55.6 Neikvæð veldi og staðalform

5.6.2 Að túlka neikvæða veldisvísa í veldisvexti

5.6.2 • Að túlka neikvæða veldisvísa í veldisvexti

Verkefni

Sjávarlíffræðingur áætlar að kóralbygging hafi rúmmálið 1.200 rúmsentimetrar og að rúmmálið tvöfaldist á hverju ári.

Two clownfish swim among the pale pink tentacles of sea anemones in a colorful coral reef aquarium, surrounded by various soft corals and marine life.

1. Ritaðu jöfnu á forminu $y = a \cdot b^{t}$ sem táknar sambandið, þar sem $t$ er tími í árum frá því að kórallinn var mældur og $y$ er rúmmál kóralsins í rúmsentimetrum. Þú þarft að finna tölurnar $a$ og $b$ í þessum aðstæðum.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$y = 1200 \cdot 2^{t}$

2. Finndu rúmmál kóralsins þegar $t$ er 5, 1, 0, -1 og -2. Athugaðu að t = -1 táknar eitt ár áður en sjávarlíffræðingurinn gerði upphaflega matið.

Tími (ár)	5	1	0	-1	-2
Rúmmál kórals (rúmsentimetrar)	a. ____	b. ____	c. ____	d. ____	e. ____

a. Skráðu rúmmál kóralsins þegar $t = 5$ .

[Sýna/fela lausn]

38.400 rúmsentimetrar

b. Skráðu rúmmál kóralsins þegar $t = 1$ .

[Sýna/fela lausn]

2.400 rúmsentimetrar

c. Skráðu rúmmál kóralsins þegar $t = 0$ .

[Sýna/fela lausn]

1.200 rúmsentimetrar

d. Skráðu rúmmál kóralsins þegar $t = - 1$ .

[Sýna/fela lausn]

600 rúmsentimetrar

e. Skráðu rúmmál kóralsins þegar $t = - 2$ .

[Sýna/fela lausn]

300 rúmsentimetrar

3. Hvað þýðir $t = - 2$ í þessum aðstæðum?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

Það táknar tímann tveimur árum áður en vísindamaðurinn áætlaði rúmmálið 1.200 rúmsentimetra.

4. Á tilteknu ári er rúmmál kóralsins 37,5 rúmsentimetrar. Hvaða ár er þetta? Sýndu rökstuðning þinn.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$t = - 5$ , eða 5 árum áður en vísindamaðurinn áætlaði rúmmálið 1.200 rúmsentimetra.

Viðbótarefni

Að túlka neikvæða veldisvísa í veldisvexti

Skoðum verkefni með jöfnu fyrir veldisvöxt og neikvæða veldisvísa.

Skógareldur hefur logað í nokkra daga. Brunnið svæði, í ekrum, er gefið með jöfnunni $y = 4800 \cdot 2^{d}$ , þar sem $d$ er fjöldi daga frá því að svæðið var fyrst mælt.

1. Fyllum út töfluna.

d, dagar frá fyrstu mælingu	y, brunnið svæði í ekrum
0	4.800
-1	2.400
-2	1.200
-3	600
-5	150

Til að ákvarða gildi $y$ þegar $d$ er gefið skaltu fylgja þessum skrefum:

Dæmi 1

Ákvarðaðu gildi $y$ þegar d = -2.

Skref 1 - Settu gefna gildið inn fyrir $d$ í stæðuna.

$4800 \cdot 2^{- 2}$

Skref 2 - Reiknaðu veldið. Neikvæður veldisvísir segir hversu oft á að margfalda með andhverfu veldisstofnsins.

$= 4800 \cdot (^{\frac{1}{2}) 2} = 4800 \cdot \frac{1}{4}$

Skref 3 - Reiknaðu það sem eftir er af stæðunni til að ákvarða $y$ .

$= 1200$

Dæmi 2

Ákvarðaðu gildi $y$ þegar d = -3.

Skref 1 - Settu gefna gildið inn fyrir $d$ í stæðuna.

$4800 \cdot 2^{- 3}$

Skref 2 - Reiknaðu veldið. Neikvæður veldisvísir segir hversu oft á að margfalda með andhverfu veldisstofnsins.

$= 4800 \cdot (^{\frac{1}{2}) 3} = 4800 \cdot \frac{1}{8}$

Skref 3 - Reiknaðu það sem eftir er af stæðunni til að ákvarða $y$ .

$= 600$

Dæmi 3

Ákvarðaðu gildi $y$ þegar d = -5.

Skref 1 - Settu gefna gildið inn fyrir $d$ í stæðuna.

$4800 \cdot 2^{- 5}$

Skref 2 - Reiknaðu veldið. Neikvæður veldisvísir segir hversu oft á að margfalda með andhverfu veldisstofnsins.

$= 4800 \cdot (^{\frac{1}{2}) 5} = 4800 \cdot \frac{1}{32}$

Skref 3 - Reiknaðu það sem eftir er af stæðunni til að ákvarða $y$ .

$= 150$

Dæmi 4

Hvað segir gildi $y$ um brunna svæðið þegar d = -1?

Gildið á $y$ þegar d = -1 segir að 2.400 ekrur höfðu brunnið einum degi áður en fyrsta mælingin var tekin.

Dæmi 5

Hversu stórt svæði hafði eldurinn brennt viku áður en hann mældist 4.800 ekrur? Útskýrðu rökstuðning þinn.

Þar sem 7 dagar eru í viku þurfum við að ákvarða gildi $y$ þegar d = -7.

Skref 1 - Settu gefna gildið inn fyrir $d$ í stæðuna.

$4800 \cdot 2^{- 7}$

Skref 2 - Reiknaðu veldið. Neikvæður veldisvísir segir hversu oft á að margfalda með andhverfu veldisstofnsins.

$= 4800 \cdot (^{\frac{1}{2}) 7} = 4800 \cdot \frac{1}{128}$

Skref 3 - Reiknaðu það sem eftir er af stæðunni til að ákvarða $y$ .

$= 37,5$

$37,5$ ekrur höfðu brunnið viku áður en eldurinn mældist 4.800 ekrur. Gildið fæst með því að setja -7 inn fyrir $d$ , því -7 táknar 7 daga fyrir fyrstu mælinguna.