrra er að niðurstaðan eftir samlagningu eða frádrátt er ekki á staðalformi.

Dæmi 3.123

Svar fært á staðalform eftir samlagningu eða frádrátt

Reiknaðu dæmin hér á eftir:

$7,03 \times 10^{13} + 8,5 \times 10^{13}$
$4,3 \times 10^{21} - 4,613 \times 10^{21}$

Lausn

Þar sem tugveldin eru eins leggjum við töluhlutana saman og margföldum með $10^{13}$ : $7,03 \times 10^{13} + 8,5 \times 10^{13} = (7,03 + 8,5) \times 10^{13} = 15,53 \times 10^{13}$ .
Talan $15,53 \times 10^{13}$ er þó ekki á staðalformi því algildi 15,53 er ekki minna en 10. Til að færa töluna á staðalform þarf að færa tugabrotskommuna um eitt sæti til vinstri. Á móti hækkum við veldisvísi 10 um 1. Svarið á staðalformi er því $1,553 \times 10^{14}$ .
Þar sem tugveldin eru eins drögum við töluhlutana hvorn frá öðrum: $4,3 \times 10^{21} - 4,613 \times 10^{21} = (4,3 - 4,613) \times 10^{21} = - 0,313 \times 10^{21}$ .
Talan $- 0,313 \times 10^{21}$ er þó ekki á staðalformi því algildi töluhlutans er minna en 1. Til að færa hana á staðalform þarf að færa tugabrotskommuna um eitt sæti til hægri. Á móti lækkum við veldisvísi 10 um 1. Svarið á staðalformi er því $- 3,13 \times 10^{20}$ .

Hitt atriðið sem getur komið upp við samlagningu eða frádrátt er að tugveldin eru ekki eins. Þá þarf að breyta annarri tölunni svo tugveldin verði eins. Auðveldast er að hækka lægri veldisvísinn þar til hann jafnast á við þann hærri.

Til að reikna $4,5 \times 10^{5} + 3,9 \times 10^{3}$ breytum við $3,9 \times 10^{3}$ þannig að veldisvísir 10 verði 5. Til þess hækkum við veldisvísinn um tvo og færum tugabrotskommuna í töluhlutanum um tvö sæti til vinstri. Þá verður $3,9 \times 10^{3}$ að $0,039 \times 10^{5}$ . Við notum $0,039 \times 10^{5}$ í samlagningunni svo veldisvísarnir verði eins: $4,5 \times 10^{5} + 3,9 \times 10^{3} = 4,5 \times 10^{5} + 0,039 \times 10^{5} = (4,5 + 0,039) \times 10^{5} = 4,539 \times 10^{5}$

Þegar veldisvísar tugveldanna eru ólíkir er farið eftir þessum skrefum:

Skref 1: Hækkaðu lægri veldisvísinn þar til hann jafnast á við þann hærri. Kallaðu hækkunina $n$ .

Skref 2: Færðu tugabrotskommuna í töluhluta tölunnar með lægra tugveldið um $n$ sæti til vinstri.

Skref 3: Framkvæmdu samlagninguna eða frádráttinn.

Skref 4: Ef niðurstaðan er ekki á staðalformi skaltu færa hana á staðalform. Ef niðurstaðan er 0 er hún einfaldlega skrifuð 0.

Dæmi 3.124

Tölur á staðalformi með ólík tugveldi lagðar saman

Reiknaðu dæmin hér á eftir:

$6,1 \times 10^{4} + 4,8 \times 10^{5}$

Lausn

Skref 1: Lægri veldisvísirinn er 4. Til að jafna hann við þann hærri hækkum við hann um 1.

Skref 2: Þar sem lægri veldisvísirinn var hækkaður um 1 færum við tugabrotskommuna um eitt sæti til vinstri. Samlagningin verður $6,1 \times 10^{4} + 4,8 \times 10^{5} = 0,61 \times 10^{5} + 4,8 \times 10^{5}$ .

Skref 3: Leggjum nú tölurnar saman: $0,61 \times 10^{5} + 4,8 \times 10^{5} = 5,41 \times 10^{5}$

Skref 4: Niðurstaðan er á staðalformi og því þarf ekki að breyta henni frekar.

$6,1 \times 10^{4} + 4,8 \times 10^{5} = 5,41 \times 10^{5}$

Dæmi 3.125

Tölur á staðalformi með ólík tugveldi dregnar frá

Reiknaðu dæmið hér á eftir:
$7,9 \times 10^{- 15} - 6,8 \times 10^{- 13}$

Lausn

Skref 1: Lægri veldisvísirinn er −15 og sá hærri −13. Til að jafna −15 við þann hærri hækkum við hann um 2.

Skref 2: Þar sem lægri veldisvísirinn var hækkaður um 2 færum við tugabrotskommuna um tvö sæti til vinstri. Frádrátturinn verður $7,9 \times 10^{- 15} - 6,8 \times 10^{- 13} = 0,079 \times 10^{- 13} - 6,8 \times 10^{- 13}$ .

Skref 3: Drögum tölurnar frá: $0,079 \times 10^{- 13} - 6,8 \times 10^{- 13} = - 6,721 \times 10^{- 13}$ .

Skref 4: Niðurstaðan er á staðalformi og því þarf ekki að breyta henni frekar:
$7,9 \times 10^{- 15} - 6,8 \times 10^{- 13} = - 6,721 \times 10^{- 13}$

Tölur á staðalformi margfaldaðar og þeim deilt

Nokkuð auðveldara er að margfalda og deila tölum á staðalformi en að leggja þær saman eða draga frá, því veldisvísar tugveldanna þurfa ekki að vera eins. Líklegra er þó að niðurstaðan verði ekki á staðalformi og þá þarf að laga hana í lokin. Almennt margföldum við eða deilum töluhlutum gildanna og beitum síðan veldareglum á tugveldin.

Til að margfalda tvær tölur á staðalformi:

Skref 1: Margfaldaðu töluhlutana.

Skref 2: Leggðu saman veldisvísa tugveldanna.

Skref 3: Margfaldaðu niðurstöðuna úr skrefi 1 með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.

Skref 4: Ef talan er ekki á staðalformi skaltu laga hana.

Dæmi 3.126

Tölur á staðalformi margfaldaðar

Reiknaðu dæmin hér á eftir:

$(4,3 \times 10^{3}) \times (1,8 \times 10^{7})$
$(5 \times 10^{- 13}) \times (7,3 \times 10^{6})$

Lausn

1. Margföldum töluhlutana og fáum $4,3 \times 1,8 = 7,74$ .
2. Leggjum saman veldisvísa tugveldanna og fáum $3 + 7 = 10$ .
3. Niðurstaðan er því $7,74 \times 10^{10}$ .
4. Talan er þegar á staðalformi og þarf ekki að breyta henni frekar: $(4,3 \times 10^{3}) \times (1,8 \times 10^{7}) = 7,74 \times 10^{10}$ .
1. Margföldum töluhlutana og fáum $5 \times 7,3 = 36,5$ .
2. Leggjum saman veldisvísa tugveldanna og fáum $- 13 + 6 = - 7$ .
3. Niðurstaðan er því $36,5 \times 10^{- 7}$ .
4. Talan $36,5 \times 10^{- 7}$ er ekki á staðalformi. Færum tugabrotskommuna um eitt sæti til vinstri og hækkum veldisvísinn um 1. Þá fæst $3,65 \times 10^{- 6}$ .
Því er $(5 \times 10^{- 13}) \times (7,3 \times 10^{6}) = 3,65 \times 10^{- 6}$ .

Tölum á staðalformi deilt

Til að deila tveimur tölum á staðalformi:

Skref 1: Deildu töluhlutunum.

Skref 2: Dragðu veldisvísi nefnarans frá veldisvísi teljarans.

Skref 3: Margfaldaðu niðurstöðuna úr skrefi 1 með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.

Skref 4: Ef talan er ekki á staðalformi skaltu laga hana.

Dæmi 3.127

Tölum á staðalformi deilt

Reiknaðu dæmin hér á eftir:

$(8,4 \times 10^{31}) / (2,1 \times 10^{7})$
$(4,14 \times 10^{- 13}) / (8,28 \times 10^{9})$

Lausn

$(8,4 \times 10^{31}) / (2,1 \times 10^{7})$
1. Deilum töluhlutunum og fáum $8,4 \div 2,1 = 4$ .
2. Drögum veldisvísi nefnarans frá veldisvísi teljarans: $31 - 7 = 24$ .
3. Niðurstaðan er því $4 \times 10^{24}$ .
4. Talan er þegar á staðalformi og þarf ekki að laga hana: $(8,4 \times 10^{31}) / (2,1 \times 10^{7}) = 4 \times 10^{24}$ .
$(4,14 \times 10^{- 13}) / (8,28 \times 10^{9})$
1. Deilum töluhlutunum og fáum $4,14 \div 8,28 = 0,5$ .
2. Drögum veldisvísi nefnarans frá veldisvísi teljarans og fáum $- 13 - 9 = - 22$ .
3. Niðurstaðan er því $0,5 \times 10^{- 22}$ .
4. Talan $0,5 \times 10^{- 22}$ er ekki á staðalformi. Færum tugabrotskommuna um eitt sæti til hægri og lækkum veldisvísinn um 1. Þá fæst $5 \times 10^{- 23}$ . Því er $(4,14 \times 10^{- 13}) / (8,28 \times 10^{9}) = 5 \times 10^{- 23}$ .

Staðalform notað við raunhæfa útreikninga

Eins og fram kom í upphafi hlutans er staðalform gagnlegt þegar venjulegur ritháttur tölu er óþjáll eða óhentugur, sem gerist þegar tölur eru mjög stórar eða smáar. Venus er til dæmis 67.667.000 mílur frá sólinni. Á staðalformi er það $6,7667 \times 10^{7}$ . Fjarlægðir milli reikistjarna og vetrarbrauta eru dæmi um stærðir sem auðveldara er að tjá á staðalformi.

Dæmi 3.128

Fjarlægðir reiknaðar

Hve miklu lengra frá sólinni er jörðin en Venus ef Venus er $6,7667 \times 10^{7}$ mílur frá sólinni en jörðin $9,1692 \times 10^{7}$ mílur frá henni?

Lausn

Til að finna hve miklu lengra frá sólinni jörðin er en Venus drögum við fjarlægð Venusar frá fjarlægð jarðar:
$9,1692 \times 10^{7} - 6,7667 \times 10^{7} = 2,4025 \times 10^{7}$ .

Jörðin er því $2,4025 \times 10^{7}$ mílum lengra frá sólinni en Venus.

Dæmi 3.129

Líkur reiknaðar

Líkurnar á að vinna Mega Millions-lottóið eru gefnar upp sem $3,304693 \times 10^{- 9}$ . Líkurnar á að verða fyrir eldingu eru áætlaðar $2 \times 10^{- 6}$ . Hve mörgum sinnum líklegra er að verða fyrir eldingu en að vinna Mega Millions?

Lausn

Til að finna hve mörgum sinnum líklegra er að verða fyrir eldingu deilum við líkunum á að verða fyrir eldingu með líkunum á að vinna Mega Millions.

(2 \times 10^{- 6}) / (3,304693 \times 10^{- 9}) \approx 0,6052 \times 10^{3}

Skref 1: Deilum töluhlutunum og fáum $0,6052$ , námundað að fjórum aukastöfum.

Skref 2: Drögum veldisvísi nefnarans frá veldisvísi teljarans og fáum $- 6 - (- 9) = 3$ .

Skref 3: Niðurstaðan er því $0,6052 \times 10^{3}$ .

Skref 4: Talan $0,6052 \times 10^{3}$ er ekki á staðalformi og því þarf að laga hana. Færum tugabrotskommuna um eitt sæti til hægri og lækkum veldisvísinn um 1. Þá fæst $6,052 \times 10^{2}$ .

Það er um $6,052 \times 10^{2}$ , eða 605,2, sinnum líklegra að verða fyrir eldingu en að vinna Mega Millions.

Dæmi 3.130

Tími og lengd reiknuð

Stundum er skemmtilegt að reikna hve langan tíma eitthvað tekur. Neglur vaxa um $8,032 \times 10^{- 11}$ km á mínútu. Hve mikið lengjast neglurnar, mælt í kílómetrum, á $6 \times 10^{4}$ mínútur?

Lausn

Til að finna lengingu naglanna á tilteknum tíma margföldum við vaxtarhraðann með tímanum: $(8,032 \times 10^{- 11}) \times (6 \times 10^{4}) = 48,192 \times 10^{- 7} = 4,8192 \times 10^{- 6}$

Eftir $6 \times 10^{4}$ mínútur hafa neglurnar því lengst um $4,8192 \times 10^{- 6}$ km. Til samanburðar er $1 \times 10^{- 6}$ km einn millimetri og $6 \times 10^{4}$ mínútur eru um 41,67 dagar. Eftir um 41,67 daga hafa neglurnar því vaxið um 4,8 millimetra.

Dæmi 3.131

Gagnamagn reiknað

Gerum ráð fyrir að framleidd séu $2,5 \times 10^{18}$ bæti af gögnum á dag og að íbúar jarðar séu 7,674 milljarðar. Breyttu báðum tölunum yfir á staðalform og ákvarðaðu síðan hve mikið af gögnum er framleitt á mann á dag.

Lausn

Gagnamagnið á dag er $2,5 \times 10^{18}$ bæti á staðalformi. Talan 7,674 milljarðar er $7,674 \times 10^{9}$ á staðalformi, því einn milljarður er 1.000.000.000 = $10^{9}$ . Til að finna gagnamagnið sem framleitt er á mann á dag deilum við tölunum: $\frac{2,5 \times 10^{18}}{7,674 \times 10^{9}} \approx 0,326 \times 10^{9} = 3,26 \times 10^{8}$

Með venjulegum rithætti eru það um 326.000.000 bæti á mann, svo um 326 milljónir bæta af gögnum eru framleiddar á mann á dag.

Hvaða tölur mætti telja „of stórar“ eða „of smáar“?

Dæmi úr eðlisfræði sýna hversu stórar og smáar tölur við getum þurft að nota. Fjöldi agna í þekktum alheimi hefur verið áætlaður $4 \times 10^{80}$ . Til dæmis má skoða fjarlægðina $1 \times 10^{- 18} m$ en Planck-lengdin er af stærðargráðunni $1 \times 10^{- 35} m$ . Við svo smáan lengdarkvarða er búist við að bæði skammtafræði og almenn afstæðiskenning skipti máli. Þvermál hins sýnilega alheims er um $8,7 \times 10^{26} m$ . Þessar stærðir sýna víðfeðman kvarða eðlisfræðinnar en setja stærðfræði eða útreikningum engin slík mörk.

Athugaðu skilning þinn

Skrifaðu 0,00456 á staðalformi.

Skrifaðu

5,67 \times {10^8}

með venjulegum rithætti.

Reiknaðu

4,5 \times {10^3} + 9,8 \times {10^2}

Reiknaðu

2,5 \times {10^5} - 9,8 \times {10^6}

Reiknaðu

(7,4 \times {10^4}) \times (4,8 \times {10^3})

Reiknaðu

\frac{{4,6 \times {{10}^{ - 4}}}}{{8 \times {{10}^{ - 8}}}}

Fjarlægðin frá jörðinni til tunglsins er

1,514 \times {10^{10}}

tommur. Þykkt bandarísks peningaseðils er

4,3 \times {10^{ - 3}}

tommur. Hve mörgum seðlum þarf að stafla svo staflinn nái til tunglsins?

Æfingar úr hluta 3.9

Í æfingunum hér á eftir skaltu færa tölurnar yfir á staðalform.

0,0134

0,0000761

3.400

8.980.000

Í æfingunum hér á eftir skaltu færa tölurnar yfir í venjulegan rithátt.

9,01 \times {10^5}

3,78 \times {10^7}

4,32 \times {10^{ - 3}}

5,781 \times {10^{ - 5}}

Tölurnar í æfingunum hér á eftir eru ekki á staðalformi. Færðu þær á staðalform.

37,65 \times {10^4}

10.

0,0034 \times {10^6}

11.

0,0834 \times {10^{ - 7}}

12.

14,56 \times {10^{ - 3}}

Í æfingunum hér á eftir skaltu framkvæma umbeðnar breytingar.

13.

Fjarlægðin frá sólinni til Pólstjörnunnar er um 3.056.000.000.000.000 km. Skrifaðu fjarlægðina á staðalformi.

14.

Fjarlægðin frá okkur til næstu vetrarbrautar er um 662.000.000.000.000.000 km. Skrifaðu fjarlægðina á staðalformi.

15.

Massi sandkorns er um

6,66 \times {10^{ - 4}}

g. Breyttu massanum yfir í venjulegan rithátt.

16.

Þvermál frumu er um

2 \times {10^{ - 6}}

m. Breyttu þvermálinu yfir í venjulegan rithátt.

17.

Ummál jarðar við miðbaug er um

4,007 \times {10^4}

km. Breyttu ummálinu yfir í venjulegan rithátt.

18.

Loftlínufjarlægðin frá Buffalo í New York til Buenos Aires í Argentínu er um

8,86 \times {10^6}

m. Breyttu fjarlægðinni yfir í venjulegan rithátt.

19.

Massi róteindar er um

1,67 \times {10^{ - 27}}

kg. Breyttu massanum yfir í venjulegan rithátt.

20.

Þvermál húsflugueggs er um

1,2 \times {10^{ - 3}}

m. Breyttu þvermálinu yfir í venjulegan rithátt.

21.

Hæsta bygging heims, Burj Khalifa í Dúbaí, er 829,8 m há. Breyttu hæðinni yfir á staðalform.

22.

Aldur íslenskrar kúfskeljar var metinn 507 ár út frá vaxtarhringjum skeljarinnar. Skrifaðu aldurinn á staðalformi.

Reiknaðu dæmin hér á eftir:

23.

1,3 \times {10^2} + 3,8 \times {10^2}

24.

7,8 \times {10^{12}} + 1,1 \times {10^{12}}

25.

3,36 \times {10^4} + 2,71 \times {10^4}

26.

4,58 \times {10^9} + 1,93 \times {10^9}

27.

8,1 \times {10^{ - 17}} + 1,6 \times {10^{ - 17}}

28.

4,506 \times {10^{ - 3}} + 3,908 \times {10^{ - 3}}

29.

8,602 \times {10^{ - 25}} + 1,096 \times {10^{ - 25}}

30.

2,0557 \times {10^{ - 6}} + 1,001 \times {10^{ - 6}}

31.

5,2 \times {10^4} - 4,1 \times {10^4}

32.

9,48 \times {10^{15}} - 6,78 \times {10^{15}}

33.

7,81 \times {10^{ - 7}} - 4,62 \times {10^{ - 7}}

34.

4,53 \times {10^{ - 3}} - 2,79 \times {10^{ - 3}}

35.

4,6 \times {10^{ - 5}} + 9,1 \times {10^{ - 5}}

36.

6,7 \times {10^8} + 5,7 \times {10^8}

37.

4,13 \times {10^{ - 4}} + 7,93 \times {10^{ - 4}}

38.

5,671 \times {10^{ - 8}} + 9,073 \times {10^{ - 8}}

39.

4,513 \times {10^6} + 7,856 \times {10^4}

40.

7,135 \times {10^8} + 5,143 \times {10^6}

41.

3,17 \times {10^{ - 3}} + 5,92 \times {10^{ - 5}}

42.

4,503 \times {10^{ - 6}} + 3,119 \times {10^{ - 4}}

43.

(4,5 \times {10^4}) \times (1,2 \times {10^6})

44.

(3,45 \times {10^7}) \times (2,81 \times {10^{ - 3}})

45.

(3,1 \times {10^8}) \times (2,7 \times {10^{ - 5}})

46.

(6,32 \times {10^{ - 4}}) \times (1,31 \times {10^{ - 5}})

47.

(3,91 \times {10^6}) \times (8,13 \times {10^2})

48.

(7,12 \times {10^{ - 11}}) \times (6,61 \times {10^{ - 5}})

49.

(3,45 \times {10^4}) \div (1,5 \times {10^6})

50.

(1,4 \times {10^3}) \div (5,6 \times {10^{ - 5}})

Beittu skilningi þínum á staðalformi í raunhæfu verkefnunum hér á eftir.

51.

Þegar DNA-þráður úr manni er teygður út er hann að meðaltali

2,066 \times {10^2}

cm. Einn sentímetri, eða 1 cm, er

1 \times {10^{ - 5}}

km. Finndu meðallengd DNA-þráðar úr manni í kílómetrum.

52.

Ein nálgun á meðalfjölda frumna í mannslíkamanum er

3 \times {10^{13}}

frumur, eða 30 billjónir. Ef DNA úr hverri frumu væri teygt út og lagt enda við enda, hver yrði heildarlengd þess í kílómetrum? Notaðu svarið úr æfingu 51 fyrir lengd DNA í kílómetrum.

53.

Ummál jarðar við miðbaug er um

4,007 \times {10^4}

km. Notaðu svarið úr æfingu 52 til að ákvarða hve oft útteygt DNA úr manni næði umhverfis jörðina.

54.

Meðalskrefslengd konu sem er 1,651 m á hæð er

6,6 \times {10^{ - 1}}

metrar. Ef hún gæti gengið beina leið frá Buffalo í New York til Buenos Aires í Argentínu, hve mörg skref þyrfti hún að taka? Sjá fjarlægðina í æfingu 18.