Leysa línulegar hornafallajöfnur með sínus og kósínus.
Leysa jöfnur sem innihalda eitt hornafall.
Leysa hornafallajöfnur með reiknivél.
Leysa hornafallajöfnur sem eru annars stigs að formi.
Leysa hornafallajöfnur með grundvallarsamsemdum.
Leysa hornafallajöfnur með margfeldi horna.
Leysa verkefni um rétthyrnda þríhyrninga.
Mynd 1. Egypsku pýramídarnir skammt frá nútímaborg. (Mynd: Oisin Mulvihill)
Þales frá Míletos (um 625–547 f.Kr.) er talinn upphafsmaður rúmfræðinnar. Sagan segir að hann hafi reiknað hæð Keopspýramídans mikla í Gísa í Egyptalandi með kenningu sinni um einslaga þríhyrninga, sem hann þróaði með því að mæla skugga stafs síns. Kenningin byggist á hlutföllum og nýtist á ýmsum sviðum, meðal annars í brotarúmfræði, verkfræði og byggingarlist. Háhorn og lághorn eru oft fundin með einslaga þríhyrningum.
Í fyrri hlutum þessa kafla skoðuðum við hornafallasamsemdir. Samsemdir gilda fyrir öll gildi á skilgreiningarmengi breytunnar. Í þessum hluta hefjum við rannsókn á hornafallajöfnum til að kanna raunhæf viðfangsefni, svo sem að finna stærðir pýramídanna.
Lausnir línulegra hornafallajafna með sínus og kósínus
Hornafallajöfnur eru, eins og heitið gefur til kynna, jöfnur sem innihalda hornaföll. Líkt og við lausn margliðujafna eða ræðra jafna eru aðeins tiltekin gildi breytunnar lausnir, ef einhverjar lausnir eru til. Oft leysum við hornafallajöfnu á tilteknu bili. Jafnoft er þó beðið um allar mögulegar lausnir og þar sem hornaföll eru lotubundin endurtaka lausnirnar sig í hverri lotu. Hornafallajöfnur geta með öðrum orðum haft óendanlega margar lausnir. Eins og fyrir ræðar jöfnur þarf einnig að taka tillit til skilgreiningarmengis fallsins áður en lausn er talin gild. Lota bæði sínusfallsins og kósínusfallsins er Það merkir að y-gildin endurtaka sig á eininga fresti. Ef finna á allar mögulegar lausnir þarf að bæta 2 𝜋 𝑘 við upphaflegu lausnina, þar sem er heiltala. Rifjið upp regluna sem gefur framsetningu allra mögulegra lausna falls með lotuna
Sambærilegar reglur gilda um framsetningu allra mögulegra lausna fyrir hin hornaföllin. Við lausn hornafallajafna eru notaðar sömu aðferðir og við lausn algebrujafna. Við lesum jöfnuna lárétt frá vinstri til hægri eins og setningu. Við leitum að þekktum mynstrum, þáttum, samnefnurum og setjum breytu í stað tiltekinna stæðna til að einfalda lausnarferlið. Í hornafallajöfnum getum við auk þess notað samsemdirnar sem við leiddum út í fyrri hlutum.
Dæmi 1
Línuleg hornafallajafna með kósínusfalli leyst
Finnið allar mögulegar nákvæmar lausnir jöfnunnar
Lausn
Af einingarhringnum vitum við að
Þetta eru lausnirnar á bilinu Allar mögulegar lausnir eru
þar sem er heiltala.
Dæmi 2
Línuleg jafna með sínusfalli leyst
Finnið allar mögulegar nákvæmar lausnir jöfnunnar
Lausn
Að leysa fyrir öll möguleg gildi t merkir að lausnirnar ná út fyrir lotuna Af mynd 2 sést að lausnirnar eru og Verkefnið biður þó um öll möguleg gildi sem leysa jöfnuna. Svarið er því
þar sem er heiltala.
Dæmi 3
Hornafallajafna á línulegu formi leyst
Leysið jöfnuna nákvæmlega:
Lausn
Notið algebruaðferðir til að leysa jöfnuna.
Lausnir jafna sem innihalda eitt hornafall
Þegar jafna inniheldur aðeins eitt hornafallanna sex er hún leyst með algebruaðferðum og einingarhringnum (sjá mynd 2). Hafa þarf nokkur atriði í huga þegar jafnan inniheldur annað hornafall en sínus eða kósínus. Verkefni sem innihalda umhverfur grunnhornafallanna þarf að skoða frá sjónarhóli algebru. Við ritum þá umhverfufallið og leysum fyrir hornin með fallinu. Jafna með tangensfalli er einnig nokkuð frábrugðin jöfnu með sínus- eða kósínusfalli. Í fyrsta lagi er lota tangens, eins og við vitum, 𝜋 en ekki Skilgreiningarmengi tangens er auk þess allar rauntölur nema oddatölumargfeldi af nema verkefnið setji auðvitað eigin skorður á skilgreiningarmengið.
Dæmi 4
Verkefni með einu hornafalli leyst
Leysið verkefnið nákvæmlega:
Lausn
Þar sem ekki er auðvelt að þátta stæðuna leysum við með ferningsrótarreglunni. Fyrst einangrum við s i n 𝜃 með algebru. Síðan finnum við hornin.
Dæmi 5
Hornafallajafna með kósekans leyst
Leysið eftirfarandi jöfnu nákvæmlega:
Lausn
Við viljum finna öll gildi sem uppfylla á bilinu
Greining
Þar sem s i n 𝜃 = − 1 2 skuluð þið taka eftir að allar fjórar lausnirnar eru í þriðja og fjórða fjórðungi.
Dæmi 6
Jafna með tangens leyst
Leysið jöfnuna nákvæmlega:
Lausn
Rifjið upp að lota tangensfallsins er Á bilinu [ 0 , 𝜋 ) hefur tangens við hornið 𝜋 4 gildið 1. Hornið sem við leitum að er hins vegar Ef t a n ( 𝜋 4 ) = 1 þá er
Á bilinu [ 0 , 2 𝜋 ) fáum við tvær lausnir:
Dæmi 7
Allar lausnir jöfnu með tangens fundnar
Finnið allar nákvæmar lausnir jöfnunnar
Lausn
Við getum leyst þessa jöfnu eingöngu með algebru. Einangrið stæðuna vinstra megin við jafnaðarmerkið.
Tvö horn á einingarhringnum hafa tangensgildið og
Hornafallajöfnur leystar með reiknivél
Ekki er hægt að leysa öll föll nákvæmlega með einingarhringnum einum. Þegar leysa þarf jöfnu með öðru horni en sérhorni þurfum við að nota reiknivél. Gangið úr skugga um að hún sé stillt á rétta einingu, gráður eða radíana, eftir skilyrðum verkefnisins.
Dæmi 8
Hornafallajafna með sínus leyst með reiknivél
Notið reiknivél til að leysa jöfnuna s i n 𝜃 = 0 . 8 þar sem er í radíönum.
Lausn
Gangið úr skugga um að reiknivélin sé stillt á radíana. Til að finna 𝜃 notum við andhverfa sínusfallið. Á flestum reiknivélum þarf að ýta á hnappinn 2 ND og síðan á SIN til að kalla fram fallið . Á skjánum birtist Reiknivélin bíður þá eftir inntaki innan svigans. Í þessu verkefni sláum við inn s i n − 1 ( 0 . 8 ) og ýtum á ENTER. Að fjórum aukastöfum fæst því
Lausnin er
Stærð hornsins í gráðum er
Greining
Takið eftir að reiknivél skilar aðeins horni í fyrsta eða fjórða fjórðungi fyrir sínusfallið, því það er myndmengi andhverfa sínusfallsins. Hitt hornið fæst með
Dæmi 9
Hornafallajafna með sekans leyst með reiknivél
Notið reiknivél til að leysa jöfnuna s e c 𝜃 = − 4 og gefið svarið í radíönum.
Lausn
Við getum byrjað á algebru.
Gangið úr skugga um að MODE-stilling reiknivélarinnar sé á radíönum. Notið nú andhverfa kósínusfallið.
Þar sem og 𝜋 ≈ 3 . 1 4 er 1.8235 milli þessara talna og því er í öðrum fjórðungi. Kósínus er einnig neikvæður í þriðja fjórðungi. Takið eftir að reiknivél skilar aðeins horni í fyrsta eða öðrum fjórðungi fyrir kósínusfallið, því það er myndmengi andhverfa kósínusfallsins. Sjá mynd 2.
Mynd 2
Við þurfum einnig að finna stærð hornsins í þriðja fjórðungi. Þar er viðmiðunarhornið Hin lausnin í þriðja fjórðungi er
Lausnirnar eru og
Lausnir hornafallajafna á annars stigs formi
Lausn annars stigs jöfnu getur verið flóknari, en aftur getum við notað algebru eins og fyrir hverja aðra annars stigs jöfnu. Skoðið mynstur jöfnunnar. Er fleiri en eitt hornafall í henni eða aðeins eitt? Hvaða hornafall er í öðru veldi? Ef aðeins eitt fall kemur fyrir og einn liðurinn er í öðru veldi skuluð þið hugsa um staðlað form annars stigs jöfnu. Setjið breytu á borð við eða 𝑢 í stað hornafallsins. Ef innsetningin gefur jöfnunni form annars stigs jöfnu getum við notað sömu aðferðir og við lausn annars stigs jafna til að leysa hornafallajöfnuna.
Dæmi 10
Hornafallajafna á annars stigs formi leyst
Leysið jöfnuna nákvæmlega:
Lausn
Við byrjum á innsetningu og skiptum cos út fyrir Innsetning er ekki nauðsynleg en getur gert form verkefnisins skýrara. Látum Þá höfum við
Ekki er hægt að þátta jöfnuna og því notum við lausnarformúlu annars stigs jöfnu
Skiptið aftur út fyrir c o s 𝜃 . Leysið síðan. Þá fæst
Takið eftir að aðeins the + sign er notað. Ástæðan er sú að reiknivélin gefur villu þegar við leysum því skilgreiningarmengi andhverfa kósínusfallsins er Önnur lausn er þó til:
Lokaarmur þessa horns liggur í fyrsta fjórðungi. Þar sem kósínus er einnig jákvæður í fjórða fjórðungi er hin lausnin
Dæmi 11
Hornafallajafna á annars stigs formi leyst með þáttun
Leysið jöfnuna nákvæmlega:
Lausn
Með hópun má þátta þessa annars stigs stæðu. Annaðhvort gerum við raunverulega innsetningu, s i n 𝜃 = 𝑢 , eða höfum hana í huga þegar við þáttum:
Setjið nú hvorn þátt jafnan núlli.
Leysið næst fyrir 𝜃 : s i n 𝜃 ≠ 3 2 því myndmengi sínusfallsins er Hins vegar er s i n 𝜃 = 1 sem gefur lausnina
Greining
Gangið úr skugga um að kanna allar lausnir á gefna skilgreiningarmenginu, því sumir þættir gefa enga lausn.
Dæmi 12
Hornafallajafna leyst með algebru
Leysið nákvæmlega:
Lausn
Verkefnið ætti að virðast kunnuglegt því jafnan líkist annars stigs jöfnu. Látum Jafnan verður Við byrjum á að þátta:
Setjið hvorn þátt jafnan núlli.
Setjið síðan upprunalegu stæðuna aftur inn í jöfnuna í stað Þá fæst
Lausnirnar á skilgreiningarmenginu eru
Ef við viljum ekki gera innsetningu getum við leyst jöfnuna eftir sama mynstri með þáttun og því að setja hvorn þátt jafnan núlli.
Greining
Lausnirnar sjást á grafinu á mynd 3. Á bilinu 0 ≤ 𝜃 < 2 𝜋 sker grafið x-ásinn fjórum sinnum, við lausnirnar sem tilgreindar voru. Takið eftir að hornafallajöfnur á annars stigs formi geta gefið allt að fjórar lausnir í stað þeirra tveggja sem búast má við fyrir annars stigs jöfnur. Í þessu dæmi gefur hvert jákvætt sínusgildi tvö horn með því gildi.
Mynd 3
Við getum einnig staðfest lausnirnar á einingarhringnum á mynd 2.
Dæmi 13
Hornafallajafna á annars stigs formi leyst
Leysið jöfnuna á annars stigs formi nákvæmlega:
Lausn
Við getum þáttað með hópun. Lausnargildi má finna á einingarhringnum:
Hornafallajöfnur leystar með grundvallarsamsemdum
Þótt leysa megi margar hornafallajöfnur með algebru getum við einnig notað grundvallarsamsemdirnar því þær einfalda lausn jafnanna. Munið að aðferðir við lausn jafna eru ekki þær sömu og við sannprófun samsemda. Hér gilda grunnreglur algebru, í stað þess að önnur hlið samsemdarinnar sé umrituð þar til hún samsvarar hinni. Í næsta dæmi notum við tvær samsemdir til að einfalda jöfnuna.
Dæmi 14
Samsemdir notaðar til að leysa jöfnu
Notið samsemdir til að leysa hornafallajöfnuna nákvæmlega á bilinu
Lausn
Takið eftir að vinstra megin í jöfnunni er mismunarformúla kósínuss.
Við getum valið um þrjár stæður í stað tvöfalds horns kósínuss. Þar sem einfaldara er að leysa fyrir eitt hornafall í einu veljum við tvöföldunarsamsemd sem inniheldur aðeins kósínus:
Ef c o s 𝜃 = − 1 2 þá er og ef c o s 𝜃 = 1 þá er
Dæmi 16
Jafna leyst með samsemd
Leysið jöfnuna nákvæmlega með samsemd:
Lausn
Ef við umritum hægri hliðina getum við ritað jöfnuna með kósínus:
Lausnirnar eru
Hornafallajöfnur með margfeldi horna leystar
Stundum er ekki hægt að leysa hornafallajöfnu með samsemdum þegar hún inniheldur margfeldi horns, svo sem eða Þegar slíkar jöfnur koma fyrir skuluð þið rifja upp að er lárétt samþjöppun með stuðlinum 2 á fallinu Á bili með lengdina 2 𝜋 getum við teiknað tvær lotur af 𝑦 = s i n ( 2 𝑥 ) í stað einnar lotu af Þessi samþjöppun grafsins bendir til þess að geti haft tvöfalt fleiri skurðpunkta við x-ásinn, eða lausnir, en Þessar upplýsingar hjálpa okkur að leysa jöfnuna.
Dæmi 17
Hornafallajafna með margfeldi horns leyst
Leysið nákvæmlega: á
Lausn
Við sjáum að þetta er hefðbundin jafna með margfeldi horns. Ef c o s ( 𝛼 ) = 1 2 vitum við að er í fyrsta og fjórða fjórðungi. Þótt gefi aðeins lausnir í fyrsta og öðrum fjórðungi vitum við að lausnir jöfnunnar verða í fyrsta og fjórða fjórðungi.
Mögulegu hornin eru því og Þá er eða 2 𝑥 = 5 𝜋 3 sem merkir að eða Er þetta rökrétt? Já, því
Eru aðrar lausnir mögulegar? Snúum aftur að fyrsta skrefinu.
Í fyrsta fjórðungi er 2 𝑥 = 𝜋 3 og því eins og áður kom fram. Förum annan hring um einingarhringinn:
og því
Einn hringur til gefur
𝑥 = 1 3 𝜋 6 > 2 𝜋 x = 13 π/6 > 2 π , og þetta gildi 𝑥 x er stærra en 2 𝜋 . 2 π , Það er því ekki lausn á [ 0 , 2 𝜋 ) . [ 0 , 2 π ) .
Í fjórða fjórðungi er 2 𝑥 = 5 𝜋 3 og því eins og áður kom fram. Förum annan hring um einingarhringinn:
og því
Einn hringur til gefur
𝑥 = 1 7 𝜋 6 > 2 𝜋 x = 17 π/6 > 2 π , og þetta gildi 𝑥 x er stærra en 2 𝜋 . 2 π , Það er því ekki lausn á [ 0 , 2 𝜋 ) . [ 0 , 2 π ) .
Lausnirnar eru 𝜋 6 , 5 𝜋 6 , 7 𝜋 6 , og 1 1 𝜋 6 . Takið eftir að þegar við leysum verkefni á forminu s i n ( 𝑛 𝑥 ) = 𝑐 þurfum við að fara sinnum um einingarhringinn.
Lausnir verkefna um rétthyrnda þríhyrninga
Nú getum við notað allar aðferðirnar sem við höfum lært til að leysa verkefni með eiginleikum rétthyrndra þríhyrninga og setningu Pýþagórasar. Við byrjum á setningu Pýþagórasar, 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 og setjum upp jöfnu sem lýsir aðstæðunum.
Dæmi 18
Jafna sett upp með setningu Pýþagórasar
Notið setningu Pýþagórasar og eiginleika rétthyrndra þríhyrninga til að setja upp jöfnu sem lýsir verkefninu.
Skipta þarf um einn strenginn sem festir miðju London Eye-parísarhjólsins við jörðina. Miðja hjólsins er 69.5 metrum yfir jörðu og seinni festingin á jörðinni er 23 metra frá undirstöðu hjólsins. Hve langur er strengurinn um það bil og hvert er háhornið frá jörðinni að miðju hjólsins? Sjá mynd 4.
Mynd 4
Lausn
Með gefnu upplýsingunum getum við teiknað rétthyrndan þríhyrning. Lengd strengsins má finna með setningu Pýþagórasar.
Háhornið er 𝜃 og myndast milli seinni festingarinnar á jörðinni og strengsins sem liggur að miðju hjólsins. Við getum fundið stærð þess með tangensfallinu. Námundið að tveimur aukastöfum.
Háhornið er um það bil 7 1 . 7 ∘ og strengurinn er 73.2 metrar á lengd.
Dæmi 19
Óhlutbundið verkefni sett upp með setningu Pýþagórasar
Öryggisreglur OSHA kveða á um að neðri endi stiga skuli vera 1 fet frá vegg fyrir hver 4 fet af lengd stigans. Finnið hornið sem stigi af hvaða lengd sem er myndar við jörðina og hæðina þar sem stiginn snertir vegginn.
Lausn
Fyrir stiga af hvaða lengd sem er þarf neðri endinn að vera frá veggnum um fjórðung af lengd stigans. Ef neðri endi stigans er „a“ fet frá veggnum er lengd stigans með öðrum orðum 4 a fet. Sjá mynd 5.
Mynd 5
Hliðin aðlæg er a og langhliðin er Því fæst
Stiginn myndar hornið við jörðina. Hæðina þar sem stiginn snertir vegginn má finna með setningu Pýþagórasar:
Stiginn snertir því vegginn í feta hæð yfir jörðu.
7.5 Verkefni hlutans
Orðleg verkefni
1.
Eru alltaf til lausnir á jöfnum með hornaföllum? Ef ekki skuluð þið lýsa jöfnu sem hefur enga lausn. Útskýrið hvers vegna.
2.
Þegar leysa á hornafallajöfnu sem inniheldur fleiri en eitt hornafall, eigum við þá alltaf að reyna að umrita hana með einu hornafalli? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
3.
Hvernig vitum við hvort línuleg hornafallajafna sem inniheldur aðeins sínus eða kósínus hafi lausnir?
Algebruverkefni
Finnið allar lausnir nákvæmlega á bilinu 0 ≤ 𝜃 < 2 𝜋 0 ≤ θ < 2 π . í eftirfarandi verkefnum.
Finnið allar nákvæmar lausnir á [ 0 , 2 𝜋 ) [ 0 , 2 π ) . í eftirfarandi verkefnum.
23.
sec(𝑥)sin(𝑥)−2sin(𝑥)=0
24.
tan(𝑥)−2sin(𝑥)tan(𝑥)=0
25.
2cos2𝑡+cos(𝑡)=1
26.
2tan2(𝑡)=3sec(𝑡)
27.
2sin(𝑥)cos(𝑥)−sin(𝑥)+2cos(𝑥)−1=0
28.
cos2𝜃=12
29.
sec2𝑥=1
30.
tan2(𝑥)=−1+2tan(−𝑥)
31.
8sin2(𝑥)+6sin(𝑥)+1=0
32.
tan5(𝑥)=tan(𝑥)
Leysið nákvæmlega með aðferðunum úr þessum hluta á bilinu [ 0 , 2 𝜋 ) [ 0 , 2 π ) . í eftirfarandi verkefnum.
33.
sin(3𝑥)cos(6𝑥)−cos(3𝑥)sin(6𝑥)=−0.9
34.
sin(6𝑥)cos(11𝑥)−cos(6𝑥)sin(11𝑥)=−0.1
35.
cos(2𝑥)cos𝑥+sin(2𝑥)sin𝑥=1
36.
6sin(2𝑡)+9sin𝑡=0
37.
9cos(2𝜃)=9cos2𝜃−4
38.
sin(2𝑡)=cos𝑡
39.
cos(2𝑡)=sin𝑡
40.
cos(6𝑥)−cos(3𝑥)=0
Leysið nákvæmlega á bilinu [ 0 , 2 𝜋 ) í eftirfarandi verkefnum. Notið lausnarformúlu annars stigs jöfnu ef ekki er hægt að þátta jöfnurnar.
41.
tan2𝑥−√3tan𝑥=0
42.
sin2𝑥+sin𝑥−2=0
43.
sin2𝑥−2sin𝑥−4=0
44.
5cos2𝑥+3cos𝑥−1=0
45.
3cos2𝑥−2cos𝑥−2=0
46.
5sin2𝑥+2sin𝑥−1=0
47.
tan2𝑥+5tan𝑥−1=0
48.
cot2𝑥=−cot𝑥
49.
−tan2𝑥−tan𝑥−2=0
Finnið nákvæmar lausnir á bilinu [ 0 , 2 𝜋 ) í eftirfarandi verkefnum. Leitið að tækifærum til að nota hornafallasamsemdir.
50.
sin2𝑥−cos2𝑥−sin𝑥=0
51.
sin2𝑥+cos2𝑥=0
52.
sin(2𝑥)−sin𝑥=0
53.
cos(2𝑥)−cos𝑥=0
54.
2tan𝑥2−sec2𝑥−sin2𝑥=cos2𝑥
55.
1−cos(2𝑥)=1+cos(2𝑥)
56.
sec2𝑥=7
57.
10sin𝑥cos𝑥=6cos𝑥
58.
−3sin𝑡=15cos𝑡sin𝑡
59.
4cos2𝑥−4=15cos𝑥
60.
8sin2𝑥+6sin𝑥+1=0
61.
8cos2𝜃=3−2cos𝜃
62.
6cos2𝑥+7sin𝑥−8=0
63.
12sin2𝑡+cos𝑡−6=0
64.
tan𝑥=3sin𝑥
65.
cos3𝑡=cos𝑡
Myndræn verkefni
Ákvarðið allar lausnir hornafallajöfnunnar nákvæmlega með algebru í eftirfarandi verkefnum. Staðfestið síðan niðurstöðurnar með því að teikna graf jöfnunnar og finna núllstöðvarnar. Notið bilið [ 0 , 2 𝜋 ) . [ 0 , 2 π )
66.
6sin2𝑥−5sin𝑥+1=0
67.
8cos2𝑥−2cos𝑥−1=0
68.
100tan2𝑥+20tan𝑥−3=0
69.
2cos2𝑥−cos𝑥+15=0
70.
20sin2𝑥−27sin𝑥+7=0
71.
2tan2𝑥+7tan𝑥+6=0
72.
130tan2𝑥+69tan𝑥−130=0
Tækniverkefni
Notið reiknivél til að finna allar lausnir að fjórum aukastöfum í eftirfarandi verkefnum.
73.
sin𝑥=0.27
74.
sin𝑥=−0.55
75.
tan𝑥=−0.34
76.
cos𝑥=0.71
Leysið jöfnurnar með algebru í eftirfarandi verkefnum og notið síðan reiknivél til að finna gildin á bilinu Námundið að fjórum aukastöfum.
77.
tan2𝑥+3tan𝑥−3=0
78.
6tan2𝑥+13tan𝑥=−6
79.
tan2𝑥−sec𝑥=1
80.
sin2𝑥−2cos2𝑥=0
81.
2tan2𝑥+9tan𝑥−6=0
82.
4sin2𝑥+sin(2𝑥)sec𝑥−3=0
Viðbótarverkefni
Finnið allar lausnir jafnanna nákvæmlega á bilinu [ 0 , 2 𝜋 ) [ 0 , 2 π ) . í eftirfarandi verkefnum.
83.
csc2𝑥−3csc𝑥−4=0
84.
sin2𝑥−cos2𝑥−1=0
85.
sin2𝑥(1−sin2𝑥)+cos2𝑥(1−sin2𝑥)=0
86.
3sec2𝑥+2+sin2𝑥−tan2𝑥+cos2𝑥=0
87.
sin2𝑥−1+2cos(2𝑥)−cos2𝑥=1
88.
tan2𝑥−1−sec3𝑥cos𝑥=0
89.
sin(2𝑥)sec2𝑥=0
90.
sin(2𝑥)2csc2𝑥=0
91.
2cos2𝑥−sin2𝑥−cos𝑥−5=0
92.
1sec2𝑥+2+sin2𝑥+4cos2𝑥=4
Raunhæf viðfangsefni
93.
Flugvél hefur aðeins nægilegt eldsneyti til að fljúga til borgar sem er 200 mílur norðaustur af núverandi staðsetningu hennar. Ef flugmaðurinn veit að borgin er 25 mílur í norður, hve margar gráður norður frá austri á flugvélin að fljúga?
94.
Hleðslurampi er settur við vörubíl í 4 feta hæð og er 15 fet á lengd. Hvaða horn myndar rampurinn við jörðina?
95.
Hleðslurampi er settur við vörubíl í 2 feta hæð og er 20 fet á lengd. Hvaða horn myndar rampurinn við jörðina?
96.
Kona fylgist með eldflaug sem hefur verið skotið á loft og er nú í 11 mílna hæð. Ef hún stendur 4 mílur frá skotpallinum, undir hvaða horni horfir hún upp frá láréttu?
97.
Geimfari er í eldflaug sem hefur verið skotið á loft og er nú í 15 mílna hæð. Maður stendur 2 mílur frá skotpallinum. Undir hvaða horni horfir hún niður til hans frá láréttu? (Vísbending: Þetta nefnist lághorn.)
98.
Kona stendur 8 metra frá 10 metra hárri byggingu. Undir hvaða horni horfir hún á topp byggingarinnar?
99.
Maður stendur 10 metra frá 6 metra hárri byggingu. Manneskja á þaki byggingarinnar horfir niður til hans. Undir hvaða horni horfir manneskjan á hann?
100.
20 feta há bygging varpar 55 feta löngum skugga. Hvert er háhorn sólarinnar?
101.
90 feta há bygging varpar 2 feta löngum skugga. Hvert er háhorn sólarinnar?
102.
Kastljós á jörðinni, 3 metra frá 2 metra háum manni, varpar 6 metra háum skugga á vegg sem er 6 metra frá manninum. Undir hvaða horni lýsir kastljósið?
103.
Kastljós á jörðinni, 3 fet frá 5 feta hárri konu, varpar 15 feta háum skugga á vegg sem er 6 fet frá konunni. Undir hvaða horni lýsir kastljósið?
Finnið lausn orðdæmisins með algebru í eftirfarandi verkefnum. Notið síðan reiknivél til að staðfesta niðurstöðuna. Námundið svarið að næsta tíunda hluta úr gráðu.
104.
Maður stendur á höndum með fæturna upp við vegg og hendurnar 1.5 fet frá veggnum. Ef hann er 6 fet á hæð, hvaða horn mynda fætur hans við vegginn?
105.
Kona stendur á höndum með fæturna upp við vegg og hendurnar 3 fet frá veggnum. Ef hún er 5 fet á hæð, hvaða horn mynda fætur hennar við vegginn?
106.
23 feta stigi stendur upp við hús. Ef stiginn rennur til þegar neðri endi hans er 7 fet frá húsinu vegna ónógs núnings, hvaða horn ætti stiginn að mynda við jörðina til að renna ekki?
