1010 Annars stigs jöfnur

10.5 Teiknið gröf annars stigs jafna með tveimur breytum

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Þekkt graf annars stigs jöfnu með tveimur breytum
Fundið samhverfuás og hvirfilpunkt fleygboga
Fundið skurðpunkta fleygboga við ása
Teiknað gröf annars stigs jafna með tveimur breytum
Leyst verkefni um hágildi og lággildi

Þekkið graf annars stigs jöfnu með tveimur breytum

Við höfum teiknað gröf jafna af gerðinni $A x + B y = C$ . Við kölluðum slíkar jöfnur línulegar jöfnur vegna þess að gröf þeirra eru beinar línur.

Nú teiknum við gröf jafna af gerðinni $y = a x^{2} + b x + c$ . Slík jafna kallast annars stigs jafna með tveimur breytum.

Rétt eins og við byrjuðum að teikna gröf línulegra jafna með því að setja inn punkta gerum við það sama fyrir annars stigs jöfnur.

Skoðum fyrst graf annars stigs jöfnunnar $y = x^{2}$ . Við veljum heiltölugildi á $x$ milli $−2$ og 2 og finnum samsvarandi gildi á $y$ . Sjá töflu 10.1.

y = x 2
$x$	$y$
0	0
1	1
−1	1
2	4
−2	4

Takið eftir að þegar við létum $x = 1$ og $x = −1$ fékkst sama gildi á $y$ .

\begin{matrix} y = x^{2} & y = x^{2} \\ y = 1^{2} & y = {(−1)}^{2} \\ y = 1 & y = 1 \end{matrix}

Það sama gerðist þegar við létum $x = 2$ og $x = −2$ .

Nú setjum við punktana inn til að sýna graf $y = x^{2}$ . Sjá mynd 10.2.

Myndin sýnir u-laga feril sem opnast upp á xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá −10 til 10 og y-ásinn frá −10 til 10. Lægsti punktur ferilsins er (0, 0). Aðrir punktar á ferlinum eru (−2, 4), (−1, 1), (1, 1) og (2, 4).

Grafið er ekki lína. Þessi ferill kallast fleygbogi. Graf sérhverrar annars stigs jöfnu er af þessari gerð.

Í dæmi 10.43 æfið þið að teikna fleygboga með því að setja inn nokkra punkta.

Dæmi 10.43

Teiknið graf $y = x^{2} - 1$ .

Lausn

Við teiknum graf jöfnunnar með því að setja inn punkta.

Veljið heiltölugildi á x, setjið þau inn í jöfnuna og einangrið y.
Skráið gildi hnitaðra para í töfluna.
Setjið punktana inn og tengið þá síðan með sléttum ferli. Niðurstaðan er graf jöfnunnar y = x² − 1.

Hvernig eru jöfnurnar $y = x^{2}$ og $y = x^{2} - 1$ ólíkar? Hver er munurinn á gröfum þeirra? Hvað eiga gröfin sameiginlegt?

Allir fleygbogar af gerðinni $y = a x^{2} + b x + c$ opnast upp eða niður. Sjá mynd 10.3.

Myndin sýnir tvö gröf hlið við hlið. Vinstra grafið sýnir u-laga feril sem opnast upp á xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá −10 til 10 og y-ásinn frá −10 til 10. Lægsti punktur ferilsins er (−2, −1). Aðrir punktar eru (−3, 0) og (−1, 0). Fyrir neðan grafið er almenna jafnan y er jafnt a x í öðru veldi plús b x plús c og síðan jafna grafsins, y er jafnt x í öðru veldi plús 4 x plús 3. Ójafnan a stærra en 0 sýnir að fleygboginn opnast upp. Hægra grafið sýnir u-laga feril sem opnast niður. x-ásinn nær frá −10 til 10 og y-ásinn frá −10 til 10. Hæsti punktur ferilsins er (2, 7). Aðrir punktar eru (0, 3) og (4, 3). Fyrir neðan grafið er almenna jafnan y er jafnt a x í öðru veldi plús b x plús c og síðan jafna grafsins, y er jafnt mínus x í öðru veldi plús 4 x plús 3. Ójafnan a minna en 0 sýnir að fleygboginn opnast niður.

Takið eftir að eini munurinn á jöfnunum tveimur er mínusmerkið á undan $x^{2}$ í jöfnu seinna grafsins á mynd 10.3. Þegar $x^{2}$ -liðurinn er jákvæður opnast fleygboginn upp en þegar $x^{2}$ -liðurinn er neikvæður opnast hann niður.

Dæmi 10.44

Ákvarðið hvort hver fleygbogi opnist upp eða niður:

ⓐ $y = −3 x^{2} + 2 x - 4$ ⓑ $y = 6 x^{2} + 7 x - 9$

Lausn

ⓐ Finnið gildi a.	Þar sem a er neikvætt opnast fleygboginn niður.
ⓑ Finnið gildi a.	Þar sem a er jákvætt opnast fleygboginn upp.

Finnið samhverfuás og hvirfilpunkt fleygboga

Skoðið aftur mynd 10.3. Sjáið þið að hægt væri að brjóta hvorn fleygboga saman í tvennt þannig að annar helmingurinn lægi nákvæmlega ofan á hinum? Brotalínan er samhverfulína. Við köllum hana samhverfuás fleygbogans.

Við sýnum sömu tvö gröfin aftur með samhverfuásinn bláan. Sjá mynd 10.4.

Myndin sýnir tvö gröf hlið við hlið. Vinstra grafið sýnir fleygboga sem opnast upp á xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá −10 til 10 og y-ásinn frá −10 til 10. Lægsti punktur ferilsins er (−2, −1). Aðrir punktar eru (−3, 0) og (−1, 0). Slitin lóðrétt lína liggur um miðju fleygbogans við punktinn (−2, −1). Fyrir neðan er jafnan y er jafnt x í öðru veldi plús 4 x plús 3. Hægra grafið sýnir fleygboga sem opnast niður. x-ásinn nær frá −10 til 10 og y-ásinn frá −10 til 10. Hæsti punktur ferilsins er (2, 7). Aðrir punktar eru (0, 3) og (4, 3). Slitin lóðrétt lína liggur um miðju fleygbogans við punktinn (2, 7). Fyrir neðan er jafnan y er jafnt mínus x í öðru veldi plús 4 x plús 3.

Jöfnu samhverfuássins má leiða út með lausnarformúlunni. Við sleppum útleiðslunni hér og notum niðurstöðuna beint. Jafna samhverfuáss grafsins á $y = a x^{2} + b x + c$ er $x = - \frac{b}{2 a} .$

Til að finna jöfnu samhverfuáss hvors fleygboga sem við teiknuðum hér á undan setjum við því inn í formúluna $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Myndin sýnir skrefin við að finna samhverfuás tveggja fleygboga. Vinstra megin er staðalform annars stigs jöfnu, y er jafnt a x í öðru veldi plús b x plús c, fyrir ofan jöfnuna y er jafnt x í öðru veldi plús 4 x plús 3. Samhverfuásinn er jafnan x er jafnt mínus b deilt með tvöföldu a. Þegar gildin á a og b eru sett inn verður formúlan x er jafnt mínus 4 deilt með 2 sinnum 1, sem einfaldast í x er jafnt mínus 2. Hægra megin er staðalformið fyrir ofan jöfnuna y er jafnt mínus x í öðru veldi plús 4 x plús 3. Þegar gildin á a og b eru sett inn í formúlu samhverfuássins verður hún x er jafnt mínus 4 deilt með 2 sinnum −1, sem einfaldast í x er jafnt 2.

Skoðið aftur mynd 10.4. Hverjar eru jöfnur slitnu rauðu línanna?

Punkturinn á fleygboganum sem liggur á samhverfuásnum er lægsti eða hæsti punktur hans eftir því hvort fleygboginn opnast upp eða niður. Þessi punktur kallast hvirfilpunktur fleygbogans.

Auðvelt er að finna hnit hvirfilpunktsins því hann liggur á samhverfuásnum. x-hnit hans er því $- \frac{b}{2 a}$ . Til að finna y-hnitið setjum við gildi x-hnitsins inn í annars stigs jöfnuna.

Myndin sýnir skrefin við að finna hvirfilpunkt tveggja fleygboga. Vinstra megin er jafnan y er jafnt x í öðru veldi plús 4 x plús 3. Fyrir neðan stendur „samhverfuásinn er x = −2“. Þar fyrir neðan er hnitaparið fyrir hvirfilpunktinn með x-gildið −2 og autt y-gildi. Upprunalega jafnan er síðan sýnd með −2 sett inn fyrir x: y er jafnt −2 í öðru veldi plús 4 sinnum −2 plús 3. Þetta einfaldast í y = −1 og hvirfilpunkturinn er (−2, −1). Hægra megin er jafnan y er jafnt mínus x í öðru veldi plús 4 x plús 3. Samhverfuásinn er x = 2 og x-gildi hvirfilpunktsins 2. Þegar 2 er sett inn fyrir x fæst y er jafnt mínus 2 í öðru veldi plús 4 sinnum 2 plús 3. Þetta einfaldast í y = 7 og hvirfilpunkturinn er (2, 7).

Dæmi 10.45

Fyrir fleygbogann $y = 3 x^{2} - 6 x + 2$ skuluð þið finna: ⓐ samhverfuásinn og ⓑ hvirfilpunktinn.

Lausn

ⓐ
Samhverfuásinn er línan x = − b/2 a.
Setjið gildi a og b inn í jöfnuna.
Einfaldið.	x = 1
	Samhverfuásinn er línan x = 1.
ⓑ
Hvirfilpunkturinn liggur á samhverfuásnum og því er x-hnit hans x = 1.
Setjið x = 1 inn í jöfnuna og einangrið y.
Einfaldið.
Þetta er y-hnitið.	y = −1 Hvirfilpunkturinn er ( 1 , − 1 ) .

Finnið skurðpunkta fleygboga við ása

Þegar við teiknuðum gröf línulegra jafna notuðum við oft skurðpunkta við x- og y-ás til að auðvelda teikninguna. Hnit skurðpunktanna hjálpa okkur einnig að teikna fleygboga.

Munið að í skurðpunkti við y-ás er gildi $x$ núll. Til að finna skurðpunkt við y-ás setjum við því $x = 0$ inn í jöfnuna.

Finnum skurðpunkta við y-ás fyrir fleygbogana tvo á myndinni hér á eftir.

Myndin sýnir tvö gröf hlið við hlið. Vinstra grafið sýnir fleygboga sem opnast upp á xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá −10 til 10 og y-ásinn frá −10 til 10. Hvirfilpunkturinn er (−2, −1) og aðrir punktar eru (−3, 0) og (−1, 0). Slitin lóðrétt lína sýnir samhverfuásinn x = −2. Fyrir neðan er jafnan y er jafnt x í öðru veldi plús 4 x plús 3. Þegar 0 er sett inn fyrir x fæst y er jafnt 0 í öðru veldi plús 4 sinnum 0 plús 3, sem einfaldast í y = 3. Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 3). Hægra grafið sýnir fleygboga sem opnast niður. x-ásinn nær frá −10 til 10 og y-ásinn frá −10 til 10. Hvirfilpunkturinn er (2, 7) og aðrir punktar eru (0, 3) og (4, 3). Slitin lóðrétt lína sýnir samhverfuásinn x = 2. Fyrir neðan er jafnan y er jafnt mínus x í öðru veldi plús 4 x plús 3. Þegar 0 er sett inn fyrir x fæst y er jafnt mínus 0 í öðru veldi plús 4 sinnum 0 plús 3, sem einfaldast í y = 3. Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 3).

Í skurðpunkti við x-ás er gildi y núll. Til $y$ að finna skurðpunkt við x-ás setjum við y = 0 inn í $y = 0$ jöfnuna. Með öðrum orðum þurfum við að einangra x í jöfnunni 0 = a x 2 + b x + $0 = a x^{2} + b x + c$ c. $x$

\begin{matrix} y = a x^{2} + b x + c \\ 0 = a x^{2} + b x + c \end{matrix}

En að leysa slíkar annars stigs jöfnur er einmitt það sem við höfum gert fyrr í þessum kafla.

Nú getum við fundið skurðpunkta fleygboganna tveggja á mynd 10.5 við x-ás.

Fyrst finnum við skurðpunkta fleygbogans með jöfnuna $y = x^{2} + 4 x + 3$ við x-ás.


Látum y = 0.
Þáttið.
Notið núllmargfeldisregluna.
Leysið.
	Skurðpunktarnir við x-ás eru ( − 1 , 0 ) og ( − 3 , 0 ) .

Nú finnum við skurðpunkta fleygbogans með jöfnuna $y = - x^{2} + 4 x + 3$ við x-ás.


Látum y = 0.
Ekki er hægt að þátta þessa annars stigs jöfnu og því notum við lausnarformúluna.
a = −1 , b = 4 , c = 3
Einfaldið.
	Skurðpunktarnir við x-ás eru ( 2 + 7 , 0 ) og ( 2 − 7 , 0 ).

Við notum tugabrotsnálganir skurðpunktanna við x-ás svo að hægt sé að staðsetja þá á grafinu.

\begin{matrix} (2 + \sqrt{7}, 0) \approx (4.6, 0) & (2 - \sqrt{7}, 0) \approx (−0.6, 0) \end{matrix}

Samræmast þessar niðurstöður gröfunum okkar? Sjá mynd 10.6.

Dæmi 10.46

Finnið skurðpunkta fleygbogans $y = x^{2} - 2 x - 8$ við ása.

Lausn


Til að finna skurðpunktinn við y-ás skuluð þið láta x = 0 og einangra y.
	Þegar x = 0 er y = −8. Skurðpunkturinn við y-ás er ( 0 , −8 ).

Til að finna skurðpunktana við x-ás skuluð þið láta y = 0 og einangra x.
Leysið með þáttun.

Þegar $y = 0$ er $x = 4 eða x = −2$ . Skurðpunktarnir við x-ás eru $(4, 0)$ og $(−2, 0)$ .

Í þessum kafla höfum við leyst annars stigs jöfnur af gerðinni $a x^{2} + b x + c = 0$ . Við einangruðum $x$ og fengum lausnir jöfnunnar.

Nú skoðum við annars stigs jöfnur með tveimur breytum af gerðinni $y = a x^{2} + b x + c$ . Gröf þeirra eru fleygbogar. Skurðpunktar fleygboganna við x-ás eru þar sem $y = 0$ .

Til dæmis:

\begin{matrix} Annars stigs jafna & Annars stigs jafna með tveimur breytum \\ y = x^{2} - 2 x - 15 \\ \begin{matrix} x^{2} - 2 x - 15 & = & 0 \\ (x - 5) (x + 3) & = & 0 \end{matrix} & Látum y = 0 \begin{matrix} 0 = x^{2} - 2 x - 15 \\ 0 = (x - 5) (x + 3) \end{matrix} \\ \begin{matrix} x - 5 & = & 0 & x + 3 & = & 0 \\ x & = & 5 & x & = & −3 \end{matrix} & \begin{matrix} x - 5 & = & 0 & x + 3 & = & 0 \\ x & = & 5 & x & = & −3 \end{matrix} \\ (5, 0) og (−3, 0) \\ x -skurðpunktar \end{matrix}

Lausnir annars stigs jöfnunnar eru $x$ -gildi skurðpunktanna við x-ás.

Fyrr sáum við að annars stigs jöfnur hafa 2, 1 eða 0 lausnir. Gröfin hér á eftir sýna fleygboga fyrir tilvikin þrjú. Þar sem lausnir jafnanna gefa skurðpunkta grafanna við x-ás er fjöldi skurðpunkta sá sami og fjöldi lausna.

Áður notuðum við aðgreininn til að ákvarða fjölda lausna annars stigs jöfnu af gerðinni $a x^{2} + b x + c = 0$ . Nú getum við notað aðgreininn til að finna hversu marga skurðpunkta grafið hefur við x-ás.

Myndin sýnir þrjú gröf hlið við hlið. Vinstra grafið sýnir fleygboga sem opnast upp og hefur hvirfilpunkt í neðri hægri fjórðungi. Fyrir neðan stendur ójafnan b í öðru veldi mínus 4 a c stærra en 0, „Tvær lausnir“ og „Tveir skurðpunktar við x-ás“. Miðgrafið sýnir fleygboga sem opnast niður og hefur hvirfilpunkt á x-ás. Fyrir neðan stendur jafnan b í öðru veldi mínus 4 a c jafnt 0, „Ein lausn“ og „Einn skurðpunktur við x-ás“. Hægra grafið sýnir fleygboga sem opnast upp og hefur hvirfilpunkt í efri vinstri fjórðungi. Fyrir neðan stendur ójafnan b í öðru veldi mínus 4 a c minna en 0, „Engar rauntölulausnir“ og „Enginn skurðpunktur við x-ás“.

Áður en þið byrjið að leysa annars stigs jöfnuna til að finna x-gildi skurðpunktanna gæti verið gagnlegt að reikna aðgreininn svo að þið vitið hversu mörgum lausnum má búast við.

Dæmi 10.47

Finnið skurðpunkta fleygbogans $y = 5 x^{2} + x + 4$ við ása.

Lausn


Til að finna skurðpunktinn við y-ás skuluð þið láta x = 0 og einangra y.	Þegar x = 0 er y = 4. Skurðpunkturinn við y-ás er ( 0 , 4 ).

Til að finna skurðpunktana við x-ás skuluð þið láta y = 0 og einangra x.
Finnið gildi aðgreinisins til að sjá fyrir fjölda lausna og þar með skurðpunkta við x-ás.	b² − 4 a c 1 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 4 1 − 80 −79
Þar sem aðgreinirinn er neikvæður hefur jafnan enga rauntölulausn.	Engir skurðpunktar eru við x-ás.

Dæmi 10.48

Finnið skurðpunkta fleygbogans $y = 4 x^{2} - 12 x + 9$ við ása.

Lausn


Til að finna skurðpunktinn við y-ás skuluð þið láta x = 0 og einangra y.
	Þegar x = 0 er y = 9. Skurðpunkturinn við y-ás er ( 0 , 9 ).

Til að finna skurðpunktinn við x-ás skuluð þið láta y = 0 og einangra x.
Finnið gildi aðgreinisins til að sjá fyrir fjölda lausna og þar með skurðpunkta við x-ás.	b² − 4 a c 2 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 144 − 144 0
	Þar sem aðgreinirinn hefur gildið 0 hefur jafnan aðeins eina rauntölulausn. Því er aðeins einn skurðpunktur við x-ás.
Leysið jöfnuna með því að þátta fullkomna ferningsþríliðinn.
Notið núllmargfeldisregluna.
Einangrið x.
	Þegar y = 0 er $\frac{3}{2}$ = x .
	Skurðpunkturinn við x-ás er ( $\frac{3}{2}$ , 0 ) .

Teiknið gröf annars stigs jafna með tveimur breytum

Nú höfum við öll atriðin sem þarf til að teikna graf annars stigs jöfnu með tveimur breytum. Við þurfum aðeins að setja þau saman. Í næsta dæmi sjáum við hvernig það er gert.

Dæmi 10.49

Hvernig á að teikna graf annars stigs jöfnu með tveimur breytum

Teiknið graf $y = x^{2} - 6 x + 8$ .

Lausn

Myndin sýnir skrefin við að teikna graf annars stigs jöfnunnar y er jafnt x í öðru veldi mínus 6 x plús 8. Í skrefi 1 er jafnan rituð með y öðru megin; hér er hún þegar á því formi. Gildi a er einn, b er −6 og c er 8.

Í skrefi 2 er ákvarðað hvort fleygboginn opnist upp eða niður. Þar sem a er jákvætt opnast hann upp.

Í skrefi 3 er samhverfuásinn fundinn. Hann er línan x er jafnt mínus b deilt með 2 a. Þegar gildin á b og a eru sett inn fæst x er jafnt mínus −6 deilt með 2 sinnum 1, sem einfaldast í x = 3. Samhverfuásinn er línan x = 3.

Í skrefi 4 er hvirfilpunkturinn fundinn. Hann liggur á samhverfuásnum. Setjið x = 3 inn í jöfnuna og einangrið y. Jafnan er y er jafnt x í öðru veldi mínus 6 x plús 8. Þegar 3 er sett inn fyrir x fæst y er jafnt 3 í öðru veldi mínus 6 sinnum 3 plús 8, sem einfaldast í y = −1. Hvirfilpunkturinn er (3, −1).

Í skrefi 5 er skurðpunkturinn við y-ás fundinn ásamt spegilpunkti hans um samhverfuásinn. Við setjum x = 0 inn í jöfnuna. Þegar 0 er sett inn fyrir x fæst y er jafnt 0 í öðru veldi mínus 6 sinnum 0 plús 8, sem einfaldast í y = 8. Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 8). Hann er 3 einingum vinstra megin við samhverfuásinn x = 3. Punktur 3 einingum hægra megin við ásinn hefur x = 6. Spegilpunkturinn er (6, 8).

Í skrefi 6 eru skurðpunktarnir við x-ás fundnir. Við setjum y = 0 inn í jöfnuna og fáum 0 jafnt x í öðru veldi mínus 6 x plús 8. Með þáttun fæst 0 jafnt margfeldinu af x mínus 2 og x mínus 4. Leysið hvora jöfnu og fáið x = 2 og x = 4. Skurðpunktarnir eru (2, 0) og (4, 0).

Í skrefi 7 er fleygboginn teiknaður. Við merkjum hvirfilpunktinn, skurðpunktana og spegilpunkt skurðpunktsins við y-ás og tengjum punktana fimm. Grafið sýnir fleygboga sem opnast upp á xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá −2 til 10 og y-ásinn frá −3 til 10. Hvirfilpunkturinn er (3, −1). Punktar eru merktir við (0, 8), (6, 8), (2, 0) og (4, 0). Slitin lóðrétt lína sýnir samhverfuásinn x = 3.

Í síðasta dæmi gátum við fundið skurðpunktana við x-ás með þáttun. Við finnum þá einnig með þáttun í næsta dæmi.

Dæmi 10.50

Teiknið graf $y = − x^{2} + 6 x - 9$ .

Lausn

Jafnan hefur y öðru megin.
Þar sem a er − 1opnast fleygboginn niður. Finnið x = − b/2 a til að finna samhverfuásinn.		Samhverfuásinn er x = 3 . . Hvirfilpunkturinn liggur á línunni x = 3 .
Finnið y þegar x = 3 .	Hvirfilpunkturinn er ( 3 , 0 ) .
Skurðpunkturinn við y-ás fæst þegar x = 0 .. Setjið x = 0 .inn. Einfaldið. Punkturinn ( 0 , −9 ) er þremur einingum vinstra megin við samhverfuásinn. Punkturinn þremur einingum hægra megin við ásinn er ( 6 , −9 ) .. Spegilpunktur skurðpunktsins við y-ás er ( 6 , −9 )	Skurðpunkturinn við y-ás er ( 0 , −9 ) .
Skurðpunktur við x-ás fæst þegar y = 0 .
Setjið inn y = 0 .
Takið SSÞ út fyrir sviga.
Þáttið þríliðinn.
Einangrið x.
Tengið punktana til að teikna fleygbogann.

Á grafinu af $y = - x^{2} + 6 x - 9$ voru hvirfilpunkturinn og skurðpunkturinn við x-ás sami punkturinn. Munið hvernig aðgreinirinn ákvarðar fjölda lausna annars stigs jöfnu. Aðgreinir jöfnunnar $0 = − x^{2} + 6 x - 9$ er 0 og því er aðeins ein lausn. Það merkir að aðeins einn skurðpunktur er við x-ás og hann er hvirfilpunktur fleygbogans.

Hversu marga skurðpunkta við x-ás búist þið við að sjá á grafinu af $y = x^{2} + 4 x + 5$ ?

Dæmi 10.51

Teiknið graf $y = x^{2} + 4 x + 5$ .

Lausn

Jafnan hefur y öðru megin.
Þar sem a er 1 opnast fleygboginn upp.
Finnið x = − b/2 a . til að finna samhverfuásinn. x = − b/2 a .	Samhverfuásinn er x = −2 .
Hvirfilpunkturinn liggur á línunni x = −2 .
Finnið y þegar x = −2 .	Hvirfilpunkturinn er ( −2 , 1 ) .
Skurðpunkturinn við y-ás fæst þegar x = 0 .. Setjið x = 0 .inn. Einfaldið. Punkturinn ( 0 , 5 ) er tveimur einingum hægra megin við samhverfuásinn. Punkturinn tveimur einingum vinstra megin við ásinn er ( −4 , 5 ) .	Skurðpunkturinn við y-ás er ( 0 , 5 ) .. Spegilpunktur hans er ( −4 , 5 ).
Skurðpunktur við x-ás fæst þegar y = 0 .
Setjið y = 0 . inn. Reiknið aðgreininn.
		b² − 4 a c 4 2 − 4 ⋅ 1 5 16 − 20 −4
Þar sem aðgreinirinn er neikvæður er engin lausn og því enginn skurðpunktur við x-ás. Tengið punktana til að teikna fleygbogann. Til að auka nákvæmnina gæti verið gagnlegt að velja tvo punkta til viðbótar.

Auðvelt er að finna skurðpunktinn við y-ás með því að setja $x = 0$ inn í jöfnuna, er það ekki? En í dæmi 10.51 þurftum við að nota lausnarformúluna til að finna skurðpunktana við x-ás. Við notum hana aftur í næsta dæmi.

Dæmi 10.52

Teiknið graf $y = 2 x^{2} - 4 x - 3$ .

Lausn


Jafnan hefur y öðru megin. Þar sem a er 2 opnast fleygboginn upp.
Finnið x = − b/2 a til að finna samhverfuásinn.	Samhverfuásinn er x = 1.
Hvirfilpunkturinn liggur á línunni x = 1 .
Finnið y þegar x = 1.	Hvirfilpunkturinn er ( 1 , − 5 ).
Skurðpunkturinn við y-ás fæst þegar x = 0 .
Setjið inn x = 0 .
Einfaldið.	Skurðpunkturinn við y-ás er ( 0 , −3 ).
Punkturinn ( 0 , −3 ) er einni einingu vinstra megin við samhverfuásinn. Punkturinn einni einingu hægra megin við ásinn er ( 2 , −3 )	Spegilpunktur skurðpunktsins við y-ás er ( 2 , −3 ) .
Skurðpunktur við x-ás fæst þegar y = 0.
Setjið inn y = 0.
Notið lausnarformúluna.
Setjið inn gildi a, b og c.
Einfaldið.
Einfaldið í rótarstofninum.
Einfaldið rótarstæðuna.
Takið SSÞ út fyrir sviga.
Fellið út sameiginlega þætti.
Ritið sem tvær jöfnur.
Nálgið gildin.
	Nálgunargildi skurðpunktanna við x-ás eru ( 2.5 , 0 ) og ( −0.6 , 0 ).
Teiknið fleygbogann með punktunum sem fundust.

Leysið verkefni um hágildi og lággildi

Þar sem hvirfilpunktur fleygboga er lægsti eða hæsti punktur hans getum við auðveldlega ákvarðað lággildi eða hágildi annars stigs jöfnu. y-hnit hvirfilpunktsins er lægsta y-gildi fleygboga sem opnast upp en hæsta y-gildi fleygboga sem opnast niður. Sjá mynd 10.7.

Myndin sýnir tvö gröf hlið við hlið. Vinstra grafið sýnir fleygboga sem opnast niður og hefur hvirfilpunkt í efri hægri fjórðungi. Hvirfilpunkturinn er merktur „hágildi“. Hægra grafið sýnir fleygboga sem opnast upp og hefur hvirfilpunkt í neðri hægri fjórðungi. Hvirfilpunkturinn er merktur „lággildi“.

Dæmi 10.53

Finnið lággildi annars stigs jöfnunnar $y = x^{2} + 2 x - 8$ .

Lausn


Þar sem a er jákvætt opnast fleygboginn upp.
Annars stigs jafnan hefur lággildi.
Finnið samhverfuásinn.	Samhverfuásinn er x = −1.
Hvirfilpunkturinn liggur á línunni x = −1 .
Finnið y þegar x = −1 .	Hvirfilpunkturinn er ( −1 , −9 ).
Þar sem fleygboginn hefur lággildi er y-hnit hvirfilpunktsins lægsta y-gildi annars stigs jöfnunnar.
Lággildi annars stigs jöfnunnar er −9 og það fæst þegar x = −1.
Teiknið grafið til að sannreyna niðurstöðuna.

Við höfum notað formúluna

h = −16 t^{2} + v_{0} t + h_{0}

til að reikna hæðina í fetum, h, $h$ sem hlutur nær eftir t sekúndur þegar honum er skotið upp í loftið með $v_{0}$ upphafshraðanum $t$ v 0.

Þessi formúla er annars s $t$ igs jafna með breytunni t og graf hennar er því fleygbogi. Með því að finna hnit hvirfilpunktsins getum við ákvarðað hversu lengi hlutinn er að ná hámarkshæð sinni. Síðan getum við reiknað hámarkshæðina.

Dæmi 10.54

Annars stigs jafnan $h = −16 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ lýsir hæð blakbolta sem sleginn er beint upp með hraðanum 176 fet á sekúndu úr 4 feta hæð.

ⓐ Hversu margar sekúndur líða þar til blakboltinn nær hámarkshæð?
ⓑ Finnið hámarkshæð blakboltans.

Lausn

$h = −16 t^{2} + 176 t + 4$

Þar sem a er neikvætt opnast fleygboginn niður.

Annars stigs jafnan hefur hágildi.

ⓐ
$\begin{matrix} Finnið samhverfuásinn. & \begin{matrix} t = - \frac{b}{2 a} \\ t = - \frac{176}{2 (−16)} \\ t = 5.5 \end{matrix} \\ Samhverfuásinn er t = 5.5 . \\ Hvirfilpunkturinn liggur á línunni t = 5.5 . & Hágildið fæst þegar t = 5.5 sekúndur. \end{matrix}$

ⓑ

Finnið h þegar $t = 5.5$
. Notið reiknivél til að einfalda.
		Hvirfilpunkturinn er $(5.5, 488)$
. Þar sem fleygboginn hefur hágildi er h-hnit hvirfilpunktsins hæsta y-gildi annars stigs jöfnunnar. Hágildi		jöfnunnar er 488 fet og það fæst þegar $t = 5.5$ sekúndur.

Verkefni úr hluta 10.5

Æfingin skapar meistarann

Þekkið graf annars stigs jöfnu með tveimur breytum

Teiknið gröfin í eftirfarandi verkefnum:

163.

$y = x^{2} + 3$

164.

$y = − x^{2} + 1$

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort fleygboginn opnast upp eða niður.

165.

$y = −2 x^{2} - 6 x - 7$

166.

$y = 6 x^{2} + 2 x + 3$

167.

$y = 4 x^{2} + x - 4$

168.

$y = −9 x^{2} - 24 x - 16$

Finnið samhverfuás og hvirfilpunkt fleygboga

Finnið í eftirfarandi verkefnum ⓐ samhverfuásinn og ⓑ hvirfilpunktinn.

169.

$y = x^{2} + 8 x - 1$

170.

$y = x^{2} + 10 x + 25$

171.

$y = − x^{2} + 2 x + 5$

172.

$y = −2 x^{2} - 8 x - 3$

Finnið skurðpunkta fleygboga við ása

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna skurðpunktana við x- og y-ás.

173.

$y = x^{2} + 7 x + 6$

174.

$y = x^{2} + 10 x - 11$

175.

$y = − x^{2} + 8 x - 19$

176.

$y = x^{2} + 6 x + 13$

177.

$y = 4 x^{2} - 20 x + 25$

178.

$y = − x^{2} - 14 x - 49$

Teiknið gröf annars stigs jafna með tveimur breytum

Teiknið gröfin í eftirfarandi verkefnum með því að nota skurðpunkta við ása, hvirfilpunkt og samhverfuás.

179.

$y = x^{2} + 6 x + 5$

180.

$y = x^{2} + 4 x - 12$

181.

$y = x^{2} + 4 x + 3$

182.

$y = x^{2} - 6 x + 8$

183.

$y = 9 x^{2} + 12 x + 4$

184.

$y = − x^{2} + 8 x - 16$

185.

$y = − x^{2} + 2 x - 7$

186.

$y = 5 x^{2} + 2$

187.

$y = 2 x^{2} - 4 x + 1$

188.

$y = 3 x^{2} - 6 x - 1$

189.

$y = 2 x^{2} - 4 x + 2$

190.

$y = −4 x^{2} - 6 x - 2$

191.

$y = − x^{2} - 4 x + 2$

192.

$y = x^{2} + 6 x + 8$

193.

$y = 5 x^{2} - 10 x + 8$

194.

$y = −16 x^{2} + 24 x - 9$

195.

$y = 3 x^{2} + 18 x + 20$

196.

$y = −2 x^{2} + 8 x - 10$

Leysið verkefni um hágildi og lággildi

Finnið hágildi eða lággildi í eftirfarandi verkefnum.

197.

$y = 2 x^{2} + x - 1$

198.

$y = −4 x^{2} + 12 x - 5$

199.

$y = x^{2} - 6 x + 15$

200.

$y = − x^{2} + 4 x - 5$

201.

$y = −9 x^{2} + 16$

202.

$y = 4 x^{2} - 49$

Leysið eftirfarandi verkefni. Námundið svörin að næsta tíunda hluta.

203.

Ör er skotin lóðrétt upp af 45 feta háum palli með hraðanum 168 ft/sec. Notið annars stigs jöfnuna $h = −16 t^{2} + 168 t + 45$ til að finna hversu lengi örin er að ná hámarkshæð og finnið síðan hámarkshæðina.

204.

Steini er kastað lóðrétt upp af 20 feta háum palli með hraðanum 160 ft/sec. Notið annars stigs jöfnuna $h = −16 t^{2} + 160 t + 20$ til að finna hversu lengi steinninn er að ná hámarkshæð og finnið síðan hámarkshæðina.

205.

Eigandi tölvuverslunar áætlar að ef hann selur tiltekna tölvu á $x$ dali geti hann selt $40 - x$ tölvur á viku. Annars stigs jafnan $R = − x^{2} + 40 x$ gefur tekjurnar, $R$ , þegar söluverð tölvunnar er $x$ . Finnið söluverðið sem gefur hæstar tekjur og finnið síðan fjárhæð þeirra.

206.

Smásali sem selur bakpoka áætlar að ef hver poki kostar $x$ dali geti hann selt $100 - x$ bakpoka á mánuði. Annars stigs jafnan $R = − x^{2} + 100 x$ gefur tekjurnar, $R$ , þegar söluverð bakpoka er $x$ . Finnið söluverðið sem gefur hæstar tekjur og finnið síðan fjárhæð þeirra.

207.

Búgarðseigandi ætlar að girða þrjár hliðar gerðis við á. Hann vill hámarka flatarmálið með 240 fetum af girðingu. Annars stigs jafnan $A = x (240 - 2 x)$ gefur flatarmál gerðisins, $A$ , fyrir lengd þess meðfram ánni, $x,$ . Finnið lengdina meðfram ánni sem gefur stærsta flatarmál og finnið síðan það flatarmál.

208.

Dýralæknir ætlar að girða af rétthyrnt útihlaupasvæði fyrir hunda upp við byggingu sína. Hann vill hámarka flatarmálið með 100 fetum af girðingu. Annars stigs jafnan $A = x (100 - 2 x)$ gefur flatarmál hundasvæðisins, $A$ , fyrir lengd byggingarinnar sem liggur að svæðinu, $x$ . Finnið lengd byggingarhliðarinnar sem gefur stærsta flatarmál og finnið síðan það flatarmál.

Stærðfræði í daglegu lífi

209.

Í fyrri æfingunum unnuð þið með annars stigs jöfnuna $R = − x^{2} + 40 x$ , sem lýsir tekjum af sölu tölva á $x$ dali. Þið funduð söluverðið sem gaf hæstar tekjur og reiknuðuð tekjurnar. Nú skoðið þið fleiri eiginleika líkansins.
ⓐ Teiknið graf jöfnunnar $R = − x^{2} + 40 x$ . ⓑ Finnið x-gildi skurðpunktanna við x-ás.

210.

Í fyrri æfingunum unnuð þið með annars stigs jöfnuna $R = − x^{2} + 100 x$ , sem lýsir tekjum af sölu bakpoka á $x$ dali. Þið funduð söluverðið sem gaf hæstar tekjur og reiknuðuð tekjurnar. Nú skoðið þið fleiri eiginleika líkansins.
ⓐ Teiknið graf jöfnunnar $R = − x^{2} + 100 x$ . ⓑ Finnið x-gildi skurðpunktanna við x-ás.

Ritunarverkefni

211.

Útskýrið, með hliðsjón af tekjulíkaninu í verkefnum 10.205 og 10.209, hvað skurðpunktarnir við x-ás þýða fyrir eiganda tölvuverslunarinnar.

212.

Útskýrið, með hliðsjón af tekjulíkaninu í verkefnum 10.206 og 10.210, hvað skurðpunktarnir við x-ás þýða fyrir bakpokasalann.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Þessi tafla hefur sex línur og fjóra dálka. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína. Dálkarnir heita „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“. Í næstu línum fyrsta dálksins stendur: „þekkt graf annars stigs jöfnu með tveimur breytum“, „fundið samhverfuás og hvirfilpunkt fleygboga“, „fundið skurðpunkta fleygboga við ása“, „teiknað gröf annars stigs jafna með tveimur breytum“ og „leyst verkefni um hágildi og lággildi“. Hinir dálkarnir eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um það hversu vel þið hafið náð tökum á efni hlutans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?