99.4 Að fylla í ferninginn, hluti 3

9.4.3 Staðalform og þættir í öðru veldi

9.4.3 • Staðalform og þættir í öðru veldi

Verkefni

Finndu gildið á $c$ fyrir hverja stæðu þannig að hún verði ferningur tvíliðu á staðalformi.
1. $100 x^{2} + 80 x + c$
  Lausn
  16. Staðalform: $100 x^{2} + 80 x + 16$ .
2. $36 x^{2} - 60 x + c$
  Lausn
  25. Staðalform: $36 x^{2} - 60 x + 25$ .
3. $25 x^{2} + 40 x + c$
  Lausn
  16. Staðalform: $25 x^{2} + 40 x + 16$ .
4. $0,25 x^{2} - 14 x + c$
  Lausn
  196. Staðalform: $0,25 x^{2} - 14 x + 196$ .
Notaðu svörin úr spurningu 1 til að skrifa hverja stæðu sem jafngilda stæðu á formi þátta í öðru veldi.
1. $100 x^{2} + 80 x + c$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $(10 x + 4)^{2}$
2. $36 x^{2} - 60 x + c$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $(6 x - 5)^{2}$
3. $25 x^{2} + 40 x + c$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $(5 x + 4)^{2}$
4. $0,25 x^{2} - 14 x + c$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $(0,5 x - 14)^{2}$
Skrifaðu eigið par af jafngildum stæðum.
1. Búðu til þrílið sem er ferningur tvíliðu á staðalformi $a x^{2} + b x + c$ .
  Lausn
  Svör geta verið mismunandi. Ein stæða á staðalformi er $49 x^{2} + 14 x + 1$ .
2. Skrifaðu nú sömu jafngildu stæðuna á formi þátta í öðru veldi $(k x + m)^{2}$ .
  Lausn
  Svör geta verið mismunandi. Fyrir stæðuna hér að ofan er þátturinn í öðru veldi $(7 x + 1)^{2}$ .
Leystu hverja jöfnu með því að fylla í ferninginn.
1. $25 x^{2} + 40 x = - 12$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  $\begin{aligned} 25 x^{2} + 40 x & = - 12 \\ 25 x^{2} + 40 x + 12 & = 0 \\ 25 x^{2} + 40 x + 12 + 4 & = 4 \\ 25 x^{2} + 40 x + 16 & = 4 \\ (5 x + 4)^{2} & = 4 \\ 5 x + 4 & = 2 \\ 5 x + 4 & = - 2 \\ 5 x & = - 2 \\ 5 x & = - 6 \\ x & = - \frac{2}{5} og x = - \frac{6}{5} \end{aligned}$
2. $36 x^{2} - 60 x + 10 = - 6$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  $\begin{aligned} 36 x^{2} - 60 x + 10 & = - 6 \\ 36 x^{2} - 60 x + 10 + 15 & = - 6 + 15 \\ 36 x^{2} - 60 x + 25 & = 9 \\ (6 x - 5)^{2} & = 9 \\ 6 x - 5 & = 3 \\ 6 x - 5 & = - 3 \\ 6 x & = 8 \\ 6 x & = 2 \\ x & = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} og x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{aligned}$

Sjálfspróf

Leystu með því að fylla í ferninginn: $25 x^{2} + 30 x = 7$ .

$x = - \frac{3}{5}$
$x = \frac{13}{5}$ , $x = - \frac{19}{5}$
$x = \frac{1}{5}$ , $x = - \frac{7}{5}$
$x = 9$

Finndu gildið sem myndar ferning tvíliðu og leystu

Í fyrri kennslustundum unnum við með stæður sem eru ferningar tvíliðu. Við lærðum að jafngildar stæður þeirra á staðalformi fylgja fyrirsjáanlegu mynstri.

Almennt má skrifa $(x + m)^{2}$ sem $x^{2} + 2 m x + m^{2}$ .
Ef annars stigs stæða á forminu $a x^{2} + b x + c$ er ferningur tvíliðu og $a = 1$ , þá er $b = 2 m$ og $c = m^{2}$ fyrir eitthvert gildi á $m$ .

Í þessari kennslustund hefur breytan í þáttunum sem eru settir í annað veldi stuðul annan en 1. Jafngilda staðalformið fylgir sama mynstri.

Þættir í öðru veldi	Staðalform
$(3 x + 1)^{2}$	$(3 x)^{2} + 2 (3 x) (1) + 1^{2}$ eða $9 x^{2} + 6 x + 1$
$(2 x - 5)^{2}$	$(2 x)^{2} + 2 (2 x) (- 5) + (- 5)^{2}$ eða $4 x^{2} - 20 x + 25$

Almennt má skrifa $(k x + m)^{2}$ sem:

(k x)^{2} + 2 (k x) (m) + m^{2} eða k^{2} x^{2} + 2 k m x + m^{2}

Ef annars stigs stæða er á forminu $a x^{2} + b x + c$ , þá er:

gildið á $a$ er $k^{2}$
gildið á $b$ er $2 k m$
gildið á $c$ er $m^{2}$

Við getum notað þetta mynstur til að fylla í ferninginn og leysa jöfnur þegar stuðull $x^{2}$ -liðarins er annar en 1, til dæmis $16 x^{2} + 40 x = 11$ .

Hvaða fastalið getum við lagt við til að stæðan vinstra megin við jafnaðarmerkið verði ferningur tvíliðu? Og hvernig skrifum við stæðuna sem þætti í öðru veldi?

16 er $4^{2}$ , svo þættirnir í öðru veldi gætu verið $(4 x + m)^{2}$ .
$40 = 2 (4 m)$ , svo $8 m = 40$ og $m = 5$ .
Ef $c = m^{2}$ , þá er $c = m^{2} = 5^{2} = 25$ .
Stæðan $16 x^{2} + 40 x + 25$ er því ferningur tvíliðu og jafngildir $(4 x + 5)^{2}$ .

Leysum jöfnuna $16 x^{2} + 40 x = 11$ með því að fylla í ferninginn.

Skref 1 - Finndu þáttinn sem myndar fyrsta liðinn.

16 x^{2} + 40 x = 11

Til að fá ferning tvíliðu þurfum við $(4 x + m)^{2}$ , því $4 x$ er ferningsrót fyrsta liðarins $16 x^{2}$ .

Skref 2 - Finndu gildið á $m$ .

Þar sem $b = 2 k m$ , $k = 4$ og $b = 40$ , setjum við gildin inn og leysum.

\begin{aligned} 40 & = 2 (4 m) \\ 40 & = 8 m \\ m & = 5 \end{aligned}

Skref 3 - Finndu $c = m^{2}$ .

c = m^{2} = 5^{2} = 25

Skref 4 - Leggðu $c$ við báðar hliðar jöfnunnar.

\begin{aligned} 16 x^{2} + 40 x + 25 & = 11 + 25 \\ 16 x^{2} + 40 x + 25 & = 36 \end{aligned}

Skref 5 - Þáttaðu og einfaldaðu.

(4 x + 5)^{2} = 6^{2}

Skref 6 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum. Mundu eftir plús eða mínus.

\begin{aligned} (4 x + 5)^{2} & = 6^{2} \\ 4 x + 5 & = \pm 6 \end{aligned}

Skref 7 - Skrifaðu tvær jöfnur og leystu.

\begin{aligned} 4 x + 5 & = 6 eða 4 x + 5 = - 6 \\ 4 x & = 1 eða 4 x = - 11 \\ x & = \frac{1}{4} eða x = - \frac{11}{4} \end{aligned}

Prófaðu

Finndu gildið sem myndar ferning tvíliðu og leystu

Leystu $4 x^{2} + 28 x = - 13$ .

Lausn

Svona má leysa þessa jöfnu með því að fylla í ferninginn:

Skref 1 - Til að fá ferning tvíliðu þurfum við $(2 x + m)^{2}$ .

4 x^{2} + 28 x = - 13

Skref 2 - Finndu gildið á $m$ .

2 (2 m) = 28, m = 7

Skref 3 - Finndu $c = m^{2}$ .

c = m^{2} = 7^{2} = 49

Skref 4 - Leggðu $c$ við báðar hliðar.

4 x^{2} + 28 x + 49 = - 13 + 49

Skref 5 - Þáttaðu og einfaldaðu.

(2 x + 7)^{2} = 36

Skref 6 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum. Mundu eftir plús eða mínus.

\begin{aligned} (2 x + 7)^{2} & = 36 \\ 2 x + 7 & = \pm 6 \end{aligned}

Skref 7 - Skrifaðu tvær jöfnur og leystu.

2 x + 7 = 6 eða 2 x + 7 = - 6; x = - \frac{1}{2} eða x = - \frac{13}{2}

9.4.3 Staðalform og þættir í öðru veldi

9.4.3 • Staðalform og þættir í öðru veldi

Verkefni

Finndu gildið á $c$ fyrir hverja stæðu þannig að hún verði ferningur tvíliðu á staðalformi.
1. $100 x^{2} + 80 x + c$
  Lausn
  16. Staðalform: $100 x^{2} + 80 x + 16$ .
2. $36 x^{2} - 60 x + c$
  Lausn
  25. Staðalform: $36 x^{2} - 60 x + 25$ .
3. $25 x^{2} + 40 x + c$
  Lausn
  16. Staðalform: $25 x^{2} + 40 x + 16$ .
4. $0,25 x^{2} - 14 x + c$
  Lausn
  196. Staðalform: $0,25 x^{2} - 14 x + 196$ .
Notaðu svörin úr spurningu 1 til að skrifa hverja stæðu sem jafngilda stæðu á formi þátta í öðru veldi.
1. $100 x^{2} + 80 x + c$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $(10 x + 4)^{2}$
2. $36 x^{2} - 60 x + c$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $(6 x - 5)^{2}$
3. $25 x^{2} + 40 x + c$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $(5 x + 4)^{2}$
4. $0,25 x^{2} - 14 x + c$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt: $(0,5 x - 14)^{2}$
Skrifaðu eigið par af jafngildum stæðum.
1. Búðu til þrílið sem er ferningur tvíliðu á staðalformi $a x^{2} + b x + c$ .
  Lausn
  Svör geta verið mismunandi. Ein stæða á staðalformi er $49 x^{2} + 14 x + 1$ .
2. Skrifaðu nú sömu jafngildu stæðuna á formi þátta í öðru veldi $(k x + m)^{2}$ .
  Lausn
  Svör geta verið mismunandi. Fyrir stæðuna hér að ofan er þátturinn í öðru veldi $(7 x + 1)^{2}$ .
Leystu hverja jöfnu með því að fylla í ferninginn.
1. $25 x^{2} + 40 x = - 12$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  $\begin{aligned} 25 x^{2} + 40 x & = - 12 \\ 25 x^{2} + 40 x + 12 & = 0 \\ 25 x^{2} + 40 x + 12 + 4 & = 4 \\ 25 x^{2} + 40 x + 16 & = 4 \\ (5 x + 4)^{2} & = 4 \\ 5 x + 4 & = 2 \\ 5 x + 4 & = - 2 \\ 5 x & = - 2 \\ 5 x & = - 6 \\ x & = - \frac{2}{5} og x = - \frac{6}{5} \end{aligned}$
2. $36 x^{2} - 60 x + 10 = - 6$
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  $\begin{aligned} 36 x^{2} - 60 x + 10 & = - 6 \\ 36 x^{2} - 60 x + 10 + 15 & = - 6 + 15 \\ 36 x^{2} - 60 x + 25 & = 9 \\ (6 x - 5)^{2} & = 9 \\ 6 x - 5 & = 3 \\ 6 x - 5 & = - 3 \\ 6 x & = 8 \\ 6 x & = 2 \\ x & = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} og x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{aligned}$

Sjálfspróf

Leystu með því að fylla í ferninginn: $25 x^{2} + 30 x = 7$ .

$x = - \frac{3}{5}$
$x = \frac{13}{5}$ , $x = - \frac{19}{5}$
$x = \frac{1}{5}$ , $x = - \frac{7}{5}$
$x = 9$

Finndu gildið sem myndar ferning tvíliðu og leystu

Í fyrri kennslustundum unnum við með stæður sem eru ferningar tvíliðu. Við lærðum að jafngildar stæður þeirra á staðalformi fylgja fyrirsjáanlegu mynstri.

Almennt má skrifa $(x + m)^{2}$ sem $x^{2} + 2 m x + m^{2}$ .
Ef annars stigs stæða á forminu $a x^{2} + b x + c$ er ferningur tvíliðu og $a = 1$ , þá er $b = 2 m$ og $c = m^{2}$ fyrir eitthvert gildi á $m$ .

Í þessari kennslustund hefur breytan í þáttunum sem eru settir í annað veldi stuðul annan en 1. Jafngilda staðalformið fylgir sama mynstri.

Þættir í öðru veldi	Staðalform
$(3 x + 1)^{2}$	$(3 x)^{2} + 2 (3 x) (1) + 1^{2}$ eða $9 x^{2} + 6 x + 1$
$(2 x - 5)^{2}$	$(2 x)^{2} + 2 (2 x) (- 5) + (- 5)^{2}$ eða $4 x^{2} - 20 x + 25$

Almennt má skrifa $(k x + m)^{2}$ sem:

(k x)^{2} + 2 (k x) (m) + m^{2} eða k^{2} x^{2} + 2 k m x + m^{2}

Ef annars stigs stæða er á forminu $a x^{2} + b x + c$ , þá er:

gildið á $a$ er $k^{2}$
gildið á $b$ er $2 k m$
gildið á $c$ er $m^{2}$

Við getum notað þetta mynstur til að fylla í ferninginn og leysa jöfnur þegar stuðull $x^{2}$ -liðarins er annar en 1, til dæmis $16 x^{2} + 40 x = 11$ .

Hvaða fastalið getum við lagt við til að stæðan vinstra megin við jafnaðarmerkið verði ferningur tvíliðu? Og hvernig skrifum við stæðuna sem þætti í öðru veldi?

16 er $4^{2}$ , svo þættirnir í öðru veldi gætu verið $(4 x + m)^{2}$ .
$40 = 2 (4 m)$ , svo $8 m = 40$ og $m = 5$ .
Ef $c = m^{2}$ , þá er $c = m^{2} = 5^{2} = 25$ .
Stæðan $16 x^{2} + 40 x + 25$ er því ferningur tvíliðu og jafngildir $(4 x + 5)^{2}$ .

Leysum jöfnuna $16 x^{2} + 40 x = 11$ með því að fylla í ferninginn.

Skref 1 - Finndu þáttinn sem myndar fyrsta liðinn.

16 x^{2} + 40 x = 11

Til að fá ferning tvíliðu þurfum við $(4 x + m)^{2}$ , því $4 x$ er ferningsrót fyrsta liðarins $16 x^{2}$ .

Skref 2 - Finndu gildið á $m$ .

Þar sem $b = 2 k m$ , $k = 4$ og $b = 40$ , setjum við gildin inn og leysum.

\begin{aligned} 40 & = 2 (4 m) \\ 40 & = 8 m \\ m & = 5 \end{aligned}

Skref 3 - Finndu $c = m^{2}$ .

c = m^{2} = 5^{2} = 25

Skref 4 - Leggðu $c$ við báðar hliðar jöfnunnar.

\begin{aligned} 16 x^{2} + 40 x + 25 & = 11 + 25 \\ 16 x^{2} + 40 x + 25 & = 36 \end{aligned}

Skref 5 - Þáttaðu og einfaldaðu.

(4 x + 5)^{2} = 6^{2}

Skref 6 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum. Mundu eftir plús eða mínus.

\begin{aligned} (4 x + 5)^{2} & = 6^{2} \\ 4 x + 5 & = \pm 6 \end{aligned}

Skref 7 - Skrifaðu tvær jöfnur og leystu.

\begin{aligned} 4 x + 5 & = 6 eða 4 x + 5 = - 6 \\ 4 x & = 1 eða 4 x = - 11 \\ x & = \frac{1}{4} eða x = - \frac{11}{4} \end{aligned}

Prófaðu

Finndu gildið sem myndar ferning tvíliðu og leystu

Leystu $4 x^{2} + 28 x = - 13$ .

Lausn

Svona má leysa þessa jöfnu með því að fylla í ferninginn:

Skref 1 - Til að fá ferning tvíliðu þurfum við $(2 x + m)^{2}$ .

4 x^{2} + 28 x = - 13

Skref 2 - Finndu gildið á $m$ .

2 (2 m) = 28, m = 7

Skref 3 - Finndu $c = m^{2}$ .

c = m^{2} = 7^{2} = 49

Skref 4 - Leggðu $c$ við báðar hliðar.

4 x^{2} + 28 x + 49 = - 13 + 49

Skref 5 - Þáttaðu og einfaldaðu.

(2 x + 7)^{2} = 36

Skref 6 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum. Mundu eftir plús eða mínus.

\begin{aligned} (2 x + 7)^{2} & = 36 \\ 2 x + 7 & = \pm 6 \end{aligned}

Skref 7 - Skrifaðu tvær jöfnur og leystu.

2 x + 7 = 6 eða 2 x + 7 = - 6; x = - \frac{1}{2} eða x = - \frac{13}{2}