Svör við verkefnum

Kafli 1

1.2 Skilgreiningarmengi og myndmengi

${- 5, 0, 5, 10, 15}$

$(- \infty, \infty)$

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

$[- \frac{5}{2}, \infty)$

ⓐ gildi sem eru minni en eða jöfn –2, eða gildi sem eru stærri en eða jöfn –1 og minni en 3;
ⓑ {𝑥|𝑥≤−2or−1≤𝑥<3} ${x | x \leq - 2 eða - 1 \leq x < 3}$ ;
ⓒ (−∞,−2]∪[−1,3) $(- \infty, - 2] \cup [- 1, 3)$

skilgreiningarmengi =[1950,2002] range = [47,000,000,89,000,000]

skilgreiningarmengi: $(- \infty, 2];$ myndmengi: $(- \infty, 0]$

1.3 Breytingarhraði og hegðun grafa

$\frac{$ 2.84 - $ 2.31}{5 years} = \frac{$ 0.53}{5 years} = $ 0.106$ $ ⁢ 2 . 8 4 − $ ⁢ 2 . 3 1 5 ár = $ ⁢ 0 . 5 3 5 y e a r s = $ ⁢ 0 . 1 0 6 $ ⁢ 2.84 − $ ⁢ 2.31/5 years = $ ⁢ 0.53/5 years = $ ⁢ 0.106 á ári.

$\frac{1}{2}$

$a + 7$

Staðbundna hágildið virðist vera í $(- 1, 28),$ og staðbundna lággildið er í $(5, - 80) .$ Fallið er vaxandi á $(- \infty, - 1) \cup (5, \infty)$ og minnkandi á $(- 1, 5) .$

Graf margliðufalls með staðbundið hágildi í (-1, 28) og staðbundið lággildi í (5, -80).

1.4 Samskeyting falla

$\begin{array}{l} (f g) (x) = f (x) g (x) = (x - 1) (x^{2} - 1) = x^{3} - x^{2} - x + 1 \\ (f - g) (x) = f (x) - g (x) = (x - 1) - (x^{2} - 1) = x - x^{2} \end{array}$

Nei, föllin eru ekki eins.

Þyngdarkraftur er áfram kraftur, svo $a (G (r))$ er merkingarbær sem hröðun reikistjörnu í fjarlægðinni r frá sólu vegna þyngdarkrafts, en $G (a (F))$ er ekki merkingarbær.

$f (g (1)) = f (3) = 3$ og $g (f (4)) = g (1) = 3$

$g (f (2)) = g (5) = 3$

ⓐ 8
ⓑ 20

$[- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Mögulegt svar:

$g (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$
$h (x) = \frac{4}{3 - x}$
$f = h \circ g$

1.5 Ummyndanir falla

b (t) = h (t) + 10 = - 4.9 t^{2} + 30 t + 10

Gröf $f (x)$ og $g (x)$ eru sýnd hér fyrir neðan. Ummyndunin er lárétt hliðrun. Fallinu er hliðrað um 2 einingar til vinstri.

Graf kvaðratrótarfalls og sama falls eftir lárétta hliðrun.

$g (x) = \frac{1}{x - 1} + 1$

ⓐ
𝑔⁡(𝑥)=−𝑓⁡(𝑥) $g (x) = - f (x)$

𝑥 $x$ -2 0 2 4

𝑔⁡(𝑥) $g (x)$ −5 $- 5$ −10 $- 10$ −15 $- 15$ −20 $- 20$

𝑥 x -2 0 2 4
𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) g ⁡ ( x ) − 5 − 5 − 1 0 − 10 − 1 5 − 15 − 2 0 − 20
ⓑ
$h (x) = f (- x)$

$x$ -2 0 2 4

$h (x)$ 15 10 5 óþekkt

𝑥 x -2 0 2 4
ℎ ⁡ ( 𝑥 ) h ⁡ ( x ) 15 10 5 óþekkt

Athugaðu: $g (x) = f (- x)$ lítur eins út og $f (x)$ .

jafnstætt

𝑥 x	2	4	6	8
𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) g ⁡ ( x )	9	12	15	0

10.

$g (x) = 3 x - 2$

11.

$g (x) = f (\frac{1}{3} x)$ 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑓 ⁡ ( 1 3 ⁢ 𝑥 ) , g ⁡ ( x ) = f ⁡ ( 1/3 ⁢ x ) svo með kvaðratrótarfallinu fæst 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) = √ 1 3 ⁢ 𝑥 . g ⁡ ( x ) = 1/3 ⁢ x $g (x) = \sqrt{\frac{1}{3} x}$

1.6 Tölugildisföll

$| x - 2 | \leq 3$

með breytunni $p$ fyrir að standast, $| p - 80 | \leq 20$

$f (x) = - | x + 2 | + 3$

$x = - 1$ eða $x = 2$

$f (0) = 1,$ svo grafið sker lóðrétta ásinn í $(0, 1) .$ $f (x) = 0$ þegar $x = - 5$ og 𝑥 = 1 , $x = 1$ svo grafið sker lárétta ásinn í $(- 5, 0)$ og $(1, 0) .$

$- 8 \leq x \leq 4$

$k \leq 1$ 𝑘 ≤ $k \geq 7;$ 1 k ≤ 1 eða 𝑘 ≥ 7 ; k ≥ 7 ; á bilarithætti er þetta ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 7 , ∞ ) . ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 7 , ∞ ) $(- \infty, 1] \cup [7, \infty)$

1.7 Andhverf föll

$h (2) = 6$

Já

Skilgreiningarmengi fallsins $f^{- 1}$ er $(- \infty, - 2)$ og myndmengi fallsins $f^{- 1}$ er $(1, \infty) .$

$f (60) = 50.$ Á 60 mínútum eru eknar 50 mílur.
$f^{- 1} (60) = 70.$ Það tekur 70 mínútur að aka 60 mílur.

a. 3; b. 5.6

$x = 3 y + 5$

$f^{- 1} (x) = {(2 - x)}^{2};$ $skilgreiningarmengi fyrir f : [0, \infty);$ $skilgreiningarmengi fyrir f^{- 1} : (- \infty, 2]$

1.1 Kaflaverkefni

Vensl eru mengi raðaðra para. Fall er sérstök gerð vensla þar sem engin tvö röðuð pör hafa sama fyrra hnit.

Þegar lóðrétt lína sker graf vensla oftar en einu sinni merkir það að fleiri en eitt úttak samsvarar því inntaki. Til að venslin séu fall má aðeins eitt úttak samsvara hverju tilteknu inntaksgildi.

Þegar lárétt lína sker graf falls oftar en einu sinni merkir það að fleiri en eitt inntak samsvarar því úttaki. Fall er eintækt ef aðeins eitt inntak samsvarar hverju úttaki.

fall

11.

fall

13.

fall

15.

fall

17.

fall

19.

fall

21.

fall

23.

fall

25.

ekki fall

27.

$f (- 3) = - 11;$
$f (2) = - 1;$
$f (- a) = - 2 a - 5;$
$- f (a) = - 2 a + 5;$
$f (a + h) = 2 a + 2 h - 5$

29.

$f (- 3) = \sqrt{5} + 5;$
$f (2) = 5;$
$f (- a) = \sqrt{2 + a} + 5;$
$- f (a) = - \sqrt{2 - a} - 5;$
$f (a + h) = \sqrt{2 - a - h} + 5$

31.

$f (- 3) = 2;$ $f (2) = 1 - 3 = - 2;$
$f (- a) = | - a - 1 | - | - a + 1 |;$
$- f (a) = - | a - 1 | + | a + 1 |;$
$f (a + h) = | a + h - 1 | - | a + h + 1 |$

33.

$\frac{g (x) - g (a)}{x - a} = x + a + 2, x \neq a$

35.

ⓐ 𝑓⁡(−2)=14; $f (- 2) = 14;$
ⓑ 𝑥=3 $x = 3$

37.

ⓐ 𝑓⁡(5)=10; $f (5) = 10;$
ⓑ $x = - 1$ eða $x = 4$

39.

ⓐ 𝑓⁡(𝑡)=6−23⁢𝑡; $f (t) = 6 - \frac{2}{3} t;$
ⓑ 𝑓⁡(−3)=8; $f (- 3) = 8;$
ⓒ 𝑡=6 $t = 6$

41.

ekki fall

43.

fall

45.

fall

47.

fall

49.

fall

51.

fall

53.

ⓐ 𝑓⁡(0)=1; $f (0) = 1;$
ⓑ $f (x) = - 3, x = - 2$ eða $x = 2$

55.

ekki fall og því heldur ekki eintækt fall

57.

eintækt fall

59.

fall, en ekki eintækt

61.

fall

63.

fall

65.

ekki fall

67.

$f (x) = 1, x = 2$

69.

$\begin{matrix} f (- 2) = 14; & f (- 1) = 11; & f (0) = 8; & f (1) = 5; & f (2) = 2 \end{matrix}$

71.

$\begin{matrix} f (- 2) = 4; & f (- 1) = 4.414; & f (0) = 4.732; & f (1) = 5; & f (2) = 5.236 \end{matrix}$

73.

$\begin{matrix} f (- 2) = \frac{1}{9}; & f (- 1) = \frac{1}{3}; & f (0) = 1; & f (1) = 3; & f (2) = 9 \end{matrix}$

75.

77.

$[0, 100]$

79.

$[- 0.001, 0 .001]$

81.

$[- 1, 000, 000, 1,000,000]$

83.

$[0, 10]$

85.

$[−0.1, 0.1]$

87.

$[- 100, 100]$

89.

ⓐ 𝑔⁡(5000)=50; $g (5000) = 50;$
ⓑ Fjöldi rúmyarda af jarðvegi sem þarf fyrir 100 ferfeta garð er 1.

91.

ⓐ Hæð eldflaugar yfir jörðu eftir 1 sekúndu er 200 fet.
ⓑ hæð eldflaugar yfir jörðu eftir 2 sekúndur er 350 fet.

1.2 Kaflaverkefni

Skilgreiningarmengi falls ræðst af því hvaða gildi óháðu breytunnar gera fallið óskilgreint eða gefa tvinntölugildi.

Engin takmörkun er á $x$ fyrir 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 3 √ 𝑥 , $f (x) = \sqrt[3]{x}$ því taka má teningsrót af hvaða rauntölu sem er. Skilgreiningarmengið er því allar rauntölur, $(- \infty, \infty) .$ Þegar unnið er með rauntölur er ekki hægt að taka kvaðratrót af neikvæðum tölum. Gildi $x$ takmarkast því við óneikvæðar tölur fyrir $f (x) = \sqrt[]{x}$ og skilgreiningarmengið er $[0, \infty) .$

Teiknaðu graf hverrar formúlu kaflaskipta fallsins á samsvarandi hluta skilgreiningarmengisins. Notaðu sama kvarða á $x$ -ás og $y$ -ás fyrir hvert graf. Sýndu innifalda endapunkta með fylltum hring og útilokaða endapunkta með opnum hring. Notaðu ör til að tákna $- \infty$ eða $\infty .$ Sameinaðu gröfin til að fá graf kaflaskipta fallsins.

$(- \infty, \infty)$

$(- \infty, 3]$

11.

$(- \infty, \infty)$

13.

$(- \infty, \infty)$

15.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

17.

$(- \infty, - 11) \cup (- 11, 2) \cup (2, \infty)$

19.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 5) \cup (5, \infty)$

21.

$(- \infty, 5)$

23.

$[6, \infty)$

25.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 9) \cup (9, \infty)$

27.

skilgreiningarmengi: $(2, 8],$ myndmengi: $[6, 8)$

29.

skilgreiningarmengi: $[- 4, 4],$ myndmengi: $[0, 2]$

31.

skilgreiningarmengi: $[- 5, 3),$ myndmengi: $[0, 2]$

33.

skilgreiningarmengi: $(- \infty, 1],$ myndmengi: $[0, \infty)$

35.

skilgreiningarmengi: $[- 6, - \frac{1}{6}] \cup [\frac{1}{6}, 6];$ myndmengi: $[- 6, - \frac{1}{6}] \cup [\frac{1}{6}, 6]$

37.

skilgreiningarmengi: $[- 3, \infty);$ myndmengi: $[0, \infty)$

39.

skilgreiningarmengi: $(- \infty, \infty)$

Graf sýnir kaflaskipt fall með stökkósamfelldni við x=1. Fallið er skilgreint með línustriki sem endar í opnum hring í (1,1) og öðru línustriki sem byrjar í fylltum hring í (1,2).

41.

skilgreiningarmengi: $(- \infty, \infty)$

43.

skilgreiningarmengi: $(- \infty, \infty)$

Kaflaskipt graf: fleygbogi sveigist til vinstri frá opnum hring í (0,0) og línustrik liggur til hægri frá fylltum hring í (0,2). Grafið sýnir stökkósamfelldni.

45.

skilgreiningarmengi: $(- \infty, \infty)$

47.

$\begin{matrix} f (- 3) = 1; & f (- 2) = 0; & f (- 1) = 0; & f (0) = 0 \end{matrix}$

49.

$\begin{matrix} f (- 1) = - 4; & f (0) = 6; & f (2) = 20; & f (4) = 34 \end{matrix}$

51.

$\begin{matrix} f (- 1) = - 5; & f (0) = 3; & f (2) = 3; & f (4) = 16 \end{matrix}$

53.

skilgreiningarmengi: $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

55.

gluggi: $[- 0.5, - 0.1];$ myndmengi: $[4, 100]$

gluggi: $[0.1, 0.5];$ myndmengi: $[4, 100]$

57.

$[0, 8]$

59.

Mörg svör koma til greina. Eitt fall er $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} .$

1.3 Kaflaverkefni

Já, meðalbreytingarhraði allra línulegra falla er fastur.

Algilt hágildi og lággildi varða allt grafið en staðbundin útgildi aðeins tiltekið svæði umhverfis opið bil.

$4 (b + 1)$

$4 x + 2 h$

11.

$\frac{- 1}{13 (13 + h)}$

13.

$3 h^{2} + 9 h + 9$

15.

$4 x + 2 h - 3$

17.

$\frac{4}{3}$

19.

vaxandi á $(- \infty, - 2.5) \cup (1, \infty),$ minnkandi á $(- 2.5, 1)$

21.

vaxandi á $(- \infty, 1) \cup (3, 4),$ minnkandi á $(1, 3) \cup (4, \infty)$

23.

staðbundið hágildi: $(- 3, 50),$ staðbundið lággildi: $(3, - 50)$

25.

algilt hágildi um það bil í $(7, 150),$ algilt lággildi um það bil í $(−7.5, −220)$

27.

a. –3000; b. –1250

29.

-4

31.

33.

–0.167

35.

Staðbundið lággildi í $(3, - 22),$ minnkandi á $(- \infty, 3),$ vaxandi á $(3, \infty)$

37.

Staðbundið lággildi í $(- 2, - 2),$ minnkandi á $(- 3, - 2),$ vaxandi á $(- 2, \infty)$

39.

Staðbundið hágildi í $(- 0.39, 5.98),$ staðbundin lággildi í $(- 3.15, - 47.62)$ og $(2.04, - 32.04),$ minnkandi á $(- \infty, - 3.15) \cup (- 0.39, 2.04),$ vaxandi á $(- 3.15, - 0.39) \cup (2.04, \infty)$

41.

43.

$b = 5$

45.

2.7 gallon á mínútu

47.

um það bil –0.6 milligrömm á dag

1.4 Kaflaverkefni

Finndu tölurnar sem gera fallið $g$ í nefnaranum jafnt núlli og athugaðu hvort aðrar takmarkanir séu á skilgreiningarmengjum $f$ og $g,$ svo sem rót með slétta vísitölu eða núll í nefnara.

Já. Dæmi um svar: Látum 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 og 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑥 − 1 . $f (x) = x + 1 og g (x) = x - 1.$ Þá er $f (g (x)) = f (x - 1) = (x - 1) + 1 = x$ og $g (f (x)) = g (x + 1) = (x + 1) - 1 = x .$ Því er $f \circ g = g \circ f .$

$(f + g) (x) = 2 x + 6,$ skilgreiningarmengi: $(- \infty, \infty)$

$(f - g) (x) = 2 x^{2} + 2 x - 6,$ skilgreiningarmengi: $(- \infty, \infty)$

$(f g) (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x,$ skilgreiningarmengi: $(- \infty, \infty)$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{6 - x^{2}},$ skilgreiningarmengi: $(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

$(f + g) (x) = \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} + 1}{2 x},$ skilgreiningarmengi: $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

$(f - g) (x) = \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 1}{2 x},$ skilgreiningarmengi: $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

$(f g) (x) = x + 2,$ skilgreiningarmengi: $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

$(\frac{f}{g}) (x) = 4 x^{3} + 8 x^{2},$ skilgreiningarmengi: $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

$(f + g) (x) = 3 x^{2} + \sqrt{x - 5},$ skilgreiningarmengi: $[5, \infty)$

$(f - g) (x) = 3 x^{2} - \sqrt{x - 5},$ skilgreiningarmengi: $[5, \infty)$

$(f g) (x) = 3 x^{2} \sqrt{x - 5},$ skilgreiningarmengi: $[5, \infty)$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x - 5}},$ skilgreiningarmengi: $(5, \infty)$

11.

ⓐ 3
ⓑ 𝑓⁡(𝑔⁡(𝑥))=2⁢(3⁢𝑥−5)₂+1; $f (g (x)) = 2 {(3 x - 5)}^{2} + 1;$
ⓒ 𝑔⁡(𝑓)(𝑥))=6⁢𝑥2−2; $g (f) (x)) = 6 x^{2} - 2;$
ⓓ (𝑔∘𝑔)⁡(𝑥)=3⁢(3⁢𝑥−5)−5=9⁢𝑥−20; $(g \circ g) (x) = 3 (3 x - 5) - 5 = 9 x - 20;$
ⓔ (𝑓∘𝑓)⁡(−2)=163 $(f \circ f) (- 2) = 163$

13.

$f (g (x)) = \sqrt{x^{2} + 3} + 2, g (f (x)) = x + 4 \sqrt{x} + 7$

15.

$f (g (x)) = \sqrt[3]{\frac{x + 1}{x^{3}}} = \frac{\sqrt[3]{x + 1}}{x}, g (f (x)) = \frac{\sqrt[3]{x} + 1}{x}$

17.

$(f \circ g) (x) = \frac{1}{\frac{2}{x} + 4 - 4} = \frac{x}{2}, (g \circ f) (x) = 2 x - 4$

19.

$f (g (h (x))) = {(\frac{1}{x + 3})}^{2} + 1$

21.

ⓐ Texti $(g \circ f) (x) = - \frac{3}{\sqrt{2 - 4 x}};$
ⓑ(−∞,12) $(- \infty, \frac{1}{2})$

23.

ⓐ (0,2)∪(2,∞); $(0, 2) \cup (2, \infty);$
ⓑ (−∞,−2)∪(2,∞); $(- \infty, - 2) \cup (2, \infty);$ c. (0,∞) $(0, \infty)$

25.

$(1, \infty)$

27.

dæmi: 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑥 , 3 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑥 − 5 $\begin{array}{l} f (x) = x^{3} \\ g (x) = x - 5 \end{array}$

29.

sample: $\begin{array}{l} f (x) = \frac{4}{x} \\ g (x) = {(x + 2)}^{2} \end{array}$

31.

sample: $\begin{array}{l} f (x) = \sqrt[3]{x} \\ g (x) = \frac{1}{2 x - 3} \end{array}$

33.

sample: $\begin{array}{l} f (x) = \sqrt[4]{x} \\ g (x) = \frac{3 x - 2}{x + 5} \end{array}$

35.

sample: $f (x) = \sqrt{x}$
$g (x) = 2 x + 6$

37.

sample: $f (x) = \sqrt[3]{x}$
$g (x) = (x - 1)$

39.

sample: $f (x) = x^{3}$
$g (x) = \frac{1}{x - 2}$

41.

sample: $f (x) = \sqrt{x}$
$g (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 4}$

43.

45.

47.

49.

51.

53.

55.

57.

59.

61.

63.

65.

67.

69.

71.

73.

$f (g (0)) = 27, g (f (0)) = - 94$

75.

$f (g (0)) = \frac{1}{5}, g (f (0)) = 5$

77.

$18 x^{2} + 60 x + 51$

79.

$g \circ g (x) = 9 x + 20$

81.

83.

$(- \infty, \infty)$

85.

Ósatt

87.

$(f \circ g) (6) = 6$ ; $(g \circ f) (6) = 6$

89.

$(f \circ g) (11) = 11, (g \circ f) (11) = 11$

91.

93.

$A (t) = π {(25 \sqrt{t + 2})}^{2}$ og $A (2) = π {(25 \sqrt{4})}^{2} = 2500 π$ fertommur

95.

$A (5) = π {(2 (5) + 1)}^{2} = 121 π$ square units

97.

ⓐ 𝑁⁡(𝑇⁡(𝑡))=23⁢(5⁢𝑡+1.5)₂−56⁢(5⁢𝑡+1.5)+1; $N (T (t)) = 23 {(5 t + 1.5)}^{2} - 56 (5 t + 1.5) + 1;$
ⓑ 3.38 klukkustundir

1.5 Kaflaverkefni

Lárétt hliðrun verður þegar fasta er bætt við inntakið eða hún dregin frá því. Lóðrétt hliðrun verður þegar fasta er bætt við úttakið eða hún dregin frá því.

Lárétt samþjöppun verður þegar inntakið er margfaldað með fasta stærri en 1. Lóðrétt samþjöppun verður þegar úttakið er margfaldað með fasta milli 0 og 1.

Fyrir fall 𝑓 $f,$ skaltu setja $(- x)$ í stað $(x)$ í $f (x) .$ Einfaldaðu. Ef fallið sem fæst er sama fall og upphaflega fallið, $f (- x) = f (x),$ er fallið jafnstætt. Ef fallið sem fæst er neikvæða upphaflega fallið, $f (- x) = - f (x),$ er upphaflega fallið oddstætt. Ef fallið er hvorki það sama né neikvæða þess er það hvorki jafnstætt né oddstætt.

$g (x) = | x - 1 | - 3$

$g (x) = \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} + 2$

11.

Graf 𝑓 ⁡ ( 𝑥 $f (x + 43)$ + 4 3 ) f ⁡ ( x + 43 ) fæst með því að hliðra grafi 𝑓 f . um 43 einingar til vinstri. $f .$

13.

Graf 𝑓 ⁡ ( 𝑥 $f (x - 4)$ − 4 ) f ⁡ ( x - 4 ) fæst með því að hliðra grafi 𝑓 f . um 4 einingar til hægri. $f .$

15.

Graf 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) $f (x) + 8$ + 8 f ⁡ ( x ) + 8 fæst með því að hliðra grafi 𝑓 f . um 8 einingar upp. $f .$

17.

Graf 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) $f (x) - 7$ − 7 f ⁡ ( x ) − 7 fæst með því að hliðra grafi 𝑓 f . um 7 einingar niður. $f .$

19.

Graf 𝑓 ⁡ ( $f (x + 4) - 1$ 𝑥 + 4 ) − 1 f ⁡ ( x + 4 ) − 1 fæst með því að hliðra grafi 𝑓 f . um 4 einingar til vinstri og eina einingu niður. $f .$

21.

minnkandi á $(- \infty, - 3)$ og vaxandi á $(- 3, \infty)$

23.

minnkandi á $[0, \infty)$

25.

Graf sýnir vísisfallið h, sem vex frá vinstri til hægri. Það stefnir á láréttu aðfelluna y=-3 fyrir neikvæð x-gildi og vex hratt fyrir jákvæð x-gildi.

27.

29.

31.

$g (x) = f (x - 1), h (x) = f (x) + 1$

33.

$f (x) = | x - 3 | - 2$

35.

$f (x) = \sqrt{x + 3} - 1$

37.

$f (x) = {(x - 2)}^{2}$

39.

$f (x) = | x + 3 | - 2$

41.

$f (x) = - \sqrt{x}$

43.

$f (x) = - {(x + 1)}^{2} + 2$

45.

$f (x) = \sqrt{- x} + 1$

47.

jafnstætt

49.

oddstætt

51.

jafnstætt

53.

Graf 𝑔 $g$ g er lóðrétt spegilmynd grafs 𝑓 f . $x$ um 𝑥 x -ásinn. $f .$

55.

Graf 𝑔 $g$ g er lóðrétt teygja grafs 𝑓 f . með stuðlinum 4. $f .$

57.

Graf 𝑔 g $g$ er lárétt samþjöppun grafs 𝑓 f . með stuðlinum $\frac{1}{5}$ 1 5 1/5. $f .$

59.

Graf 𝑔 $g$ g er lárétt teygja grafs 𝑓 f . með stuðlinum 3. $f .$

61.

Graf 𝑔 g $g$ fæst með því að spegla graf 𝑓 f $y$ . lárétt um 𝑦 y -ásinn og teygja það lóðrétt með stuðlinum 3. $f .$

63.

$g (x) = | - 4 x |$

65.

$g (x) = \frac{1}{3 {(x + 2)}^{2}} - 3$

67.

$g (x) = \frac{1}{2} {(x - 5)}^{2} + 1$

69.

Graf fallsins $f (x) = x^{2}$ er hliðrað um eina einingu til vinstri, teygt lóðrétt með stuðlinum 4 og hliðrað um 5 einingar niður.

71.

Graf $f (x) = | x |$ er teygt lóðrétt með stuðlinum 2, hliðrað lárétt um 4 einingar til hægri, speglað um lárétta ásinn og síðan hliðrað lóðrétt um 3 einingar upp.

73.

Graf fallsins $f (x) = x^{3}$ er þjappað lóðrétt saman með stuðlinum $\frac{1}{2} .$

75.

Grafið er teygt lárétt með stuðlinum 3 og síðan hliðrað lóðrétt um 3 einingar niður.

77.

Graf $f (x) = \sqrt{x}$ er speglað um y-ásinn og síðan hliðrað um 4 einingar til hægri.

79.

81.

1.6 Kaflaverkefni

Einangraðu tölugildisliðinn þannig að jafnan sé á forminu $| A | = B .$ Myndaðu eina jöfnu með því að setja stæðuna innan tölugildismerkjanna, $A,$ jafna stæðunni hinum megin jafnaðarmerkisins, $B .$ Myndaðu aðra jöfnu með því að setja $A$ jafnt neikvæðri stæðunni hinum megin jafnaðarmerkisins, $- B .$ Leystu hvora jöfnu fyrir breytuna.

Graf tölugildisfallsins sker ekki $x$ -ásinn og liggur því annaðhvort allt fyrir ofan eða allt fyrir neðan $x$ -ásinn.

Finndu fyrst markpunktana með því að leysa jöfnuna. Notaðu markpunktana til að mynda möguleg lausnarbil. Veldu prófunargildi á hverju bili til að ákvarða hvaða gildi uppfylla ójöfnuna.

$| x + 4 | = \frac{1}{2}$

$| f (x) - 8 | < 0.03$

11.

${1, 11}$

13.

${- \frac{9}{4}, \frac{13}{4}}$

15.

${\frac{10}{3}, \frac{20}{3}}$

17.

${\frac{11}{5}, \frac{29}{5}}$

19.

${\frac{5}{2}, \frac{7}{2}}$

21.

Engin lausn

23.

${- 57, 27}$

25.

$(0, - 8); (- 6, 0), (4, 0)$

27.

$(0, - 7);$ engir skurðpunktar við $x$ -ás

29.

$(- \infty, - 8) \cup (12, \infty)$

31.

$[\frac{- 4}{3}, 4]$

33.

$(- \infty, - \frac{8}{3}] \cup [6, \infty)$

35.

$(- \infty, - \frac{8}{3}] \cup [16, \infty)$

37.

Graf tölugildisfalls með punkta í (-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, 1) og (3, 2).

39.

Graf tölugildisfalls með punkta í (-2, 3), (-1, 2), (0, 1), (1, 2) og (2, 3).

41.

43.

45.

47.

49.

51.

53.

myndmengi: $[0, 20]$

55.

$x -$ skurðpunktar við 𝑥 - x - ás:

57.

$(- \infty, \infty)$

59.

Ekkert gildi $a$ kemur í veg fyrir að fallið hafi skurðpunkt við $y$ -ás. Tölugildisfallið sker alltaf $y$ -ásinn þegar $x = 0.$

61.

$| p - 0.08 | \leq 0.015$

63.

$| x - 5.0 | \leq 0.01$

1.7 Kaflaverkefni

Til að fall sé eintækt verður aðeins eitt inntak að samsvara hverju úttaki. Ef einhver lárétt lína sker graf falls oftar en einu sinni endurtaka $y$ -gildi sig og fallið er ekki eintækt. Ef engin lárétt lína sker graf fallsins oftar en einu sinni endurtaka engin $y$ -gildi sig og fallið er eintækt.

Já. Til dæmis er $f (x) = \frac{1}{x}$ sitt eigið andhverfa fall.

Fyrir fall 𝑦 = 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) $y = f (x),$ skaltu leysa fyrir $x$ með $y .$ Víxlaðu $x$ og $y .$ Leystu nýju jöfnuna fyrir $y .$ Stæðan fyrir $y$ er andhverfa fallið, $y = f^{- 1} (x) .$

$f^{- 1} (x) = x - 3$

$f^{- 1} (x) = 2 - x$

11.

$f^{- 1} (x) = \frac{- 2 x}{x - 1}$

13.

skilgreiningarmengi $f (x) : [- 7, \infty); f^{- 1} (x) = \sqrt{x} - 7$

15.

skilgreiningarmengi $f (x) : [0, \infty); f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 5}$

16.

ⓐ $f (g (x)) = x$ og $g (f (x)) = x .$
ⓑ Þetta segir okkur að $f$ og $g$ séu andhverf föll

17.

$f (g (x)) = x, g (f (x)) = x$

19.

eintækt

21.

eintækt

23.

ekki eintækt

25.

$3$

27.

$2$

29.

Graf kvaðratrótarfalls og andhverfu þess.

31.

$[2, 10]$

33.

$6$

35.

$- 4$

37.

$0$

39.

$1$

41.

𝑥 x	1	4	7	12	16
𝑓 − 1 ⁡ ( 𝑥 ) f − 1 ⁡ ( x )	3	6	9	13	14

43.

$f^{- 1} (x) = {(1 + x)}^{1 / 3}$

Graf þriðjaveldisfalls og andhverfu þess.

45.

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{9} (x - 32) .$ Þegar Fahrenheit-hitastigið 𝑥 $x,$ er gefið má nota þessa formúlu til að reikna Celsíus-hitastigið.

47.

$t (d) = \frac{d}{50},$ $t (180) = \frac{180}{50} .$ Það tekur bílinn 3.6 klukkustundir að aka 180 mílur.

Yfirlitsverkefni

fall

ekki fall

$f (- 3) = - 27;$ $f (2) = - 2;$ $f (- a) = - 2 a^{2} - 3 a;$
$- f (a) = 2 a^{2} - 3 a;$ $f (a + h) = - 2 a^{2} + 3 a - 4 a h + 3 h - 2 h^{2}$

eintækt

fall

11.

fall

13.

Graf fleygboga sem opnast upp, hefur hvirfilpunkt í (0, -2) og liggur um það bil í gegnum (-1.4, 0) og (1.4, 0). Ferillinn stefnir upp báðum megin.

15.

$2$

17.

$x = - 1.8$ eða 𝑥 = 1 . 8 $or x = 1.8$

19.

$\frac{- 64 + 80 a - 16 a^{2}}{- 1 + a} = - 16 a + 64$

21.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 6) \cup (6, \infty)$

23.

Kaflaskipt línulegt graf með stökkósamfelldni við x = -2. Fallið stefnir á -1 frá vinstri með opnum hring en hefur gildið 1 frá hægri og heldur áfram niður á við.

25.

$31$

27.

vaxandi á $(2, \infty);$ minnkandi á $(- \infty, 2)$

29.

vaxandi á $(- 3, 1);$ fast á $(- \infty, - 3) \cup (1, \infty)$

31.

staðbundið lággildi í $(- 2, - 3);$ staðbundið hágildi í $(1, 3)$

33.

Algilt hágildi: 10

35.

$(f \circ g) (x) = 17 - 18 x; (g \circ f) (x) = - 7 - 18 x$

37.

$(f \circ g) (x) = \sqrt{\frac{1}{x} + 2};$ $(g \circ f) (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$

39.

$(f \circ g) (x) = \frac{1 + x}{1 + 4 x}, x \neq 0, x \neq - \frac{1}{4}$

41.

$(f \circ g) (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, x > 0$

43.

sample: $g (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 4}; f (x) = \sqrt{x}$

45.

47.

49.

51.

V-laga graf sem líkist tölugildisfalli er sýnt í hnitakerfi. Hvirfilpunkturinn er í (2, -24) og grafið sker x-ásinn í (-4, 0) og (8, 0).

53.

55.

$f (x) = | x - 3 |$

57.

jafnstætt

59.

oddstætt

61.

jafnstætt

63.

$f (x) = \frac{1}{2} | x + 2 | + 1$

65.

$f (x) = - 3 | x - 3 | + 3$

67.

Graf sýnir blátt V-laga fall sem er samhverft um x=3 og hefur hvirfilpunkt í (3, 0). Línustrikin tvö stefna niður og liggja í gegnum punktana (0, -3) og (6, -3).

69.

$x = - 22, x = 14$

71.

$(- \frac{5}{3}, 3)$

73.

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 9}{10}$

77.

Fallið er eintækt.

Graf umhverfufallsins y = 1/x sýnir feril í fyrsta og þriðja fjórðungi hnitakerfisins. x- og y-ásarnir eru merktir frá -4 til 4. Ferillinn hefur lóðrétta aðfellu við x=0, y-ásinn, og lárétta aðfellu við y=0, x-ásinn. Í fyrsta fjórðungi byrjar ferillinn hátt við jákvæða y-ásinn, liggur í gegnum (1,1) og stefnir að jákvæða x-ásnum. Í þriðja fjórðungi byrjar ferillinn lágt við neikvæða y-ásinn, liggur í gegnum (-1,-1) og stefnir að neikvæða x-ásnum.

78.

Fallið er ekki eintækt.

Graf sýnir fleygboga sem opnast niður og hefur hvirfilpunkt í upphafspunktinum (0,0). Ferillinn liggur meðal annars í gegnum (-1, -1) og (1, -1) og stefnir niður þegar x fjarlægist 0. x-ásinn er merktur frá -4 til 4 og y-ásinn frá -4 til 4.

79.

$5$

Æfingapróf

Venslin eru fall.

−16

Grafið er fleygbogi og stenst ekki lárétta línuprófið.

$2 a^{2} - a$

$- 2 (a + b) + 1$

11.

$\sqrt{2}$

13.

Graf sýnir feril sem líkist kvaðratrótarfalli, byrjar um það bil í (-6, -1) og stefnir upp og til hægri í gegnum (-5, 0).

15.

$even$

17.

$odd$

19.

$x = - 7$ og $x = 10$

21.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{3}$

23.

$(- \infty, - 1.1) og (1.1, \infty)$

25.

$(1.1, - 0.9)$

27.

$f (2) = 2$

29.

$f (x) = {\begin{matrix} | x | if x \leq 2 \\ 3 if x > 2 \end{matrix}$

31.

$x = 2$

33.

já

35.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 11}{2}$

𝑥 $x$	-2	0	2	4
𝑔⁡(𝑥) $g (x)$	−5 $- 5$	−10 $- 10$	−15 $- 15$	−20 $- 20$

𝑥 x	-2	0	2	4
𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) g ⁡ ( x )	− 5 − 5	− 1 0 − 10	− 1 5 − 15	− 2 0 − 20