77 Höfuðsetning tölfræðinnar

Lykilhugtök

meðaltal: Tala sem lýsir miðsækni gagnanna; til eru nokkrar sérhæfðar gerðir meðaltala, þar á meðal reiknað meðaltal, vegið meðaltal, miðgildi, tíðasta gildi og rúmfræðilegt meðaltal.

höfuðsetning tölfræðinnar: Gefin sé slembibreyta með þekkt meðaltal μ og þekkt staðalfrávik σ, og tekin séu úrtök af stærð n. Þá skoðum við tvær nýjar slembibreytur: úrtaksmeðaltalið $\bar{X}$ og úrtakssummuna $Σ X$ . Ef n er nægilega stórt, þá er $\bar{X}$ ~ N(μ, $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ ) og $Σ X$ ~ N(nμ, (√n)(σ)). Þegar n er nægilega stórt nálgast dreifing úrtaksmeðaltala og dreifing úrtakssumma normaldreifingu, óháð lögun þýðisins. Meðaltal úrtaksmeðaltalanna er jafnt þýðismeðaltalinu og meðaltal úrtakssummanna er n sinnum þýðismeðaltalið. Staðalfrávik dreifingar úrtaksmeðaltalanna, $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ , kallast staðalskekkja meðaltalsins.

veldisdreifing: Samfelld slembibreyta sem kemur fram þegar áhuginn beinist að tíma milli slembinna atburða, til dæmis milli komu sjúklinga á bráðamóttöku. Ritháttur: $X ~ Exp (m)$ . Meðaltal er $μ = \frac{1}{m}$ og staðalfrávik er $σ = \frac{1}{m}$ . Þéttifallið er $f (x) = m e^{- m x}$ , x ≥ 0, og dreififallið er $P (X \leq x) = 1 - e^{- m x}$ .

reiknað meðaltal: Tala sem mælir miðsækni. Reiknað meðaltal er oft einfaldlega kallað meðaltal. Samkvæmt skilgreiningu er úrtaksmeðaltalið $\bar{x} = \frac{summa allra gilda í úrtakinu}{fjöldi gilda í úrtakinu}$ og þýðismeðaltalið $μ = \frac{summa allra gilda í þýðinu}{fjöldi gilda í þýðinu}$ .

normaldreifing: Samfelld slembibreyta með þéttifall $f (x) =$ $\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ , þar sem μ er meðaltal dreifingarinnar og σ staðalfrávik hennar. Ritháttur: $X ~ N (μ, σ)$ . Ef $μ = 0$ og $σ = 1$ kallast slembibreytan stöðluð normaldreifing.

úrtakadreifing: Ef tekin eru einföld slembiúrtök af stærð n úr tilteknu þýði og mæld er lýsistærð í hverju úrtaki, svo sem meðaltal, hlutfall eða staðalfrávik, kallast líkindadreifing allra slíkra mældra lýsistærða úrtakadreifing.

staðalskekkja meðaltalsins: Staðalfrávik dreifingar úrtaksmeðaltala, þ.e. $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ .

jöfn dreifing: Samfelld slembibreyta þar sem öll gildi á bilinu a < x < b eru jafnlíkleg. Graf þéttifallsins hefur lögun rétthyrnings. Ritháttur: $X ~ U (a, b)$ . Meðaltal er $μ = \frac{a + b}{2}$ og staðalfrávik er $σ =$ $\sqrt{\frac{{(b - a)}^{2}}{12}}$ . Þéttifallið er $f (x) = \frac{1}{b - a}$ fyrir a < x < b eða a ≤ x ≤ b. Dreififallið er $P (X \leq x) = \frac{x - a}{b - a}$ .