7.17.2 Breyting stæðna til að hliðra gröfum
7.17.2 Breyting stæðna til að hliðra gröfum
7.17.2 • Breyting stæðna til að hliðra gröfum
Verkefni
1. Hvernig myndir þú breyta jöfnunni f(x)=x2 þannig að topppunktur grafs nýju jöfnunnar sé í eftirfarandi hnitum og grafið opnist eins og lýst er?
a. (0, 11), opnast upp
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
b. (7, 11), opnast upp
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
c. (7, −3), opnast niður
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
[Sýna/fela lausn]
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
3. Kiran teiknaði graf jöfnunnar f(x)=x2+1 og tók eftir að topppunkturinn er í (0, 1). Hann breytti jöfnunni í f(x)=(x−3)2+1 og sá að grafið hliðraðist 3 einingar til hægri og topppunkturinn varð (3, 1). Næst teiknaði hann graf jöfnunnar f(x)=x2+2x+1 og tók eftir að topppunkturinn er í (−1, 0). Kiran hugsaði: „Ef ég breyti kvaðratliðnum x2 í (x−5)2, færist grafið 5 einingar til hægri og topppunkturinn verður (4, 0).“
a. Ertu sammála Kiran?
b. Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn fyrir því hvers vegna þú ert sammála eða ósammála Kiran.
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Ósammála.
Þú ættir að vera ósammála Kiran.
Topppunktur grafs upphaflegu jöfnunnar er í (−1, 0). Topppunktur grafs er í (4, 10), ekki í (4, 0).
4. f(x)=(x+4)2−1 er fleygbogi með topppunkt í (−4, −1) sem opnast upp.
a. Ef við margföldum með 2 fáum við:
Hvernig breytir þetta grafinu?
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Fleygboginn verður þrengri og topppunkturinn færist niður. Skurðpunktarnir við x-ás haldast þeir sömu.
b. Ef við margföldum með 12 fáum við:
Hvernig breytir þetta grafinu?
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Fleygboginn verður breiðari og topppunkturinn færist upp. Skurðpunktarnir við x-ás haldast þeir sömu.
[Sýna/fela lausn]
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
6. Sophia teiknaði graf jöfnunnar f(2−6x+9. Hún velti fyrir sér hvað myndi gerast ef hún skipti út x fyrir alls staðar.
a. Sophia spáði því að fleygboginn yrði þrengri og að skurðpunktarnir við x-ás og y-ás myndu breytast. Skrifaðu hvers vegna þú ert sammála eða ósammála spá Sophiu.
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Fleygboginn verður þrengri og skurðpunktarnir við x-ás breytast, en skurðpunkturinn við y-ás helst sá sami.
b. Sophia velti líka fyrir sér hvað myndi gerast ef hún skipti út í f(x)=x2−6x+9 fyrir 13x. Hún spáði því að fleygboginn yrði breiðari og að skurðpunktarnir við x-ás og y-ás myndu breytast. Skrifaðu hvers vegna þú ert sammála eða ósammála spá Sophiu.
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Fleygboginn verður breiðari og skurðpunktarnir við x-ás breytast, en skurðpunkturinn við y-ás helst sá sami.
[Sýna/fela lausn]
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Ítarefni
Umbreyting grafa annars stigs falla
Gröf f(x)=x2, f(x)=x2+12 og f(x)=(x+3)2 hafa öll sömu lögun en mismunandi staðsetningu. Grafið sem táknar f(x)=x2 hefur topppunkt í (0, 0).
Taktu eftir að það að leggja 12 við x2 hækkar grafið um 12 einingar, svo topppunktur þess grafs er í (0, 12). Að skipta x2 út fyrir (x+3)2 hliðrar grafinu 3 einingar til vinstri, svo topppunkturinn er nú í (−3, 0).
Við getum einnig hliðrað grafi bæði lárétt og lóðrétt.
Grafið sem táknar f(x)=(x+3)2+12 lítur út eins og grafið fyrir f(x)=x2, en því hefur verið hliðrað 12 einingar upp og 3 einingar til vinstri. Topppunktur þess er í (−3, 12).
Grafið sem táknar jöfnuna f(x)=−(x+3)2+12 hefur sama topppunkt í (−3, 12), en vegna þess að kvaðratliðurinn (x+3)2 er margfaldaður með neikvæðri tölu speglast grafið um x-ás og opnast niður.
Annars stigs jöfnur geta einnig breyst með kvörðunum sem toga eða þjappa fleygboganum. Gröf grunnfallsins f(x)=x2, f(x)=4x2 og f(x)=15x2 eru öll fleygbogar. Önnur og þriðja jafnan hafa þó verið kvarðaðar lóðrétt frá grunnfallinu.
Appelsínuguli slitni fleygboginn táknar f(x)=4x2 og sýnir niðurstöðuna af því að margfalda hvert úttaksgildi fallsins með 4. Þessi kvörðun táknar lóðrétta tognun.
Græni punktalínu-fleygboginn táknar f(x)=15x2 og sýnir graf þar sem hvert úttaksgildi fallsins er margfaldað með 15. Þessi kvörðun táknar lóðrétta samþjöppun.
Kvarðastuðullinn sem við margföldum með ákvarðar áhrifin á grafið. Ef kvarðastuðullinn er stærri en 1 er kvörðunin lóðrétt tognun. Ef kvarðastuðullinn er milli 0 og 1 er kvörðunin lóðrétt samþjöppun.
Þegar annars stigs jöfnur eru kvarðaðar lárétt lítur niðurstaðan svipað út, en áhrifin á fallið eru ólík vegna þess að láréttar kvarðanir hafa áhrif á inntaksgildin áður en fallinu er beitt. Hér fyrir neðan eru gröf grunnfallsins f(x)=x2, f(x)=(4x)2 og f(x)=(13x)2.
Appelsínuguli slitni fleygboginn táknar f(x)=(4x)2 og sýnir niðurstöðuna af því að margfalda hvert inntaksgildi fallsins með 4 og setja síðan í annað veldi. Þessi kvörðun táknar lárétta samþjöppun.
Græni punktalínu-fleygboginn táknar f(x)=(13x)2 og sýnir graf þar sem hvert inntaksgildi fallsins er margfaldað með 13. Þessi kvörðun táknar lárétta tognun.
Taktu eftir að kvarðastuðullinn ákvarðar áhrifin á grafið hér líka. Ef kvarðastuðullinn er stærri en 1 er kvörðunin lárétt samþjöppun. Ef kvarðastuðullinn er milli 0 og 1 er kvörðunin lárétt tognun.