7.2 Höfuðsetning tölfræðinnar fyrir summur (valfrjálst)
Gerum ráð fyrir að X sé slembibreyta með dreifingu sem getur verið þekkt eða óþekkt (hún getur verið hvaða dreifing sem er) og gerum ráð fyrir að:
μX = meðaltal X
σX = staðalfrávik X
Ef þið takið slembiúrtök af stærð n, þá hefur slembibreytan ΣX, sem samanstendur af summum, tilhneigingu til að verða normaldreifð þegar n stækkar og ΣX ~ N[(n)(μX), (√n)(σX)].
Höfuðsetning tölfræðinnar fyrir summur segir að ef þið haldið áfram að taka stærri og stærri úrtök og reiknið summur þeirra, mynda summurnar sína eigin normaldreifingu, úrtakadreifinguna, sem nálgast normaldreifingu eftir því sem úrtaksstærðin eykst. Normaldreifingin hefur meðaltal sem er jafnt upprunalega meðaltalinu margfölduðu með úrtaksstærðinni og staðalfrávik sem er jafnt upprunalega staðalfrávikinu margfölduðu með kvaðratrótinni af úrtaksstærðinni.
Slembibreytan ΣX hefur eftirfarandi z-gildi tengt sér:
Σx er ein summa.
z = (Σx - nμX) / (√n σX), þar sem
nμX = meðaltal ΣX√n σX = staðalfrávik ΣX
Dæmi 7.5
Óþekkt dreifing hefur meðaltalið 90 og staðalfrávikið 15. Slembiúrtak af stærð 80 er tekið úr þýðinu.
Finnið líkurnar á því að summa 80 gildanna, eða heild 80 gildanna, sé meiri en 7.500.
Finnið summuna sem er 1,5 staðalfrávikum fyrir ofan meðaltal summanna.
Lausn
Látum X vera eitt gildi úr upprunalega óþekkta þýðinu. Spurt er um líkur fyrir summuna, eða heildina, af 80 gildum.
ΣX er summa eða heild 80 gilda. Þar sem μX = 90, σX = 15 og n = 80, gildir ΣX ~ N[(80)(90), (√80)(15)].
Í nýlegri rannsókn sem greint var frá 29. október 2012 var meðalaldur spjaldtölvunotenda 34 ár. Gerum ráð fyrir að staðalfrávikið sé 15 ár. Úrtaksstærðin er 50.
Hvert er meðaltal og staðalfrávik summu aldurs spjaldtölvunotenda? Hver er dreifingin?
Finnið líkurnar á því að summa aldursins sé á milli 1.500 og 1.800 ára.
Finnið 80. prósentumarkið fyrir summu aldurs 50 spjaldtölvunotenda.
Lausn
μΣx = nμx = 50(34) = 1700 og σΣx = √n σx = (√50)(15) = 106,07. Dreifingin er normaldreifing fyrir summur samkvæmt höfuðsetningu tölfræðinnar.
Látum k vera 95. prósentumarkið. k = invNorm(0.95,(70)(8.2),(√70)(1)) = 587,76 mínútur. Níutíu og fimm prósent af summum notkunartíma í úrtökum af stærð 70 eru í mesta lagi 587,76 mínútur.
