55 Hreyfing í tveimur víddum

5.2 Samlagning og frádráttur vigra: reikniaðferðir

Stuðningur við kennara

Námsmarkmið í þessum hluta munu hjálpa nemendum þínum að ná tökum á eftirfarandi stöðlum:

(3) Vísindaleg vinnubrögð. Nemandinn beitir gagnrýnni hugsun, vísindalegri rökfærslu og lausnamiðaðri nálgun til að taka upplýstar ákvarðanir innan og utan skólastofunnar. Ætlast er til að nemandinn:
- (F) setji fram og túlki sambönd á táknmáli í samræmi við viðurkenndar kenningar til að gera spár og leysa verkefni stærðfræðilega, þar með talið verkefni sem krefjast hlutfallsreiknings og myndrænnar samlagningar vigra

(4) Vísindahugtök. Nemandinn þekkir og beitir lögmálum um hreyfingu í tveimur víddum við ýmsar aðstæður. Ætlast er til að nemandinn:
- (E) setji upp og túlki kraftamyndir;
- (F) greini og lýsi hreyfingu miðað við mismunandi viðmiðunarkerfi.

Auk þess tekur verkleg handbók í eðlisfræði fyrir framhaldsskóla fyrir efni þessa hluta í verkefninu: Hreyfing í tveimur víddum, ásamt eftirfarandi stöðlum:

(3) Vísindaleg vinnubrögð. Nemandinn beitir gagnrýnni hugsun, vísindalegri rökfærslu og lausnamiðaðri nálgun til að taka upplýstar ákvarðanir innan og utan skólastofunnar. Ætlast er til að nemandinn:
- (F) setji fram og túlki sambönd á táknmáli í samræmi við viðurkenndar kenningar til að gera spár og leysa verkefni stærðfræðilega, þar með talið verkefni sem krefjast hlutfallsreiknings og myndrænnar samlagningar vigra.

Lykilhugtök hluta

reikniaðferð

þáttur (tvívíðs vigurs)

Þættir vigra

Við samlagningu og frádrátt vigra með reikniaðferð notum við einfalda rúmfræði og hornafræði í stað reglustiku og gráðuboga eins og í myndrænum aðferðum. Myndræna aðferðin kemur þó enn að góðum notum til að sjá verkefnið fyrir sér með því að teikna vigra með odd-í-rófu aðferðinni. Reikniaðferðin er nákvæmari en sú myndræna, sem takmarkast af nákvæmni teikningarinnar. Til að rifja upp skilgreiningar á sínus, kósínus og tangens horns, sjá mynd 5.17.

Rétthyrndur þríhyrningur með langhlið h, lóðrétta hlið y og lárétta hlið x; sýndar eru skilgreiningar sínus, kósínus og tangens. — **Mynd 5.17.** Fyrir rétthyrndan þríhyrning eru sínus, kósínus og tangens af θ skilgreind út frá aðlægri hlið, mótlægri hlið eða langhlið. Á þessari mynd er x aðlæga hliðin, y er mótlæga hliðin og h er langhliðin.

Þar sem, samkvæmt skilgreiningu, cos θ = x / h, getum við fundið lengdina x ef við þekkjum h og θ með því að nota x = h cos θ. Á sama hátt getum við fundið lengdina y með því að nota y = h sin θ. Þessi hornafræðilegu sambönd eru gagnleg við samlagningu vigra.

Þegar vigur verkar í meira en einni vídd er gagnlegt að liða hann í x- og y-þætti sína. Fyrir tvívíðan vigur er þáttur hluti af vigri sem vísar annaðhvort í x- eða y-stefnu. Hvern tvívíðan vigur má tjá sem summu x- og y-þátta hans.

Til dæmis, gefinn vigur eins og A á mynd 5.18, gætum við viljað finna hvaða tveir hornréttu vigrar, Aₓ og Aᵧ, mynda hann þegar þeir eru lagðir saman. Í þessu dæmi mynda Aₓ og Aᵧ rétthyrndan þríhyrning, sem þýðir að hornið á milli þeirra er 90 gráður. Þetta eru algengar aðstæður í eðlisfræði og vill svo til að þetta er einfaldasta hornafræðilega tilvikið.

Vigurinn A er sýndur í x-y-hnitakerfi ásamt x-þættinum Aₓ og y-þættinum Aᵧ; vigrarnir mynda rétthyrndan þríhyrning. — **Mynd 5.18.** Vigurinn A, með upphafspunkt í núllpunkti x-y-hnitakerfis, er sýndur ásamt x- og y-þáttum sínum, Aₓ og Aᵧ. Þessir vigrar mynda rétthyrndan þríhyrning.

Aₓ og Aᵧ eru skilgreindir sem þættir A eftir x- og y-ásunum. Vigrarnir þrír, A, Aₓ og Aᵧ, mynda rétthyrndan þríhyrning.

A_{x} + A_{y} = A

Ef vigurinn A er þekktur, þá eru stærð hans A (lengd hans) og horn θ (stefna hans) þekkt. Til að finna Aₓ og Aᵧ, x- og y-þætti hans, notum við eftirfarandi sambönd fyrir rétthyrndan þríhyrning:

A_{x} = A \cos θ

A_{y} = A \sin θ

þar sem Aₓ er stærð A í x-stefnu, Aᵧ er stærð A í y-stefnu, og θ er horn summuvigursins miðað við x-ásinn, eins og sýnt er á mynd 5.19.

Þættirnir Aₓ og Aᵧ mynda leggina í rétthyrndum þríhyrningi og vigurinn A myndar langhliðina; sýnt er að Aₓ = A cos θ og Aᵧ = A sin θ. — **Mynd 5.19.** Stærðir vigurþáttanna Aₓ og Aᵧ má tengja við summuvigurinn A og hornið θ með hornafræðireglum. Hér sjáum við að Aₓ = A cos θ og Aᵧ = A sin θ.

Gerum ráð fyrir, til dæmis, að A sé vigurinn sem táknar heildarfærslu manneskju sem gengur í borg, eins og sýnt er á mynd 5.20.

Kort sýnir níu húsalengda færslu austur og fimm húsalengda færslu norður; þáttajöfnur sýna lárétta og lóðrétta færslu. — **Mynd 5.20.** Við getum notað samböndin Aₓ = A cos θ og Aᵧ = A sin θ til að ákvarða stærð láréttu og lóðréttu þátta vigranna í þessu dæmi.

Þá eru A = 10,3 húsalengdir og θ = 29,1°, þannig að

A_{x} = A \cos θ = (10,3 h \overset{ˊ}{u} salengdir) (\cos {29,1}^{\circ}) = (10,3 h \overset{ˊ}{u} salengdir) (0,874) = 9,0 h \overset{ˊ}{u} salengdir

Þessi stærð gefur til kynna að gangandinn hafi farið 9 húsalengdir til austurs — með öðrum orðum, 9 húsalengda færsla til austurs. Á sama hátt,

A_{y} = A \sin θ = (10,3 h \overset{ˊ}{u} salengdir) (\sin {29,1}^{\circ}) = (10,3 h \overset{ˊ}{u} salengdir) (0,486) = 5,0 h \overset{ˊ}{u} salengdir

sem gefur til kynna að gangandinn hafi farið 5 húsalengdir til norðurs — 5 húsalengda færsla til norðurs.

Reikniaðferð við samlagningu og frádrátt vigra

Að reikna summuvigur (vigursamlagning) er andhverft því að liða vigur í þætti sína. Ef hornréttu þættirnir Aₓ og Aᵧ fyrir vigur A eru þekktir, þá getum við fundið A með reikniaðferðum. Hvernig gerum við það? Þar sem, samkvæmt skilgreiningu,

\tan θ = \frac{y}{x} eða h \overset{ˊ}{e} r \tan θ = \frac{A_{y}}{A_{x}}

leysum við fyrir θ til að finna stefnu summuvigursins.

θ = \tan^{- 1} (\frac{A_{y}}{A_{x}})

Athugið að tan⁻¹(Aᵧ/Aₓ) gefur horn í fyrsta fjórðungi ef Aᵧ/Aₓ > 0 og í fjórða fjórðungi ef Aᵧ/Aₓ < 0. Ef bæði Aₓ og Aᵧ eru neikvæð, eða ef Aₓ er neikvætt og Aᵧ jákvætt, þá fæst heildarhornið θ, mælt frá jákvæðri x-stefnu, með því að bæta 180° við tan⁻¹(Aᵧ/Aₓ).

Þar sem þetta er rétthyrndur þríhyrningur, gildir regla Pýþagórasar (x² + y² = h² ) til að finna langhliðina. Í þessu tilviki verður hún

A^{2} = A_{x}^{2} + A_{y}^{2}

Að leysa fyrir A gefur

A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}}

Í stuttu máli, til að finna stærð A og stefnu θ vigurs út frá hornréttum þáttum hans Aₓ og Aᵧ, eins og sýnt er á mynd 5.21, notum við eftirfarandi sambönd:

A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}} θ = \tan^{- 1} (\frac{A_{y}}{A_{x}})

Þættirnir Aₓ og Aᵧ mynda rétthyrndan þríhyrning með summuvigrinum A; formúlur sýna stefnu og stærð vigursins. — **Mynd 5.21.** Hægt er að ákvarða stærð og stefnu summuvigursins A þegar láréttu þættirnir Aₓ og Aᵧ hafa verið ákvarðaðir.

Stundum eru vigrarnir sem lagðir eru saman ekki fullkomlega hornréttir hver á annan. Dæmi um þetta er tilvikið hér að neðan, þar sem vigrarnir A og B eru lagðir saman til að mynda summuvigurinn R, eins og sýnt er á mynd 5.22.

Vigrarnir A og B eru tveir leggir gönguferðar og summuvigurinn R sýnir heildarfærsluna. — **Mynd 5.22.** Vigrarnir A og B eru tveir leggir gönguferðar, og R er summuvigurinn eða heildarfærslan. Þú getur notað reikniaðferðir til að ákvarða stærð og stefnu R.

Ef A og B tákna tvo leggi gönguferðar (tvær færslur), þá er R heildarfærslan. Sá sem gengur endar við oddinn á R. Það eru margar leiðir til að komast á sama stað. Viðkomandi hefði getað gengið beint áfram fyrst í x-stefnu og síðan í y-stefnu. Þær leiðir eru x- og y-þættir summuvigursins, Rₓ og Rᵧ. Ef við þekkjum Rₓ og Rᵧ, getum við fundið R og θ með því að nota jöfnurnar R = √(Rₓ² + Rᵧ²) og θ = tan⁻¹(Rᵧ/Rₓ).

Teiknið inn x og y þætti hvers vigurs (þar með talið summuvigursins) með brotinni línu. Notið jöfnurnar Aₓ = A cos θ og Aᵧ = A sin θ til að finna þættina. Á mynd 5.23 eru þessir þættir Aₓ, Aᵧ, Bₓ, og Bᵧ. Vigurinn A myndar hornið θ_A θ_A við x-ásinn, og vigurinn B myndar hornið θ_B θ_B við sinn eigin x-ás (sem er örlítið fyrir ofan x-ásinn sem vigur A notar). Mynd 5.23 Til að leggja saman vigrana A og B, skal fyrst ákvarða lárétta og lóðrétta þætti hvers vigurs. Þetta eru punktalínuvigrarnir Aₓ, Aᵧ, Bₓ og Bᵧ sem sýndir eru á myndinni.
Mynd 5.23. Til að leggja saman vigrana A og B, skal fyrst ákvarða lárétta og lóðrétta þætti hvers vigurs. Þetta eru punktalínuvigrarnir Aₓ, Aᵧ, Bₓ og Bᵧ sem sýndir eru á myndinni.
Finnið x þátt summuvigursins með því að leggja saman x þætti vigranna Rₓ = Aₓ + Bₓ og finnið y þátt summuvigursins (eins og sýnt er á mynd 5.24 ) með því að leggja saman y þætti vigranna. Rᵧ = Aᵧ + Bᵧ. Mynd 5.24 Vigrarnir Aₓ og Bₓ leggjast saman og gefa stærð summuvigursins í lárétta stefnu, Rₓ. Á sama hátt leggjast vigrarnir Aᵧ og Bᵧ saman og gefa stærð summuvigursins í lóðrétta stefnu, Rᵧ. Nú þegar við þekkjum þætti R, getum við fundið stærð hans og stefnu.
$R_{x} = A_{x} + B_{x}$
$R_{y} = A_{y} + B_{y}$
Mynd 5.24. Vigrarnir Aₓ og Bₓ leggjast saman og gefa stærð summuvigursins í lárétta stefnu, Rₓ. Á sama hátt leggjast vigrarnir Aᵧ og Bᵧ saman og gefa stærð summuvigursins í lóðrétta stefnu, Rᵧ.
Til að fá stærð summuvigursins R, notið reglu Pýþagórasar. $R = R$ ₓ² + Rᵧ²
$R = \sqrt{R_{x}^{2} + R_{y}^{2}}$
Til að fá stefnu summuvigursins θ = tan⁻¹(Rᵧ/Rₓ).
$θ = \tan^{- 1} (\frac{R_{y}}{R_{x}})$

Notkun reikniaðferðar við samlagningu og frádrátt vigra til að leysa verkefni

Mynd 5.25 notar reikniaðferðina til að leggja saman vigra.

Reiknað dæmi

5.25.

Leggið vigurinn A við vigurinn B sem sýndur er á mynd 5.25, með því að nota skrefin hér að ofan. x-ásinn liggur í austur-vestur stefnu, og y-ásinn liggur í norður-suður stefnu. Manneskja gengur fyrst 53,0 m í stefnu 20,0° norður af austri, sem táknað er með vigri A. Manneskjan gengur síðan 34,0 m í stefnu 63,0° norður af austri, sem táknað er með vigri B.

Mynd 5.25. Þú getur notað reiknilíkön til að leggja saman vigra.

Umræða

Þetta dæmi sýnir samlagningu vigra með reikniaðferðinni. Frádráttur vigra með reikniaðferðinni er mjög svipaður. Það er einfaldlega samlagning neikvæðs vigurs. Það er, A − B ≡ A + (−B). Þættir – B eru neikvæðu gildi þátta B. Þess vegna eru x- og y-þættir summuvigursins A − B = R

R_{x} = A_{x} + (- B_{x})

R_{y} = A_{y} + (- B_{y})

Að öðru leyti er aðferðin sú sama og fyrir samlagningu.

Lausn

Fyrst finnum við þætti A og B eftir x- og y-ásunum. Úr dæminu vitum við að A = 53,0 m, θ_A = 20,0°, B = 34,0 m, og θ_B = 63,0°. Við finnum x-þættina með því að nota Aₓ = A cos θ, sem gefur

A_{x} = A \cos θ_{A} = (53,0 m) (\cos {20,0}^{\circ}) = (53,0 m) (0,940) = 49,8 m

B_{x} = B \cos θ_{B} = (34,0 m) (\cos {63,0}^{\circ}) = (34,0 m) (0,454) = 15,4 m

Similarly, the y-components are found using $A_{y} = A \sin θ_{A}$

A_{y} = A \sin θ_{A} = (53,0 m) (\sin {20,0}^{\circ}) = (53,0 m) (0,342) = 18,1 m

B_{y} = B \sin θ_{B} = (34,0 m) (\sin {63,0}^{\circ}) = (34,0 m) (0,891) = 30,3 m

x- og y-þættir summuvigursins eru

R_{x} = A_{x} + B_{x} = 49,8 m + 15,4 m = 65,2 m

R_{y} = A_{y} + B_{y} = 18,1 m + 30,3 m = 48,4 m

Nú getum við fundið stærð summuvigursins með því að nota reglu Pýþagórasar

R = \sqrt{R_{x}^{2} + R_{y}^{2}} = \sqrt{(65,2)^{2} + (48,4)^{2}} m

svo að

R = \sqrt{6601} m = 81,2 m

Að lokum finnum við stefnu summuvigursins

θ = \tan^{- 1} (\frac{R_{y}}{R_{x}}) = \tan^{- 1} (\frac{48,4}{65,2})

Þetta er

θ = \tan^{- 1} (0,742) = {36,6}^{\circ}

Æfingadæmi

Hver er stærð vigurs sem hefur x-þáttinn 4 cm og y-þáttinn 3 cm?

1 cm
5 cm
7 cm
25 cm

Hver er stærð vigurs sem myndar hornið 30° við lárétta stefnu og hefur x-þáttinn 3 einingar?

2.61 einingar
3.00 einingar
3.46 einingar
6.00 einingar

Tengsl við eðlisfræði

Lofthjúpsfræði

Mynd 5.26. Þessi mynd sýnir Bert Foord í sjónvarpsveðurspá bresku Veðurstofunnar árið 1963. (BBC TV)

Lofthjúpsfræði er raunvísindasvið, sem þýðir að hún byggir mikið á eðlisfræði. Lofthjúpsfræði nær yfir veðurfræði (rannsóknir á veðri) og loftslagsfræði (rannsóknir á loftslagi). Loftslag er í grundvallaratriðum meðalveður yfir lengri tíma. Veður breytist hratt með tímanum, en loftslag breytist hægar.

Hreyfing lofts, vatns og varma er gríðarlega mikilvæg fyrir loftslagsfræði og veðurfræði. Þar sem hreyfing er svo stór þáttur í veðri og loftslagi notar þetta svið vigra í miklum mæli í stærðfræði sinni.

Vigrar eru notaðir til að tákna strauma í hafinu, vindhraða og krafta sem verka á loftmassa. Þú hefur líklega séð veðurkort sem notar vigra til að sýna styrk (stærð) og stefnu vindsins.

Vigrar sem notaðir eru í lofthjúpsfræði eru oft þrívíðir. Við munum ekki fjalla um þrívíða hreyfingu í þessari bók, en til að fara úr tveimur víddum í þrjár víddir bætir þú einfaldlega við þriðja vigurþættinum. Þrívíð hreyfing er táknuð sem blanda af x-, y- og z-þáttum, þar sem z er hæðin.

Vigurreikningur sameinar vigra og örsmæðareikning, og er oft notaður til að finna breytingarhraða í hitastigi, þrýstingi eða vindhraða yfir tíma eða vegalengd. Þetta eru gagnlegar upplýsingar þar sem hreyfing lofthjúpsins er drifin áfram af breytingum í þrýstingi eða hitastigi. Því meiri sem breytileikinn í þrýstingi er yfir ákveðna vegalengd, því sterkari verður vindurinn til að reyna að leiðrétta það ójafnvægi. Kalt loft hefur tilhneigingu til að vera þéttara og hefur því hærri þrýsting en heitt loft. Loft með hærri þrýsting streymir inn á svæði með lægri þrýsting og sveigist af völdum snúnings jarðar, og núningur hægir á vindinum við yfirborð jarðar.

Að finna hvernig vindur breytist yfir vegalengd og margfalda vigra saman gerir veðurfræðingum, eins og þeim sem sýndur er á mynd 5.26, kleift að reikna út hversu mikill snúningur er í lofthjúpnum á hverjum tíma og stað. Þetta er mikilvægt verkfæri fyrir spár um skýstrokka. Aðstæður með meiri snúningi eru líklegri til að mynda skýstrokka.

Af hverju eru vigrar notaðir svo oft í lofthjúpsfræði?

Vigrar hafa bæði stærð og stefnu og hægt er að leysa þá fljótt með algebrulegum aðgerðum fyrir tölustærðir.
Vigrar hafa stærð en enga stefnu, svo það verður auðvelt að tjá eðlisfræðilegar stærðir sem koma við sögu í lofthjúpsfræði.
Hægt er að leysa vigra mjög nákvæmlega með rúmfræði, sem hjálpar til við að gera betri spár í lofthjúpsfræði.
Vigrar hafa bæði stærð og stefnu og eru notaðir í jöfnum sem lýsa þrívíðri hreyfingu lofthjúpsins.

Athugaðu skilning þinn

Hvort er nákvæmara, reikniaðferðir eða myndrænar aðferðir við samlagningu vigra? Af hverju?

Reikniaðferðin er ónákvæmari en myndræna aðferðin, vegna þess að sú fyrrnefnda felur í sér rúmfræði og hornafræði.
Reikniaðferðin er nákvæmari en myndræna aðferðin, vegna þess að sú síðarnefnda felur í sér umfangsmikla útreikninga.
Reikniaðferðin er ónákvæmari en myndræna aðferðin, vegna þess að sú fyrrnefnda felur í sér að teikna allar myndir í réttum mælikvarða.
Reikniaðferðin er nákvæmari en myndræna aðferðin, vegna þess að sú síðarnefnda takmarkast af nákvæmni teikningarinnar.

Hvað er þáttur tvívíðs vigurs?

Þáttur er hluti af vigri sem vísar annaðhvort í x- eða y-stefnu.
Þáttur er hluti af vigri sem hefur helming af stærð upprunalega vigursins.
Þáttur er hluti af vigri sem vísar í gagnstæða átt við upprunalega vigurinn.
Þáttur er hluti af vigri sem vísar í sömu átt og upprunalegi vigurinn en er tvöfalt stærri.

Hvernig getum við ákvarðað heildarhornið θ (mælt rangsælis frá jákvæðum x-ás) ef við þekkjum Aₓ og Aᵧ ?

θ = cos − 1 ⁡ Aᵧ Aₓ
θ = cot − 1 ⁡ Aᵧ Aₓ
θ = sin − 1 ⁡ Aᵧ Aₓ
θ = tan⁻¹(Aᵧ/Aₓ)

10.

Hvernig getum við ákvarðað stærð vigurs ef við þekkjum stærðir þátta hans?

| A⃗ | = Aₓ + Aᵧ
| A⃗ | = Aₓ² + Aᵧ²
| A⃗ | = Aₓ² + Aᵧ²
| A⃗ | = ( Aₓ² + Aᵧ² ) 2