Nota þáttun til að finna núllstöðvar margliðufalla.
Finna núllstöðvar og margfeldni þeirra.
Ákvarða endahegðun.
Skilja samband stigs og snúningspunkta.
Teikna gröf margliðufalla.
Nota milligildissetninguna.
Tekjur ímyndaðs kapalsjónvarpsfyrirtækis árin 2006–2013, í milljónum Bandaríkjadala, eru sýndar í töflu 1.
Ár
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
Tekjur
52,4
52,8
51,2
49,5
48,6
48,6
48,7
47,1
Lýsa má tekjunum með margliðufallinu
þar sem táknar tekjur í milljónum Bandaríkjadala og táknar árið, þannig að samsvarar árinu 2006. Á hvaða bilum vaxa tekjur fyrirtækisins? Á hvaða bilum minnka þær? Þessum spurningum og mörgum öðrum má svara með því að skoða graf margliðufallsins. Við höfum þegar kannað staðbundna hegðun annars stigs falla, sem eru sérstakt tilvik margliða. Í þessum hluta könnum við staðbundna hegðun margliða almennt.
Einkenni grafa margliðufalla þekkt
Gröf margliðufalla af stigi 2 eða hærra hafa engin hvöss horn; slík gröf nefnast sléttir ferlar. Gröf margliðufalla hafa heldur engin rof. Ferlar án rofa nefnast samfelldir. Mynd 1 sýnir annars vegar graf margliðufalls og hins vegar graf falls sem er ekki margliðufall.
Mynd 1. Slétt og samfellt graf margliðufalls borið saman við graf með ósamfellu.
Mynd 2. Gröf f og h eru slétt og samfelld; graf g hefur hornpunkt og graf k ósamfellur.
Lausn
Gröf og eru gröf margliðufalla. Þau eru slétt og samfelld.
Gröf og eru gröf falla sem eru ekki margliðuföll. Graf fallsins hefur hvasst horn. Graf fallsins er ekki samfellt.
Þáttun notuð til að finna núllstöðvar margliðufalla
Munið að ef er margliðufall nefnast þau gildi sem uppfylla núllstöðvar fallsins Ef unnt er að þátta stæðu margliðufallsins getum við sett hvern þátt jafnan núlli og fundið núllstöðvarnar.
Við getum notað þessa aðferð til að finna skurðpunkta við ás, því við skurðpunktana við ás leitum við að inntaksgildunum sem gefa úttaksgildið núll. Fyrir almennar margliður getur þetta verið erfitt. Annars stigs jöfnur má leysa með tiltölulega einfaldri lausnarformúlu, en samsvarandi formúlur fyrir þriðja og fjórða stigs margliður eru of flóknar til að leggja á minnið og engar almennar lausnarformúlur með rótum eru til fyrir margliður af hærra stigi. Því einskorðum við okkur við þrjú tilvik í þessum hluta:
Þátta má margliðuna með þekktum aðferðum: taka út stærsta sameiginlega þátt og þátta þríliðu.
Margliðan er gefin á þáttuðu formi.
Grafteikniforrit er notað til að finna skurðpunktana.
Dæmi 2
Skurðpunktar margliðufalls við x-ás fundnir með þáttun
Finnið skurðpunkta við x-ás fyrir fallið
Lausn
Við getum reynt að þátta margliðuna til að finna lausnir jöfnunnar
Þá fást fimm skurðpunktar við ás:
og
Sjá mynd 3. Einnig sést að fallið er jafnstætt.
Mynd 3. Fimm núllstöðvar fallsins f(x) = x6 − 3x4 + 2x2.
Dæmi 3
Skurðpunktar margliðufalls við x-ás fundnir með þáttun
Mynd 4. Graf f(x) = x3 − 5x2 − x + 5 með núllstöðvarnar −1, 1 og 5.
Dæmi 4
Skurðpunktar margliðu á þáttuðu formi við y- og x-ás fundnir
Finnið skurðpunktana við og x-ás fyrir fallið
Lausn
Skurðpunktinn við y-ás má finna með því að reikna
Skurðpunkturinn við y-ás er því
Skurðpunktana við x-ás má finna með því að leysa jöfnuna
Skurðpunktarnir við ás eru því
og
Greining
Við getum alltaf kannað hvort svörin séu raunhæf með því að teikna graf margliðunnar í grafreikni, eins og sýnt er á mynd 5.
Mynd 5. Graf g(x) = (x − 2)2(2x + 3) og skurðpunktar þess við hnitásana.
Dæmi 5
Skurðpunktar margliðufalls við x-ás fundnir af grafi
Finnið skurðpunkta við ás fyrir fallið
Lausn
Margliðan er ekki á þáttuðu formi, hefur enga sameiginlega þætti og virðist ekki vera unnt að þátta með þeim aðferðum sem áður hafa verið ræddar. Sem betur fer getum við notað tækni til að finna skurðpunktana. Hafið í huga að sum gildi gera erfitt að teikna grafið í höndunum. Þá getum við nýtt okkur grafteikniforrit.
Á grafi fallsins á mynd 6 virðast vera skurðpunktar við x-ás þegar
og
Mynd 6. Graf h(x) = x3 + 4x2 + x − 6 með núllstöðvarnar −3, −2 og 1.
Við getum sannreynt gildin með því að setja þau inn fyrir og staðfesta að
Þar sem fæst:
Hver skurðpunktur við ás samsvarar núllstöð margliðufallsins og hver núllstöð gefur þátt. Því getum við nú ritað margliðuna á þáttuðu formi.
Núllstöðvar og margfeldni þeirra fundnar
Gröf haga sér á ólíkan hátt við mismunandi skurðpunkta við ás. Stundum sker grafið lárétta ásinn í skurðpunktinum. Í öðrum tilvikum snertir grafið lárétta ásinn og snýr við.
Teiknum til dæmis graf fallsins
Takið eftir á mynd 7 að hegðun fallsins er ólík við hvern skurðpunkt við ás.
Mynd 7. Hegðun grafs við skurðpunkt við x-ás fundin með því að skoða margfeldni núllstöðvarinnar.
Við skurðpunktinn við ás er núllstöðin lausn jöfnunnar Grafið fer beint í gegnum skurðpunktinn við ás þegar Þátturinn er línulegur, það er af stigi 1, og því líkist hegðunin nærri skurðpunktinum hegðun línu: grafið fer beint í gegnum punktinn. Þetta nefnist einföld núllstöð því núllstöðin samsvarar einum þætti fallsins.
Við skurðpunktinn við ás er núllstöðin endurtekin lausn jöfnunnar Grafið snertir ásinn í skurðpunktinum og snýr við. Þátturinn er annars stigs, það er af stigi 2, og því líkist hegðunin nærri skurðpunktinum hegðun annars stigs falls: grafið snertir lárétta ásinn og snýr við.
Þátturinn er endurtekinn, það er þátturinn kemur tvisvar fyrir. Fjöldi skipta sem tiltekinn þáttur kemur fyrir í þáttuðu formi jöfnu margliðu nefnist margfeldni. Núllstöðin sem tengist þessum þætti, hefur margfeldni 2 vegna þess að þátturinn kemur tvisvar fyrir.
Við skurðpunktinn við ás er núllstöðin endurtekin lausn jöfnunnar Grafið fer í gegnum ásinn í skurðpunktinum en fletst fyrst nokkuð út. Þátturinn er þriðja stigs, það er af stigi 3, og því líkist hegðunin nærri skurðpunktinum hegðun þriðja stigs falls, með sömu S-lögun og grunnfallið Þetta nefnist þreföld núllstöð, eða núllstöð með margfeldni 3.
Við núllstöðvar þar sem margfeldnin er slétt tala snerta gröfin ásinn án þess að skera hann. Við núllstöðvar þar sem margfeldnin er oddatala skera gröfin ás. Sjá mynd 8 þar sem sýnd eru dæmi um gröf margliðufalla með margfeldni 1, 2 og 3.
Mynd 8. Hegðun grafs nærri núllstöð með margfeldni 1, 2 og 3.
Fyrir hærri slétta veldisvísa, svo sem 4, 6 og 8, snertir grafið enn lárétta ásinn og snýr við. Eftir því sem slétti veldisvísirinn hækkar verður grafið flatara þegar það nálgast og fjarlægist ásinn.
Fyrir hærri oddatöluveldisvísa, svo sem 5, 7 og 9, sker grafið enn lárétta ásinn. Eftir því sem oddatöluveldisvísirinn hækkar verður grafið flatara þegar það nálgast og fjarlægist ásinn.
Dæmi 6
Núllstöðvar og margfeldni þeirra fundnar
Notið graf fallsins af stigi 6 á mynd 9 til að finna núllstöðvar fallsins og mögulega margfeldni þeirra.
Mynd 9. Grafið snertir x-ás við −3 og sker hann við −1 og 4; það fletst út við 4.
Lausn
Margliðufallið er af stigi Summa margfeldna allra núllstöðva í tvinntölum verður að vera
Frá vinstri kemur fyrsta núllstöðin fyrir þegar Grafið snertir x-ás og því verður margfeldni núllstöðvarinnar að vera slétt tala. Núllstöðin hefur margfeldni
Næsta núllstöð kemur fyrir þegar Grafið er nærri því línulegt í þessum punkti. Þetta er einföld núllstöð með margfeldni 1.
Síðasta núllstöðin kemur fyrir þegar Grafið sker x-ás og því verður margfeldni núllstöðvarinnar að vera oddatala. Grafið fletst út við núllstöðina, svo margfeldnin er að minnsta kosti 3. Þar sem stigið er 6 og summa lágmarksmargfeldnanna er 2 + 1 + 3 = 6 eru margfeldnirnar nákvæmlega 2, 1 og 3.
Endahegðun ákvörðuð
Eins og við höfum þegar lært mun graf margliðufalls á forminu
að lokum annaðhvort hækka eða lækka þegar
vex án efri marka og sömuleiðis annaðhvort hækka eða lækka þegar
minnkar án neðri marka. Ástæðan er sú að fyrir mjög stór inntaksgildi, til dæmis 100 eða 1.000, ræður forystuliðurinn stærð úttaksins. Hið sama gildir um mjög neikvæð inntaksgildi, til dæmis –100 eða –1.000.
Munið að þessi hegðun nefnist endahegðun falls. Eins og bent var á þegar fjallað var um annars stigs jöfnur gildir að þegar forystuliður margliðufalls,
hefur jákvæðan stuðul og sléttan veldisvísi og
vex eða minnkar án takmarka, þá vex
án efri marka. Þegar forystuliðurinn er veldisfall með jákvæðum stuðli og oddatöluveldisvísi og
minnkar án neðri marka, þá minnkar
einnig án neðri marka; þegar
vex án efri marka, þá vex
einnig án efri marka. Ef forystustuðullinn er neikvæður snýst stefna endahegðunarinnar við. Mynd 11 tekur saman öll fjögur tilvikin.
Mynd 11. Fjögur tilvik endahegðunar eftir stigi margliðunnar og formerki forystustuðulsins.
Samband stigs og snúningspunkta skilið
Auk endahegðunar getum við kannað staðbundna hegðun margliðufalls. Það getur haft snúningspunkt þar sem grafið breytist úr vexti í minnkun, eða úr minnkun í vöxt. Skoðið graf margliðufallsins
á mynd 12. Grafið hefur þrjá snúningspunkta.
Mynd 12. Vaxandi og minnkandi hlutar grafs og þrír snúningspunktar þess.
Fallið
er margliðufall af 4. stigi og hefur 3 snúningspunkta. Mesti mögulegi fjöldi snúningspunkta margliðufalls er alltaf einum minni en stig fallsins.
Dæmi 7
Mesti mögulegi fjöldi snúningspunkta fundinn út frá stigi margliðufalls
Finnið mesta mögulega fjölda snúningspunkta hvers margliðufalls.
ⓐ
ⓑ
Lausn
ⓐ
Ritið margliðufallið fyrst eftir lækkandi veldum:
Finnið stig margliðufallsins. Margliðufallið er af stigi 5.
Mesti mögulegi fjöldi snúningspunkta er
ⓑ
Finnið fyrst forystulið margliðufallsins eins og það væri eftir margföldun.
Leiðrétting á frumheimild: Á myndinni hér að ofan táknar aₙ ranglega forystuliðinn og jafnaðarmerki vantar fyrir framan −2x4. Réttur forystuliður er −x2 · 2x2 = −2x4 og forystustuðullinn er −2. Finnið síðan stig margliðufallsins. Margliðufallið er af stigi 4.
Mesti mögulegi fjöldi snúningspunkta er
Gröf margliðufalla teiknuð
Við getum notað þekkingu okkar á margfeldni, endahegðun og snúningspunktum til að skissa gröf margliðufalla. Tökum þetta saman og skoðum skrefin sem þarf til að teikna gröf margliðufalla.
Dæmi 8
Graf margliðufalls skissað
Skissið graf fallsins
Lausn
Grafið hefur tvo skurðpunkta við ás. Þegar
er þátturinn í öðru veldi og margfeldnin því 2. Grafið snertir ásinn í þessum skurðpunkti og snýr við. Þegar
er margfeldnin 1 og grafið sker því ásinn í skurðpunktinum.
Skurðpunkturinn við y-ás fæst með því að reikna
Skurðpunkturinn við ás er
Ef margliðan væri margfölduð upp sæist einnig að forystuliðurinn væri
og því samsvarar endahegðunin lóðrétt spegluðu þriðja stigs falli: Úttakið minnkar þegar inntakið stefnir á óendanlegt gildi en vex þegar inntakið stefnir á neikvætt óendanlegt gildi. Sjá mynd 13.
Mynd 13. Endahegðun f(x) = −2(x + 3)2(x − 5): vinstri endinn stefnir upp og sá hægri niður.
Við skissuna höfum við eftirfarandi í huga:
Þegar
gildir að
þannig að grafið byrjar í öðrum fjórðungi og lækkar í átt að ásnum.
Þar sem
er ekki jafnt
er grafið ekki samhverft um lóðrétta ásinn.
Í
snertir grafið ásinn og snýr við, þannig að fallið tekur að vaxa.
Í
sker grafið ásinn í skurðpunktinum. Sjá mynd 14.
Mynd 14. Endahegðun grafsins og punkturinn (0, 90) á y-ás.
Einhvers staðar eftir þennan punkt verður grafið að snúa aftur niður, eða taka að lækka í átt að lárétta ásnum, því það fer í gegnum næsta skurðpunkt í
Sjá mynd 15.
Mynd 15. Endahegðun grafsins og skurðpunkturinn (5, 0) við x-ás.
Þegar
gildir að
þannig að grafið heldur áfram að lækka og við getum lokið teikningunni í fjórða fjórðungi.
Með grafteikniforriti getum við teiknað graf margliðufallsins, sem sýnt er á mynd 16, og staðfest að það líkist skissunni okkar á mynd 15.
Mynd 16. Heildargraf margliðufallsins f ( x ) = − 2 ( x + 3 )2 ( x − 5 )
Milligildissetningin notuð
Í sumum tilvikum þekkjum við tvo punkta á grafi en ekki núllstöðvarnar. Ef punktarnir liggja hvor sínum megin við x-ás getum við staðfest að núllstöð liggi á milli þeirra. Skoðum margliðufall
með slétt og samfellt graf. Milligildissetningin segir að fyrir tvær tölur
og
í skilgreiningarmengi ef
og þá taki fallið
sérhvert gildi milli
og
Við getum beitt setningunni á sértilvik sem nýtist við teikningu margliðufalla. Ef punktur á grafi samfellds falls
þegar
liggur ofan við ás og annar punktur þegar
liggur neðan við ás, þá verður að vera þriðji punktur milli
og
þar sem grafið sker ás. Köllum punktinn
Þá er tryggt að til sé lausn
þar sem
Með öðrum orðum segir milligildissetningin að þegar gildi margliðufalls breytist úr neikvæðu í jákvætt verði fallið að skera ás. Mynd 17 sýnir að núllstöð er milli
og
Mynd 17. Milligildissetningin notuð til að sýna að núllstöð sé til.
Dæmi 9
Milligildissetningin notuð
Sýnið að fallið
hafi að minnsta kosti tvær núllstöðvar í rauntölum milli
og
Við sjáum að ein núllstöð er þegar
Þar sem
er neikvætt og
jákvætt segir milligildissetningin einnig að að minnsta kosti ein núllstöð í rauntölum sé milli 3 og 4.
Við höfum sýnt að að minnsta kosti tvær núllstöðvar í rauntölum eru milli
og
Greining
Á grafi fallsins á mynd 18 má einnig sjá tvær núllstöðvar í rauntölum milli
og
Mynd 18. Gildin f(1) = 5, f(3) = −3 og f(4) = 2 sýna að núllstöð er á hvoru bilanna (1, 3) og (3, 4).
Formúlur fyrir margliðuföll settar fram
Nú þegar við kunnum að finna núllstöðvar margliðufalla getum við notað þær til að setja fram formúlur út frá gröfum. Margliðufall á þáttuðu formi hefur skurðpunkt við ás þar sem hver þáttur er núll. Því getum við myndað fall sem fer í gegnum tiltekið safn skurðpunkta við ás með því að setja inn samsvarandi þætti.
Dæmi 10
Formúla fyrir margliðufall sett fram út frá grafi
Setjið fram formúlu fyrir margliðufallið sem sýnt er á mynd 19.
Mynd 19. Graf með núllstöðvarnar −3, 2 og 5 og skurðpunktinn (0, −2) við y-ás.
Lausn
Grafið hefur þrjá skurðpunkta við ás:
og
Skurðpunkturinn við ás er
Þegar
og
fer grafið línulega í gegnum ásinn. Það bendir til þess að samsvarandi þættir margliðunnar séu línulegir. Þegar
snertir grafið ásinn og snýr við. Það bendir til þess að samsvarandi þáttur margliðunnar sé af öðru stigi, það er annars stigs þáttur. Samanlagt fæst
Til að ákvarða teygjustuðulinn notum við annan punkt á grafinu. Við notum skurðpunktinn við ás,
til að leysa fyrir
Margliðan á grafinu virðist tákna fallið
Staðbundin og algild útgildi notuð
Fyrir annars stigs föll gátum við fundið hágildi eða lággildi fallsins með algebrureikningi með því að finna hvirfilpunktinn. Fyrir almenn margliðuföll er ekki unnt að finna þessa snúningspunkta án þróaðri aðferða úr stærðfræðigreiningu. Jafnvel þá getur verið erfitt að finna með algebrureikningi hvar útgildin eru. Að svo stöddu áætlum við staðsetningu snúningspunkta með því að teikna graf með tæknibúnaði.
Hver snúningspunktur táknar staðbundið lággildi eða hágildi. Stundum er snúningspunktur hæsti eða lægsti punkturinn á öllu grafinu. Þá segjum við að fallið taki þar algilt hágildi eða algilt lággildi. Þetta eru hæsta og lægsta gildi fallsins á öllu skilgreiningarmenginu.
Dæmi 11
Staðbundin útgildi notuð í hagnýtu verkefni
Búa á til opinn kassa með því að klippa ferning úr hverju horni 14 cm sinnum 20 cm plastplötu og brjóta síðan hliðarnar upp. Finnið hliðarlengd ferninganna sem klippa á burt svo rúmmál kassans verði sem mest.
Lausn
Við byrjum á að teikna mynd eins og mynd 22 og táknum hliðarlengd ferninganna sem klipptir eru burt með breytunni
Mynd 22. Ferningar með hliðarlengd w eru skornir úr hornum rétthyrnings til að mynda kassa.
Þegar ferningur hefur verið klipptur úr hverju horni verður eftir
cm sinnum
cm rétthyrningur sem myndar botn kassans, og hæð kassans verður
cm. Rúmmálið er því
Þar sem þættirnir eru
og eru núllstöðvarnar þrjár 0, 10 og 7, í sömu röð. Til að kassinn hafi jákvætt rúmmál verða allar hliðarlengdir hans að vera jákvæðar. Styttri hliðin er 14 cm og tveir ferningar eru klipptir frá henni. Gildi
verða því að vera stærri en núll og minni en 7. Við takmörkum því skilgreiningarmengi fallsins við
Ef tæknibúnaður er notaður til að teikna graf
á þessu raunhæfa skilgreiningarmengi fæst graf á borð við það sem sýnt er á mynd 23. Með grafinu getum við áætlað hæsta rúmmál fyrir þau gildi
sem eru raunhæf í verkefninu, það er gildi stærri en 0 og minni en 7.
Á grafinu beinum við sjónum að þeim hluta þess sem er á bilinu
Endapunktar bilsins gefa rúmmálið núll; raunhæfar hliðarlengdir liggja inni í bilinu. Áætla má að hæsta gildið sé um 340 rúmsentímetrar og það fæst þegar hliðarlengd ferninganna er um 2,75 cm. Til að bæta matið mætti nota ítarlegri eiginleika tæknibúnaðarins, ef þeir eru tiltækir, eða einfaldlega breyta glugganum og stækka viðeigandi hluta grafsins eins og á mynd 24.
Mynd 24. Stækkaður hluti rúmmálsgrafsins sýnir hágildi nálægt w = 2,75.
Á þessari stækkuðu mynd getum við bætt matið og fengið hæsta rúmmálið um 339 rúmsentímetra þegar hliðarlengd ferninganna er um 2,7 cm.
Æfingar úr kafla 3.4
Orðleg verkefni
1.
Hver er munurinn á skurðpunkti við ás og núllstöð margliðufalls
2.
Ef margliðufall af stigi
hefur
ólíkar núllstöðvar, hvað vitum við þá um graf fallsins?
3.
Útskýrið hvernig milligildissetningin getur hjálpað okkur að finna núllstöð falls.
4.
Útskýrið hvernig þáttað form margliðu hjálpar okkur að teikna graf hennar.
5.
Ef graf margliðu snertir ásinn og breytir síðan um stefnu, hvað má þá álykta um þáttað form margliðunnar?
Algebruverkefni
Finnið skurðpunkta margliðufallanna við eða t-ás í eftirfarandi verkefnum.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Notið milligildissetninguna í eftirfarandi verkefnum til að staðfesta að gefna margliðan hafi að minnsta kosti eina núllstöð á gefna bilinu.
24.
milli
og
25.
milli
og
26.
milli
og
27.
milli
og
.
28.
milli
og
29.
milli
og
Finnið núllstöðvarnar og tilgreinið margfeldni hverrar þeirra í eftirfarandi verkefnum.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
Grafísk verkefni
Teiknið gröf margliðufallanna í eftirfarandi verkefnum. Tilgreinið skurðpunkta við og ás, margfeldni og endahegðun.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
Notið gröfin í eftirfarandi verkefnum til að setja fram formúlu fyrir margliðufall af lægsta mögulega stigi.
48.
49.
50.
51.
52.
Notið grafið í eftirfarandi verkefnum til að finna núllstöðvar og margfeldni þeirra.
53.
54.
55.
56.
Notið gefnar upplýsingar um graf margliðunnar í eftirfarandi verkefnum til að setja fram jöfnuna.
57.
Stig 3. Núllstöðvar þegar
og y-skurðpunktur í
58.
Stig 3. Núllstöðvar þegar
og y-skurðpunktur í
59.
Stig 5. Núllstöðvar með margfeldni 2 þegar
og
og núllstöð með margfeldni 1 þegar
y-skurðpunktur í
60.
Stig 4. Núllstöð með margfeldni 2 þegar og núllstöðvar með margfeldni 1 þegar og y-skurðpunktur í
61.
Stig 5. Tvöföld núllstöð þegar og þreföld núllstöð þegar Grafið fer í gegnum punktinn
62.
Stig 3. Núllstöðvar þegar og y-skurðpunktur í
63.
Stig 3. Núllstöðvar þegar
og
y-skurðpunktur í
64.
Stig 5. Núllstöðvar með margfeldni 2 þegar
og
og núllstöð með margfeldni 1 þegar
y-skurðpunktur í
65.
Stig 4. Núllstöð með margfeldni 2 þegar og núllstöðvar með margfeldni 1 þegar og
y-skurðpunktur í
66.
Tvöföld núllstöð þegar
og þreföld núllstöð þegar
Grafið fer í gegnum punktinn
Tæknibúnaður
Notið reiknivél í eftirfarandi verkefnum til að nálga staðbundin hágildi og lággildi eða algilt hágildi og lággildi.
67.
68.
69.
70.
71.
Viðbótarverkefni
Notið gröfin í eftirfarandi verkefnum til að setja fram margliðufall af lægsta mögulega stigi.
72.
73.
74.
Hagnýt verkefni
Setjið fram margliðufall sem lýsir gefnum aðstæðum í eftirfarandi verkefnum.
75.
Rétthyrningur er 10 einingar á lengd og 8 einingar á breidd. Ferningar sem eru
sinnum
einingar eru klipptir úr hverju horni og hliðarnar síðan brotnar upp til að mynda opinn kassa. Setjið rúmmál kassans fram sem margliðufall af
76.
Skoðið sama rétthyrning og í verkefninu á undan. Ferningar sem eru
sinnum
einingar eru klipptir úr hverju horni. Setjið rúmmál kassans fram sem margliðu í
77.
Ferningur hefur 12 eininga langar hliðar. Ferningar sem eru
sinnum
einingar eru klipptir úr hverju horni og hliðarnar síðan brotnar upp til að mynda opinn kassa. Setjið rúmmál kassans fram sem fall af
78.
Sívalningur hefur radíusinn
einingar og hæð sem er 3 einingum meiri en radíusinn. Setjið rúmmál sívalningsins fram sem margliðufall.
79.
Hringkeila með topp beint yfir miðju grunnflatarins hefur radíusinn
og hæð sem er 3 einingum minni en radíusinn. Setjið rúmmál keilunnar fram sem margliðufall. Rúmmál keilu er
þar sem
er radíus og hæðin er
![Graf V(w) = (20 − 2w)(14 − 2w)w á bilinu [2,4; 3]. Lárétti ásinn er merktur w og sá lóðrétti V(w). Hágildið er nálægt w = 2,75.](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/precalculus-2e/is/image-v3/60b58b6713a682bd456abdf1ee3740e5811b8b5c/rendered.jpg?v=715cfd41777b)
