99.2 Að fylla í ferninginn, hluti 1

9.2.3 Að fylla í ferninginn

9.2.3 • Að fylla í ferninginn

Verkefni

Ein aðferð til að leysa annars stigs jöfnur kallast að fylla í ferninginn. Hér eru tvö dæmi um hvernig Diego og Mai fylltu í ferninginn til að leysa sömu jöfnuna.

Dæmi Diego	Dæmi Mai
$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 9 & = 0 \\ x^{2} + 10 x & = - 9 \\ x^{2} + 10 x + 25 & = - 9 + 25 \\ x^{2} + 10 x + 25 & = 16 \\ (x + 5)^{2} & = 16 \\ x + 5 & = \pm 4 \\ x + 5 & = 4 eða x + 5 = - 4 \\ x & = - 1 og x = - 9 \end{aligned}$	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 9 & = 0 \\ x^{2} + 10 x + 9 + 16 & = 16 \\ x^{2} + 10 x + 25 & = 16 \\ (x + 5)^{2} & = 16 \\ x + 5 & = \pm 4 \\ x + 5 & = 4 og x + 5 = - 4 \\ x & = - 1 eða x = - 9 \end{aligned}$

Skoðaðu leystu dæmin. Reyndu síðan að leysa jöfnurnar í liðum 1-5 með því að fylla í ferninginn.

$x^{2} + 6 x + 8 = 0$
Lausn
$\begin{aligned} x^{2} + 6 x + 8 & = 0 \\ x^{2} + 6 x & = - 8 \\ x^{2} + 6 x + 9 & = - 8 + 9 \\ (x + 3)^{2} & = 1 \\ x + 3 & = \pm 1 \\ x + 3 & = 1 \\ x + 3 & = - 1 \\ x & = - 4 og x = - 2 \end{aligned}$
$x^{2} + 12 x = 13$
Lausn
$\begin{aligned} x^{2} + 12 x & = 13 \\ x^{2} + 12 x + 36 & = 13 + 36 \\ x^{2} + 12 x + 36 & = 49 \\ (x + 6)^{2} & = 49 \\ x + 6 & = \pm 7 \\ x + 6 & = 7 \\ x + 6 & = - 7 \\ x & = - 13 og x = 1 \end{aligned}$
$0 = x^{2} - 10 x + 21$
Lausn
$\begin{aligned} 0 & = x^{2} - 10 x + 21 \\ x^{2} - 10 x + 21 & = 0 \\ x^{2} - 10 x & = - 21 \\ x^{2} - 10 x + 25 & = - 21 + 25 \\ x^{2} - 10 x + 25 & = 4 \\ (x - 5)^{2} & = 4 \\ x - 5 & = \pm 2 \\ x - 5 & = 2 \\ x - 5 & = - 2 \\ x & = 3 og x = 7 \end{aligned}$
$x^{2} - 2 x + 3 = 83$
Lausn
$\begin{aligned} x^{2} - 2 x + 3 & = 83 \\ x^{2} - 2 x & = 83 - 3 \\ x^{2} - 2 x & = 80 \\ x^{2} - 2 x + 1 & = 80 + 1 \\ x^{2} - 2 x + 1 & = 81 \\ (x - 1)^{2} & = 81 \\ x - 1 & = \pm 9 \\ x - 1 & = 9 \\ x - 1 & = - 9 \\ x & = - 8 og x = 10 \end{aligned}$
$x^{2} + 40 = 14 x$
Lausn
$\begin{aligned} x^{2} + 40 & = 14 x \\ x^{2} - 14 x & = - 40 \\ x^{2} - 14 x + 49 & = - 40 + 49 \\ x^{2} - 14 x + 49 & = 9 \\ (x - 7)^{2} & = 9 \\ x - 7 & = \pm 3 \\ x - 7 & = 3 \\ x - 7 & = - 3 \\ x & = 4 og x = 10 \end{aligned}$

Viltu prófa meira?

Að víkka hugsunina

Hér er skýringarmynd sem er gerð úr ferningi og tveimur eins rétthyrningum. Heildarflatarmál hennar er $x^{2} + 35 x$ ferningseiningar.

Skýringarmynd A

Skýringarmynd með ferningi með hliðarlengd x og tveimur eins rétthyrningum sem mynda horn utan um ferninginn.

Hver er lengd ómerktu hliðarinnar á hvorum rétthyrningi í skýringarmynd A?
Lausn
$17.5$
Í skýringarmynd B bætum við línum við til að gera myndina að ferningi. Flatarmál ferningsins verður annars stigs stæða.

Skýringarmynd B

Skýringarmynd með litlum ferningi með hliðarlengd x, tveimur eins rétthyrningum og viðbótarferningi sem fyllir út í stærri ferning.

Reiknaðu stæðuna og settu hana síðan á staðalformið $a x^{2} + b x + c$ til að svara spurningum a og b.

Ef staðalformið $a x^{2} + b x + c$ táknar flatarmál ferningsins í skýringarmynd B, hvert er gildi stuðulsins $b$ ?
Lausn
$35$
Ef staðalformið $a x^{2} + b x + c$ táknar flatarmál ferningsins í skýringarmynd B, hvert er gildi fastaliðarins $c$ ?
Lausn
$306.25$

Hvernig líkist ferlið við að finna flatarmál allrar myndarinnar því að búa til þrílið sem er ferningur tvíliðu fyrir stæður eins og $x^{2} + b x$ ?
Lausn
Fyrst þurftum við að finna hvaða tala væri helmingurinn af 35, það er 17,5, til að finna hliðarlengd rétthyrninganna. Síðan þurftum við að hefja 17,5 í annað veldi til að finna flatarmál hlutans sem vantaði.

Sjálfspróf

Finndu lausnirnar á $x^{2} - 10 x = - 9$ með því að fylla í ferninginn.

$x = 9$
$x = 21$
$x = 1, x = 9$
$x = 25$

Ítarefni

Að leysa annars stigs jöfnur með því að fylla í ferninginn

Dæmi

Leystu $x^{2} + 8 x = 48$ með því að fylla í ferninginn.

Einangraðu breytuliðina öðrum megin og settu fastaliðinn hinum megin. Í þessari jöfnu eru allir breytuliðirnir vinstra megin.
Finndu ${(\frac{b}{2})}^{2}$ , töluna sem þarf til að fylla í ferninginn. Bættu henni við báðar hliðar jöfnunnar.
Þáttaðu þríliðinn sem er ferningur tvíliðu sem ferning tvíliðu.
Notaðu regluna um ferningsrætur.
$x + 4 = \pm 8$
Einfaldaðu rótina og leystu síðan jöfnurnar tvær sem fást.
$x + 4 = 8 x + 4 = - 8$ $x = 4 x = - 12$
Athugaðu lausnirnar. Settu hvort svar inn í upprunalegu jöfnuna.

\begin{aligned} x^{2} + 8 x & = 48 \\ (4)^{2} + 8 (4) & \overset{?}{=} 48 \\ 16 + 32 & \overset{?}{=} 48 \\ 48 & = 48 ✓ \end{aligned}

\begin{aligned} x^{2} + 8 x & = 48 \\ (- 12)^{2} + 8 (- 12) & \overset{?}{=} 48 \\ 144 - 96 & \overset{?}{=} 48 \\ 48 & = 48 ✓ \end{aligned}

Prófaðu

Að leysa annars stigs jöfnur með því að fylla í ferninginn

Leystu $x^{2} + 4 x = 5$ með því að fylla í ferninginn.

Lausn

Hér er sýnt hvernig má leysa þessa annars stigs jöfnu með því að fylla í ferninginn:

Einangraðu fastaliðinn öðrum megin jöfnunnar.
Finndu ${(\frac{b}{2})}^{2}$ . Bættu þessari tölu við báðar hliðar jöfnunnar.
Þáttaðu þríliðinn sem er ferningur tvíliðu.
Notaðu regluna um ferningsrætur.
$x + 2 = \pm 3$
Skiptu í tvær jöfnur og leystu.
$x + 2 = - 3 x + 2 = 3$ $x = - 5 x = 1$
Athugaðu lausnirnar í upprunalegu jöfnunni.

\begin{aligned} (- 5)^{2} + 4 (- 5) & = 5 \\ 25 - 20 & = 5 \end{aligned}

\begin{aligned} 1^{2} + 4 (1) & = 5 \\ 5 & = 5 \end{aligned}