77 Hornafallasamsemdir og -jöfnur

Meginatriði

7.1 Einföldun og sannprófun hornafallasamsemdar

Setja má hornafallastæðu fram á marga vegu. Sannprófun samsemdanna sýnir hvernig umrita má stæður til að einfalda verkefni.
Með því að teikna gröf beggja hliða samsemdar má sannprófa hana. Sjá Dæmi 1.
Önnur leið til að sannprófa samsemd er að einfalda aðra hlið jöfnunnar þar til hún verður jöfn hinni. Sjá Dæmi 2 og Dæmi 3.
Aðferðin við að sannprófa samsemd ræðst af gerð hennar. Oft er gagnlegt að byrja á flóknari hlið jöfnunnar. Sjá Dæmi 4.
Við getum búið til samsemd með því að einfalda stæðu og sannprófa hana síðan. Sjá Dæmi 5.
Sannprófun samsemdar getur krafist algebrureiknings með grunnsamsemdunum. Sjá Dæmi 6 og Dæmi 7.
Nota má algebruaðferðir til að einfalda hornafallastæður. Þær eru notaðar í allri bókinni enda byggjast þær á grunnreglum stærðfræðinnar. Sjá Dæmi 8, Dæmi 9 og Dæmi 10.

7.2 Summu- og mismunarsamsemdir

Summuformúla kósínuss segir að kósínus summu tveggja horna sé margfeldi kósínusa hornanna að frádregnu margfeldi sínusa þeirra. Mismunarformúla kósínuss segir að kósínus mismunar tveggja horna sé margfeldi kósínusa hornanna að viðbættu margfeldi sínusa þeirra.
Nota má summu- og mismunarformúlurnar til að finna nákvæm gildi sínuss, kósínuss eða tangens horns. Sjá Dæmi 1 og Dæmi 2.
Summuformúla sínuss segir að sínus summu tveggja horna sé margfeldi sínuss fyrra hornsins og kósínuss þess síðara að viðbættu margfeldi kósínuss fyrra hornsins og sínuss þess síðara. Mismunarformúla sínuss segir að sínus mismunar tveggja horna sé margfeldi sínuss fyrra hornsins og kósínuss þess síðara að frádregnu margfeldi kósínuss fyrra hornsins og sínuss þess síðara. Sjá Dæmi 3.
Einnig má nota summu- og mismunarformúlur sínuss og kósínuss fyrir andhverf hornaföll. Sjá Dæmi 4.
Summuformúla tangens segir að tangens summu tveggja horna sé summa tangensgilda hornanna deild með 1 að frádregnu margfeldi tangensgilda þeirra. Mismunarformúla tangens segir að tangens mismunar tveggja horna sé mismunur tangensgilda hornanna deildur með 1 að viðbættu margfeldi tangensgilda þeirra. Sjá Dæmi 5.
Nota má reglu Pýþagórasar ásamt summu- og mismunarformúlunum til að finna margfaldar summur og mismuni horna. Sjá Dæmi 6.
Samsemdir samsvarandi hornafalla gilda um fyllihorn og pör umhverfra falla. Sjá Dæmi 7.
Summu- og mismunarformúlur nýtast við sannprófun samsemda. Sjá Dæmi 8 og Dæmi 9.
Oft er auðveldara að leysa hagnýt verkefni með summu- og mismunarformúlum. Sjá Dæmi 10 og Dæmi 11.

7.3 Tvöföldunar-, helmingunar- og lækkunarformúlur

Tvöföldunarsamsemdir eru leiddar af summuformúlum grunnhornafallanna sínuss, kósínuss og tangens. Sjá Dæmi 1, Dæmi 2, Dæmi 3 og Dæmi 4.
Lækkunarformúlur eru sérstaklega gagnlegar í stærðfræðigreiningu því með þeim má lækka veldi hornafallaliðarins. Sjá Dæmi 5 og Dæmi 6.
Helmingunarformúlur gera okkur kleift að finna gildi hornafalla af hálfum hornum, hvort sem upprunalega hornið er þekkt eða ekki. Sjá Dæmi 7, Dæmi 8 og Dæmi 9.

7.4 Formúlur sem breyta summu í margfeldi og margfeldi í summu

Af summu- og mismunarsamsemdunum má leiða formúlur sem breyta margfeldi í summu og summu í margfeldi fyrir sínus og kósínus.
Nota má formúlurnar sem breyta margfeldi í summu til að umrita margfeldi sínusgilda, margfeldi kósínusgilda og margfeldi sínuss og kósínuss sem summur eða mismuni sínus- og kósínusgilda. Sjá Dæmi 1, Dæmi 2 og Dæmi 3.
Einnig má leiða samsemdir sem breyta summu í margfeldi af samsemdum sem breyta margfeldi í summu með innsetningu.
Nota má formúlurnar sem breyta summu í margfeldi til að umrita summu eða mismun sínusgilda, kósínusgilda eða margfeldis sínuss og kósínuss sem margfeldi sínus- og kósínusgilda. Sjá Dæmi 4.
Oft er auðveldara að reikna gildi hornafallastæðna með formúlunum. Sjá Dæmi 5.
Sannprófa má samsemdir með öðrum formúlum eða með því að umrita stæðurnar með sínus og kósínus. Við sannprófun samsemdar veljum við flóknari hlið jafnaðarmerkisins og umritum hana þar til hún hefur tekið á sig form hinnar hliðarinnar. Sjá Dæmi 6 og Dæmi 7.

7.5 Lausn hornafallajafna

Við lausn línulegra hornafallajafna getum við beitt algebruaðferðum á sama hátt og við lausn algebrujafna. Leitið að mynstrum, svo sem mismun tveggja ferninga, annars stigs formi eða stæðu sem hentar vel fyrir innsetningu. Sjá Dæmi 1, Dæmi 2 og Dæmi 3.
Jöfnur með einu hornafalli má leysa eða sannprófa með einingarhringnum. Sjá Dæmi 4, Dæmi 5, Dæmi 6 og Dæmi 7.
Einnig getum við leyst hornafallajöfnur með grafískri reiknivél. Sjá Dæmi 8 og Dæmi 9.
Margar jöfnur hafa form annars stigs jöfnu. Með innsetningu má einfalda útlit jöfnunnar og síðan beita sömu aðferðum og við lausn algebrulegrar annars stigs jöfnu, svo sem þáttun og lausnarformúlunni. Sjá Dæmi 10, Dæmi 11, Dæmi 12 og Dæmi 13.
Einnig má nota samsemdirnar til að leysa hornafallajöfnur. Sjá Dæmi 14, Dæmi 15 og Dæmi 16.
Nota má innsetningu til að leysa marghornajöfnu, sem lýsir samþjöppun staðlaðs hornafalls. Taka þarf tillit til samþjöppunarinnar og ganga úr skugga um að allar lausnir á gefna bilinu hafi fundist. Sjá Dæmi 17.
Nota má reglu Pýþagórasar og hornaföll til að líkja eftir og leysa raunveruleg viðfangsefni. Sjá Dæmi 18.

7.6 Líkangerð með hornaföllum

Sínuslaga föll eru sett fram með gröfum sínuss og kósínuss. Af staðalforminu getum við fundið útslag, lotu og láréttar og lóðréttar hliðranir. Sjá Dæmi 1 og Dæmi 2.
Notið lykilpunkta til að teikna graf sínuslaga falls. Lykilpunktarnir fimm fela í sér lággildi, hágildi og gildi miðlínunnar. Sjá Dæmi 3.
Lotubundin föll geta lýst atburðum sem endurtaka sig í föstum lotum, svo sem kvartilaskiptum tunglsins, hreyfingu vísa á klukku og árstíðum ársins. Sjá Dæmi 4, Dæmi 5, Dæmi 6 og Dæmi 7.
Föll sem lýsa sveifluhreyfingu eru ákvörðuð út frá gefnum gögnum. Eins og í dæmum um lotubundna hreyfingu þarf endurheimtarkraft til að sveifluhreyfing verði til. Þyngdarkraftur og fjaðurhreyfing af völdum þunga eru dæmi um slíkt. Sjá Dæmi 8.
Deyfð sveifluhreyfing er lotubundin hegðun sem deyfingarstuðull hefur áhrif á. Orkudreifandi þættir, svo sem núningur, valda því að færsla hlutarins minnkar. Sjá Dæmi 9, Dæmi 10, Dæmi 11, Dæmi 12 og Dæmi 13.
Afmarkandi ferlar marka graf sveifluhreyfingar með breytilegum há- og lággildum. Sjá Dæmi 14.

77 Hornafallasamsemdir og -jöfnur

Meginatriði

7.1 Einföldun og sannprófun hornafallasamsemdar

Setja má hornafallastæðu fram á marga vegu. Sannprófun samsemdanna sýnir hvernig umrita má stæður til að einfalda verkefni.
Með því að teikna gröf beggja hliða samsemdar má sannprófa hana. Sjá Dæmi 1.
Önnur leið til að sannprófa samsemd er að einfalda aðra hlið jöfnunnar þar til hún verður jöfn hinni. Sjá Dæmi 2 og Dæmi 3.
Aðferðin við að sannprófa samsemd ræðst af gerð hennar. Oft er gagnlegt að byrja á flóknari hlið jöfnunnar. Sjá Dæmi 4.
Við getum búið til samsemd með því að einfalda stæðu og sannprófa hana síðan. Sjá Dæmi 5.
Sannprófun samsemdar getur krafist algebrureiknings með grunnsamsemdunum. Sjá Dæmi 6 og Dæmi 7.
Nota má algebruaðferðir til að einfalda hornafallastæður. Þær eru notaðar í allri bókinni enda byggjast þær á grunnreglum stærðfræðinnar. Sjá Dæmi 8, Dæmi 9 og Dæmi 10.

7.2 Summu- og mismunarsamsemdir

Summuformúla kósínuss segir að kósínus summu tveggja horna sé margfeldi kósínusa hornanna að frádregnu margfeldi sínusa þeirra. Mismunarformúla kósínuss segir að kósínus mismunar tveggja horna sé margfeldi kósínusa hornanna að viðbættu margfeldi sínusa þeirra.
Nota má summu- og mismunarformúlurnar til að finna nákvæm gildi sínuss, kósínuss eða tangens horns. Sjá Dæmi 1 og Dæmi 2.
Summuformúla sínuss segir að sínus summu tveggja horna sé margfeldi sínuss fyrra hornsins og kósínuss þess síðara að viðbættu margfeldi kósínuss fyrra hornsins og sínuss þess síðara. Mismunarformúla sínuss segir að sínus mismunar tveggja horna sé margfeldi sínuss fyrra hornsins og kósínuss þess síðara að frádregnu margfeldi kósínuss fyrra hornsins og sínuss þess síðara. Sjá Dæmi 3.
Einnig má nota summu- og mismunarformúlur sínuss og kósínuss fyrir andhverf hornaföll. Sjá Dæmi 4.
Summuformúla tangens segir að tangens summu tveggja horna sé summa tangensgilda hornanna deild með 1 að frádregnu margfeldi tangensgilda þeirra. Mismunarformúla tangens segir að tangens mismunar tveggja horna sé mismunur tangensgilda hornanna deildur með 1 að viðbættu margfeldi tangensgilda þeirra. Sjá Dæmi 5.
Nota má reglu Pýþagórasar ásamt summu- og mismunarformúlunum til að finna margfaldar summur og mismuni horna. Sjá Dæmi 6.
Samsemdir samsvarandi hornafalla gilda um fyllihorn og pör umhverfra falla. Sjá Dæmi 7.
Summu- og mismunarformúlur nýtast við sannprófun samsemda. Sjá Dæmi 8 og Dæmi 9.
Oft er auðveldara að leysa hagnýt verkefni með summu- og mismunarformúlum. Sjá Dæmi 10 og Dæmi 11.

7.3 Tvöföldunar-, helmingunar- og lækkunarformúlur

Tvöföldunarsamsemdir eru leiddar af summuformúlum grunnhornafallanna sínuss, kósínuss og tangens. Sjá Dæmi 1, Dæmi 2, Dæmi 3 og Dæmi 4.
Lækkunarformúlur eru sérstaklega gagnlegar í stærðfræðigreiningu því með þeim má lækka veldi hornafallaliðarins. Sjá Dæmi 5 og Dæmi 6.
Helmingunarformúlur gera okkur kleift að finna gildi hornafalla af hálfum hornum, hvort sem upprunalega hornið er þekkt eða ekki. Sjá Dæmi 7, Dæmi 8 og Dæmi 9.

7.4 Formúlur sem breyta summu í margfeldi og margfeldi í summu

Af summu- og mismunarsamsemdunum má leiða formúlur sem breyta margfeldi í summu og summu í margfeldi fyrir sínus og kósínus.
Nota má formúlurnar sem breyta margfeldi í summu til að umrita margfeldi sínusgilda, margfeldi kósínusgilda og margfeldi sínuss og kósínuss sem summur eða mismuni sínus- og kósínusgilda. Sjá Dæmi 1, Dæmi 2 og Dæmi 3.
Einnig má leiða samsemdir sem breyta summu í margfeldi af samsemdum sem breyta margfeldi í summu með innsetningu.
Nota má formúlurnar sem breyta summu í margfeldi til að umrita summu eða mismun sínusgilda, kósínusgilda eða margfeldis sínuss og kósínuss sem margfeldi sínus- og kósínusgilda. Sjá Dæmi 4.
Oft er auðveldara að reikna gildi hornafallastæðna með formúlunum. Sjá Dæmi 5.
Sannprófa má samsemdir með öðrum formúlum eða með því að umrita stæðurnar með sínus og kósínus. Við sannprófun samsemdar veljum við flóknari hlið jafnaðarmerkisins og umritum hana þar til hún hefur tekið á sig form hinnar hliðarinnar. Sjá Dæmi 6 og Dæmi 7.

7.5 Lausn hornafallajafna

Við lausn línulegra hornafallajafna getum við beitt algebruaðferðum á sama hátt og við lausn algebrujafna. Leitið að mynstrum, svo sem mismun tveggja ferninga, annars stigs formi eða stæðu sem hentar vel fyrir innsetningu. Sjá Dæmi 1, Dæmi 2 og Dæmi 3.
Jöfnur með einu hornafalli má leysa eða sannprófa með einingarhringnum. Sjá Dæmi 4, Dæmi 5, Dæmi 6 og Dæmi 7.
Einnig getum við leyst hornafallajöfnur með grafískri reiknivél. Sjá Dæmi 8 og Dæmi 9.
Margar jöfnur hafa form annars stigs jöfnu. Með innsetningu má einfalda útlit jöfnunnar og síðan beita sömu aðferðum og við lausn algebrulegrar annars stigs jöfnu, svo sem þáttun og lausnarformúlunni. Sjá Dæmi 10, Dæmi 11, Dæmi 12 og Dæmi 13.
Einnig má nota samsemdirnar til að leysa hornafallajöfnur. Sjá Dæmi 14, Dæmi 15 og Dæmi 16.
Nota má innsetningu til að leysa marghornajöfnu, sem lýsir samþjöppun staðlaðs hornafalls. Taka þarf tillit til samþjöppunarinnar og ganga úr skugga um að allar lausnir á gefna bilinu hafi fundist. Sjá Dæmi 17.
Nota má reglu Pýþagórasar og hornaföll til að líkja eftir og leysa raunveruleg viðfangsefni. Sjá Dæmi 18.

7.6 Líkangerð með hornaföllum

Sínuslaga föll eru sett fram með gröfum sínuss og kósínuss. Af staðalforminu getum við fundið útslag, lotu og láréttar og lóðréttar hliðranir. Sjá Dæmi 1 og Dæmi 2.
Notið lykilpunkta til að teikna graf sínuslaga falls. Lykilpunktarnir fimm fela í sér lággildi, hágildi og gildi miðlínunnar. Sjá Dæmi 3.
Lotubundin föll geta lýst atburðum sem endurtaka sig í föstum lotum, svo sem kvartilaskiptum tunglsins, hreyfingu vísa á klukku og árstíðum ársins. Sjá Dæmi 4, Dæmi 5, Dæmi 6 og Dæmi 7.
Föll sem lýsa sveifluhreyfingu eru ákvörðuð út frá gefnum gögnum. Eins og í dæmum um lotubundna hreyfingu þarf endurheimtarkraft til að sveifluhreyfing verði til. Þyngdarkraftur og fjaðurhreyfing af völdum þunga eru dæmi um slíkt. Sjá Dæmi 8.
Deyfð sveifluhreyfing er lotubundin hegðun sem deyfingarstuðull hefur áhrif á. Orkudreifandi þættir, svo sem núningur, valda því að færsla hlutarins minnkar. Sjá Dæmi 9, Dæmi 10, Dæmi 11, Dæmi 12 og Dæmi 13.
Afmarkandi ferlar marka graf sveifluhreyfingar með breytilegum há- og lággildum. Sjá Dæmi 14.