10.4 Leysið verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum – Grunnatriði algebru, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
1010 Annars stigs jöfnur
10.4 Leysið verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum
10.4 Leysið verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
Leyst verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum
Leysið verkefni með lausnarformúlunni
Áður leystum við nokkur verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum, þegar þáttun var eina aðferðin sem við höfðum til að leysa þær. Nú þegar við höfum fleiri aðferðir skoðum við verkefnin aftur. Til að byrja afritum við hér venjulegu verkefnalausnaraðferðina okkar svo að við getum fylgt skrefunum.
Við höfum áður lýst verkefnum um samliggjandi sléttar tölur og oddatölur með línulegum jöfnum. Hver slétt tala er 2 stærri en talan á undan. Ef sú fyrsta er n eru næstu tölur n + 2 og n + 4. Sama gildir um oddatölur. Hér á eftir eru sýndar runur af hvorri gerð.
Sumum verkefnum með samliggjandi oddatölum eða sléttum tölum er lýst með annars stigs jöfnum. Rithátturinn hér að framan hjálpar við að gefa breytunum heiti.
Dæmi 10.38
Margfeldi tveggja samliggjandi oddatalna er 195. Finnið tölurnar.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
Við leitum að tveimur samliggjandi oddatölum.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.
Látum n = vera fyrri oddatöluna og n + 2 = vera næstu oddatölu.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Lýsið því í einni setningu.
„Margfeldi tveggja samliggjandi oddatalna er 195.“ Margfeldi fyrri oddatölunnar og þeirrar síðari er 195.
Setjið fram sem jöfnu
Skref 5. Leysið jöfnuna. Margfaldið inn í svigana.
Dragið 195 frá til að koma jöfnunni á staðalform.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið annars stigs jöfnuna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Einfaldið rótarstæðuna.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Leysið hvora jöfnu.
Tvö gildi n eru lausnir. Þau gefa okkur tvö pör samliggjandi oddatalna.
Fyrri oddatala n = 13 næsta oddatala n + 213 + 215
Fyrri oddatala n = −15 næsta oddatala n + 2−15 + 2−13
Skref 6. Sannreynið svarið. Ganga pörin upp? Eru þetta samliggjandi oddatölur? Er margfeldi þeirra 195?
13 , 15 , já −13 , −15 , já 13 ⋅ 15 = 195 , já −13 ( −15 ) = 195 , já
Skref 7. Svarið spurningunni.
Samliggjandi oddatölurnar tvær með margfeldið 195 eru 13 og 15, eða −13 og −15.
Við notum formúluna fyrir flatarmál þríhyrnings til að leysa næsta dæmi.
Munið að þegar rúmfræðiverkefni eru leyst er gagnlegt að teikna mynd.
Dæmi 10.39
Arkitekt hannar inngang veitingastaðar. Hún vill setja þríhyrndan glugga fyrir ofan dyrnar. Vegna orkusparnaðarkrafna má flatarmál gluggans vera 120 ferfet og arkitektinn vill að breiddin sé 4 fetum meiri en tvöföld hæðin. Finnið hæð og breidd gluggans.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
Við leitum að hæð og breidd.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.
Látum h = vera hæð þríhyrningsins og 2 h + 4 = vera breidd hans.
Skref 4. Setjið fram sem jöfnu.
Við þekkjum flatarmálið. Ritið formúluna fyrir flatarmál þríhyrnings.
Skref 5. Leysið jöfnuna. Setjið gildin inn.
Margfaldið inn í svigann.
Þetta er annars stigs jafna; endurritið hana á staðalformi.
Leysið jöfnuna með lausnarformúlunni. Finnið gildi a, b og c.
Ritið annars stigs jöfnuna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Einfaldið rótarstæðuna.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Einfaldið.
Þar sem h er hæð glugga er gildið h = − 12 ekki raunhæft.
Hæð þríhyrningsins: h = 10 Breidd þríhyrningsins: 2 h + 42 ⋅ 10 + 424
Skref 6. Sannreynið svarið. Hefur þríhyrningur með hæðina 10 og breiddina 24 flatarmálið 120? Já.
Skref 7. Svarið spurningunni.
Hæð þríhyrnda gluggans er 10 fet og breiddin 24 fet.
Athugið að lausnirnar voru heiltölur. Það segir okkur að við hefðum getað leyst jöfnuna með þáttun.
Þegar við rituðum jöfnuna á staðalforminu hefðum við getað þáttað hana. Þá hefðum við leyst jöfnuna .
Í dæmunum tveimur hér á undan var talan undir rótartákninu í lausnarformúlunni ferningstala og því voru lausnirnar ræðar tölur. Ef óræð tala fæst sem lausn á verkefni notum við reiknivél til að finna nálgunargildi.
Setning Pýþagórasar lýsir sambandi skammhliða og langhliðar í rétthyrndum þríhyrningi. Við notum setningu Pýþagórasar til að leysa næsta dæmi.
Dæmi 10.40
Rene er að setja upp hátíðarljós. Hann vill búa til „tré“ í lögun tveggja rétthyrndra þríhyrninga, eins og sýnt er hér á eftir, og hefur tvær 10 feta ljósaseríur fyrir hliðarnar. Hann festir ljósin við efsta hluta staurs og við tvo hæla í jörðinni. Hann vill að hæð staursins sé sú sama og fjarlægðin frá undirstöðu hans að hvorum hæl. Hversu hár ætti staurinn að vera?
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
Við leitum að hæð staursins.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.
Fjarlægðin frá undirstöðu staursins að hvorum hæl er sú sama og hæð staursins. Látum x = vera hæð staursins og x = vera fjarlægðina frá staurnum að hælnum.
Hvor hlið myndar rétthyrndan þríhyrning. Við teiknum mynd af öðrum þeirra.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Við getum notað setningu Pýþagórasar til að einangra x.
Ritið setningu Pýþagórasar.
a2 + b2 = c2
Skref 5. Leysið jöfnuna. Setjið inn.
x2 + x2 = 10 2
Einfaldið.
2 x2 = 100
Deilið með 2 til að einangra breytuna.
2 x =
Einfaldið.
x2 = 50
Notið ferningsrótarregluna.
x = ± 50
Einfaldið rótarstæðuna.
x = ± 5 2
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
x = 5 2 x = − 5 2
Notið reiknivél til að námunda þessa tölu að einum aukastaf.
x ≈ 7.1
Skref 6. Sannreynið svarið sjálf með setningu Pýþagórasar.
Skref 7. Svarið spurningunni.
Staurinn ætti að vera um 7.1 fet á hæð.
Dæmi 10.41
Mike vill leggja 150 ferfet af gervigrasi í framgarðinn sinn. Þetta er hámarksflatarmál gervigrass sem húsfélag hans leyfir. Hann vill hafa rétthyrnt grassvæði þar sem lengdin er einum feti minni en þreföld breiddin. Finnið lengdina og breiddina. Námundið að næsta tíunda hluta fets.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
Við leitum að lengdinni og breiddinni.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.
Látum w = vera breidd rétthyrningsins og 3 w − 1 = vera lengd hans.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Við þekkjum flatarmálið. Ritið formúluna fyrir flatarmál rétthyrnings.
Skref 5. Leysið jöfnuna. Setjið gildin inn.
Margfaldið inn í svigann.
Þetta er annars stigs jafna; endurritið hana á staðalformi.
Leysið jöfnuna með lausnarformúlunni.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið lausnarformúluna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Notið reiknivél til að finna nálgunargildi svaranna. Við útilokum neikvæðu lausnina fyrir breiddina.
Skref 6. Sannreynið svarið. Gangið úr skugga um að svörin séu raunhæf.
Skref 7. Svarið spurningunni.
Breidd rétthyrningsins er um það bil 7.2 fet og lengdin 20.6 fet.
Hæð hlutar sem skotið er upp er lýst með annars stigs jöfnu. Upphafshraðinn, , knýr hlutinn upp þar til þyngdaraflið veldur því að hann fellur aftur niður.
Við getum notað formúluna fyrir kasthreyfingu til að finna hversu margar sekúndur tekur flugeld að ná tiltekinni hæð.
Dæmi 10.42
Flugeldi er skotið upp með upphafshraðanum 130 fet á sekúndu. Hversu margar sekúndur tekur hann að ná 260 feta hæð? Námundið að næsta tíunda hluta sekúndu.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
Við leitum að tímanum, mældum í sekúndum.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.
Látum t = vera fjölda sekúndna.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Notið formúluna.
h = −16 t2 + v0 t
Skref 5. Leysið jöfnuna. Við vitum að hraðinn v 0 er 130 fet á sekúndu.
Hæðin er 260 fet. Setjið gildin inn.
Þetta er annars stigs jafna; endurritið hana á staðalformi.
Leysið jöfnuna með lausnarformúlunni.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið lausnarformúluna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Notið reiknivél til að finna nálgunargildi svaranna.
t ≈ 4.6 sekúndur, t ≈ 3.6
Skref 6. Sannreynið svarið sjálf.
Skref 7. Svarið spurningunni.
Flugeldurinn fer upp og fellur síðan aftur niður. Á uppleið nær hann 260 feta hæð eftir um það bil 3.6 sekúndur. Hann fer einnig um þessa hæð á niðurleið eftir 4.6 sekúndur.
Verkefni úr hluta 10.4
Æfingin skapar meistarann
Leysið verkefni með lausnarformúlunni
Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið leysa með þáttun, ferningsrótarreglunni eða lausnarformúlunni. Námundið svörin að næsta tíunda hluta.
143.
Margfeldi tveggja samliggjandi oddatalna er 255. Finnið tölurnar.
144.
Margfeldi tveggja samliggjandi sléttra talna er 360. Finnið tölurnar.
145.
Margfeldi tveggja samliggjandi sléttra talna er 624. Finnið tölurnar.
146.
Margfeldi tveggja samliggjandi oddatalna er 1023. Finnið tölurnar.
147.
Margfeldi tveggja samliggjandi oddatalna er 483. Finnið tölurnar.
148.
Margfeldi tveggja samliggjandi sléttra talna er 528. Finnið tölurnar.
149.
Þríhyrningur með flatarmálið 45 fertommur hefur hæð sem er tveimur einingum minni en fjórföld breiddin. Finnið hæð og breidd þríhyrningsins.
150.
Breidd þríhyrnings er sex einingum meiri en tvöföld hæðin. Flatarmál þríhyrningsins er 88 ferjardar. Finnið hæð og breidd þríhyrningsins.
151.
Langhlið rétthyrnds þríhyrnings er tvöfalt lengri en önnur skammhliðin. Hin skammhliðin er þrjú fet á lengd. Finnið lengdir hliðanna þriggja. Námundið að næsta tíunda hluta.
152.
Langhlið rétthyrnds þríhyrnings er 10 cm á lengd. Önnur skammhlið þríhyrningsins er þrefalt lengri en hin. Finnið lengdir hliðanna þriggja. Námundið að næsta tíunda hluta.
153.
Bóndi ætlar að girða af hluta rétthyrnds gerðis. Hornalínan frá einu horni gerðisins að gagnstæðu horni er fimm jördum lengri en breidd þess. Lengd gerðisins er þreföld breiddin. Finnið lengd hornalínunnar. Námundið að næsta tíunda hluta.
154.
Merkjafánar á sjó eru notaðir til að tákna bókstafi stafrófsins. Fáninn fyrir bókstafinn O er gerður úr gulum rétthyrndum þríhyrningi og rauðum rétthyrndum þríhyrningi sem eru saumaðir saman meðfram langhliðum sínum og mynda ferning. Sameiginleg hlið þríhyrninganna er þremur tommum lengri en hlið fánans. Finnið lengd hliðar fánans.
155.
Lengd rétthyrndrar innkeyrslu er fimm fetum meiri en þreföld breiddin. Flatarmálið er 350 ferfet. Finnið lengd og breidd innkeyrslunnar.
156.
Rétthyrnd grasflöt hefur flatarmálið 140 ferjardar. Breidd hennar er sex jördum minni en tvöföld lengdin. Hver eru lengd og breidd grasflatarinnar?
157.
Flugeldflaug er skotin upp með hraðanum 640 ft/sec. Notið formúluna fyrir kasthreyfingu, , til að ákvarða hvenær flaugin verður í 1200 feta hæð.
158.
Ör er skotin lóðrétt upp með hraðanum 220 fet á sekúndu. Notið formúluna fyrir kasthreyfingu, , til að ákvarða hvenær örin verður í 400 feta hæð.
Stærðfræði í daglegu lífi
159.
Kúlu er skotið beint upp úr loftbyssu með upphafshraðanum 1120 fet á sekúndu úr upphafshæðinni 8 fet. Notið formúluna til að ákvarða hversu margar sekúndur líða þar til kúlan lendir á jörðinni. (Það er, hvenær verður
?)
160.
Borgarskipulagsfræðingur vill byggja brú yfir stöðuvatn í almenningsgarði. Til að finna lengd brúarinnar myndar hann rétthyrndan þríhyrning þar sem önnur skammhliðin og langhliðin liggja á landi en brúin er hin skammhliðin. Langhliðin er 340 fet og skammhliðin 160 fet. Finnið lengd brúarinnar.
Ritunarverkefni
161.
Búið til verkefni um margfeldi tveggja samliggjandi oddatalna. Byrjið á að velja tvær samliggjandi oddatölur. ⓐ Hvaða tölur völduð þið? ⓑ Hvert er margfeldi talnanna? ⓒ Leysið jöfnuna , þar sem er margfeldið sem þið funduð í b-lið. ⓓ Fenguð þið tölurnar sem þið byrjuðuð með?
162.
Búið til verkefni um margfeldi tveggja samliggjandi sléttra talna. Byrjið á að velja tvær samliggjandi sléttar tölur. ⓐ Hvaða tölur völduð þið? ⓑ Hvert er margfeldi talnanna? ⓒ Leysið jöfnuna , þar sem er margfeldið sem þið funduð í b-lið. ⓓ Fenguð þið tölurnar sem þið byrjuðuð með?
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.
ⓑ Á kvarðanum 1–10, hversu góðum tökum teljið þið ykkur hafa náð á efni hlutans í ljósi svaranna á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?
