55.6 Neikvæð veldi og staðalform

5.6.3 Að túlka neikvæða veldisvísa í vísishnignun

5.6.3 • Að túlka neikvæða veldisvísa í vísishnignun

Verkefni

Manneskja tók lyf en man ekki hversu mikið. Hún hefur áhyggjur af því að hafa tekið of mikið og fer í blóðprufu á klukkustundar fresti í nokkrar klukkustundir.

−3
−1
0	100
1	50
2	25

Svaraðu eftirfarandi spurningum.

1. Tíminn $t$ er mældur í klukkustundum frá fyrstu blóðprufunni og magn lyfs í líkamanum, $m$ , er mælt í milligrömmum. Hver er hnignunarstuðullinn? Með öðrum orðum, hvað er $b$ í jöfnu á forminu $m = a \cdot b^{t}$ ?

Lausn

$b = \frac{1}{2}$

2. Hvað er $a$ ?

Lausn

$a = 100$

3. Finndu magn lyfs í líkama sjúklingsins þegar $t = - 1$ .

Lausn

Þegar $t = - 1$ er $m = 200$ .

4. Finndu magn lyfs í líkama sjúklingsins þegar $t = - 3$ .

Lausn

Þegar $t = - 3$ er $m = 800$ .

5. Hvað þýðir $t = 0$ í þessum aðstæðum?

Lausn

$t = 0$ táknar tímann þegar læknirinn tók fyrstu blóðprufuna.

6. Hvað þýðir $t = - 3$ í þessum aðstæðum?

Lausn

$t = - 3$ táknar 3 klukkustundir áður en læknirinn tók fyrstu blóðprufuna.

7. Lyfið var tekið þegar $t = - 5$ . Ef manneskjan hafði ekkert af lyfinu í líkamanum áður, hversu mikið lyf tók sjúklingurinn?

Lausn

3.200 mg. Magn lyfsins helmingast á hverri klukkustund. Eftir fimm helminganir standa eftir 100 mg, sem er magn lyfsins í líkamanum þegar $t = 0$ .

8. Búðu til graf með því að merkja inn punktana úr töflunni hér að ofan. Teiknaðu og merktu kvarðastrik á ásana.

Graf með lóðréttan ás merktan m og láréttan ás merktan t. Ásarnir byrja í punktinum O neðst til vinstri, en engir punktar eða kvarðastrik hafa verið sett inn.

Lausn

Dæmisvar:

Dreifirit þar sem punktarnir eru hærri vinstra megin fyrir neikvæð t-gildi og lægri hægra megin fyrir jákvæð t-gildi. Lóðrétti ásinn er merktur m og lárétti ásinn t; punktar eru við (-3, 800), (-2, 400), (-1, 200) og (0, 100), og grafið nálgast x-ásinn til hægri.

9. Notaðu grafið þitt til að áætla hvenær sjúklingurinn hefur 500 mg af lyfi eftir í líkamanum.

Lausn

Það er á milli 2 og 3 klukkustundum áður en sjúklingurinn fór fyrst í blóðprufu.

10. Notaðu grafið þitt til að áætla hvenær sjúklingurinn hefur ekkert lyf eftir í líkamanum.

Lausn

Svör geta verið mismunandi. Til dæmis gæti það verið einhvern tíma eftir 10 klukkustundir; þá er magnið komið undir um 0,1 mg og getur verið of lítið til að mælast.
Að lokum fer allt lyfið úr líkamanum, en stærðfræðilíkanið fyrir magn lyfsins nær aldrei gildinu 0.

Viðbótarverkefni

Án þess að reikna nákvæmt gildi skaltu lýsa hverri stærð sem nálægt 0, nálægt 1 eða miklu stærri en 1.

$\frac{1}{1 - 2^{- 10}}$

Lausn

Nálægt 1.

$\frac{2^{10}}{2^{10} + 1}$

Lausn

Nálægt 1.

$\frac{2^{- 10}}{2^{10} + 1}$

Lausn

Nálægt 0.

$\frac{1 - 2^{- 10}}{2^{10}}$

Lausn

Nálægt 0.

$\frac{1 + 2^{10}}{2^{- 10}}$

Lausn

Miklu stærri en 1.

Sjálfspróf

Talning á þöllum fer fram í þjóðgarði. Landverðir hafa komist að því að aðeins $\frac{4}{5}$ af stofninum lifa af milli ára. Taflan sýnir fjölda þalla, $h$ , $y$ árum frá talningunni.

−2	?
0	64.000
1	51.200
3	32.768

Hver var áætlaður fjöldi þalla tveimur árum fyrir talninguna?

100.000
80.000
125.000
156.250

Viðbótarefni

Að túlka neikvæða veldisvísa í vísishnignun

Skoðum verkefni með jöfnu fyrir vísishnignun og neikvæða veldisvísa.

Vísindamaður skráir fjölda baktería í petrískál. Gögnin eru sýnd í töflunni.

d, dagar frá fyrstu mælingu	b, fjöldi baktería
−3
−1
0	40.000
1	20.000
3	5.000

Fjöldi daga $d$ frá fyrstu mælingu samsvarar fjölda baktería, $b$ , sem áætlað er að séu lifandi í skálinni.

1. Hver er hnignunarstuðullinn, $f$ , í jöfnu á forminu $b = n \cdot f^{d}$ ? Hver er upphafsfjöldinn, $n$ , á fyrsta mælingardegi?

Þar sem fjöldi baktería á degi 0 er 40.000 er n = 40.000. Þar sem fjöldinn helmingast á hverjum degi er hnignunarstuðullinn $f = \frac{1}{2}$ .

$b = 40000 \cdot (^{\frac{1}{2}) d}$

2. Hvað þýða $d = - 1$ og $d = - 3$ í þessum aðstæðum?

Dagurinn sem fyrsta mælingin er gerð er $d = 0$ . Neikvæð gildi á $d$ vísa því til daga fyrir fyrstu mælinguna: $d = - 1$ er einum degi fyrr og $d = - 3$ er þremur dögum fyrr.

3. Hversu margar bakteríur voru til staðar einum degi fyrir fyrstu mælinguna?

Settu −1 inn fyrir $d$ í jöfnunni.

$b = 40000 \cdot (^{\frac{1}{2}) d}$

$b = 40000 \cdot (^{\frac{1}{2}) - 1}$

$b = 40000 \cdot 2$

$b = 80000$

Það voru 80.000 bakteríur í petrískálinni einum degi fyrir fyrstu mælinguna.

4. Gerðu ráð fyrir að bakteríufjöldinn hafi verið mestur þremur dögum fyrir fyrstu mælinguna. Hver var hámarksfjöldinn?

Settu −3 inn fyrir $d$ í jöfnunni.

$b = 40000 \cdot (^{\frac{1}{2}) d}$

$b = 40000 \cdot (^{\frac{1}{2}) - 3}$

$b = 40000 \cdot 8$

$b = 320000$

Það voru 320.000 bakteríur í petrískálinni þremur dögum fyrir fyrstu mælinguna, þegar fjöldinn var mestur.

Reyndu þetta

Að túlka neikvæða veldisvísa í vísishnignun

Fjárfestir hefur fylgst með verðmæti tiltekinnar fjárfestingar frá árinu 2016. Verðmætið hefur lækkað með tímanum. Gögnin eru sýnd í töflunni.

−2
−1
0	$36.000
1	$12.000
2	$4.000

Hvaða jafna lýsir þessum aðstæðum?
Hvað þýða $y = - 1$ og $y = - 2$ í þessum aðstæðum?
Ef verðmæti fjárfestingarinnar var hæst árið 2014, hvert var hámarksverðmætið?

Lausn

Jafnan er $v = 36000 \cdot (^{\frac{1}{3}) y}$ . Verðmætið árið 0 er $36.000 og hnignunarstuðullinn er $\frac{1}{3}$ .
$y = - 1$ táknar 1 ár fyrir 2016, það er 2015. $y = - 2$ táknar 2 ár fyrir 2016, það er 2014.
Hámarksverðmæti fjárfestingarinnar var $324.000. $\begin{array}{rcl} v & = & 36000 \cdot {(\frac{1}{3})}^{y} \\ v & = & 36000 \cdot {(\frac{1}{3})}^{- 2} \\ v & = & 36000 \cdot 9 \\ v & = & 324000 \end{array}$