33 Líkindafræði

3.5 Tré- og Venn-myndir

3.5 Líkindatré og Vennmyndir

Stundum, þegar líkindafræðidæmi eru flókin, getur verið gagnlegt að setja stöðuna upp myndrænt. Líkindatré og Vennmyndir eru tvö verkfæri sem hægt er að nota til að sjá fyrir sér og leysa dæmi um skilyrtar líkur.

Líkindatré

Líkindatré er sérstök tegund rits sem notuð er til að ákvarða útkomur úr tilraun. Það samanstendur af greinum sem eru merktar annaðhvort með tíðni eða líkum. Líkindatré geta gert sum líkindafræðidæmi auðveldari viðfangs og hjálpað til við að leysa þau. Eftirfarandi sýnidæmi sýnir hvernig á að nota líkindatré:

Dæmi 3.24

Í keri eru 11 kúlur. Þrjár kúlur eru rauðar ( R ) og átta kúlur eru bláar ( B ). Dragið tvær kúlur, eina í einu, með endurvali. Með endurvali þýðir að fyrstu kúlunni er skilað aftur í kerið áður en seinni kúlan er valin. Þess vegna er alltaf valið úr nákvæmlega sama hópnum í hvert skipti, þannig að hver dráttur er óháður. Líkindatréð sýnir allar mögulegar útkomur.

Líkindatré sýnir tíðni drátta. Fyrsta grein skiptist í 8B og 3R. Annað þrep hefur sömu tvær greinar fyrir hverja fyrstu grein. Margfaldað eftir greinunum fæst 64BB, 24BR, 24RB og 9RR. — **Mynd 3.10.** Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121.

Fyrsta mengi greina táknar fyrsta drátt. Það eru 8 leiðir til að draga bláa kúlu og 3 leiðir til að draga rauða. Annað mengi greina táknar annan drátt. Óháð því hvað var valið í fyrsta drætti eru aftur átta leiðir til að draga bláa kúlu og 3 leiðir til að draga rauða. Lesið niður hverja grein til að sjá heildarfjölda mögulegra útkoma. Til dæmis eru 8 leiðir til að fá bláa kúlu í fyrsta drætti og átta leiðir til að fá slíka í öðrum drætti, þannig að það eru 8 $\times ⁠$ 8 = 64 mismunandi leiðir til að draga tvær bláar kúlur í röð. Hver útkoma er aðskilin. Reyndar getum við skráð hverja rauða kúlu sem R 1, R 2 og R 3 og hverja bláa kúlu sem B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7 og B 8. Þá má skrifa útkomurnar níu fyrir RR á eftirfarandi hátt:

R 1 R 1, R 1 R 2, R 1 R 3, R 2 R 1, R 2 R 2, R 2 R 3, R 3 R 1, R 3 R 2, R 3 R 3.

Hinar útkomurnar eru svipaðar.

Það eru alls 11 kúlur í kerinu. Dragið tvær kúlur, eina í einu, með endurvali. Það eru 11(11) = 121 útkomur, sem er stærð útkomurúmsins.

a. Skráið þær 24 BR útkomur: B 1 R 1, B 1 R 2, B 1 R 3, . . .

Lausn

a. Við vitum að það verða 24 mismunandi mögulegar útkomur vegna þess að það eru átta leiðir til að draga bláa og þrjár leiðir til að draga rauða. Gerið kerfisbundinn lista yfir mögulegar útkomur sem samanstanda af blárri kúlu í fyrsta drætti og rauðri kúlu í öðrum drætti.

B 1 R 1, B 1 R 2, B 1 R 3 B 2 R 1, B 2 R 2, B 2 R 3 B 3 R 1, B 3 R 2, B 3 R 3 B 4 R 1, B 4 R 2, B 4 R 3 B 5 R 1, B 5 R 2, B 5 R 3 B 6 R 1, B 6 R 2, B 6 R 3 B 7 R 1, B 7 R 2, B 7 R 3 B 8 R 1, B 8 R 2, B 8 R 3

b. Reiknið P ( RR ).

Lausn

b. Hægt er að nota líkindatréð. Það eru níu leiðir til að draga tvær rauðar og 121 mögulegar útkomur. Því er P ( RR ) = 9/121 ..

Hver dráttur er óháður, þannig að einnig er hægt að nota formúluna: P ( RR ) = P ( R ) P ( R ) = ( 3/11 ) ( 3/11 ) = 9/121 .

c. Reiknið P ( RB eða BR ).

Lausn

c. Líkindatréð sýnir að það eru 24 leiðir til að draga RB og 24 leiðir til að draga BR. Það eru 121 mögulegar útkomur, þannig að P ( RB eða BR ) = 24 + 24/121 = 48/121.

Atburðirnir RB og BR eru ósamrýmanlegir, þannig að P ( RB eða BR ) = P ( RB ) + P ( BR ) = P ( R ) P ( B ) + P ( B ) P ( R ) = ( 3/11 ) ( 8/11 ) + ( 8/11 ) ( 3/11 ) = 48/121 .

d. Notið líkindatréð til að reikna P ( R í fyrsta drætti og B í öðrum drætti).

Lausn

d. Fylgið slóðinni á trénu. Það eru þrjár leiðir til að fá rauða kúlu í fyrsta drætti og átta leiðir til að fá bláa í öðrum drætti. Það eru 3 $\times ⁠$ 8 = 24 leiðir til að draga rauða og síðan bláa, þannig að P ( RB ) = 24/121.

Geturðu hugsað þér aðra leið til að finna þessar líkur? P ( R í fyrsta drætti og B í öðrum drætti) = P ( RB ) = ( 3/11 ) ( 8/11 ) = 24/121

e. Notið líkindatréð til að reikna P ( R í öðrum drætti að gefnu B í fyrsta drætti).

Lausn

e. Að því gefnu að blá kúla sé valin fyrst, þurfum við aðeins að fylgja vinstra mengi greina á líkindatrénu. Í þessu tilviki eru þrjár leiðir til að fá rauða í öðrum drætti og 11 mögulegar útkomur.

Myndin sýnir líkindatré með tveimur stigum þar sem fyrsta stigið sýnir tvær greinar. Fyrsta stigið táknar fyrsta drátt á kúlu. Vinstri greinin er merkt átta B og hægri greinin er merkt þrjú R. Annað stigið táknar annan drátt, tvær viðbótargreinar liggja út frá enda greinanna á fyrsta stigi. Vinstri grein hvorrar um sig er merkt átta B og hægri greinin er merkt þrjú R. — Mynd 3.11

P ( R í öðrum drætti | B í fyrsta drætti ) = 3/11

Einnig er hægt að nota formúluna

P (R í öðrum drætti | B í fyrsta drætti) = \frac{P (R í öðrum drætti og B í fyrsta drætti)}{P (B í fyrsta drætti)} = \frac{\frac{24}{121}}{\frac{64 + 24}{121}} = \frac{24}{88} = \frac{3}{11 .}

f. Notið líkindatréð til að reikna P ( BB ).

Lausn

f. P(BB) = 64 yfir 121

g. Notið líkindatréð til að reikna P ( B í öðrum drætti að gefnu R í fyrsta drætti).

Lausn

g. P ( B í öðrum drætti| R í fyrsta drætti) = 8/11

Það eru 9 + 24 útkomur sem hafa R í fyrsta drætti (9 RR og 24 RB). Úrtaksrýmið er þá 9 + 24 = 33. Tuttugu og fjórar af þessum 33 útkomum hafa B í öðrum drætti. Líkindin eru þá 24/33.

Dæmi 3.25

Ker inniheldur þrjár rauðar kúlur og átta bláar kúlur. Dragið tvær kúlur, eina í einu, að þessu sinni án endurvals, úr kerinu. Án endurvals þýðir að þú setur fyrstu kúluna ekki aftur áður en þú velur aðra kúluna. Hér á eftir er líkindatré fyrir þessa stöðu. Greinarnar eru merktar með líkum í stað tíðni. Tölurnar á endum greinanna eru reiknaðar með því að margfalda tölurnar á tveimur samsvarandi greinum, til dæmis P ( RR ) = ( 3/11 ) ( 2/10 ) = 6/110.

Þetta er líkindatré með greinum sem sýna líkur á hverjum drætti. Fyrsta greinin sýnir 2 línur: B 8/11 og R 3/11. Önnur greinin hefur mengi af 2 línum fyrir hverja línu í fyrstu grein. Fyrir neðan B 8/11 eru B 7/10 og R 3/10. Fyrir neðan R 3/11 eru B 8/10 og R 2/10. Margfaldið eftir hverri línu til að finna BB 56/110, BR 24/110, RB 24/110 og RR 6/110. — **Mynd 3.13.** Samtals = 56 + 24 + 24 + 6/110 = 110/110 = 1 .

Reiknið eftirfarandi líkur með því að nota líkindatréð:

a. P ( RR ) = ________

Lausn

a. P ( RR ) = ( 3/11 ) ( 2/10 ) = 6/110

b. Fylltu í eyðurnar.

P ( RB eða BR ) = ( 3/11 ) ( 8/10 ) + (________)(________) = 48/110

Lausn

b. P ( RB eða BR ) = P ( RB ) + P ( BR ) = P ( R í fyrsta drætti ) P ( B í öðrum drætti ) + P ( B í fyrsta drætti ) P ( R í öðrum drætti ) = ( 3/11 ) ( 8/10 ) + ( 8/11 ) ( 3/10 ) = 48/110

c. Þar sem þetta eru skilyrtar líkur takmörkum við útkomurúmið við þær útkomur þar sem blá kúla kemur í fyrsta drætti. Á öðru þrepi líkindatrésins sést að P ( R í öðrum drætti | B í fyrsta drætti ) = 3/10.

Lausn

c. P ( R í öðrum drætti | B í fyrsta drætti ) = 3/10

d. Fylltu í eyðurnar.

P ( R í fyrsta drætti og B í öðrum drætti ) = P ( RB ) = (________)(________) = 24/110

Lausn

d. P ( R í fyrsta drætti og B í öðrum drætti ) = P ( RB ) = ( 3/11 ) ( 8/10 ) = 24/110

e. Finndu P ( BB ).

Lausn

e. P(BB) = (8 yfir 11)(7 yfir 10)

f. Finndu P ( B í öðrum drætti | R í fyrsta drætti ).

Lausn

f. Með líkindatrénu fæst P ( B í öðrum drætti | R í fyrsta drætti ) = P ( B | R ) = 8/10.

Ef við notum líkur getum við merkt tréð á eftirfarandi almenna hátt:

P ( R | R ) merkir hér P ( R í öðrum drætti | R í fyrsta drætti )
P ( B | R ) merkir hér P ( B í öðrum drætti | R í fyrsta drætti )
P ( R | B ) merkir hér P ( R í öðrum drætti | B í fyrsta drætti )
P ( B | B ) merkir hér P ( B í öðrum drætti | B í fyrsta drætti )

Dæmi 3.26

Got af kettlingum sem eru í boði til ættleiðingar hjá Dýraverndunarfélaginu samanstendur af fjórum bröndóttum kettlingum og fimm svörtum kettlingum. Fjölskylda kemur og velur af handahófi tvo kettlinga (án endurvals) til ættleiðingar.

Líkindatré sýnir líkur á vali kettlinga. Fyrsta grein skiptist í T 4/9 og B 5/9. Undir T eru greinarnar T 3/8 og B 5/8; undir B eru greinarnar T 4/8 og B 4/8. Margfaldað eftir greinunum fæst líkindin fyrir mögulegar samsetningar.

Hvað sýnir líkurnar á því að báðir kettlingarnir séu bröndóttir? a. ( 1/2 ) ( 1/2 ) b. ( 4/9 ) ( 4/9 ) c. ( 4/9 ) ( 3/8 ) d. ( 4/9 ) ( 5/9 )
Hverjar eru líkurnar á því að einn kettlingur af hvorum lit sé valinn? a. ( 4/9 ) ( 5/9 ) b. ( 4/9 ) ( 5/8 ) c. ( 4/9 ) ( 5/9 ) + ( 5/9 ) ( 4/9 ) d. ( 4/9 ) ( 5/8 ) + ( 5/9 ) ( 4/8 )
Hverjar eru líkurnar á því að bröndóttur kettlingur sé valinn sem annar kettlingur þegar svartur kettlingur var valinn fyrst?
Hverjar eru líkurnar á því að velja tvo kettlinga í sama lit?

Lausn

a. ( 4/9 ) ( 3/8 ) , b. ( 4/9 ) ( 5/8 ) + ( 5/9 ) ( 4/8 ) , c. 4/8 , d. 32/72

Vennmynd

Vennmynd er mynd sem sýnir útkomur úr tilraun. Hún samanstendur yfirleitt af kassa sem táknar útkomurúmið S ásamt hringjum eða sporbaugum. Hringirnir eða sporbaugarnir tákna atburði.

Dæmi 3.27

Gerum ráð fyrir að tilraun hafi útkomurnar 1, 2, 3, ..., 12 og að allar útkomur séu jafn líklegar. Látum A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og B = {6, 7, 8, 9}. Þá er A og B = {6} og A eða B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Vennmyndin er eftirfarandi:

Myndin sýnir Vennmynd sem samanstendur af tveimur sporbaugum sem skarast inni í rétthyrningi. Vinstri sporbaugurinn er merktur A og sá hægri er merktur B. Rétthyrningurinn er merktur S. Skýringar gefa til kynna að hver útkoma í útkomurúmnu sé skráð í kassanum. Skyggða svæðið þar sem sporbaugarnir skarast inniheldur allar útkomur sem koma fyrir í báðum atburðum. Þetta svæði inniheldur sex. Allar útkomur í A eru skráðar í sporbauginum merktum A. Gildin eitt, tvö, þrjú, fjögur og fimm liggja inni í A, en utan skurðsvæðisins. Allar útkomur í B eru skráðar í sporbauginum merktum B. Gildin sjö, átta og níu liggja inni í B, en utan skurðsvæðisins. Útkomurnar tíu, ellefu og tólf eru í útkomurúmnu, en ekki í atburðum A eða B, þannig að þær eru skráðar á svæðinu inni í rétthyrningnum og utan sporbauganna. — Mynd 3.15

Dæmi 3.28

Kastaðu tveimur óhlutdrægum myntum. Látum A vera atburðinn að fá bakhlið á fyrri myntinni. Látum B vera atburðinn að fá bakhlið á seinni myntinni. Þá er A = {TT, TH} og B = {TT, HT}. Þess vegna er A og B = {TT} og A eða B = {TH, TT, HT}.

Útkomurúmið þegar tveimur óhlutdrægum myntum er kastað er X = {HH, HT, TH, TT}. Útkoman HH er hvorki í A né B. Vennmyndin er eftirfarandi:

Þetta er Vennmynd. Sporbaugur sem táknar mengi A inniheldur bakhlið + framhlið og bakhlið + bakhlið. Sporbaugur sem táknar mengi B inniheldur einnig bakhlið + bakhlið, ásamt framhlið + bakhlið. Grunnmengið S inniheldur framhlið + framhlið, en þetta gildi er hvorki í mengi A né B. — Mynd 3.16

Dæmi 3.29

Fjörutíu prósent nemenda við háskóla á svæðinu eru í klúbbi og 50 prósent vinna hlutastarf. Fimm prósent nemenda vinna hlutastarf og eru í klúbbi. Teiknaðu Vennmynd sem sýnir þessi tengsl. Látum C vera atburðinn að nemandi sé í klúbbi og PT vera atburðinn að nemandi vinni hlutastarf.

Byrjaðu á því að teikna rétthyrning til að tákna útkomurúmið. Teiknaðu síðan tvo hringi eða sporbauga inni í rétthyrningnum til að tákna atburðina sem um ræðir: að vera í klúbbi ( C ) og að vinna hlutastarf ( PT ). Teiknaðu alltaf form sem skarast til að tákna útkomur sem tilheyra báðum atburðum.

Myndin sýnir Vennmynd sem samanstendur af tveimur hringjum sem skarast inni í rétthyrningi. Vinstri sporbaugurinn er merktur C og sá hægri er merktur PT. Rétthyrningurinn er merktur S. Skurðsvæðið er merkt C og PT og inniheldur líkurnar fimm hundruðustu. Svæðið inni í C, en utan skurðsvæðisins, inniheldur líkurnar þrjátíu og fimm hundruðustu. Svæðið inni í B, en utan skurðsvæðisins, inniheldur líkurnar fjörutíu og fimm hundruðustu. Líkurnar fimmtán hundruðustu eru skráðar á svæðinu inni í rétthyrningnum og utan sporbauganna. — Mynd 3.17

Merktu hvern hluta myndarinnar skýrt og skráðu líkur eða tíðni hvers hluta. Byrjaðu á því að merkja skurðsvæðið fyrst. Taktu eftir að líkurnar í C eru samtals 0.40 og summa líkanna í PT er 0.50. Heildarsumma allra sýndra líkinda verður að vera 1, sem táknar 100 prósent af útkomurúmnu.

Ef nemandi er valinn af handahófi, finndu eftirfarandi:

líkurnar á því að nemandinn sé í klúbbi.
líkurnar á því að nemandinn vinni hlutastarf.
líkurnar á því að nemandinn sé í klúbbi OG vinni hlutastarf.
líkurnar á því að nemandinn sé í klúbbi að því gefnu að nemandinn vinni hlutastarf.
líkurnar á því að nemandinn sé í klúbbi EÐA vinni hlutastarf.

Lausn

P ( C ) = 0,40

P ( PT ) = 0,50

P ( C og PT ) = 0,05

P ( C | P T ) = P ( C og P T )/P ( P T ) = 0,05/0,50 = 0,1

P ( C eða PT ) = P ( C ) + P ( PT ) − P ( C og PT ) = 0,40 + 0,50 − 0,05 = 0,85

Dæmi 3.30

Einstaklingur með blóðflokk O og neikvæðan Rh-þátt (Rh–) getur gefið blóð til hvaða einstaklings sem er, óháð blóðflokki. Fjögur prósent Afríku-Bandaríkjamanna eru með blóðflokk O og neikvæðan Rh-þátt, 5−10 prósent Afríku-Bandaríkjamanna eru með Rh– þáttinn, og 51 prósent eru með blóðflokk O.

Þetta er tóm Vennmynd sem sýnir tvo hringi sem skarast. Vinstri hringurinn er merktur O og sá hægri er merktur RH-. — Mynd 3.18

„O“ hringurinn táknar Afríku-Bandaríkjamenn með blóðflokk O. „Rh–“ sporbaugurinn táknar Afríku-Bandaríkjamenn með Rh– þáttinn.

Við notum meðaltal 5 prósenta og 10 prósenta, 7,5 prósent, sem hlutfall Afríku-Bandaríkjamanna sem eru með Rh– þáttinn. Látum O vera atburðinn að Afríku-Bandaríkjamaður sé með blóðflokk O og R vera atburðinn að Afríku-Bandaríkjamaður sé með Rh– þáttinn.

P ( O ) = ___________
P ( R ) = ___________
P ( O og R ) = ___________
P ( O eða R ) = ____________
Lýstu skurðsvæðinu í Vennmyndinni með heilli setningu.
Lýstu svæðinu í rétthyrningnum en utan bæði hringsins og sporbaugsins í Vennmyndinni með heilli setningu.

Lausn

a. P ( O ) = 0,51

b. P ( R ) = 0,075 vegna þess að að meðaltali 7,5 prósent Afríku-Bandaríkjamanna eru með Rh– þáttinn.

c. P ( O og R ) = 0,04 vegna þess að 4 prósent Afríku-Bandaríkjamanna eru bæði með blóðflokk O og Rh– þáttinn.

d. P ( O eða R ) = P ( O ) + P ( R ) - P ( O og R ) = 0,51 + 0,075 − 0,04 = 0,545

e. Svæðið táknar þá Afríku-Bandaríkjamenn sem eru með blóðflokk O og Rh– þáttinn.

f. Svæðið táknar þá Afríku-Bandaríkjamenn sem eru hvorki með blóðflokk O né Rh– þáttinn.