1010 Annars stigs jöfnur

10.3 Leysið annars stigs jöfnur með lausnarformúlunni

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Leyst annars stigs jöfnur með lausnarformúlu annars stigs jöfnu
Notað aðgreininn til að spá fyrir um fjölda lausna annars stigs jöfnu
Valið heppilegustu aðferðina til að leysa annars stigs jöfnu

Þegar við leystum annars stigs jöfnur í síðasta hluta með því að fylla í ferning tókum við sömu skrefin í hvert sinn. Við lok verkefnanna hafið þið ef til vill velt fyrir ykkur hvort ekki væri til einfaldari leið. Svarið er já. Í þessum hluta leiðum við út og notum formúlu til að finna lausnir annars stigs jöfnu.

Við höfum þegar séð hvernig einangra má tiltekna breytu almennt í formúlu, þannig að algebruskrefin séu aðeins tekin einu sinni og nýja formúlan síðan notuð til að finna gildi breytunnar. Nú förum við almennt í gegnum skrefin við að fylla í ferning og einangrum x í annars stigs jöfnu. Gagnlegt getur verið að skoða eitt dæmanna í lok síðasta hluta, þar sem við leystum jöfnu af gerðinni $a x^{2} + b x + c = 0$ , um leið og þið lesið algebruskrefin hér á eftir. Þá sjáið þið skrefin bæði með tölum og á almennu formi.

Við byrjum á staðalformi annars stigs jöfnu og leysum hana fyrir x með því að fylla í ferning.	a x 2 + b x + c = 0 a ≠ 0
Einangrið breytuliðina öðrum megin.	a x 2 + b x = − c
Gerið forystustuðulinn jafnan 1 með því að deila með a.	$\frac{a x 2}{a + b/a x} = \frac{− c}{a}$
Einfaldið.	$\frac{x 2 + b}{a x} = \frac{− c}{a}$
$\frac{Til að fylla í ferning finnið ( 1}{2 · b/a ) 2 og leggið við báðar hliðar jöfnunnar. ( 1/2 b/a ) 2} = \frac{b 2}{4 a 2}$	$\frac{x 2 + b}{a x + b 2/4 a 2} = \frac{− c}{a + b 2/4 a 2}$
Vinstri hliðin er ferningur stæðu; þáttið hana.	$\frac{( x + b}{2 a ) 2} = \frac{− c}{a + b 2/4 a 2}$
Finnið samnefnara hægri hliðar og ritið jafngild brot með þeim samnefnara.	$\frac{( x + b}{2 a ) 2} = \frac{b 2}{4 a 2 − c · 4 a/a · 4 a}$
Einfaldið.	$\frac{( x + b}{2 a ) 2} = \frac{b 2}{4 a 2 − 4 a c/4 a 2}$
Sameinið í eitt brot.	$\frac{( x + b}{2 a ) 2} = \frac{b 2 − 4 a c}{4 a 2}$
Notið ferningsrótarregluna.	$\frac{x + b}{2 a} = \frac{± b 2 − 4 a c}{4 a 2}$
Einfaldið.	$\frac{x + b}{2 a} = \frac{± b 2 − 4 a c}{2 a}$
Leggið − b/2 a við báðar hliðar jöfnunnar.	x = − b/2 a ± b 2 − 4 a c/2 a
Sameinið liðina hægra megin.	x = − b ± b 2 − 4 a c/2 a

Síðasta jafnan er lausnarformúla annars stigs jöfnu.

Til að nota lausnarformúluna setjum við gildi $a, b, og c$ inn í stæðuna hægra megin í formúlunni. Síðan framkvæmum við alla reikninga og einföldum stæðuna. Niðurstaðan gefur lausn eða lausnir annars stigs jöfnunnar.

Dæmi 10.28

Hvernig leysa á annars stigs jöfnu með lausnarformúlunni

Leysið $2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$ með lausnarformúlunni.

Lausn

Myndin sýnir skrefin við að leysa annars stigs jöfnuna tveir x í öðru veldi plús níu x mínus fimm jafnt núlli. Fyrsta skrefið er að rita jöfnuna á staðalformi og finna gildi a, b og c. Jafnan er þegar á staðalformi. Gildi a er tveir, gildi b er níu og gildi c er mínus fimm.

Þriðja skrefið er að einfalda formúluna. Þegar mínus níu er hafið í annað veldi og margföldunin framkvæmd fæst mínus níu plús eða mínus ferningsrótinni af 81 mínus mínus 40, allt deilt með fjórum. Þetta einfaldast áfram í mínus níu plús eða mínus ferningsrótinni af 121, allt deilt með fjórum, sem verður mínus níu plús eða mínus 11, allt deilt með fjórum. Mínus níu plús 11 deilt með fjórum er tveir fjórðu, sem einfaldast í einn helming. Mínus níu mínus 11 deilt með fjórum er mínus 20 fjórðu, sem einfaldast í mínus fimm.

Fjórða skrefið er að sannreyna lausnirnar með því að setja hvort svar inn í upphaflegu jöfnuna. Setjið einn helming fyrir x í jöfnunni tveir x í öðru veldi plús níu x mínus fimm jafnt núlli. Þá fæst tveir sinnum ferningur eins helmings plús níu sinnum einn helmingur mínus fimm. Þetta einfaldast í einn helming plús níu helmingar mínus fimm, sem er núll. Setjið síðan mínus fimm fyrir x. Þá fæst tveir sinnum ferningur mínus fimm plús níu sinnum mínus fimm mínus fimm. Þetta einfaldast í 50 mínus 45 mínus fimm, sem er núll.

Ef þið segið formúluna upphátt um leið og þið ritið hana í hverju verkefni kunnið þið hana fljótlega utan að. Munið einnig að lausnarformúlan er jafna. Gætið þess að byrja á „ $x =$ “.

Dæmi 10.29

Leysið $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ með lausnarformúlunni.

Lausn


Jafnan er á staðalformi.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið lausnarformúluna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Einfaldið.
Sannreynið.

Þegar við leystum annars stigs jöfnur með ferningsrótarreglunni fengum við stundum svör með rótarstæðum. Það getur einnig gerst þegar lausnarformúlan er notuð. Ef lausnin inniheldur rótarstæðu verður hún að vera á einfölduðu formi í lokasvarinu.

Dæmi 10.30

Leysið $4 y^{2} - 5 y - 3 = 0$ með lausnarformúlunni.

Lausn

Við getum notað lausnarformúluna til að einangra breytuna í annars stigs jöfnu, hvort sem breytan heitir x eða eitthvað annað.


Jafnan er á staðalformi.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið lausnarformúluna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Sannreynið lausnirnar.

Dæmi 10.31

Leysið $2 x^{2} + 10 x + 11 = 0$ með lausnarformúlunni.

Lausn


Jafnan er á staðalformi.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið lausnarformúluna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Einfaldið rótarstæðuna.
Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í teljaranum.
Fellið brott sameiginlegu þættina.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Sannreynið lausnirnar.

Við getum ekki tekið ferningsrót $a$ f neikvæðri tölu. Þegar við setjum a, $b$ og $c$ inn í lausnarformúluna hefur annars stigs jafnan því enga rauntölulausn ef stærðin í rótarstofninum er neikvæð. Við sjáum þetta í næsta dæmi.

Dæmi 10.32

Leysið $3 p^{2} + 2 p + 9 = 0$ með lausnarformúlunni.

Lausn

Jafnan er á staðalformi.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið lausnarformúluna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Einfaldið rótarstæðuna.
Við getum ekki tekið ferningsrót af neikvæðri tölu.	Engin rauntölulausn er til.

Annars stigs jöfnurnar sem við höfum leyst hingað til í þessum hluta voru allar ritaðar á staðalforminu $a x^{2} + b x + c = 0$ . Stundum þurfum við að beita algebru til að koma jöfnunni á staðalform áður en lausnarformúlan er notuð.

Dæmi 10.33

Leysið $x (x + 6) + 4 = 0$ með lausnarformúlunni.

Lausn


Margfaldið inn í svigana til að koma jöfnunni á staðalform.
Jafnan er nú á staðalformi.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið lausnarformúluna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Einfaldið í rótarstofninum.
Einfaldið rótarstæðuna.
Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í teljaranum.
Fellið brott sameiginlegu þættina.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Sannreynið lausnirnar.

Þegar við leystum línulegar jöfnur sem innihéldu mörg brot losuðum við jöfnurnar við brot með því að margfalda báðar hliðar þeirra með minnsta samnefnaranum. Þá fengum við jafngildar jöfnur án brota. Sömu aðferð má nota fyrir annars stigs jöfnur.

Dæmi 10.34

Leysið $\frac{1}{2} u^{2} + \frac{2}{3} u = \frac{1}{3}$ með lausnarformúlunni.

Lausn


Margfaldið báðar hliðar með minnsta samnefnaranum, 6, til að eyða brotunum.
Margfaldið.
Dragið 2 frá til að koma jöfnunni á staðalform.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið lausnarformúluna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Einfaldið rótarstæðuna.
Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í teljaranum.
Fellið brott sameiginlegu þættina.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Sannreynið lausnirnar.

Hugsum um jöfnuna ${(x - 3)}^{2} = 0$ . Af núllmargfeldisreglunni vitum við að hún hefur aðeins eina lausn: $x = 3$ .

Í næsta dæmi sjáum við að þegar lausnarformúlan er notuð á jöfnu þar sem vinstri hliðin er ferningur stæðu fæst einnig aðeins ein lausn.

Dæmi 10.35

Leysið $4 x^{2} - 20 x = −25$ með lausnarformúlunni.

Lausn


Leggið 25 við til að koma jöfnunni á staðalform.
Finnið gildi a, b og c.
Ritið lausnarformúluna.
Setjið síðan inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Einfaldið rótarstæðuna.
Einfaldið brotið.
Sannreynið lausnirnar.

Tókuð þið eftir að $4 x^{2} - 20 x + 25$ er ferningur stæðu?

Notið aðgreininn til að spá fyrir um fjölda lausna annars stigs jöfnu

Þegar við leystum annars stigs jöfnurnar í fyrri dæmum fengum við stundum tvær lausnir, stundum eina og stundum enga rauntölulausn. Er hægt að spá fyrir um fjölda lausna annars stigs jöfnu án þess að leysa hana?

Já, stærðin í rótarstofni lausnarformúlunnar auðveldar okkur að ákvarða fjölda lausna. Þessi stærð kallast aðgreinir.

Skoðum aðgreini jafnanna í dæmi 10.28, dæmi 10.32 og dæmi 10.35 og fjölda lausna þessara annars stigs jafna.

	Annars stigs jafna (á staðalformi)	Aðgreinir b 2 − 4 a c	Formerki aðgreinis	Fjöldi rauntölulausna
Dæmi 10.28	2 x 2 + 9 x − 5 = 0	9 2 − 4 · 2 ( −5 ) = 121	+	2
Dæmi 10.35	4 x 2 − 20 x + 25 = 0	( −20 ) 2 − 4 · 4 · 25 = 0	0	1
Dæmi 10.32	3 p 2 + 2 p + 9 = 0	2 2 − 4 · 3 · 9 = −104	−	0

Þegar aðgreinirinn er jákvæður, $(x = \frac{− b \pm \sqrt{+}}{2 a})$ , hefur annars stigs jafnan tvær lausnir.

Þegar aðgreinirinn er núll, $(x = \frac{− b \pm \sqrt{0}}{2 a})$ , hefur annars stigs jafnan eina lausn.

Þegar aðgreinirinn er neikvæður, $(x = \frac{− b \pm \sqrt{-}}{2 a})$ , hefur annars stigs jafnan enga rauntölulausn.

Dæmi 10.36

Ákvarðið fjölda lausna hverrar annars stigs jöfnu:

ⓐ $2 v^{2} - 3 v + 6 = 0$ ⓑ $3 x^{2} + 7 x - 9 = 0$ ⓒ $5 n^{2} + n + 4 = 0$ ⓓ $9 y^{2} - 6 y + 1 = 0$

Lausn

Til að ákvarða fjölda lausna hverrar annars stigs jöfnu skoðum við aðgreini hennar.

ⓐ

	2 v² − 3 v + 6 = 0
Jafnan er á staðalformi; finnið a, b og c.	a = 2 , b = −3 , c = 6
Ritið aðgreininn.	b² − 4 a c
Setjið inn gildi a, b og c.	( 3 ) 2 − 4 · 2 · 6
Einfaldið.	9 − 48 −39
Þar sem aðgreinirinn er neikvæður hefur jafnan enga rauntölulausn.

ⓑ

	3 x² + 7 x − 9 = 0
Jafnan er á staðalformi; finnið a, b og c.	a = 3 , b = 7 , c = −9
Ritið aðgreininn.	b² − 4 a c
Setjið inn gildi a, b og c.	( 7 ) 2 − 4 · 3 · ( −9 )
Einfaldið.	49 + 108 157
Þar sem aðgreinirinn er jákvæður hefur jafnan tvær lausnir.

ⓒ

	5 n² + n + 4 = 0
Jafnan er á staðalformi; finnið a, b og c.	a = 5 , b = 1 , c = 4
Ritið aðgreininn.	b² − 4 a c
Setjið inn gildi a, b og c.	( 1 ) 2 − 4 · 5 · 4
Einfaldið.	1 − 80 −79
Þar sem aðgreinirinn er neikvæður hefur jafnan enga rauntölulausn.

ⓓ

	9 y² − 6 y + 1 = 0
Jafnan er á staðalformi; finnið a, b og c.	a = 9 , b = −6 , c = 1
Ritið aðgreininn.	b² − 4 a c
Setjið inn gildi a, b og c.	( −6 ) 2 − 4 · 9 · 1
Einfaldið.	36 − 36 0
Þar sem aðgreinirinn er 0 hefur jafnan eina lausn.

Veljið heppilegustu aðferðina til að leysa annars stigs jöfnu

Við höfum notað fjórar aðferðir til að leysa annars stigs jöfnur:

Þáttun
Ferningsrótarregla
Að fylla í ferning
Lausnarformúla annars stigs jöfnu

Hægt er að leysa sérhverja annars stigs jöfnu með lausnarformúlunni, en það er ekki alltaf einfaldasta aðferðin.

Hvað með aðferðina að fylla í ferning? Flestum finnst hún fyrirhafnarmikil og kjósa að nota hana ekki. Við þurftum að hafa hana með í þessum kafla vegna þess að lausnarformúlan var leidd út með því að fylla í ferning á almennu formi. Þið eigið einnig eftir að nota aðferðina við að fylla í ferning á öðrum sviðum algebru.

Dæmi 10.37

Veljið heppilegustu aðferðina til að leysa hverja annars stigs jöfnu:

ⓐ $5 z^{2} = 17$ ⓑ $4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ ⓒ $8 u^{2} + 6 u = 11$

Lausn

ⓐ $5 z^{2} = 17$

Þar sem jafnan er á forminu $a x^{2} = k$ er heppilegast að nota ferningsrótarregluna.

ⓑ $4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Við sjáum að vinstri hlið jöfnunnar er fullkominn ferningsþríliður og því er þáttun heppilegasta aðferðin.

Setjið jöfnuna á staðalform. $8 u^{2} + 6 u - 11 = 0$

Þótt fyrsta hugsun okkar kunni að vera að reyna þáttun leiðir fjöldi möguleika við ágiskun og prófun til þess að við veljum lausnarformúluna sem heppilegustu aðferðina.

Verkefni úr hluta 10.3

Æfingin skapar meistarann

Leysið annars stigs jöfnur með lausnarformúlunni

Leysið jöfnurnar í eftirfarandi verkefnum með lausnarformúlunni.

99.

$4 m^{2} + m - 3 = 0$

100.

$4 n^{2} - 9 n + 5 = 0$

101.

$2 p^{2} - 7 p + 3 = 0$

102.

$3 q^{2} + 8 q - 3 = 0$

103.

$p^{2} + 7 p + 12 = 0$

104.

$q^{2} + 3 q - 18 = 0$

105.

$r^{2} - 8 r - 33 = 0$

106.

$t^{2} + 13 t + 40 = 0$

107.

$3 u^{2} + 7 u - 2 = 0$

108.

$6 z^{2} - 9 z + 1 = 0$

109.

$2 a^{2} - 6 a + 3 = 0$

110.

$5 b^{2} + 2 b - 4 = 0$

111.

$2 x^{2} + 3 x + 9 = 0$

112.

$6 y^{2} - 5 y + 2 = 0$

113.

$v (v + 5) - 10 = 0$

114.

$3 w (w - 2) - 8 = 0$

115.

$\frac{1}{3} m^{2} + \frac{1}{12} m = \frac{1}{4}$

116.

$\frac{1}{3} n^{2} + n = - \frac{1}{2}$

117.

$16 c^{2} + 24 c + 9 = 0$

118.

$25 d^{2} - 60 d + 36 = 0$

119.

$5 m^{2} + 2 m - 7 = 0$

120.

$8 n^{2} - 3 n + 3 = 0$

121.

$p^{2} - 6 p - 27 = 0$

122.

$25 q^{2} + 30 q + 9 = 0$

123.

$4 r^{2} + 3 r - 5 = 0$

124.

$3 t (t - 2) = 2$

125.

$2 a^{2} + 12 a + 5 = 0$

126.

$4 d^{2} - 7 d + 2 = 0$

127.

$\frac{3}{4} b^{2} + \frac{1}{2} b = \frac{3}{8}$

128.

$\frac{1}{9} c^{2} + \frac{2}{3} c = 3$

129.

$2 x^{2} + 12 x - 3 = 0$

130.

$16 y^{2} + 8 y + 1 = 0$

Notið aðgreininn til að spá fyrir um fjölda lausna annars stigs jöfnu

Ákvarðið fjölda lausna hverrar annars stigs jöfnu í eftirfarandi verkefnum.

131.

ⓐ $4 x^{2} - 5 x + 16 = 0$
ⓑ $36 y^{2} + 36 y + 9 = 0$
ⓓ $18 n^{2} - 7 n + 3 = 0$

132.

ⓐ $9 v^{2} - 15 v + 25 = 0$
ⓑ $100 w^{2} + 60 w + 9 = 0$
ⓓ $15 d^{2} - 4 d + 8 = 0$

133.

ⓐ $r^{2} + 12 r + 36 = 0$
ⓑ $8 t^{2} - 11 t + 5 = 0$
ⓓ $3 v^{2} - 5 v - 1 = 0$

134.

ⓐ $25 p^{2} + 10 p + 1 = 0$
ⓑ $7 q^{2} - 3 q - 6 = 0$
ⓓ $25 z^{2} - 60 z + 36 = 0$

Veljið heppilegustu aðferðina til að leysa annars stigs jöfnu

Veljið í eftirfarandi verkefnum heppilegustu aðferðina — þáttun, ferningsrótarreglu eða lausnarformúlu — til að leysa hverja annars stigs jöfnu. Leysið ekki jöfnurnar.

135.

136.

137.

138.

Stærðfræði í daglegu lífi

139.

Neyðarblysi er skotið beint upp frá skipi á hafi. Einangrið t, fjölda sekúndna þar til $16 (t^{2} - 13 t + 40) = 0$ blysið $t$ er í 640 feta hæð, í jöfnunni 16 ( t 2 − 13 t + 40 ) = 0.

140.

Arkitekt hannar anddyri hótels. Hún vill hafa þríhyrndan glugga sem snýr út að innigarði og breidd gluggans á að vera 6 fetum meiri en hæðin. Vegna orkusparnaðarkrafna verður flatarmál gluggans að vera 140 ferfet. Einangrið h, hæð gluggans, í jöfnunni 1/2 h 2 $\frac{1}{2} h^{2} + 3 h = 140$ $h$ + 3 h = 140.

Ritunarverkefni

141.

Leysið jöfnuna $x^{2} + 10 x = 200$
ⓐ með því að fylla í ferning og
ⓑ með lausnarformúlunni.
ⓒ Hvora aðferðina kjósið þið? Hvers vegna?

142.

Leysið jöfnuna $12 y^{2} + 23 y = 24$
ⓐ með því að fylla í ferning og
ⓑ með lausnarformúlunni.
ⓒ Hvora aðferðina kjósið þið? Hvers vegna?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur fjórar raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin er fyrirsagnarröð sem merkir hvern dálk. Fyrsti dálkurinn heitir „Ég get …“, annar „Örugglega“, þriðji „Með nokkurri hjálp“ og sá síðasti „Nei – ég skil þetta ekki!“. Í næstu röð dálksins „Ég get …“ stendur „leyst annars stigs jöfnur með lausnarformúlunni“. Í næstu röð stendur „notað aðgreininn til að spá fyrir um fjölda lausna annars stigs jöfnu“ og í síðustu röð stendur „valið heppilegustu aðferðina til að leysa annars stigs jöfnu“. Hinir dálkarnir eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um hversu vel þið hafið náð tökum á þessum hluta? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?