55 Hreyfing í tveimur víddum

5.1 Samlagning og frádráttur vigra: myndrænar aðferðir

Lykilhugtök hluta

myndræn aðferð	oddur vigurs	odd-í-rófu aðferð	summuvigur
summuvigur	rófa vigurs	vigursamlagning	frádráttur vigra

Myndræna aðferðin við samlagningu og frádrátt vigra

Rifjið upp að vigur er stærð sem hefur bæði stærð og stefnu. Til dæmis eru færsla, hraði, hröðun og kraftur allt vigrar. Í einvíðri hreyfingu eða hreyfingu eftir beinni línu er hægt að gefa stefnu vigurs einfaldlega með plús- eða mínusmerki. Hreyfing sem er áfram, til hægri eða upp er venjulega talin jákvæð (+); og hreyfing sem er afturábak, til vinstri eða niður er venjulega talin neikvæð (−).

Í tveimur víddum lýsir vigur hreyfingu í tvær hornréttar stefnur, svo sem lóðrétt og lárétt. Fyrir lóðrétta og lárétta hreyfingu er hver vigur samsettur úr lóðréttum og láréttum þáttum. Í einvíðu verkefni hefur annar þáttanna einfaldlega gildið núll. Fyrir tvívíða vigra vinnum við með vigra með því að nota viðmiðunarkerfi eins og hnitakerfi. Líkt og með einvíða vigra, táknum við vigra myndrænt með ör sem hefur lengd í hlutfalli við stærð vigursins og bendir í þá átt sem vigurinn stefnir.

Mynd 5.2 sýnir myndræna framsetningu á vigri; heildarfærslu fyrir manneskju sem gengur í borg. Manneskjan gengur fyrst níu húsaraðir austur og síðan fimm húsaraðir norður. Heildarfærsla hennar passar ekki við leiðina á lokaáfangastað. Færslan tengir einfaldlega upphafspunkt hennar við endapunkt með beinni línu, sem er stysta vegalengdin. Við notum þá ritháttarreglu að feitletrað tákn, eins og D , standi fyrir vigur. Tölugildi hans er táknað með skáletruðu tákni, D , og stefna hans er gefin með horni sem táknað er með tákninu θ. Takið eftir að færsla hennar væri sú sama ef hún hefði byrjað á því að ganga fimm húsaraðir norður og síðan gengið níu húsaraðir austur.

Kort sýnir ferð frá upphafspunkti: níu húsaraðir austur og fimm húsaraðir norður. Færsluvigur liggur beint frá upphafspunkti að lokapunkti. — **Mynd 5.2.** Manneskja gengur níu húsaraðir austur og fimm húsaraðir norður. Færslan er 10,3 húsaraðir við hornið 29,1° norður af austri.

Odd-í-rófu aðferðin er myndræn leið til að leggja saman vigra. Rófa vigursins er upphafspunktur vigursins og oddurinn (eða toppurinn) á vigri er oddhvassi endi örvarinnar. Eftirfarandi skref lýsa því hvernig nota á odd-í-rófu aðferðina við myndræna samlagningu vigra.

Látum x-ásinn tákna austur-vestur stefnuna. Notið reglustiku og gráðuboga til að teikna ör sem táknar fyrsta vigurinn (níu húsaraðir til austurs), eins og sýnt er á mynd 5.3 (a) . Mynd 5.3 Skýringarmyndin sýnir vigur með stærðina níu einingar og stefnuna 0°.
Mynd 5.3. Skýringarmyndin sýnir vigur með stærðina níu einingar og stefnuna 0°.
Látum y-ásinn tákna norður-suður stefnuna. Teiknið ör til að tákna seinni vigurinn (fimm húsaraðir til norðurs). Setjið rófu seinni vigursins við odd fyrri vigursins, eins og sýnt er á mynd 5.4 (b) . Mynd 5.4 Lóðréttum vigri er bætt við.
Mynd 5.4. Lóðréttum vigri er bætt við.
Ef það eru fleiri en tveir vigrar, haldið þá áfram að leggja vigrana saman odd-í-rófu eins og lýst er í skrefi 2. Í þessu dæmi höfum við aðeins tvo vigra, svo við erum búin að setja örvarnar odd-í-rófu.
Teiknið ör frá rófu fyrsta vigursins til odds síðasta vigursins, eins og sýnt er á mynd 5.5 (c) . Þetta er summuvigurinn, eða summa vigranna. Mynd 5.5 Skýringarmyndin sýnir summuvigurinn, reglustiku og gráðuboga.
Mynd 5.5. Skýringarmyndin sýnir summuvigurinn, reglustiku og gráðuboga.
Til að finna stærð summuvigursins, mælið lengd hans með reglustiku. Þegar við fáumst við vigra á með reikniaðferð í næsta hluta, verður stærðina reiknað með því að nota reglu Pýþagórasar.
Til að finna stefnu summuvigursins, notið gráðuboga til að mæla hornið sem hann myndar við viðmiðunarstefnuna (í þessu tilviki x-ásinn). Þegar við fáumst við vigra á með reikniaðferð í næsta hluta, verður stefnan reiknuð með því að nota hornafræði til að finna hornið.

Frádráttur vigra er framkvæmdur á sama hátt og samlagning vigra með einni lítilli breytingu. Við leggjum fyrsta vigurinn við neikvæða gildið af vigrinum sem á að draga frá. Neikvæður vigur hefur sama stærð og upphaflegi vigurinn, en bendir í gagnstæða átt (eins og sýnt er á mynd 5.6 ). Að draga vigurinn B frá vigrinum A, sem er ritað sem A − B, er það sama og A + (− B ). Þar sem það skiptir ekki máli í hvaða röð vigrar eru lagðir saman, er A − B einnig jafnt og (− B ) + A . Þetta gildir jafnt um skalara og vigra. Til dæmis, 5 – 2 = 5 + (−2) = (−2) + 5.

Vigur B og neikvæði vigurinn −B eru samsíða en vísa í gagnstæðar áttir. — **Mynd 5.6.** Skýringarmyndin sýnir vigur, B, og neikvæðan vigur hans, –B.

Heildarhorn eru reiknuð rangsælis. Réttsælis stefna er talin neikvæð. Til dæmis er hornið 30° suður af vestri það sama og heildarhornið 210°, sem einnig má tákna sem −150° frá jákvæða x-ásnum.

Notkun myndrænnar aðferðar við samlagningu og frádrátt vigra til að leysa eðlisfræðiverkefni

Nú þegar við höfum færni til að vinna með vigra í tveimur víddum, getum við beitt samlagningu vigra til að ákvarða myndrænt summuvigur, sem táknar heildarkraftinn. Skoðum dæmi um kraft þar sem tveir skautarar ýta á þann þriðja eins og sést á mynd 5.7 .

Tveir skautarar ýta á þriðja skautarann úr hornréttum stefnum; kraftamynd sýnir F₁, F₂ og heildarkraftinn F_tot. — **Mynd 5.7.** Hluti (a) sýnir tvo skautara ýta á þann þriðja, séð ofan frá. Kraftar eru vigrar og leggjast saman eins og vigrar, þannig að heildarkrafturinn á þriðja skautarann er í þá stefnu sem sýnd er. Í hluta (b) sjáum við kraftamynd sem táknar kraftana sem verka á þriðja skautarann.

Í verkefnum þar sem breytur eins og kraftur eru þegar þekktar, er hægt að tákna kraftana með því að láta lengd vigranna vera í hlutfalli við stærð kraftanna. Til þess þarf að búa til kvarða. Til dæmis gæti hver sentimetri af lengd vigurs táknað 50 N af krafti. Þegar upphaflegu vigrarnir hafa verið teiknaðir í kvarða, er hægt að nota odd-í-rófu aðferðina til að teikna summuvigurinn. Lengd samanlagða vigursins er þá hægt að mæla og breyta aftur í upphaflegu einingarnar með því að nota kvarðann sem var búinn til.

Það má sjá með því að skoða vigrana á kraftamyndinni á mynd 5.7 að skautararnir tveir ýta á þriðja skautarann með jafn stórum kröftum, þar sem lengd kraftvigra þeirra er sú sama. Takið þó eftir að kraftarnir eru ekki jafnir því þeir verka í mismunandi stefnur. Ef, til dæmis, hver kraftur hefði stærðina 400 N, þá myndum við finna stærð ytri heildarkraftsins sem verkar á þriðja skautarann með því að finna stærð samanlagða vigursins. Þar sem kraftarnir verka hornrétt hvor á annan, getum við notað reglu Pýþagórasar. Fyrir þríhyrning með hliðarnar a, b og c, segir regla Pýþagórasar okkur að

a^{2} + b^{2} = c^{2} c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Með því að beita þessari reglu á þríhyrninginn sem myndaður er af $F_{1}$ , $F_{2}$ og F_tot á mynd 5.7 , fáum við

F_{tot}^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2}

eða

F_{tot} = \sqrt{(400 N)^{2} + (400 N)^{2}} = 566 N

Athugið að ef vigrarnir væru ekki hornréttir hvor á annan ( $90 °$ hvor á annan), gætum við ekki notað reglu Pýþagórasar til að finna stærð samanlagða vigursins. Annað dæmi þar sem nauðsynlegt er að leggja saman tvívíða vigra er fyrir hraða, þar sem stefnan er kannski ekki eingöngu austur-vestur eða norður-suður, heldur einhver blanda af þessum tveimur stefnum. Í næsta hluta förum við yfir hvernig á að leysa þessa tegund verkefna með reikningi (með reikniaðferð). Í augnablikinu skulum við skoða verkefnið myndrænt.

Unnið dæmi

Samlagning vigra með myndrænum hætti með því að nota odd-í-rófu aðferðina: Kona fer í göngutúr

Aðferð

Notið myndrænu aðferðina við samlagningu vigra til að finna heildarfærslu manneskju sem gengur eftirfarandi þrjár leiðir (færslur) á sléttu túni. Fyrst gengur hún 25 m í stefnu 49° norður af austri. Síðan gengur hún 23 m í stefnu 15° norður af austri. Að lokum snýr hún sér og gengur 32 m í stefnu 68° suður af austri.

Táknið hvern færsluvigur myndrænt með ör, merkið þann fyrsta A, þann annan B, og þann þriðja C. Látið lengdirnar vera í hlutfalli við vegalengd gefinnar færslu og snúið örvunum eins og tilgreint er miðað við austur-vestur línu. Notið odd-í-rófu aðferðina sem lýst er hér að ofan til að ákvarða stærð og stefnu heildarfærslu, sem við köllum R.

Lausn

(1) Teiknið færsluvigrana þrjá og búið til hentugan kvarða (svo sem að1 cm af lengd vigurs á pappír jafngildi 1 m í verkefninu), eins og sýnt er á mynd 5.8 .

Mynd 5.8. Færsluvigrarnir þrír eru teiknaðir fyrst.

(2) Raðið vigrunum odd-í-rófu, og gætið þess að breyta ekki stærð þeirra eða stefnu, eins og sýnt er á mynd 5.9 .

Mynd 5.9. Næst er vigrunum raðað odd-í-rófu.

(3) Teiknið summuvigurinn R frá rófu fyrsta vigursins að oddi síðasta vigursins, eins og sýnt er á mynd 5.10 .

Mynd 5.10. Samanlagði vigurinn er teiknaður.

(4) Notið reglustiku til að mæla stærð R og munið að breyta aftur í eininguna metrar með því að nota kvarðann. Notið gráðuboga til að mæla stefnu R. Þó að hægt sé að tilgreina stefnu vigursins á marga vegu, er auðveldasta leiðin að mæla hornið milli vigursins og næsta lárétta eða lóðrétta áss. Þar sem R er sunnan við ásinn sem vísar í austur (x-ásinn), snúum við gráðuboganum á hvolf og mælum hornið milli austurássins og vigursins, eins og sýnt er á mynd 5.11 .

Mynd 5.11. Reglustika er notuð til að mæla stærð R og gráðubogi er notaður til að mæla stefnu R.

Í þessu tilviki hefur heildarfærslan R stærðina 50 m og vísar 7° suður af austri. Með því að nota stærð hans og stefnu má tákna þennan vigur sem

R = 50 mR = 50 text m

θ = 7^{\circ} suður af austri

Umræða

Myndræna odd-í-rófu aðferðin við samlagningu vigra virkar fyrir hvaða fjölda vigra sem er. Það er líka mikilvægt að taka fram að það skiptir ekki máli í hvaða röð vigrarnir eru lagðir saman. Að breyta röðinni breytir ekki niðurstöðunni. Til dæmis gætum við lagt vigrana saman eins og sýnt er á mynd 5.12 , og við myndum samt fá sömu lausn.

Mynd 5.12. Hægt er að leggja vigra saman í hvaða röð sem er til að fá sömu niðurstöðu.

Unnið dæmi

Frádráttur vigra með myndrænum hætti: Kona siglir bát

Aðferð

Kona sem siglir bát að nóttu til fylgir leiðbeiningum að bryggju. Leiðbeiningarnar segja að sigla fyrst 27,5 m í stefnu 66,0° norður af austri frá núverandi staðsetningu hennar, og ferðast síðan 30,0 m í stefnu 112° norður af austri (eða 22,0° vestur af norðri). Ef konan gerir mistök og ferðast í öfuga átt í seinni hluta ferðarinnar, hvar mun hún enda? Tveir hlutar ferðar konunnar eru sýndir á mynd 5.13.

Mynd 5.13. Á skýringarmyndinni er fyrri hluti ferðarinnar táknaður með vigrinum A og seinni hlutinn er táknaður með vigrinum B.

Við getum táknað fyrri hluta ferðarinnar með vigrinum A, og seinni hluta ferðarinnar sem hún átti að fara með vigrinum B . Þar sem konan ferðast fyrir mistök í öfuga átt í seinni hluta ferðarinnar, er vigurinn fyrir seinni hluta ferðarinnar sem hún raunverulega fer − B . Þess vegna mun hún enda á staðsetningunni A + (− B ), eða A − B . Takið eftir að − B hefur sömu stærð og B (30,0 m), en er í öfuga átt, 68° ( 180° − 112° ) suður af austri, eins og sýnt er á mynd 5.14.

Mynd 5.14. Vigurinn –B táknar ferð í öfuga átt við vigurinn B.

Við notum myndræna samlagningu vigra til að finna hvar konan kemur niður A + (− B ).

Lausn

(1) Til að ákvarða staðsetninguna sem konan kemur á fyrir slysni, teiknið vigrana A og − B .

(2) Raðið vigrunum odd-í-rófu.

(3) Teiknið summuvigurinn R.

(4) Notið reglustiku og gráðuboga til að mæla stærð og stefnu R.

Þessi skref eru sýnd á mynd 5.15.

Mynd 5.15. Vigrunum er raðað odd-í-rófu.

Í þessu tilviki

R = 23,0 mR = 230 text m

θ = {7,5}^{\circ} suður af austri

Umræða

Þar sem frádráttur vigurs er það sama og samlagning sama vigurs með öfuga stefnu, virkar myndræna aðferðin fyrir frádrátt vigra eins og fyrir samlagningu vigra.

Unnið dæmi

Samlagning hraða: Bátur á á

Aðferð

Bátur reynir að ferðast beint yfir á með hraðanum 3,8 m/s. Straumur árinnar flæðir á hraðanum v_river sem er 6,1 m/s til hægri. Hver er heildarhraði og stefna bátsins? Þú getur táknað hvern metra á sekúndu í hraða sem einn sentimetra af lengd vigurs á teikningunni þinni.

Við byrjum á því að velja hnitakerfi þar sem x-ásinn er samsíða hraða árinnar. Þar sem bátnum er beint að hinum bakkanum, er hraði hans hornréttur á hraða árinnar. Við teiknum vigrana tvo, v_boat og v_river , eins og sýnt er á mynd 5.16.

Með því að nota odd-í-rófu aðferðina, teiknum við samanlagða heildarhraðavigurinn frá rófu v_boat að oddi v_river .

Mynd 5.16. Bátur reynir að fara yfir ána. Hver er heildarhraði og stefna bátsins?

Lausn

Með því að nota reglustiku finnum við að lengd samanlagða vigursins er 7,2 cm, sem þýðir að stærð heildarhraðans er

v_{tot} = 7,2 m/s

Með því að nota gráðuboga til að mæla hornið, finnum við θ = 32,0° .

Umræða

Ef hraði bátsins og árinnar væru jafnir, þá hefði stefna heildarhraðans verið 45°. Hins vegar, þar sem hraði árinnar er meiri en hraði bátsins, er stefnan minni en 45° miðað við bakkann, eða x-ásinn.

Æfingadæmi

Vigur $\vec{A}$ , sem hefur stærðina $2,5 m$ og stefnir $37 °$ suður af austri, og vigur $\vec{B}$ , sem hefur stærðina $3,5 m$ og stefnir $20 °$ norður af austri, eru lagðir saman. Hver er stærð summuvigursins?

$1.0 m$
$5.3 m$
$5.9 m$
$6.0 m$

Maður gengur $94 m$ í stefnu $32 °$ norður af vestri og $122 m$ í stefnu $35 °$ austur af suðri. Hver er stærð færslu hans?

$28 m$
$51 m$
$180 m$
$216 m$

Sýndareðlisfræði

Samlagning vigra

Í þessari hermun muntu gera tilraunir með að leggja saman vigra á myndrænan hátt. Smelltu og dragðu rauðu vigrana úr körfunni „Sækja einn“ inn á grafið í miðjum skjánum. Hægt er að snúa, teygja eða færa þessa rauðu vigra með því að smella og draga með músinni. Merktu við reitinn „Sýna summu“ til að sýna summuvigurinn (grænan), sem er summa allra rauðu vigranna sem settir hafa verið á grafið. Til að fjarlægja rauðan vigur, dragðu hann í ruslið eða smelltu á „Hreinsa allt“ hnappinn ef þú vilt byrja upp á nýtt. Taktu eftir að ef þú smellir á einhvern af vigrunum, þá er $| R |$ stærð hans, $θ$ er stefna hans miðað við jákvæða $x$ -ásinn, $R_{x}$ er láréttur þáttur hans og $R_{y}$ er lóðréttur þáttur hans. Þú getur athugað niðurstöðuna með því að raða vigrunum upp þannig að oddur fyrsta vigursins snerti rófu þess næsta. Haltu áfram þar til allir vigrarnir hafa verið lagðir saman odd-í-rófu. Þú munt sjá að stærð og horn summuvigursins er það sama og örvarinnar sem dregin er frá rófu fyrsta vigursins til odds síðasta vigursins. Endurraðaðu vigrunum í hvaða röð sem er, odd-í-rófu, og berðu saman. Niðurstaðan verður alltaf sú sama.

Athugun á skilningi

Satt eða ósatt — Því fleiri langa, rauða vigra sem þú setur á grafið, snúna í hvaða átt sem er, því stærri verður summuvigurinn (græni).

Satt
Ósatt

Athugaðu skilning þinn

Þó að það sé ekkert eitt rétt val fyrir formerki ása, hvað af eftirfarandi er samkvæmt hefð talið jákvætt?

afturábak og til vinstri
afturábak og til hægri
áfram og til hægri
áfram og til vinstri

Satt eða ósatt — Maður gengur 2 húsalengdir í austur og 5 húsalengdir í norður. Annar maður gengur 5 húsalengdir í norður og síðan tvær húsalengdir í austur. Færsla fyrri mannsins verður meiri en færsla seinni mannsins.

Satt
Ósatt