2.3 Líkanagerð með línulegum föllum – Undirbúningur fyrir stærðfræðigreiningu, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
22 Línuleg föll
2.3 Líkanagerð með línulegum föllum
2.3 Líkanagerð með línulegum föllum
Námsmarkmið
Í þessum hluta lærið þið að:
Greina skref líkanagerðar og lausnar.
Smíða línuleg líkön út frá textalýsingum.
Smíða kerfi línulegra líkana.
Mynd 1. (heimild: EEK Photography/Flickr)
Elan er háskólanemi sem hyggst verja sumri í Seattle. Elan hefur safnað 3.500 Bandaríkjadölum fyrir ferðina og gerir ráð fyrir að verja 400 Bandaríkjadölum á viku í húsaleigu, mat og afþreyingu. Hvernig getum við ritað línulegt líkan sem lýsir aðstæðunum? Hver væri skurðpunkturinn við x-ás og hvað getur Elan lært af honum? Til að svara þessum og skyldum spurningum getum við smíðað líkan með línulegu falli. Slík líkön geta komið að miklu gagni við að greina vensl og spá út frá þeim. Í þessum hluta skoðum við dæmi um líkön með línulegum föllum.
Skref líkanagerðar og lausnar greind
Þegar við setjum aðstæður fram með línulegum föllum og leysum verkefni um stærðir með jöfnum breytingarhraða fylgjum við yfirleitt sömu lausnaraðferðum og fyrir önnur föll. Rifjum þær stuttlega upp:
Greinið stærðirnar sem breytast og skilgreinið síðan lýsandi breytur fyrir þær. Teiknið mynd eða skilgreinið hnitakerfi þegar það á við.
Lesið verkefnið vandlega og greinið mikilvægar upplýsingar. Leitið að upplýsingum sem gefa gildi breytanna eða hluta falllíkansins, til dæmis hallatölu og upphafsgildi.
Lesið verkefnið vandlega til að ákvarða hvað á að finna, greina, leysa eða túlka.
Finnið lausnarleið frá gefnu upplýsingunum að því sem leitað er að. Oft þarf að athuga og halda utan um einingar, smíða töflu eða jafnvel finna formúlu fyrir fallið sem líkan verkefnisins byggist á.
Ritið formúlu fyrir fallið þegar þess er þörf.
Leysið falljöfnuna eða reiknið gildi fallsins með formúlunni.
Metið hvort svarið sé eðlilegt við gefnar aðstæður og hvort það standist stærðfræðilega.
Setjið niðurstöðuna skýrt fram með viðeigandi einingum og svarið í heilum setningum þegar þess er þörf.
Línuleg líkön smíðuð
Skoðum nú nemann í Seattle. Í aðstæðum Elans breytast tvær stærðir: tími og fjárhæð. Fjárhæðin sem er eftir í fríinu fer eftir lengd dvalarinnar. Við getum notað þessar upplýsingar til að skilgreina breyturnar ásamt einingum þeirra.
Úttak: eftirstandandi fjárhæð í Bandaríkjadölum
Inntak: tími í vikum
Eftirstandandi fjárhæð fer því eftir vikufjöldanum:
Við getum einnig greint upphafsgildið og breytingarhraðann.
Upphafsgildi: Elan safnaði 3.500 Bandaríkjadölum og því er upphafsgildið 3.500 Bandaríkjadalir fyrir
Breytingarhraði: Elan gerir ráð fyrir að verja 400 Bandaríkjadölum á viku og því er breytingarhraðinn, eða hallatalan, –400 Bandaríkjadalir á viku.
Takið eftir að einingin Bandaríkjadalir á viku er eining úttaksbreytunnar deild með einingu inntaksbreytunnar. Þar sem hallatalan er neikvæð er línulega fallið jafnframt minnkandi. Það er rökrétt þar sem fé er varið í hverri viku.
Breytingarhraðinn er jafn og því getum við byrjað með línulega líkanið Síðan getum við sett gefinn skurðpunkt og hallatölu inn í líkanið.
Til að finna skurðpunktinn setjum við úttakið jafnt og núll og leysum fyrir inntakið.
skurðpunkturinn er 8,75 vikur. Þar sem hann táknar inntaksgildið þegar úttakið verður núll getum við sagt að Elan verði peningalaus eftir 8,75 vikur.
Þegar raunverulegar aðstæður eru settar fram með föllum er líkanið yfirleitt aðeins gilt á takmörkuðu skilgreiningarmengi; nánast engin þróun heldur endalaust áfram. Hér vísar skilgreiningarmengið til vikufjöldans. Í þessu tilviki er ekki skynsamlegt að tala um inntaksgildi sem eru minni en núll. Neikvætt inntaksgildi gæti vísað til vikufjölda áður en Elan safnaði 3.500 Bandaríkjadölum, en aðstæðurnar sem lýst er miðast við tímann eftir að fjárhæðinni var safnað, því þá hefjast ferðin og útgjöldin. Líkanið er líklega heldur ekki gilt eftir skurðpunktinn nema Elan noti kreditkort og stofni til skulda. Skilgreiningarmengið táknar mengi inntaksgilda og því er eðlilegt skilgreiningarmengi fallsins
Í dæminu hér að framan var skrifleg lýsing á aðstæðunum gefin. Við fylgdum skrefum líkanagerðar til að greina upplýsingarnar. Gefnu upplýsingarnar eru þó ekki alltaf af sama toga. Stundum er skurðpunktur gefinn en stundum úttaksgildi. Við verðum að greina gefnu upplýsingarnar vandlega og nota þær rétt til að smíða línulegt líkan.
Líkan smíðað út frá gefnum skurðpunkti
Í sumum raunhæfum verkefnum er skurðpunkturinn gefinn, það er fastinn eða upphafsgildið. Þegar skurðpunkturinn er þekktur má reikna skurðpunktinn. Gerum til dæmis ráð fyrir að Hannah hyggist greiða foreldrum sínum upp vaxtalaust lán. Eftirstöðvar lánsins eru 1.000 Bandaríkjadalir. Hannah hyggst greiða 250 Bandaríkjadali á mánuði þar til eftirstöðvarnar eru 0 Bandaríkjadalir. skurðpunkturinn er upphafleg skuld, eða 1.000 Bandaríkjadalir. Breytingarhraðinn, eða hallatalan, er -250 Bandaríkjadalir á mánuði. Síðan getum við notað hallatöluformið og gefnu upplýsingarnar til að smíða línulegt líkan.
Nú getum við sett fallið jafnt og 0 og leyst fyrir til að finna skurðpunktinn.
skurðpunkturinn sýnir hve margir mánuðir líða þar til eftirstöðvarnar verða 0 Bandaríkjadalir. -skurðpunkturinn er 4 mánuðir og því tekur Hannah fjóra mánuði að greiða lánið upp.
Líkan smíðað út frá gefnu inntaki og úttaki
Mörg raunhæf viðfangsefni eru ekki jafn einföld og þau sem við vorum að skoða. Þau krefjast þess í stað að við greinum einhvern eiginleika línulegs falls. Stundum þurfum við að reikna gildi línulega líkansins við gefið inntak eða setja jöfnu þess jafna tilteknu úttaki.
Dæmi 1
Línulegt líkan notað til að rannsaka íbúafjölda bæjar
Íbúum bæjar hefur fjölgað línulega. Árið 2004 voru íbúarnir 6.200 en árið 2009 hafði þeim fjölgað í 8.100. Gerið ráð fyrir að þróunin haldi áfram.
ⓐ Spáið fyrir um íbúafjöldann árið 2013.
ⓑ Finnið árið þegar íbúafjöldinn nær 15.000.
Lausn
Stærðirnar tvær sem breytast eru íbúafjöldi og tími. Við gætum notað ártalið sjálft sem inntaksstærð en það leiðir gjarnan til mjög óþjálla jafna, því skurðpunkturinn við ás myndi þá samsvara árinu 0, fyrir meira en 2.000 árum!
Til að einfalda reikningana skilgreinum við inntakið sem fjölda ára frá 2004:
Inntak: fjöldi ára frá 2004
Úttak: íbúafjöldi bæjarins
Til að spá fyrir um íbúafjöldann árið 2013 þurfum við fyrst jöfnu fyrir íbúafjöldann. Til að finna hvenær íbúafjöldinn nær 15.000 þurfum við á sama hátt að leysa fyrir inntakið sem gefur úttakið 15.000. Til að rita jöfnu þurfum við upphafsgildið og breytingarhraðann, eða hallatöluna.
Til að ákvarða breytingarhraðann notum við breytingu úttaks á hverja breytingu inntaks.
Verkefnið gefur okkur tvö pör inntaks- og úttaksgilda. Þegar þeim er breytt til samræmis við skilgreindu breyturnar samsvarar árið 2004 og gefur punktinn Takið eftir að með hinu snjalla vali okkar á skilgreiningu breytunnar höfum við „gefið“ okkur skurðpunkt fallsins við y-ás. Árið 2009 samsvarar og gefur punktinn
Hnitapörin tvö eru og Munið að fyrr í kaflanum skoðuðum við dæmi þar sem tveir punktar voru gefnir. Við getum notað þessi gildi til að reikna hallatöluna.
Við þekkjum þegar skurðpunkt línunnar við y-ás og getum því ritað jöfnuna strax:
Til að spá fyrir um íbúafjöldann árið 2013 reiknum við gildi fallsins þegar
Ef þróunin heldur áfram spáir líkanið því að íbúarnir verði 9.620 árið 2013.
Til að finna hvenær íbúafjöldinn nær 15.000 getum við sett og leyst fyrir
Líkanið okkar spáir því að íbúafjöldinn nái 15.000 rúmum 23 árum eftir 2004, eða um árið 2027.
Skýringarmynd notuð við líkanagerð
Í mörgum raunhæfum viðfangsefnum er gagnlegt að teikna mynd til að átta sig á hvernig nota megi breyturnar sem tákna inntak og úttak til að svara spurningu. Áður en myndin er teiknuð skulum við fyrst skoða hvers verkefnið krefst. Síðan ákvarðum við inntak og úttak. Skýringarmyndin á að sýna vensl breytanna. Oft eru teiknuð rúmfræðileg form eða myndir og vegalengdir merktar. Ef rétthyrndur þríhyrningur er teiknaður tengir regla Pýþagórasar hliðarnar. Ef rétthyrningur er teiknaður er gagnlegt að merkja breidd hans og hæð.
Dæmi 2
Skýringarmynd notuð til að setja gengna vegalengd fram með líkani
Anna og Emanuel leggja af stað frá sömu gatnamótum. Anna gengur í austur á 4 mílna hraða á klukkustund en Emanuel í suður á 3 mílna hraða á klukkustund. Þau nota talstöðvar með 2 mílna drægni. Hve löngu eftir að þau leggja af stað rofnar talstöðvarsambandið?
Lausn
Í meginatriðum getum við svarað spurningunni að hluta með því að segja að talstöðvarsambandið rofni þegar 2 mílur eru á milli þeirra. Það leiðir til nýrrar spurningar:
„Hve langur tími líður þar til 2 mílur eru á milli þeirra?“
Í þessu verkefni eru tími og staðsetning breytilegu stærðirnar en að lokum þurfum við að vita hve langur tími líður þar til 2 mílur eru á milli þeirra. Við sjáum að tími verður inntaksbreytan og skilgreinum því inntaks- og úttaksbreyturnar.
Inntak: tími í klukkustundum.
Úttak: vegalengd í mílum, og vegalengd í mílum
Þar sem ekki liggur í augum uppi hvernig skilgreina á úttaksbreytuna byrjum við á að teikna mynd á borð við mynd 2.
Mynd 2. Leiðir Önnu og Emanuels og beina vegalengdin á milli þeirra.
Upphafsgildi: Þau leggja bæði af stað frá sömu gatnamótum og þegar hlýtur gengin vegalengd hvors þeirra einnig að vera 0. Upphafsgildi hvors falls er því 0.
Breytingarhraði: Anna gengur 4 mílur á klukkustund og Emanuel 3 mílur á klukkustund. Hvort gildið um sig er breytingarhraði. Hallatalan er 4 fyrir og 3 fyrir .
Með þessum gildum getum við ritað formúlur fyrir vegalengdina sem hvort þeirra hefur gengið.
Í þessu verkefni skipta vegalengdirnar frá upphafspunktinum máli. Til að tákna þær getum við skilgreint hnitakerfi og valið gatnamótin þar sem þau lögðu af stað sem „upphafspunkt“. Síðan getum við notað breytuna sem við skilgreindum hér að framan, til að tákna staðsetningu Önnu og látið hana mæla vegalengd frá upphafspunktinum til austurs. Á sama hátt getum við notað breytuna til að tákna staðsetningu Emanuels, mælda frá upphafspunktinum til suðurs. Takið eftir að við skilgreiningu hnitakerfisins tilgreindum við bæði upphafspunkt mælingarinnar og stefnu hennar.
Síðan getum við skilgreint þriðju breytuna, sem vegalengdina milli Önnu og Emanuels. Oft er gagnlegt að sýna breyturnar á skýringarmyndinni, eins og sjá má á mynd 3.
Munið að við þurfum að vita hve langur tími líður þar til vegalengdin milli þeirra, verður 2 mílur. Takið eftir að fyrir sérhvert gefið inntak lýsa úttökin og vegalengdum.
Mynd 3. Vegalengdirnar í göngudæminu mynda rétthyrndan þríhyrning.
Mynd 2 sýnir að við getum notað reglu Pýþagórasar vegna þess að við höfum teiknað rétt horn.
Með reglu Pýþagórasar fæst:
Í þessum aðstæðum skoðum við aðeins jákvæð gildi og því verður vegalengdin alltaf jákvæð. Við getum einfaldað svarið í Þetta merkir að vegalengdin milli Önnu og Emanuels er einnig línulegt fall. Þar sem er línulegt fall getum við nú svarað hvenær vegalengdin milli þeirra nær 2 mílum. Við setjum úttakið og leysum fyrir
Talstöðvarsambandið rofnar eftir 0,4 klukkustund, eða 24 mínútur.
Dæmi 3
Skýringarmynd notuð til að setja fram vegalengd milli bæja
Beinn vegur liggur frá bænum Westborough að Agritown, 30 mílur í austur og 10 mílur í norður. Á leiðinni tengist honum annar vegur, hornréttur á þann fyrri, sem liggur til bæjarins Eastborough. Eastborough er 20 mílur beint í austur frá Westborough. Hve langt frá Westborough eru vegamótin?
Lausn
Hér gæti verið gagnlegt að teikna mynd af aðstæðunum. Sjá mynd 4. Síðan væri gagnlegt að setja upp hnitakerfi. Þótt upphafspunkturinn mætti vera hvar sem er virðist hentugt að setja hann við Westborough. Þá er Agritown í hnitunum og Eastborough í
Mynd 4. Staðsetning bæjanna þriggja og hornrétt tenging frá Eastborough við veginn milli hinna bæjanna.
Með þessum punkti og upphafspunktinum getum við fundið hallatölu línunnar frá Westborough til Agritown:
Jafna vegarins frá Westborough til Agritown verður
Af þessu getum við ráðið að hornrétti vegurinn til Eastborough hefur hallatöluna Þar sem Eastborough er í punktinum (20,0) getum við fundið jöfnuna:
Nú getum við fundið hnit vegamótanna með því að finna skurðpunkt þessara lína. Við setjum jöfnurnar jafnar:
Vegirnir skerast í punktinum (18, 6). Með fjarlægðarformúlunni getum við nú fundið vegalengdina frá Westborough að vegamótunum.
Greining
Einn kostur línulegra líkana er að gröf fallanna eru línur. Því þarf að nota línuleg föll til að setja fram með líkani vegalengdir milli viðmiðunarpunkta í raunverulegum verkefnum sem fjalla um kort.
Smíði kerfa línulegra líkana
Hægt er að setja raunverulegar aðstæður sem fela í sér tvö eða fleiri línuleg föll fram með kerfi línulegra jafna. Munið að þegar kerfi línulegra jafna er leyst leitum við að punktum sem línurnar tvær eiga sameiginlega. Yfirleitt koma þrjár gerðir svara til greina, eins og sýnt er á mynd 5.
Mynd 5. Tvær línulegar jöfnur geta haft eina lausn, óendanlega margar lausnir eða enga lausn.
Dæmi 4
Kerfi línulegra líkana smíðað til að velja vörubílaleigu
Jamal velur á milli tveggja vörubílaleiga. Sú fyrri, Keep on Trucking, Inc., tekur 20 Bandaríkjadala fast upphafsgjald og síðan 59 sent á mílu. Sú síðari, Move It Your Way, tekur 16 Bandaríkjadala fast upphafsgjald og síðan 63 sent á mílu3. Hvenær er Keep on Trucking, Inc. hagstæðari kosturinn fyrir Jamal?
Lausn
Stærðirnar tvær sem skipta máli í þessu verkefni eru kostnaður og ekin vegalengd í mílum. Þar sem bera þarf saman tvö fyrirtæki skilgreinum við tvö föll.
Inntak
ekin vegalengd í mílum
Úttök
kostnaður í Bandaríkjadölum við að leigja hjá Keep on Trucking
kostnaður í Bandaríkjadölum við að leigja hjá Move It Your Way
Upphafsgildi
Fast upphafsgjald: og
Breytingarhraði
Keep on Trucking: 0,59 Bandaríkjadalir á mílu. Move It Your Way: 0,63 Bandaríkjadalir á mílu.
Línulegt fall er á forminu Með breytingarhröðunum og upphafsgjöldunum getum við ritað jöfnurnar
Með þessum jöfnum getum við ákvarðað hvenær Keep on Trucking, Inc. er hagstæðari kosturinn. Þar sem ákvörðunin byggist eingöngu á kostnaðinum leitum við að því hvenær Move It Your Way kostar meira, það er hvenær Lausnarleiðin felst í því að finna jöfnur fallanna tveggja, finna skurðpunkt þeirra og kanna síðan hvar fallið hefur lægra gildi.
Gröfin eru skissuð á mynd 6, þar sem er sýnt með appelsínugulum lit.
Mynd 6. Leigukostnaður fyrirtækjanna tveggja eftir ekinni vegalengd. Jöfnurnar gefa sama kostnað, 79 Bandaríkjadali, við 100 mílur. Merkingin (100, 80) á frummyndinni er því ónákvæm.
Til að finna skurðpunktinn setjum við jöfnurnar jafnar og leysum:
Þetta sýnir að kostnaðurinn hjá fyrirtækjunum tveimur er sá sami ef eknar eru 100 mílur. Með því að skoða grafið eða taka eftir að
vex hægar getum við ályktað að Keep on Trucking, Inc. sé ódýrari kosturinn þegar ekið er lengra en 100 mílur, það er þegar
Verkefni hluta 2.3
Hugtakaspurningar
1.
Útskýrið hvernig finna má inntaksbreytuna í orðadæmi þar sem línulegt fall er notað.
2.
Útskýrið hvernig finna má úttaksbreytuna í orðadæmi þar sem línulegt fall er notað.
3.
Útskýrið hvernig túlka má upphafsgildið í orðadæmi þar sem línulegt fall er notað.
4.
Útskýrið hvernig ákvarða má hallatöluna í orðadæmi þar sem línulegt fall er notað.
Algebruverkefni
5.
Finnið flatarmál samsíðungs sem afmarkast af y-ásnum, línunni línunni og línu sem er samsíða og liggur í gegnum
6.
Finnið flatarmál þríhyrnings sem afmarkast af x-ásnum, línunni og línu sem er hornrétt á og liggur í gegnum upphafspunktinn.
7.
Finnið flatarmál þríhyrnings sem afmarkast af y-ásnum, línunni og línu sem er hornrétt á og liggur í gegnum upphafspunktinn.
8.
Finnið flatarmál samsíðungs sem afmarkast af x-ásnum, línunni línunni og línu sem er samsíða og liggur í gegnum
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið miða við þessar aðstæður: Íbúum bæjarins hefur fækkað með jöfnum hraða. Árið 2010 voru íbúarnir 5.900. Árið 2012 hafði þeim fækkað í 4.700. Gerið ráð fyrir að þessi þróun haldi áfram.
9.
Spáið fyrir um íbúafjöldann árið 2016.
10.
Ákvarðið hvaða ár íbúafjöldinn nær 0.
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið miða við þessar aðstæður: Íbúum bæjarins hefur fjölgað með jöfnum hraða. Árið 2010 voru íbúarnir 46.020. Árið 2012 hafði þeim fjölgað í 52.070. Gerið ráð fyrir að þessi þróun haldi áfram.
11.
Spáið fyrir um íbúafjöldann árið 2016.
12.
Ákvarðið hvaða ár íbúafjöldinn nær 75.000.
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið miða við þessar aðstæður: Upphaflegur íbúafjöldi bæjarins er 75.000. Íbúum fjölgar með jöfnum hraða um 2.500 á ári í 5 ár.
13.
Finnið línulega fallið sem setur íbúafjölda bæjarins fram sem fall af árinu, þar sem er fjöldi ára frá upphafi líkansins.
14.
Finnið eðlilegt skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins
15.
Ef graf fallsins er teiknað, finnið þá skurðpunkta þess við x- og y-ás og túlkið þá.
16.
Ef graf fallsins er teiknað, finnið þá hallatölu fallsins og túlkið hana.
17.
Hvenær nær úttakið 100.000?
18.
Hvert er úttakið 12 árum eftir upphaf líkansins?
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið miða við þessar aðstæður: Nýfætt barn vegur 7,5 pund. Barnið þyngist um hálft pund á mánuði fyrsta árið.
19.
Finnið línulega fallið sem setur þyngd barnsins fram sem fall af aldri þess í mánuðum,
20.
Finnið eðlilegt skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins .
21.
Ef graf fallsins er teiknað, finnið þá skurðpunkta þess við x- og y-ás og túlkið þá.
22.
Ef graf fallsins W er teiknað, finnið þá hallatölu fallsins og túlkið hana.
23.
Hvenær vó barnið 10,4 pund?
24.
Hvert er úttakið þegar inntakið er 6,2? Túlkið svarið.
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið miða við þessar aðstæður: Frá 2005 til 2010 fækkaði þeim sem veiktust af kvefi yfir vetrarmánuðina jafnt og þétt um 205 á ári. Árið 2005 veiktust 12.025 manns.
25.
Finnið línulega fallið sem setur fjölda þeirra sem veiktust af kvefi fram sem fall af árinu,
26.
Finnið eðlilegt skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins
27.
Ef graf fallsins er teiknað, finnið þá skurðpunkta þess við x- og y-ás og túlkið þá.
28.
Ef graf fallsins er teiknað, finnið þá hallatölu fallsins og túlkið hana.
29.
Hvenær verður fjöldi þeirra sem veikjast af kvefi núll?
30.
Hvaða ár verður fjöldi þeirra sem veikjast af kvefi 9.700?
Myndræn verkefni
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota grafið á mynd 7, sem sýnir hagnað fyrirtækis, í þúsundum Bandaríkjadala á tilteknu ári, þar sem táknar fjölda ára frá 1980.
Mynd 7. Graf línulegs líkans í verkefninu.
31.
Finnið línulega fallið þar sem er háð fjölda ára frá 1980.
32.
Finnið skurðpunktinn við y-ás og túlkið hann.
33.
Finnið skurðpunktinn við x-ás og túlkið hann.
34.
Finnið hallatöluna og túlkið hana.
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota grafið á mynd 8, sem sýnir hagnað fyrirtækis, í þúsundum Bandaríkjadala á tilteknu ári, þar sem táknar fjölda ára frá 1980.
Mynd 8. Graf línulegs líkans í verkefninu.
35.
Finnið línulega fallið þar sem er háð fjölda ára frá 1980.
36.
Finnið skurðpunktinn við y-ás og túlkið hann.
37.
Finnið skurðpunktinn við x-ás og túlkið hann.
38.
Finnið hallatöluna og túlkið hana.
Töluleg verkefni
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota miðgildi húsnæðisverðs í Mississippi og Hawaii, leiðrétt fyrir verðbólgu, sem sýnd eru í töflu 2. Gerið ráð fyrir að húsnæðisverðið breytist línulega.
Ár
Mississippi
Hawaii
1950
$25.200
$74.400
2000
$71.400
$272.700
39.
Í hvoru ríkinu hefur húsnæðisverð hækkað hraðar?
40.
Hvert hefði miðgildi húsnæðisverðs í Mississippi verið árið 2010 ef þessi þróun hefði haldið áfram?
41.
Ef við gerum ráð fyrir að línulega þróunin hafi verið til staðar fyrir 1950 og haldið áfram eftir 2000, hvaða ár verða, eða urðu, miðgildi húsnæðisverðs í ríkjunum tveimur jöfn? (Svarið gæti verið fráleitt.)
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota miðgildi húsnæðisverðs í Indiana og Alabama, leiðrétt fyrir verðbólgu, sem sýnd eru í töflu 3. Gerið ráð fyrir að húsnæðisverðið breytist línulega.
Ár
Indiana
Alabama
1950
$37.700
$27.100
2000
$94.300
$85.100
42.
Í hvoru ríkinu hefur húsnæðisverð hækkað hraðar?
43.
Hvert hefði miðgildi húsnæðisverðs í Indiana verið árið 2010 ef þessi þróun hefði haldið áfram?
44.
Ef við gerum ráð fyrir að línulega þróunin hafi verið til staðar fyrir 1950 og haldið áfram eftir 2000, hvaða ár verða, eða urðu, miðgildi húsnæðisverðs í ríkjunum tveimur jöfn? (Svarið gæti verið fráleitt.)
Raunhæf viðfangsefni
45.
Árið 2004 voru 1.001 nemandi í skóla. Árið 2008 hafði nemendum fjölgað í 1.697. Gerið ráð fyrir að fjöldinn breytist línulega.
ⓐ Hve mikið fjölgaði nemendum frá 2004 til 2008?
ⓑ Hve langan tíma tók að fjölga nemendum úr 1.001 í 1.697?
ⓒ Hver var meðalfjölgun nemenda á ári?
ⓓ Hver var nemendafjöldinn árið 2000?
ⓔ Finnið jöfnu fyrir nemendafjölda skólans, t árum eftir 2000.
ⓕ Notið jöfnuna til að spá fyrir um nemendafjölda skólans árið 2011.
46.
Árið 2003 voru 1.431 íbúi í bæ. Árið 2007 hafði íbúum fjölgað í 2.134. Gerið ráð fyrir að fjöldinn breytist línulega.
ⓐ Hve mikið fjölgaði íbúum frá 2003 til 2007?
ⓑ Hve langan tíma tók að fjölga íbúum úr 1.431 í 2.134?
ⓒ Hver var meðalfjölgun íbúa á ári?
ⓓ Hver var íbúafjöldinn árið 2000?
ⓔ Finnið jöfnu fyrir íbúafjölda bæjarins, , árum eftir 2000.
ⓕ Notið jöfnuna til að spá fyrir um íbúafjölda bæjarins árið 2014.
47.
Símafyrirtæki býður mánaðarlega farsímaáskrift þar sem viðskiptavinur greiðir fast mánaðargjald og síðan tiltekna upphæð fyrir hverja mínútu í tal- og myndsímtölum. Ef viðskiptavinur notar 410 mínútur verður mánaðarkostnaðurinn 71,50 Bandaríkjadalir. Ef hann notar 720 mínútur verður mánaðarkostnaðurinn 118 Bandaríkjadalir.
ⓐ Finnið línulega jöfnu fyrir mánaðarkostnað farsímaáskriftarinnar sem fall af x, fjölda notaðra mínútna í mánuði.
ⓑ Túlkið hallatölu og skurðpunkt grafs jöfnunnar við y-ás.
ⓒ Notið jöfnuna til að finna heildarmánaðarkostnaðinn ef 687 mínútur eru notaðar.
48.
Símafyrirtæki býður mánaðarlega farsímagagnaáskrift þar sem viðskiptavinur greiðir 10 Bandaríkjadala fast mánaðargjald og síðan tiltekna upphæð fyrir hvert megabæti (MB) af gögnum sem notað er í símanum. Ef viðskiptavinur notar 20 MB verður mánaðarkostnaðurinn 11,20 Bandaríkjadalir. Ef hann notar 130 MB verður mánaðarkostnaðurinn 17,80 Bandaríkjadalir.
ⓐ Finnið línulega jöfnu fyrir mánaðarkostnað gagnaáskriftarinnar sem fall af , fjölda notaðra MB.
ⓑ Túlkið hallatölu og skurðpunkt grafs jöfnunnar við y-ás.
ⓒ Notið jöfnuna til að finna heildarmánaðarkostnaðinn ef 250 MB eru notuð.
49.
Árið 1990 mældist elgstofn í garði 4.360 dýr. Árið 1999 var stofninn mældur aftur og reyndist 5.880 dýr. Gerið ráð fyrir að stofninn haldi áfram að breytast línulega.
ⓐ Finnið formúlu fyrir elgstofninn, P frá 1991.
ⓑ Hversu stórum elgstofni spáir líkanið árið 2003?
50.
Árið 2003 mældist uglustofn í garði 340 fuglar. Árið 2007 var stofninn mældur aftur og reyndist 285 fuglar. Stofninn breytist línulega. Látið inntakið vera fjölda ára frá 2003.
ⓐ Finnið formúlu fyrir uglustofninn, Látið inntakið vera fjölda ára frá 2003.
ⓑ Hversu stórum uglustofni spáir líkanið árið 2012?
51.
Hélíumforði Bandaríkjanna nam um 16 milljörðum rúmfeta árið 2010 og minnkar um 2,1 milljarð rúmfeta á ári.
ⓐ Gefið línulega jöfnu fyrir eftirstandandi hélíumforða Bandaríkjanna, sem fall af fjölda ára frá 2010.
ⓑ Hver verður hélíumforðinn árið 2015?
ⓒ Hvaða ár verður hélíumforði Bandaríkjanna uppurinn ef eyðingarhraðinn breytist ekki?
52.
Gerið ráð fyrir að olíuforði heimsins árið 2014 sé 1.820 milljarðar tunna. Ef heildarforðinn minnkar að meðaltali um 25 milljarða tunna á ári:
ⓐ Gefið línulega jöfnu fyrir eftirstandandi olíuforða, sem fall af fjölda ára frá þessu ári.
ⓑ Hver verður olíuforðinn eftir sjö ár?
ⓒ Hvenær verður olíuforði heimsins uppurinn ef hann heldur áfram að minnka með jöfnum hraða?
53.
Þið veljið á milli tveggja fyrirframgreiddra farsímaáskrifta. Fyrri áskriftin kostar 26 sent á mínútu. Fyrir síðari áskriftina greiðið þið 19,95 Bandaríkjadala mánaðargjald auk 11 senta á mínútu. Hve margar mínútur þyrftuð þið að nota á mánuði til að síðari áskriftin væri hagstæðari?
54.
Þið veljið á milli tveggja gluggaþvottafyrirtækja. Það fyrra tekur 5 Bandaríkjadali fyrir hvern glugga. Það síðara tekur 40 Bandaríkjadala grunngjald auk 3 Bandaríkjadala fyrir hvern glugga. Hve marga glugga þyrftuð þið að láta þvo til að síðara fyrirtækið væri hagstæðara?
55.
Þegar þið eruð ráðin til nýs starfs við skartgripasölu getið þið valið á milli tveggja launakosta:
Kostur A: 17.000 Bandaríkjadala grunnlaun á ári og 12% söluþóknun af sölunni
Kostur B: 20.000 Bandaríkjadala grunnlaun á ári og 5% söluþóknun af sölunni
Hversu mikið af skartgripum þyrftuð þið að selja til að kostur A gæfi hærri tekjur?
56.
Þegar þið eruð ráðin til nýs starfs við raftækjasölu getið þið valið á milli tveggja launakosta:
Kostur A: 14.000 Bandaríkjadala grunnlaun á ári og 10% söluþóknun af sölunni
Kostur B: 19.000 Bandaríkjadala grunnlaun á ári og 4% söluþóknun af sölunni
Hversu mikið af raftækjum þyrftuð þið að selja til að kostur A gæfi hærri tekjur?
57.
Þegar þið eruð ráðin til nýs starfs við raftækjasölu getið þið valið á milli tveggja launakosta:
Kostur A: 20.000 Bandaríkjadala grunnlaun á ári og 12% söluþóknun af sölunni
Kostur B: 26.000 Bandaríkjadala grunnlaun á ári og 3% söluþóknun af sölunni
Hversu mikið af raftækjum þyrftuð þið að selja til að kostur A gæfi hærri tekjur?
58.
Þegar þið eruð ráðin til nýs starfs við raftækjasölu getið þið valið á milli tveggja launakosta:
Kostur A: 10.000 Bandaríkjadala grunnlaun á ári og 9% söluþóknun af sölunni
Kostur B: 20.000 Bandaríkjadala grunnlaun á ári og 4% söluþóknun af sölunni
Hversu mikið af raftækjum þyrftuð þið að selja til að kostur A gæfi hærri tekjur?
