Kasthreyfing er hreyfing hlutar sem kastað er (varpað) út í loftið þegar, eftir upphafskraftinn sem kemur hlutnum af stað, loftmótstaða er hverfandi og eini annar krafturinn sem verkar á hlutinn er þyngdarkrafturinn. Hluturinn kallast kasthlutur og braut hans kallast kastferill. Loftmótstaða er núningskraftur sem hægir á hreyfingunni og getur breytt ferli hreyfingarinnar verulega. Vegna þess hve útreikningar eru flóknir, er í inngangsáföngum í eðlisfræði aðeins fjallað um aðstæður þar sem frávik frá kasthreyfingu eru hverfandi og hægt er að líta framhjá loftmótstöðu. Sú nálgun er oft nokkuð nákvæm.
Mikilvægasta hugtakið í kasthreyfingu er að þegar litið er framhjá loftmótstöðu eru lárétt og lóðrétt hreyfing óháðar, sem þýðir að þær hafa ekki áhrif hvor á aðra. Mynd 5.27 ber saman fallbyssukúlu í frjálsu falli (blá) og fallbyssukúlu sem skotið er lárétt í kasthreyfingu (rauð). Þið getið séð að fallbyssukúlan í frjálsu falli fellur jafn hratt og fallbyssukúlan í kasthreyfingu. Hafið í huga að ef fallbyssan skyti kúlunni með einhverjum lóðréttum þætti í hraðanum, myndu lóðréttu færslurnar ekki standast fullkomlega á.
Þar sem lóðrétt og lárétt hreyfing eru óháðar getum við greint þær í sundur, eftir hornréttum ásum. Til að gera þetta skiptum við kasthreyfingunni í tvo þætti hreyfingarinnar, annan eftir lárétta ásnum og hinn eftir þeim lóðrétta.
Mynd 5.27. Myndin sýnir kasthreyfingu fallbyssukúlu sem skotið er lárétt samanborið við kúlu sem er sleppt án lárétts hraða. Takið eftir að báðar fallbyssukúlurnar hafa sömu lóðréttu stöðu sem fall af tíma.
Við köllum lárétta ásinn x-ás og lóðrétta ásinn y-ás. Hvað varðar rithátt er d heildarfærslan, og x og y eru þættir hennar eftir lárétta og lóðrétta ásnum. Stærðir þessara vigra eru x og y, eins og sýnt er á mynd 5.28.
Mynd 5.28. Drengur sparkar bolta undir horninu θ og boltinn færist vegalengdina d eftir kastferli sínum.
Eins og venjulega notum við hraða, hröðun og færslu til að lýsa hreyfingu. Við verðum einnig að finna þætti þessara breytistærða eftir x- og y-ásunum. Þættir hröðunar eru þá mjög einfaldir: aᵧ = −g = −9,80 m/s2 og aₓ = 0. Takið eftir að þessi skilgreining skilgreinir uppstefnu sem jákvæða. Þar sem þyngdaraflið er lóðrétt er lárétti þátturinn núll. Báðar hröðunir eru fastar, svo við getum notað hreyfijöfnurnar. Til upprifjunar eru hreyfijöfnurnar úr fyrri kafla teknar saman í töflu 5.1.
Tafla 5.1 Hreyfijöfnur við fasta hröðun
x = x0 + v_avg t (þegar a = fasti)
v_avg = (v0 + v)/2 (þegar a = fasti)
x = x0 + v0t + ½at2
v2 = v02 + 2a(x − x0)
Þar sem x er staða, x0 er upphafsstaða, v er hraði, v avg er meðalhraði, t er tími og a er hröðun.
Lausn verkefna sem varða kasthreyfingu
Eftirfarandi skref eru notuð til að greina kasthreyfingu:
Skiptið hreyfingunni í lárétta og lóðrétta þætti eftir x- og y-ásunum. Þessir ásar eru hornréttir, svo Aₓ = A cos θ og Aᵧ = A sin θ eru notuð. Stærðir færslunnar s eftir x- og y-ásunum eru kallaðar x og y. Stærðir þátta hraðans v eru vₓ = v cos θ og vᵧ = v sin θ, þar sem v er stærð hraðans og θ er stefna hans. Upphafsgildi eru auðkennd með neðanmálsritinu 0.
Meðhöndlið hreyfinguna sem tvær óháðar einvíðar hreyfingar, eina lárétta og hina lóðrétta. Hreyfijöfnurnar fyrir lárétta og lóðrétta hreyfingar taka á sig eftirfarandi myndir Lárétt hreyfing (aₓ = 0): x = x0 + vₓ t vₓ = v0 x = vₓ = hraðinn er fasti. Lóðrétt hreyfing (jákvæð stefna upp, aᵧ = −g = −9,80 m/s2): y = y0 + 1 2 (v0 y + vᵧ) t vᵧ = v0 y − g t y = y0 + v0 y t − 1 2 g t2 vᵧ2 = v0 y2 − 2 g (y − y0)
Leysið fyrir óþekktu stærðirnar í hreyfingunum tveimur (annarri láréttri og hinni lóðréttri). Takið eftir að eina sameiginlega breytistærðin milli hreyfinganna er tíminn t. Aðferðirnar við lausn verkefna hér eru þær sömu og í einvíðri hreyfifræði.
Sameinið hreyfingarnar tvær til að finna heildarfærsluna s og hraðann v. Við getum notað reikniaðferðina við samlagningu vigra til að finna stærð og stefnu heildarfærslunnar og hraðans: A = √(Aₓ2 + Aᵧ2) og θ = tan−1(Aᵧ/Aₓ). Fyrir færslu gildir d = √(x2 + y2) og θ = tan−1(y/x). Fyrir hraða gildir v = √(vₓ2 + vᵧ2) og θᵥ = tan−1(vᵧ/vₓ). Hér er θ stefna færslunnar d og θᵥ stefna hraðans v. Sjá mynd 5.29.
Segðin sem við fundum fyrir y þegar við leystum lið (a) í fyrra dæminu virkar fyrir hvaða kasthreyfingardæmi sem er þar sem loftmótstaða er hverfandi. Köllum hámarkshæðina y = h; þá gildir,
Þessi jafna skilgreinir hámarkshæð kasthlutar. Hámarkshæðin ræðst eingöngu af lóðréttum þætti upphafshraðans.
Æfingadæmi
11.
Ef hlut er kastað lárétt, hann ferðast með meðalhraða í x-stefnu sem er jafn og 5 m/s, og lendir ekki á jörðinni, hver verður x-þáttur færslunnar eftir 20 s ?
− 100 m
− 4 m
4 m
100 m
12.
Ef bolta er kastað beint upp með upphafshraðann 20 m/s upp á við, hver er hámarkshæðin sem hann nær?
− 20.4 m
− 1.02 m
1.02 m
20.4 m
Sú staðreynd að lóðrétt og lárétt hreyfing eru óháðar hvor annarri gerir okkur kleift að spá fyrir um drægni kasthlutar. Drægnin er lárétta vegalengdin R sem kasthlutur ferðast á jafnsléttu, eins og sýnt er á mynd 5.32. Í gegnum söguna hefur fólk haft áhuga á að finna drægni kasthluta í hagnýtum tilgangi, svo sem við að miða fallbyssum.
Mynd 5.32. Kastferlar kasthluta á jafnsléttu. (a) Því meiri sem upphafshraðinn v0 er, þeim mun meiri er drægnin fyrir tiltekið upphafshorn. (b) Áhrif upphafshornsins θ0 á drægni kasthlutar með tiltekinn upphafshraða. Takið eftir að pör af kastferlum þar sem hornin leggja saman í 90° hafa sömu drægni þegar loftmótstaða er hverfandi, þótt hámarkshæðir ferlanna séu ólíkar.
Hvernig hefur upphafshraði kasthlutar áhrif á drægni hans? Augljóslega er drægnin meiri eftir því sem upphafshraðinn v0 er meiri, eins og sýnt er á myndinni hér að ofan. Upphafshornið θ0 hefur einnig mikil áhrif á drægnina. Þegar loftmótstaða er hverfandi er drægnin R fyrir kasthlutur á jafnsléttu
þar sem v0 er upphafshraðinn og θ0 er upphafshornið miðað við lárétt. Mikilvægt er að hafa í huga að drægnin á ekki við um dæmi þar sem upphafs- og lokastaða í y eru mismunandi, eða í tilfellum þar sem hlutnum er kastað alveg lárétt.
Athugaðu skilning þinn
13.
Hvað er kasthreyfing?
Kasthreyfing er hreyfing hlutar sem er kastað út í loftið og hreyfist undir áhrifum þyngdaraflsins.
Kasthreyfing er hreyfing hlutar sem er kastað út í loftið og hreyfist óháð þyngdaraflinu.
Kasthreyfing er hreyfing hlutar sem er kastað lóðrétt upp í loftið og hreyfist undir áhrifum þyngdaraflsins.
Kasthreyfing er hreyfing hlutar sem er kastað lárétt út í loftið og hreyfist óháð þyngdaraflinu.
14.
Hvaða kraftur verkar á hlut í kasti eftir upphafskraftinn sem kastaði honum í loftið, þegar loftmótstöðu gætir ekki?
