Skrá inn til að leggja til breytingu

99.4 Að fylla í ferninginn, hluti 3

9.4.2 Að umrita stæður í öðru veldi

9.4.2 Að umrita stæður í öðru veldi

9.4.2 • Að umrita stæður í öðru veldi

Verkefni

Skrifaðu hverja stæðu á staðalformi:
1. $(4 x + 1)^{2}$
  
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $16 x^{2} + 8 x + 1$
2. $(5 x - 2)^{2}$
  
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $25 x^{2} - 20 x + 4$
3. ${(\frac{1}{2} x + 7)}^{2}$
  
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $\frac{1}{4} x^{2} + 7 x + 49$
4. $(3 x + n)^{2}$
  
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $9 x^{2} + 2 (3) (n) x + n^{2} eða 9 x^{2} + 6 n x + n^{2}$
5. $(k x + m)^{2}$
  
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $k^{2} x^{2} + 2 k m x + m^{2}$
Ákvarðaðu hvort hver stæða sé ferningur tvíliðu. Ef svo er skaltu skrifa jafngilda stæðu á forminu $(k x + m)^{2}$ . Ef ekki skaltu leggja til eina breytingu sem gerir hana að ferningi tvíliðu.
1. $4 x^{2} + 12 x + 9$
  
  Lausn
  Já, stæðan er ferningur tvíliðu: $(2 x + 3)^{2}$ .
2. $4 x^{2} + 8 x + 25$
  Lausn
  Nei, stæðan er ekki ferningur tvíliðu. Mögulegar breytingar eru til dæmis:
  - Að breyta stuðli fyrsta stigs liðarins í 20 gefur $4 x^{2} + 20 x + 25$ , sem jafngildir $(2 x + 5)^{2}$ .
  - Að breyta stuðli fyrsta stigs liðarins í -20 gefur $4 x^{2} - 20 x + 25$ , sem jafngildir $(2 x - 5)^{2}$ .
  - Að breyta fastaliðnum í 4 gefur $4 x^{2} + 8 x + 4$ , sem jafngildir $(2 x + 2)^{2}$ .

Sjálfspróf

Finndu jafngilda þáttaða stæðu fyrir $4 x^{2} + 12 x + 9$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3)$
$(2 x + 3)^{2}$
$(2 x - 3)^{2}$
$4 (x^{2} + 3 x + 9)$

Þáttun þríliða sem eru ferningar tvíliðu

Til að þátta þríliði sem eru ferningar tvíliðu skaltu nota formúlurnar:

a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}

a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}

Skoðum dæmi um hvernig má þátta þríliði sem eru ferningar tvíliðu.

Dæmi: Þáttaðu $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

Skref 1 - Athugaðu hvort þríliðurinn passi við mynstur ferningsþríliðar. Skrifaðu fyrsta liðinn sem $a^{2}$ og síðasta fastaliðinn sem $b^{2}$ .

Fyrsti liðurinn er ferningur: $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ .
Síðasti liðurinn er ferningur: $4 = 2^{2}$ .
Miðliðurinn passar því $2 (3 x) (2) = 12 x$ .

Skref 2 - Þáttaðu þríliðinn með ferningsreglunni.

9 x^{2} + 12 x + 4 = (3 x + 2)^{2}

Skref 3 - Athugaðu svarið.

\begin{array}{r} (3 x + 2)^{2} \\ (3 x)^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2} \\ 9 x^{2} + 12 x + 4 ✓ \end{array}

Prófaðu

Þáttun þríliða sem eru ferningar tvíliðu

Þáttaðu $9 x^{2} - 30 x + 25$ .

Lausn

Svona má þátta þrílið sem er ferningur tvíliðu:

Skref 1 - Skrifaðu fyrsta liðinn sem $a^{2}$ og síðasta fastaliðinn sem $b^{2}$ .

$9 x^{2} + 12 x + 4 = (3 x + 2)^{2}$ , $b^{2} = 5^{2}$

Gakktu úr skugga um að miðliðurinn sé $2 a b$ : $2 a b = 2 (3 x) (5) = 30 x$ .

Skref 2 - Þáttaðu þríliðinn með ferningsreglunni.

(3 x - 5)^{2}

Skref 3 - Athugaðu svarið.

\begin{array}{r} (3 x - 5) (3 x - 5) \\ = 9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25 \\ = 9 x^{2} - 30 x + 25 \end{array}