Tveir atburðir eru óháðir ef eftirfarandi er satt:
P ( A | B ) = P ( A )
P ( B | A ) = P ( B )
P(A og B) = P ( A ) P ( B )
Tveir atburðir A og B eru óháðir atburðir ef vitneskja um að annar hafi gerst hefur ekki áhrif á líkurnar á að hinn gerist. Til dæmis eru útkomur tveggja kasta með óhlutdrægum teningi óháðir atburðir. Útkoma fyrsta kastsins breytir ekki líkunum á útkomu seinna kastsins. Til að sýna að tveir atburðir séu óháðir nægir að sýna eitt af skilyrðunum hér að ofan. Ef tveir atburðir eru ekki óháðir segjum við að þeir séu háðir atburðir.
Úrtaka getur farið fram með endurvali eða án endurvals.
Með endurvali: Ef hverri einingu þýðis er skilað eftir að hún er valin getur sú eining verið valin oftar en einu sinni. Þegar úrtaka er með endurvali teljast atburðirnir óháðir, sem þýðir að niðurstaða fyrsta valsins breytir ekki líkunum í næsta vali.
Poki inniheldur fjórar bláar og þrjár hvítar kúlur. James dregur eina kúlu úr pokanum af handahófi, skráir litinn og skilar kúlunni. Líkurnar á að draga bláa eru 4/7. Þegar James dregur kúlu úr pokanum í annað sinn eru líkurnar á að draga bláa enn 4/7. James skilaði kúlunni eftir fyrsta dráttinn, þannig að það eru enn fjórar bláar og þrjár hvítar kúlur.
Án endurvals: Þegar úrtaka er án endurvals má velja hverja einingu þýðis aðeins einu sinni. Í því tilviki verða líkurnar í öðru vali fyrir áhrifum af niðurstöðu fyrsta valsins. Atburðirnir teljast þá háðir, það er ekki óháðir.
Pokinn inniheldur enn fjórar bláar og þrjár hvítar kúlur. Maria dregur eina kúlu úr pokanum af handahófi, skráir litinn og leggur kúluna til hliðar. Líkurnar á að draga bláa í fyrsta drætti eru 4/7. Gerum ráð fyrir að Maria dragi bláa kúlu og leggi hana til hliðar. Þegar hún dregur kúlu úr pokanum í annað sinn eru nú þrjár bláar og þrjár hvítar kúlur. Þannig að líkurnar á að draga bláa eru nú = 1/2. Að fjarlægja fyrstu kúluna án þess að skila henni hefur áhrif á líkurnar í öðrum drætti.
Ef ekki er vitað hvort A og B eru óháðir eða háðir skaltu gera ráð fyrir að þeir séu háðir þar til annað hefur verið sýnt.
Dæmi 3.4
Þú ert með venjulegan, vel stokkaðan spilastokk með 52 spilum. Hann hefur fjórar sortir: lauf, tígla, hjörtu og spaða. Lauf og spaðar eru svört spil en tíglar og hjörtu eru rauð spil. Í hverri sort eru 13 spil: A (ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (gosi), Q (drottning) og K (kóngur).
a. Úrtaka með endurvali. Gerum ráð fyrir að þú dragir þrjú spil með endurvali. Fyrsta spilið sem þú dregur úr 52 spilum er spaðadrottning (Q). Þú setur spilið aftur í stokkinn, stokkar og dregur annað spil úr 52 spila stokknum. Það er laufatía. Þú setur spilið aftur í stokkinn, stokkar og dregur þriðja spilið. Í þetta sinn er spilið aftur spaðadrottning. Drættirnir eru {spaðadrottning, laufatía, spaðadrottning}. Þú hefur dregið spaðadrottningu tvisvar. Hvert spil er dregið úr 52 spila stokknum.
b. Úrtaka án endurvals. Gerum ráð fyrir að þú dragir þrjú spil án endurvals. Fyrsta spilið sem þú dregur úr 52 spilum er hjartakóngur. Þú leggur það til hliðar og dregur annað spil úr þeim 51 spilum sem eftir eru í stokknum. Það er tígulþristur. Þú leggur það til hliðar og dregur þriðja spilið úr þeim 50 spilum sem eftir eru. Þriðja spilið er spaðagosi. Drættirnir eru {hjartakóngur, tígulþristur, spaðagosi}. Þar sem þú dróst spilin án endurvals geturðu ekki dregið sama spil tvisvar.
Dæmi 3.5
Þú ert með venjulegan, vel stokkaðan spilastokk með 52 spilum. Hann hefur fjórar sortir: lauf, tígla, hjörtu og spaða. Lauf og spaðar eru svört spil en tíglar og hjörtu eru rauð spil. Í hverri sort eru 13 spil: A (ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (gosi), Q (drottning) og K (kóngur).
Gerum ráð fyrir að þú dragir fjögur spil, en setjir engin spil aftur í stokkinn. Spilin þín eru QS, 1 D, 1 C, QD.
Gerum ráð fyrir að þú dragir fjögur spil og setjir hvert spil aftur áður en þú dregur næsta spil. Spilin þín eru KH, 7 D, 6 D, KH.
Hvort af a. eða b. var úrtaka með endurvali og hvort var úrtaka án endurvals?
Lausn
a. Vegna þess að þú setur engin spil aftur breytist stokkurinn eftir hvern drátt. Þessir atburðir eru háðir og þetta er úrtaka án endurvals; b. Vegna þess að þú setur hvert spil aftur áður en þú dregur það næsta breytist stokkurinn aldrei. Þessir atburðir eru óháðir, svo þetta er úrtaka með endurvali.
Ósamrýmanlegir atburðir
A og B eru ósamrýmanlegir atburðir ef þeir geta ekki gerst á sama tíma. Þetta þýðir að A og B deila engum útkomum og P(A og B) = 0.
Til dæmis, gerum ráð fyrir að útkomurúmið sé S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Látum A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} og C = {7, 9}. Þá er A og B = {4, 5}. P(A og B) = og er ekki jafnt núlli. Þess vegna eru A og B ekki ósamrýmanlegir. A og C eiga engar tölur sameiginlegar, svo P(A og C) = 0. Þess vegna eru A og C ósamrýmanlegir.
Ef ekki er vitað hvort A og B eru ósamrýmanlegir skaltu gera ráð fyrir að þeir séu það ekki þar til annað hefur verið sýnt. Eftirfarandi dæmi skýra þessar skilgreiningar og hugtök.
Dæmi 3.6
Kastaðu tveimur sanngjörnum peningum. Þetta er tilraun.
Útkomurúmið er { HH, HT, TH, TT }, þar sem T = bakhlið og H = framhlið. Útkomurnar eru HH, HT, TH og TT. Útkomurnar HT og TH eru ólíkar. HT merkir að fyrri myntin sýndi framhlið og sú seinni bakhlið. TH merkir að fyrri myntin sýndi bakhlið og sú seinni framhlið.
Látum A vera atburðinn að fá í mesta lagi eina bakhlið. Í mesta lagi ein bakhlið þýðir núll eða ein bakhlið. Þá má rita A sem { HH, HT, TH }. Útkoman HH sýnir núll bakhliðar. HT og TH sýna hvor um sig eina bakhlið.
Látum B vera atburðinn að fá tvær bakhliðar. Þá er B = { TT }. B er fylliatburður A, þannig að B = A′. Einnig er P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1.
Líkurnar fyrir A og fyrir B eru P ( A ) = og P ( B ) = 1/4.
Látum C vera atburðinn að fá tvær framhliðar. Þá er C = { HH }. Þar sem B = { TT } er P ( B og C ) = 0. B og C eru ósamrýmanlegir. Þeir eiga enga útkomu sameiginlega, því ekki er hægt að fá tvær bakhliðar og tvær framhliðar í sömu tveimur köstum.
Látum D vera atburðinn að fá fleiri en eina bakhlið. Þá er D = { TT }. P ( D ) = 1/4.
Látum E vera atburðinn að fá framhlið í fyrra kastinu. Þá getur seinna kastið verið annaðhvort framhlið eða bakhlið. E = { HH, HT }. P ( E ) = 2/4.
Finndu líkurnar á að fá að minnsta kosti eina bakhlið, það er eina eða tvær bakhliðar, í tveimur köstum. Látum F vera þann atburð. F = { HT, TH, TT }. P ( F ) = 3/4.
Dæmi 3.7
Kastið tveimur óbjöguðum peningum. Finnið líkur atburðanna.
Látum F vera atburðinn að fá í mesta lagi eina bakhlið (núll eða eina bakhlið).
Látum G vera atburðinn að fá tvær eins hliðar.
Látum H vera atburðinn að fá framhlið í fyrsta kasti og síðan framhlið eða bakhlið í öðru kasti.
Eru F og G ósamrýmanlegir?
Látum J vera atburðinn að fá eintómar bakhliðar. Eru J og H ósamrýmanlegir?
Lausn
Skoðið útkomumengið í sýnidæmi 3.6.
Núll (0) eða ein (1) bakhlið kemur upp þegar útkomurnar HH, TH, HT koma fyrir. P ( F ) = 3/4.
Tvær hliðar eru eins ef HH eða TT koma fyrir. P ( G ) = 2/4.
Framhlið í fyrsta kasti og síðan framhlið eða bakhlið í öðru kasti kemur upp þegar HH eða HT koma fyrir. P ( H ) = 2/4.
F og G eiga HH sameiginlegt þannig að P ( F og G ) er ekki jafnt og núll (0). F og G eru ekki ósamrýmanlegir.
Að fá eintómar bakhliðar gerist þegar bakhlið kemur upp á báðum peningum (TT). Útkomur H eru HH og HT.
J og H eiga ekkert sameiginlegt þannig að P ( J og H ) = 0. J og H eru ósamrýmanlegir.
Dæmi 3.8
Kastaðu einum óhlutdrægum, sexhliða teningi. Útkomurúmið er {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Látum A vera atburðinn að fá oddatölu. Þá er A = {1, 3, 5}. Látum B vera atburðinn að fá slétta tölu. Þá er B = {2, 4, 6}.
Finnið fylliatburð A, A′. Fylliatburður A, A′, er B vegna þess að A og B mynda saman útkomumengið. P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Einnig er P ( A ) = og P ( B ) = 3/6.
Látum C vera atburðinn að fá oddatölu stærri en 2. Þá er C = {3, 5}. Látum D vera atburðinn að fá slétta tölu minni en 5. Þá er D = {2, 4}. P ( C og D ) = 0 því ekki er hægt að fá oddatölu og slétta tölu í sama teningskasti. Þess vegna eru C og D ósamrýmanlegir atburðir.
Látum E vera atburðinn að fá tölu minni en 5. Þá er E = {1, 2, 3, 4}.
Eru C og E ósamrýmanlegir atburðir? Svarið já eða nei. Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
Finndu P ( C | A ). Þetta eru skilyrtar líkur. Mundu að atburður C er {3, 5} og atburður A er {1, 3, 5}. Til að finna P ( C | A ) skaltu finna líkurnar á C með A sem útkomurúm. Þú hefur minnkað útkomurúmið úr {1, 2, 3, 4, 5, 6} í {1, 3, 5}. Því er P ( C | A ) = 2/3.
Lausn
Nei. C = {3, 5} og E = {1, 2, 3, 4}. P ( C og E ) = 1/6. To be ósamrýmanlegir, P ( C og E ) must be zero.
Dæmi 3.9
Látum atburð G = takóngur stærðfræðiááhorfandiga. Látum atburð H = takóngur raungreinaááhorfandiga. Þá er G OG H = takóngur stærðfræðiááhorfandigi og raungreinaááhorfandigi. Gerum ráð fyrir að P ( G ) =.6, P ( H ) =.5, og P(G og H) =.3. Eru G og H óháðir?
Ef G og H eru óháðir, þá verður þú að sýna eitt af eftirfarandi:
P ( G | H ) = P ( G )
P ( H | G ) = P ( H )
P(G og H) = P ( G ) P ( H )
a. Sýnið að P ( G | H ) = P ( G ).
Lausn
P ( G | H ) = P(G og H)/P ( H ) =.3/.5 =.6 = P ( G )
b. Sýnið P(G og H) = P ( G ) P ( H ).
Lausn
P ( G ) P ( H ) = (.6)(.5) =.3 = P(G og H)
Þar sem G og H eru óháðir, breytir það ekki líkunum á því að viðkomandi sé í stærðfræðiááhorfandiga þótt vitað sé að hann sé í raungreinaááhorfandiga. Ef atburðirnir tveir hefðu ekki verið óháðir, það er að segja þeir væru háðir, þá myndi það breyta líkunum á því að viðkomandi væri í stærðfræði að vita að hann væri í raungreinum. Til æfingar, sýnið að P ( H | G ) = P ( H ) til að sýna að G og H séu óháðir atburðir.
Dæmi 3.10
Látum atburð C = takóngur enskuááhorfandiga. Látum atburð D = takóngur ræðumennskuááhorfandiga.
Gerum ráð fyrir að P ( C ) =.75, P ( D ) =.3, P ( C | D ) =.75 og P ( C og D ) =.225.
Rökstyðjið svör ykkar við eftirfarandi spurningum með tölum.
Eru C og D óháðir?
Eru C og D ósamrýmanlegir?
Hvað er P ( D | C )?
Lausn
Já, vegna þess að P ( C | D ) =.75 = P ( C ).
Nei, vegna þess að P ( C og D ) er ekki jafnt og núll.
P ( D | C ) = P ( C og D )/P ( C ) = 0.225/.75 =.3
Dæmi 3.11
Í kassa eru þrjú rauð spil og fimm blá spil. Rauðu spilin eru merkt með tölunum 1, 2 og 3, og bláu spilin eru merkt með tölunum 1, 2, 3, 4 og 5. Spilunum er vel blandað. Þú teygir þig oáhorfandi í kassann (þú sérð ekki oáhorfandi í hann) og dregur eitt spil.
Látum R = red spil vera dregið, B = blue spil vera dregið, E = even-tölusett spil vera dregið.
Úrtaksrýmið S = R 1, R 2, R 3, B 1, B 2, B 3, B 4, B 5. S hefur átta útkomur.
P ( R ) = 3/8. P ( B ) = 5/8. P ( R og B ) = 0. Þú getur ekki dregið eitt spil sem er bæði rautt og blátt.
P ( E ) = 3/8. Það eru þrjú spil með sléttum tölum, R 2, B 2 og B 4.
P ( E | B = 2/5. Það eru fimm blá spil: B 1, B 2, B 3, B 4 og B 5. Af bláu spilunum eru tvö með sléttum tölum; B 2 og B 4.
P ( B | E ) = 2/3. Það eru þrjú spil með sléttum tölum: R 2, B 2 og B 4. Af spilunum með sléttum tölum eru tvö blá; B 2 og B 4.
Atburðirnir R og B eru ósamrýmanlegir vegna þess að P ( R og B ) = 0.
Látum G vera atburðinn að fá spil með tölu stærri en 3. G = { B4, B5 }. P ( G ) = 2/8. Látum H vera atburðinn að fá blátt spil með tölu frá 1 til og með 4. H = { B1, B2, B3, B4 }. P ( G | H ) = 1/4. Eina spilið í H sem hefur tölu stærri en 3 er B4. Þar sem = er P ( G ) = P ( G | H ), sem þýðir að G og H eru óháðir.
Dæmi 3.12
Í tilteknum bekk eru 60 prósent nemenda kvenkyns. Fimmtíu prósent allra nemenda í bekknum eru með sítt hár. Fjörutíu og fimm prósent nemenda eru kvenkyns og með sítt hár. Af kvenkyns nemendum eru 75 prósent með sítt hár. Látum F vera þann atburð að nemandi sé kvenkyns. Látum L vera þann atburð að nemandi sé með sítt hár. Einn nemandi er valinn af handahófi. Eru atburðirnir að vera kvenkyns og að vera með sítt hár óháðir?
Eftirfarandi líkur eru gefnar í þessu sýnidæmi:
P ( F ) = 0.60; P ( L ) = 0.50
P ( F og L ) = 0.45
P ( L | F ) = 0.75
Túlkun niðurstaðna
Atburðirnir að vera kvenkyns og að vera með sítt hár eru ekki óháðir; að vita að nemandi er kvenkyns breytir líkunum á því að nemandinn sé með sítt hár.
Lausn
Lausn 1
Athugaðu hvort P ( F OG L ) = P ( F ) P ( L ). Okkur er gefið að P ( F OG L ) = 0.45, but P ( F ) P ( L ) = (.60)(.50) =.30. Atburðirnir að vera kvenkyns og að vera með sítt hár eru ekki óháðir vegna þess að P ( F OG L ) er ekki jafnt og P ( F ) P ( L ).
Lausn 2
Athugaðu hvort P ( L | F ) er jafnt og P ( L ). Okkur er gefið að P ( L | F ) =.75, en P ( L ) =.50; þau eru ekki jöfn. Atburðirnir að vera kvenkyns og að vera með sítt hár eru ekki óháðir.
Dæmi 3.13
Kastaðu einni óhlutdrægri mynt. Myntin hefur tvær hliðar, H og T. Útkomurnar eru ________. Teldu útkomurnar. Þær eru ________.
Kastaðu einum óhlutdrægum, sexhliða teningi. Teningurinn hefur 1, 2, 3, 4, 5 eða 6 punkta á hlið. Útkomurnar eru ________. Teldu útkomurnar. Þær eru ________.
Margfaldaðu fjölda útkoma í hvorri tilraun. Svarið er ________.
Ef þú kastar einni óhlutdrægri mynt og fylgir því eftir með kasti á einum sanngjörnum, sexhliða teningi, er svarið í c-lið fjöldi útkoma (stærð úrtaksrýmisins). Teldu upp útkomurnar. Vísbending—Tvær af útkomunum eru H 1 og T 6.
Atburður A = framhlið ( H ) á myntinni og síðan slétt tala (2, 4, 6) á teningnum. A = {________}. Finndu P ( A ).
Atburður B = framhlið á myntinni og síðan talan þrír á teningnum. B = {________}. Finndu P ( B ).
Eru A og B ósamrýmanlegir? Vísbending—Hvað er P(A og B)? Ef P(A og B) = 0, þá eru A og B ósamrýmanlegir.
Eru A og B óháðir? Vísbending—Er P(A og B) = P ( A ) P ( B )? Ef P(A og B) = P ( A ) P ( B ), þá eru A og B óháðir. Ef ekki, þá eru þeir háðir.
Lausn
H og T; 2
1, 2, 3, 4, 5, 6; 6
2(6) = 12
Búðu til kerfisbundinn lista yfir mögulegar útkomur. Byrjaðu á því að telja upp allar mögulegar útkomur þegar myntin sýnir krónu ( T ). Teldu síðan upp útkomurnar sem eru mögulegar þegar myntin sýnir skjaldarmerki ( H ): T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6, H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6
A = { H 2, H 4, H 6}; P ( A ) = fjöldi útkoma í A/fjöldi mögulegra útkoma =
B = { H 3}; P ( B ) =
Já, vegna þess að P(A og B) = 0
P(A og B) = 0. P ( A ) P ( B ) = ( ) ( ). P(A og B) er ekki jafnt og P ( A ) P ( B ), þannig að A og B eru háð.