33 Margliðu- og ræð föll

Yfirlitsverkefni

Nú er 3. kafla lokið: Margliðuföll og ræð föll. Rifjum upp nokkur lykilhugtök, meginatriði og jöfnur sem fjallað hefur verið um.

Tvinntölur

Framkvæmið tilgreinda aðgerð með tvinntölum.

$(4 + 3 i) + (- 2 - 5 i)$

$(6 - 5 i) - (10 + 3 i)$

$(2 - 3 i) (3 + 6 i)$

$\frac{2 - i}{2 + i}$

Leysið eftirfarandi jöfnur yfir tvinntölum.

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

$x^{2} + 2 x + 10 = 0$

Annars stigs föll

Skrifið annars stigs fallið í hverju eftirfarandi verkefna á stöðluðu formi. Tilgreinið síðan hvirfilpunktinn og skurðpunkta við hnitása. Teiknið loks graf fallsins.

$f (x) = x^{2} - 4 x - 5$

$f (x) = - 2 x^{2} - 4 x$

Finnið jöfnu annars stigs fallsins í eftirfarandi verkefnum út frá gefnum upplýsingum.

Hvirfilpunkturinn er $(- 2; 3)$ og punktur á grafinu er $(3; 6) .$

10.

Hvirfilpunkturinn er $(- 3; 6,5)$ og punktur á grafinu er $(2; 6) .$

Svarið eftirfarandi spurningum.

11.

Girða á rétthyrnda lóð. Ein hlið lóðarinnar liggur að á og þarfnast því engrar girðingar. Alls eru 600 metrar af girðingu tiltækir. Finnið þær hliðarlengdir lóðarinnar sem gefa mesta flatarmálið.

12.

Hlutur er skotinn frá jörðu undir 45 gráðu horni með upphafshraðann 120 fet á sekúndu. Hæð hans, $h,$ sem fall af láréttri vegalengd, $x,$ er gefin með $h (x) = \frac{- 32}{{(120)}^{2}} x^{2} + x .$ Finnið mestu hæðina sem hluturinn nær.

Veldisföll og margliðuföll

Ákvarðið fyrir hvert eftirfarandi verkefni hvort fallið sé margliðufall og tilgreinið stig þess og forystustuðul ef svo er.

13.

$f (x) = 4 x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 1$

14.

$f (x) = 5^{x + 1} - x^{2}$

15.

$f (x) = x^{2} (3 - 6 x + x^{2})$

Ákvarðið endahegðun margliðufallsins í hverju eftirfarandi verkefna.

16.

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7$

17.

$f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2$

18.

$f (x) = 2 x^{2} (1 + 3 x - x^{2})$

Gröf margliðufalla

Finnið allar núllstöðvar margliðufallsins í hverju eftirfarandi verkefna og tilgreinið margfeldni þeirra.

19.

$f (x) = {(x + 3)}^{2} (2 x - 1) {(x + 1)}^{3}$

20.

$f (x) = x^{5} + 4 x^{4} + 4 x^{3}$

21.

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

Ákvarðið núllstöðvar fallsins út frá gefnu grafi í hverju eftirfarandi verkefna og tilgreinið margfeldni þeirra.

22.

Graf oddstigs margliðu með tveimur snúningspunktum.

23.

Graf sléttstigs margliðu með einum lággildispunkti. Ferillinn flatar út við hægri núllstöðina en heldur áfram að hækka.

24.

Notið milligildissetninguna til að sýna fram á að fallið $f (x) = x^{3} - 5 x + 1$ hafi að minnsta kosti eina núllstöð milli 2 og 3.

Deiling margliða

Notið langdeilingu til að finna deilingarútkomu og afgang í hverju eftirfarandi verkefna.

25.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4}{x - 2}$

26.

$\frac{3 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x + 8}{x + 1}$

Notið deilingu með reikniriti Horners til að finna deilingarútkomuna í hverju eftirfarandi verkefna. Ef deilirinn er þáttur í margliðunni sem deilt er í, skrifið þá margliðuna á þáttuðu formi.

27.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 1}{x + 3}$

28.

$\frac{x^{3} + 4 x + 10}{x - 3}$

29.

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} - 11 x - 12}{x + 4}$

30.

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x + 2}{x + 1}$

Núllstöðvar margliðufalla

Notið setninguna um ræðar núllstöðvar til að leysa margliðujöfnuna í hverju eftirfarandi verkefna.

31.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x - 8 = 0$

32.

$3 x^{3} + 11 x^{2} + 8 x - 4 = 0$

33.

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 46 x^{2} - 43 x + 12 = 0$

34.

$4 x^{4} + 8 x^{3} + 19 x^{2} + 32 x + 12 = 0$

Notið formerkjareglu Descartes til að finna mögulegan fjölda jákvæðra og neikvæðra lausna í hverju eftirfarandi verkefna.

35.

$x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 4 = 0$

36.

$2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

Ræð föll

Finnið skurðpunkta, lóðfellur og láfellur eftirfarandi ræðra falla og notið þessar upplýsingar síðan til að skissa gröf þeirra.

37.

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 5}$

38.

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

39.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 27}{x^{2} + x - 2}$

40.

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 9}$

Finnið skáfelluna í hverju eftirfarandi verkefna.

41.

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$

42.

$f (x) = \frac{2 x^{3} - x^{2} + 4}{x^{2} + 1}$

Andhverf föll og rótaföll

Finnið andhverfu fallsins með gefna skilgreiningarmenginu í hverju eftirfarandi verkefna.

43.

$f (x) = {(x - 2)}^{2}, x \geq 2$

44.

$f (x) = {(x + 4)}^{2} - 3, x \geq - 4$

45.

$f (x) = x^{2} + 6 x - 2, x \geq - 3$

46.

$f (x) = 2 x^{3} - 3$

47.

$f (x) = \sqrt{4 x + 5} - 3$

48.

$f (x) = \frac{x - 3}{2 x + 1}$

Líkön gerð með hlutföllum

Finnið óþekkta gildið í hverju eftirfarandi verkefna.

49.

y er í beinu hlutfalli við annað veldi x. Þegar x = 3 er y = 36. Finnið y þegar x = 4.

50.

y er í öfugu hlutfalli við kvaðratrót x. Þegar x = 25 er y = 2. Finnið y þegar x = 4.

51.

y er í beinu hlutfalli við margfeldi þriðja veldis x og z. Þegar x = 1 og z = 2 er y = 6. Finnið y þegar x = 2 og z = 3.

52.

y er í beinu hlutfalli við margfeldi x og annars veldis z og í öfugu hlutfalli við þriðja veldi w. Þegar x = 3, z = 4 og w = 2 er y = 48. Finnið y þegar x = 4, z = 5 og w = 3.

Leysið eftirfarandi hagnýtu verkefni.

53.

Þyngd hlutar ofan við yfirborð jarðar er í öfugu hlutfalli við annað veldi fjarlægðarinnar frá miðju jarðar. Einstaklingur vegur 150 pund á yfirborði jarðar (3.960 mílur frá miðju hennar). Finnið þyngd einstaklingsins í 20 mílna hæð yfir yfirborðinu.

54.

Rúmmál $V$ kjörgass er í beinu hlutfalli við hitastigið $T$ og í öfugu hlutfalli við þrýstinginn $P$ . Hylki inniheldur súrefni við 310 K og þrýsting sem nemur 18 loftþyngdum; rúmmál gassins er 120 lítrar. Finnið þrýstinginn ef rúmmálið er minnkað í 100 lítra og hitastigið hækkað í 320 K.