33.2 Bestunarlínur

3.2.4 Mat á gæðum línulegs líkans

3.2.4 Að meta hversu vel línulegt líkan fellur að gögnum

Verkefni

Þyngd íss sem seldur er í lítilli verslun, í pundum ( $x$ ), og meðalhiti úti, í gráðum Selsíus ( $y$ ), eru skráð í töflunni.

$x$	20	18	21	17	21,5	19,5	21	18
$y$	6	4,5	6,5	3,5	7,5	6,5	7	5

Búðu til dreifirit fyrir gögnin í hnitakerfi án tæknibúnaðar og teiknaðu línu sem fellur vel að gögnunum.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Svör geta verið ólík. Hér er dæmi: Línan sem þú teiknar ætti að liggja um miðju gagnanna í dreifiritinu.

Graf með blárri leitnilínu og sex grænum gagnapunktum sem liggja nálægt línunni og sýna jákvæða fylgni. Hnitakerfið er merkt með x- og y-ás.

Að nota tæknibúnað til að finna jöfnu línunnar sem fellur best að

Áður teiknaðir þú línu sem fellur best að gögnunum án tæknibúnaðar og fannst jöfnu hennar. Í þessu verkefni og það sem eftir er af kennslustundinni notar þú tæknibúnað til að finna jöfnu línunnar sem fellur best að gögnunum.

Notaðu nú tæknibúnað til að búa til dreifiritið og reikna línuna sem fellur best að gögnunum.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt:

$y = 0,78x − 9,44$

Hvert er gildi hallatölunnar fyrir línuna sem fellur best að gögnunum? Námundaðu að næsta hundraðshluta, það er tveimur aukastöfum.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Hallatalan er 0,78.

Hvað merkir hallatalan í þessum aðstæðum?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Þetta merkir að um það bil 1 pund til viðbótar af ís selst fyrir hverja 0,78 gráðu hækkun á útihita.

Hvert er gildi skurðpunktsins við $y$ -ás fyrir línuna sem fellur best að gögnunum? Námundaðu að næsta hundraðshluta.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Skurðpunkturinn við $y$ -ás er:

$(0; −9,44)$

Hvað merkir þessi skurðpunktur við $y$ -ás í aðstæðunum?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Þetta merkir að samkvæmt líkaninu selst enginn ís þegar hitastigið er um það bil −9,44 gráður á Selsíus.

Notaðu línuna sem fellur best að gögnunum til að spá fyrir um $y$ -gildið þegar $x$ er 10.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt: um það bil −1,64 gráður á Selsíus.

Er þetta gott mat fyrir gögnin? Sýndu rökstuðning þinn.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Svör geta verið ólík. Þetta gæti verið gott mat fyrir gögnin, því punktarnir virðast liggja nálægt línunni. Hins vegar getur sambandið breyst þegar hitastig fer niður fyrir frostmark, þannig að þegar aðeins 10 pund af ís seljast gæti sambandið við veðrið verið annað.

Kennarinn lætur þig fá gagnatöflu fyrir eitt af hinum dreifiritunum úr fyrra verkefni. Notaðu tæknibúnað og gagnatöfluna til að búa til dreifirit og finna línuna sem fellur best að gögnunum.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt:

$Spjald A: y = 1,1979x + 1,3196$

$Spjald B: y = −0,4337x + 12,288$

$Spjald C: y = 0,9749x + 4,6529$

$Spjald D: y = −2,063x + 16,144$

$Spjald E: y = 1,1979x + 5,8196$

10.

Túlkaðu merkingu hallatölunnar í þessari línu sem fellur best að gögnunum.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Hér eru dæmi:

Spjald A: Þegar $x$ er núll er $y$ 1,3196. Þegar $x$ hækkar um 1 hækkar $y$ að meðaltali um 1,1979.
Spjald B: Þegar $x$ er núll er $y$ 12,288. Þegar $x$ hækkar um 1 lækkar $y$ að meðaltali um 0,4337.
Spjald C: Þegar $x$ er núll er $y$ 4,6529. Þegar $x$ hækkar um 1 hækkar $y$ að meðaltali um 0,9749.
Spjald D: Þegar $x$ er núll er $y$ 16,144. Þegar $x$ hækkar um 1 lækkar $y$ að meðaltali um 2,063.
Spjald E: Þegar $x$ er núll er $y$ 5,8196. Þegar $x$ hækkar um 1 hækkar $y$ að meðaltali um 1,1979.

Dýpkun

Priya notar nokkrar mismunandi akstursþjónustur til að ferðast um borgina sína. Taflan sýnir vegalengd, í mílum, í síðustu 10 ferðum hennar og verð hverrar ferðar, í dollurum.

11.

Priya býr til dreifirit úr gögnunum með vegalengd $x$ og verð $y$ . Hún telur að línulegt líkan henti gögnunum. Notaðu tæknibúnað til að finna jöfnu línu sem fellur best að gögnunum.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt:

$y = 1,57x + 7,6$

12.

Túlkaðu hallatöluna og skurðpunktinn við $y$ -ás í jöfnu línunnar sem fellur best að gögnunum.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Til dæmis merkir hallatalan að fargjaldið hækkar um 1,57 dollara fyrir hverja ekna mílu til viðbótar. Skurðpunkturinn við $y$ -ás merkir að upphafsgjaldið fyrir að setjast inn í bílinn er um það bil 7,60 dollarar.

13.

Notaðu línuna sem fellur best að gögnunum til að áætla kostnaðinn við 3,6 mílna ferð. Verður matið nálægt raunverulegu gildinu? Sýndu rökstuðning þinn.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Samkvæmt línunni sem fellur best að gögnunum er kostnaðurinn við 3,6 mílna ferð um það bil 13,25 dollarar, sem er sama verð og 3,5 mílna ferðin í töflunni.

14.

Í næstu ferð prófar Priya nýja akstursþjónustu og fer 3,6 mílur, en borgar aðeins 4,00 dollara vegna afsláttar. Bættu þessari ferð við töfluna og reiknaðu jöfnu línunnar sem fellur best að fyrir allar 11 ferðirnar. Hækkaði hallatalan, lækkaði hún eða hélst hún óbreytt? Hvers vegna?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Til dæmis lækkaði hallatala línunnar í 1,27 dollara fyrir hverja mílu til viðbótar. Hún lækkaði líklega vegna þess að 4,00 dollarar er miklu lægra verð á mílu en í öðrum ferðum hennar vegna afsláttarins. Þetta lækkar hallatöluna, það er verðhækkunina fyrir hverja mílu til viðbótar.

15.

Priya notar nýju akstursþjónustuna í 12. ferðinni sinni. Hún fer 4,1 mílu og borgar 24,75 dollara. Hvernig heldur þú að hallatala jöfnu línunnar sem fellur best að breytist þegar þessari 12. ferð er bætt við töfluna?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svar þitt. Til dæmis hækkar hallatala línunnar líklega vegna þess að 24,75 dollarar er mjög hátt verð og mun líklega hækka kostnaðinn fyrir hverja mílu til viðbótar.

Myndband: Að finna línur sem falla best að

Horfðu á myndbandið til að læra meira um hvernig á að finna línu sem fellur best að gögnum.

Sjálfspróf

Old Faithful er goshver í Yellowstone-þjóðgarðinum. Taflan sýnir grófar áætlanir um lengd goss, í mínútum, og vatnsmagn, í gallonum, í gosinu.

16.

Notaðu tæknibúnað til að finna jöfnu línunnar sem fellur best að gögnunum. Námundaðu að næsta hundraðshluta.

$y = −1151,19x + 1640,48$
$y = 1640,48x + 1151,19$
$y = 800x + 2500$
$y = 1151,19x + 1640,48$

Ítarefni

Tæknibúnaður og línur sem falla best að gögnum

Vísindamenn vilja vita hvernig ólíkar tegundir laga sig að fæðuöflun. Einn hópur rannsakaði krókódíldýr til að kanna hvernig bitkraftur tengdist líkamsmassa og fæðu. Taflan sýnir líkamsmassa og bitkraft, hvort tveggja í pundum.

Tegund	Líkamsmassi (pund)	Bitkraftur (pund)
Dvergkrókódíll	35	450
Krókódíll F	40	260
Alligator A	30	250
Kaiman A	28	230
Kaiman B	37	240
Kaiman C	45	255
Krókódíll A	110	550
Nílarkrókódíll	275	650
Krókódíll B	130	500
Krókódíll C	135	600
Krókódíll D	135	750
Kaiman D	125	550
Indverskur gavíall	225	400
Krókódíll G	220	1.000
Amerískur krókódíll	270	900
Krókódíll E	285	750
Krókódíll F	425	1.650
Amerískur alligator	300	1.150
Alligator B	325	1.200
Alligator C	365	1.450

Dreifiritið hér fyrir neðan sýnir gögnin um líkamsmassa og bitkraft krókódíldýranna í rannsókninni.

Dreifirit sem sýnir líkamsmassa í pundum á x-ásnum og bitkraft í pundum á y-ásnum fyrir krókódíldýr.

Með tæknibúnaði fæst eftirfarandi lína sem fellur best að gögnunum:

$y = 3,02x + 154,68$

Hallatala línunnar er 3,02. Það merkir að fyrir hvert pund sem krókódíldýrið vegur meira má búast við 3,02 pundum meiri bitkrafti.

Skurðpunkturinn við $y$ -ás er 154,68. Það er ekki fyllilega rökrétt fyrir krókódíldýr sem vegur 0 pund, en gefur þó lágmarksbitkraft sem líkanið spáir.

Berðu saman svar þitt. Notaðu eftirfarandi $x$ - og $y$ -gildi til að búa til dreifirit og línu sem fellur best að gögnunum.

$x$	36	32	28	24	20	16	12	8	4	0
$y$	9,72	9,83	9,86	9,97	9,88	10,01	9,96	10,13	10,30	10,09

Dreifirit sem sýnir ár á x-ásnum og meðaltíma í sekúndum á y-ásnum. Línan sem fellur best að gögnunum lækkar frá vinstri til hægri.

Jafna línunnar sem fellur best að gögnunum, fundin með tæknibúnaði, er:

$y = −0,01x + 10,2$

Fjöldi ára frá 1976	36	32	28	24	20	16	12	8	4	0
Gull	9,63	9,69	9,85	9,87	9,84	9,96	9,92	9,99	10,25	10,06
Silfur	9,75	9,89	9,86	9,99	9,89	10,02	9,97	10,19	10,25	10,07
Brons	9,79	9,91	9,87	10,04	9,90	10,04	9,99	10,22	10,39	10,14
Meðaltími	9,72	9,83	9,86	9,97	9,88	10,01	9,96	10,13	10,30	10,09