Kafli 4

Skilgreiningarmengið er $\left(-\infty ,\infty \right);$ myndmengið er $\left(0,\infty \right);$ láfellan er $y=0.$

Skilgreiningarmengið er $\left(-\infty ,\infty \right);$ myndmengið er $\left(3,\infty \right);$ láfellan er $y=3.$

$x\approx -1.608$

Skilgreiningarmengið er $\left(-\infty ,\infty \right);$ myndmengið er $\left(0,\infty \right);$ láfellan er $y=0.$

Skilgreiningarmengið er $\left(-\infty ,\infty \right);$ myndmengið er $\left(0,\infty \right);$ láfellan er $y=0.$

$f(x)=-\frac{1}{3}{e}^x-2;$ skilgreiningarmengið er $\left(-\infty ,\infty \right);$ myndmengið er $\left(-\infty ,\mathrm{-2}\right);$ láfellan er $y=\mathrm{-2.}$

${\log }_{121}\left(11\right)=\frac{1}{2}$ (recalling that $\sqrt{121}={(121)}^{\frac{1}{2}}=11$ )

${\log }_2\left(\frac{1}{32}\right)=-5$

$\log (1,000,000)=6$

$\log \left(123\right)\approx 2.0899$

Munurinn á stærðunum var um $\mathrm{3.929.}$

$\left(2,\infty \right)$

$\left(5,\infty \right)$

Skilgreiningarmengið er $\left(0,\infty \right),$ myndmengið er ( − ∞ , ∞ ) $\left(-\infty ,\infty \right),$ og lóðfellan er $x=0.$

Skilgreiningarmengið er $\left(-4,\infty \right),$ myndmengið er ( − ∞ , ∞ ) $\left(-\infty ,\infty \right),$ og aðfellan er $x=–4.$

Skilgreiningarmengið er $\left(0,\infty \right),$ myndmengið er ( − ∞ , ∞ ) $\left(-\infty ,\infty \right),$ og lóðfellan er $x=0.$

Skilgreiningarmengið er $\left(0,\infty \right),$ myndmengið er ( − ∞ , ∞ ) $\left(-\infty ,\infty \right),$ og lóðfellan er $x=0.$

Skilgreiningarmengið er $\left(2,\infty \right),$ myndmengið er ( − ∞ , ∞ ) $\left(-\infty ,\infty \right),$ og lóðfellan er $x=2.$

Skilgreiningarmengið er $\left(-\infty ,0\right),$ myndmengið er ( − ∞ , ∞ ) $\left(-\infty ,\infty \right),$ og lóðfellan er $x=0.$

$x\approx 3.049$

$x=1$

$f(x)=2\ln (x+3)-1$

${\log }_{b}2+{\log }_{b}2+{\log }_{b}2+{\log }_{b}k=3{\log }_{b}2+{\log }_{b}k$

${\log }_3\left(x+3\right)-{\log }_3\left(x-1\right)-{\log }_3\left(x-2\right)$

$2\ln x$

$-2\ln (x)$

${\log }_{3}16$

$2\log x+3\log y-4\log z$

$\frac{2}{3}\ln x$

$\frac{1}{2}\ln \left(x-1\right)+\ln \left(2x+1\right)-\ln \left(x+3\right)-\ln \left(x-3\right)$

$\log \left(\frac{3\cdot 5}{4\cdot 6}\right);$ einnig má rita þetta sem $\log \left(\frac{5}{8}\right)$ með því að fullstytta brotið.

$\log \left(\frac{5{\left(x-1\right)}^3\sqrt{x}}{\left(7x-1\right)}\right)$

$\log \frac{x^{12}{\left(x+5\right)}^4}{{\left(2x+3\right)}^4};$ einnig má rita svarið $\log {\left(\frac{x^3\left(x+5\right)}{\left(2x+3\right)}\right)}^4.$

$\frac{\ln 8}{\ln 0.5}$

$\frac{\ln 100}{\ln 5}\approx \frac{4.6051}{1.6094}=2.861$

$x=-2$

$x=-1$

$x=\frac{1}{2}$

$x=\frac{\ln 3}{\ln \left(\frac{2}{3}\right)}$

$t=2\ln \left(\frac{11}{3}\right)$ eða $\ln {\left(\frac{11}{3}\right)}^2$

$t=\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{2}\ln \left(2\right)$

$x=\ln 2$

$x=e^4$

$x=e^5-1$

$x\approx 9.97$

$x=1$ eða $x=-1$

$t=703,800,000\times \frac{\ln (0.8)}{\ln (0.5)}\text{ár }\approx 226,572,993\text{ár}.$

$f(t)=A_0{e}^{-0.0000000087t}$

$f(t)=A_0{e}^{\frac{\ln 2}{3}t}$

Vísisfall. $y=2e^{0.5x}.$

$y=3e^{\left(\ln 0.5\right)x}$

Þegar vextir eru vaxtavæddir verður hlutfall áunninna vaxta af höfuðstólnum hærra en skráðir ársvextir fjárfestingarreikningsins. Skráðu ársvextirnir samsvara því ekki endilega raunverulegum áunnum vöxtum, sem er einmitt merking hugtaksins nafnvextir.

Skóginum er lýst með fallinu $B(t)=82{(1.029)}^t.$

Eftir $t=20$ ár verða $43$ fleiri tré í skógi A en skógi B.

vísisvöxtur; vaxtarstuðullinn 1 . 0 6 $1.06,$ er stærri en $1.$

vísishrörnun; hrörnunarstuðullinn 0 . 9 7 $0.97,$ er milli $0$ og $1.$

$f(x)=2000{(0.1)}^x$

$f(x)={\left(\frac{1}{6}\right)}^{-\frac{3}{5}}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{\frac{x}{5}}\approx 2.93{\left(0.699\right)}^x$

$\$10,250$

$\$13,268.58$

$P=A(t)\cdot {\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{-nt}$

$\$\mathrm{4,572.56}$

$4\%$

samfelldur vöxtur; vaxtarhraðinn er meiri en $0.$

samfelld hrörnun; vaxtarhraðinn er minni en $0.$

$\$669.42$

$f(-1)=-4$

$f(-1)\approx -0.2707$

$f(3)\approx 483.8146$

$y=3\cdot 5^x$

$y\approx 18\cdot {1.025}^x$

$y\approx 0.2\cdot {1.95}^x$

$\text{APY}=\frac{A(t)-a}{a}=\frac{a{\left(1+\frac{r}{365}\right)}^{365(1)}-a}{a}=\frac{a\left[{\left(1+\frac{r}{365}\right)}^{365}-1\right]}{a}={\left(1+\frac{r}{365}\right)}^{365}-1;$ $I(n)={\left(1+\frac{r}{n}\right)}^n-1$

Látum 𝑓 f vera vísishrörnunarfallið 𝑓 ⁡ $f$( 𝑥 ) = 𝑎 ⋅ ( 1 𝑏 ) 𝑥 f ⁡ ( x ) = a ⋅ ( 1/b ) x þar sem 𝑏 > 1 . b > 1. Þá gildir fyrir einhverja tölu 𝑛 > 0 n > 0 , að 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑎 ⋅ ( 1 𝑏 ) 𝑥 = 𝑎 ⁢ ( 𝑏 − 1 ) 𝑥 = 𝑎 ⁢ ( ( 𝑒 𝑛 ) − 1 ) 𝑥 = 𝑎 $f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^x$⁢ ( 𝑒 − 𝑛 ) 𝑥 = 𝑎 ⁢ ( 𝑒 ) − 𝑛 ⁢ 𝑥 . f ⁡ ( x $b>1.$) = a ⋅ ( 1/b ) x = a ⁢ ( b − 1 ) x = a ⁢ ( ( e n ) − 1 ) x = a ⁢ ( e − n ) x = a ⁢ ( e ) − n ⁢ x . $n>0,$ $f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^x=a{\left(b^{-1}\right)}^x=a{\left({\left(e^n\right)}^{-1}\right)}^x=a{\left(e^{-n}\right)}^x=a{\left(e\right)}^{-nx}.$

$47,622$ refur

$1.39\%;$ $\$155,368.09$

$\$35,838.76$

$\$82,247.78;$ $\$449.75$

Aðfella er lína sem graf falls nálgast þegar $x$ vex eða minnkar án marka. Láfella vísisfalls segir til um markgildi fallsgildanna þegar frumbreytan verður annaðhvort mjög stór eða mjög lítil.

$g(x)=4{\left(3\right)}^{-x};$ skurðpunktur við y-ás: $(0,4);$ skilgreiningarmengi: allar rauntölur; myndmengi: allar rauntölur stærri en $0.$

$g(x)=-{10}^x+7;$ skurðpunktur við y-ás: $\left(0,6\right);$ skilgreiningarmengi: allar rauntölur; myndmengi: allar rauntölur minni en $7.$

$g(x)=2{\left(\frac{1}{4}\right)}^x;$ skurðpunktur við y-ás: $\left(0,\text{2}\right);$ skilgreiningarmengi: allar rauntölur; myndmengi: allar rauntölur stærri en $0.$

skurðpunktur við y-ás: $(0,-2)$

Láfella: $h(x)=3;$ skilgreiningarmengi: allar rauntölur; myndmengi: allar rauntölur sem eru stærri en $3.$

Þegar $x\to \infty$ stefnir $f\left(x\right)\to -\infty$ ;
þegar $x\to -\infty$ stefnir $f\left(x\right)\to -1$

Þegar $x\to \infty$ stefnir $f\left(x\right)\to 2$ ;
þegar $x\to -\infty$ stefnir $f\left(x\right)\to \infty$

$f\left(x\right)=4^x-3$

$f(x)=4^{x-5}$

$f\left(x\right)=4^{-x}$

$y=-2^x+3$

$y=-2{\left(3\right)}^x+7$

$g(6)=800+\frac{1}{3}\approx 800.3333$

$h(-7)=-58$

$x\approx -2.953$

$x\approx -0.222$

Graf $G(x)={\left(\frac{1}{b}\right)}^x$ er speglun grafs 𝐹 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑏 𝑥 $F(x)=b^x;$ um y-ásinn. Fyrir sérhverja rauntölu $b>0$ og fallið 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑏 𝑥 $f(x)=b^x,$ er graf ${\left(\frac{1}{b}\right)}^x$ speglun um y-ásinn, $F(-x).$

Gröf $g(x)$ og $h(x)$ eru eins og fást með láréttri hliðrun grafs 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) $f(x);$ til hægri. Fyrir sérhverja rauntölu n, rauntölu 𝑏 > 0 $b>0,$ og fallið 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑏 𝑥 $f(x)=b^x,$ er graf $\left(\frac{1}{b^n}\right)b^x$ lárétta hliðrunin $f(x-n).$

Logri er veldisvísir. Nánar tiltekið er hann veldisvísirinn sem grunnur $b$ er hafinn í til að fá tiltekið gildi. Í gefnu stæðunum hefur grunnurinn $b$ sama gildi. Veldisvísinn 𝑦 $y,$ í stæðunni $b^y$ má einnig rita sem logrann l o g 𝑏 ⁡ 𝑥 ${\log }_{b}x,$ og gildi $x$ fæst þegar $b$ er hafið í veldið $y.$

Þar sem lograjafna jafngildir vísisjöfnu má breyta henni í vísisjöfnuna 𝑏 𝑦 = 𝑥 $b^y=x,$ og nota síðan veldareglur til að einangra $x.$

Náttúrulegi logrinn er sértilvik logra með grunn $b$ þar sem grunnur náttúrulega logranns er alltaf $e.$ Í stað þess að tákna náttúrulega logrann með l o g 𝑒 ⁡ ( 𝑥 ) ${\log }_e\left(x\right),$ er notuð táknunin $\ln \left(x\right).$

$a^c=b$

$x^y=64$

${15}^b=a$

${13}^a=142$

$e^n=w$

${\text{log}}_c(k)=d$

${\log }_{19}y=x$

${\log }_n\left(103\right)=4$

${\log }_y\left(\frac{39}{100}\right)=x$

$\text{ln}(h)=k$

$x=2^{-3}=\frac{1}{8}$

$x=3^3=27$

$x=9^{\frac{1}{2}}=3$

$x=6^{-3}=\frac{1}{216}$

$x=e^2$

$32$

$1.06$

$14.125$

$\frac{1}{2}$

$4$

$-\text{3}$

$-12$

$0$

$10$

$\text{2}.\text{7}0\text{8}$

$0.151$

Nei, fallið hefur ekkert skilgreint gildi fyrir $x=0.$ Til staðfestingar skulum við gera ráð fyrir að $x=0$ sé í skilgreiningarmengi fallsins $f(x)=\log (x).$ Þá er til tala $n$ þannig að $n=\log (0).$ Umritun sem vísisjafna gefur 1 0 𝑛 = 0 ${10}^n=0,$ sem er ómögulegt þar sem engin slík rauntala $n$ er til. Því er $x=0$ ekki í skilgreiningarmengi fallsins $f(x)=\log (x).$

Já. Gerum ráð fyrir að til sé rauntala $x$ þannig að $\ln x=2.$ Umritun sem vísisjafna gefur 𝑥 = 𝑒 2 $x=e^2,$ sem er rauntala. Til staðfestingar látum við $x=e^2.$ Þá gildir samkvæmt skilgreiningu að $\ln \left(x\right)=\ln \left(e^2\right)=2.$

Nei; l n ⁡ ( 1 ) = 0 $\ln \left(1\right)=0,$ og því er $\frac{\ln \left(e^{1.725}\right)}{\ln \left(1\right)}$ óskilgreint.

$2$

Þar sem föllin eru andhverfur hvort annars eru gröf þeirra spegilmyndir um línuna $y=x.$ Fyrir sérhvern punkt $(a,b)$ á grafi lografalls er því samsvarandi punktur $(b,a)$ á grafi andhverfa vísisfallsins.

Skilgreiningarmengi: $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right);$ myndmengi: $\left(-\infty ,\infty \right)$

Skilgreiningarmengi: $\left(-\frac{17}{4},\infty \right);$ myndmengi: $\left(-\infty ,\infty \right)$

Skilgreiningarmengi: $\left(5,\infty \right);$ lóðfella: $x=5$

Skilgreiningarmengi: $\left(-\frac{1}{3},\infty \right);$ lóðfella: $x=-\frac{1}{3}$

Skilgreiningarmengi: $\left(-3,\infty \right);$ lóðfella: $x=-3$

Skilgreiningarmengi: $\left(\frac{3}{7},\infty \right)$
; lóðfella: $x=\frac{3}{7}$ ; endahegðun: þegar 𝑥 → ( 3 7 ) + stefnir 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) → − ∞ $x\to {\left(\frac{3}{7}\right)}^{+},f(x)\to -\infty$ og þegar 𝑥 → ∞ stefnir 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) → ∞ $x\to \infty ,f(x)\to \infty$

Skilgreiningarmengi: $\left(-3,\infty \right)$ ; lóðfella: $x=-3$
; endahegðun: þegar $x\to -3^{+}$ stefnir $f(x)\to -\infty$ og þegar $x\to \infty$ stefnir $f(x)\to \infty$

Skilgreiningarmengi: $\left(1,\infty \right);$ myndmengi: $\left(-\infty ,\infty \right);$ lóðfella: $x=1;$ skurðpunktur við x-ás: $\left(\frac{5}{4},0\right);$ enginn skurðpunktur við y-ás

Skilgreiningarmengi: $\left(-\infty ,0\right);$ myndmengi: $\left(-\infty ,\infty \right);$ lóðfella: $x=0;$ skurðpunktur við x-ás: $\left(-e^2,0\right);$ enginn skurðpunktur við y-ás

Skilgreiningarmengi: $\left(0,\infty \right);$ myndmengi: $\left(-\infty ,\infty \right);$ lóðfella: $x=0;$ skurðpunktur við x-ás: $\left(e^3,0\right);$ enginn skurðpunktur við y-ás

$f(x)={\log }_2(-(x-1))$

$f(x)=3{\log }_4(x+2)$

$x=2$

$x\approx \text{2}\text{.303}$

$x\approx -0.472$

Gröf 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = l o g 1 2 ⁡ ( 𝑥 ) f ⁡ ( x $f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x\right)$) = log 1/2 $g(x)=-{\log }_2\left(x\right)$⁡ ( x ) og 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) = − l o g 2 ⁡ ( 𝑥 ) g ⁡ ( x ) = − log 2 ⁡ ( x ) virðast vera eins. Tilgáta: Fyrir sérhvern jákvæðan grunn 𝑏 ≠ 1 b ≠ 1 , gildir l o g 𝑏 ⁡ ( 𝑥 ) = − l o g 1 𝑏 ⁡ ( 𝑥 ) . log b ⁡ ( x ) = − log 1/b ⁡ ( x ) . $b\ne 1,$ ${\log }_b\left(x\right)=-{\log }_{\frac{1}{b}}\left(x\right).$

Munið að viðfang lografalls verður að vera jákvætt. Við ákvarðum því hvar $\frac{x+2}{x-4}>0$ . Á grafi fallsins 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑥 + 2 𝑥 − 4 $f\left(x\right)=\frac{x+2}{x-4},$ sést að grafið liggur ofan x-ássins á bilinu $\left(-\infty ,-2\right)$ og aftur hægra megin við lóðfelluna, það er á $\left(4,\infty \right).$ Skilgreiningarmengið er því $\left(-\infty ,-2\right)\cup \left(4,\infty \right).$

Sérhverja rótarstæðu má umrita sem stæðu með ræðum veldisvísi svo beita megi veldareglunni og auðvelda þannig útreikning logranns. Því gildir ${\log }_b\left(x^{\frac{1}{n}}\right)=\frac{1}{n}{\log }_b(x).$

${\log }_b\left(2\right)+{\log }_b\left(7\right)+{\log }_b\left(x\right)+{\log }_b\left(y\right)$

${\log }_b\left(13\right)-{\log }_b\left(17\right)$

$-k\ln (4)$

$\ln \left(7xy\right)$

${\log }_b(4)$

${\text{log}}_b\left(7\right)$

$15\log (x)+13\log (y)-19\log (z)$

$\frac{3}{2}\log (x)-2\log (y)$

$\frac{8}{3}\log (x)+\frac{14}{3}\log (y)$

$\ln (2x^7)$

$\log \left(\frac{x{z}^3}{\sqrt{y}}\right)$

${\log }_7\left(15\right)=\frac{\ln \left(15\right)}{\ln \left(7\right)}$

${\log }_{11}\left(5\right)=\frac{{\log }_5\left(5\right)}{{\log }_5\left(11\right)}=\frac{1}{b}$

${\log }_{11}\left(\frac{6}{11}\right)=\frac{{\log }_5\left(\frac{6}{11}\right)}{{\log }_5\left(11\right)}=\frac{{\log }_5\left(6\right)-{\log }_5\left(11\right)}{{\log }_5\left(11\right)}=\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1$

$3$

$2.81359$

$0.93913$

$-2.23266$

$x=4;$ samkvæmt kvótareglunni: ${\log }_6\left(x+2\right)-{\log }_6\left(x-3\right)={\log }_6\left(\frac{x+2}{x-3}\right)=1.$

Umritum sem vísisjöfnu og einangrum $x:$

$$\begin{array}{ll}\hfill 6^1& =\frac{x+2}{x-3}\text{(eftir að báðar hliðar eru margfaldaðar með}(x-3)\text{)}\hfill \\ \hfill 6(x-3)& =x+2\text{(dreifireglunni beitt vinstra megin)}\hfill \\ \hfill 6x-18& =x+2\text{(bætum}18\text{við báðar hliðar og drögum}x\text{frá báðum hliðum)}\hfill \\ \hfill 5x& =20\hfill \\ \hfill \text{}x& =4\hfill \end{array}$$

Við prófun sjáum við að ${\log }_6\left(4+2\right)-{\log }_6\left(4-3\right)={\log }_6\left(6\right)-{\log }_6\left(1\right)$ er skilgreint og því er $x=4.$

Látum $b$ og $n$ vera jákvæðar heiltölur stærri en $1.$ Samkvæmt grunnskiptireglunni gildir þá ${\log }_b\left(n\right)=\frac{{\log }_n\left(n\right)}{{\log }_n\left(b\right)}=\frac{1}{{\log }_n\left(b\right)}.$

$x=-\frac{1}{3}$

$n=-1$

$b=\frac{6}{5}$

$x=10$

$p=\log \left(\frac{17}{8}\right)-7$

$k=-\frac{\ln \left(38\right)}{3}$

$x=\frac{\ln \left(\frac{38}{3}\right)-8}{9}$

$x=\ln 12$

$x=\frac{\ln \left(\frac{3}{5}\right)-3}{8}$

$x=\ln \left(3\right)$

${10}^{-2}=\frac{1}{100}$

$n=49$

$k=\frac{1}{36}$

$x=\frac{9-e}{8}$

$n=1$

$x=\pm \frac{10}{3}$

$x=10$

$x=0$

$x=\frac{3}{4}$

$x=9$

$x=\frac{e^2}{3}\approx 2.5$

$x=-5$

$x=\frac{e+10}{4}\approx 3.2$

$x=\frac{11}{5}\approx 2.2$

$x=\frac{101}{11}\approx 9.2$

um $\$27,710.24$

$\frac{\ln (17)}{5}\approx 0.567$

$x=\frac{\log \left(38\right)+5\log \left(3\right)}{4\log \left(3\right)}\approx 2.078$

$x\approx 2.2401$

$x\approx -\text{44655}.\text{7143}$

um $5.83$

$t=\ln \left({\left(\frac{y}{A}\right)}^{\frac{1}{k}}\right)$

$t=\ln \left({\left(\frac{T-T_s}{T_0-T_s}\right)}^{-\frac{1}{k}}\right)$

Stærðargráða er næsta veldi af tíu sem lýsir vísisvexti stærðar. Hún gefur einnig nálgun á staðsetningu á lograskala. Dæmi um svar: Stærðargráður nýtast við samanburð talna sem eru mjög ólíkar að stærð. Massi Satúrnusar er til dæmis 95 sinnum meiri en massi jarðar. Það jafngildir því að segja að massi Satúrnusar sé um ${10}^{\text{2}}$ sinnum, eða 2 stærðargráðum, meiri en massi jarðar.

$f(0)\approx 16.7;$ upphafsmagnið er um 16.7 einingar.

exponential; $f(x)={1.2}^x$

um $1.4$ ár

um $7.3$ ár

$4$ helmingunartímar; $8.18$ mínútur

$\begin{array}{l}M=\frac{2}{3}\log \left(\frac{S}{S_0}\right)\hfill \\ \log \left(\frac{S}{S_0}\right)=\frac{3}{2}M\hfill \\ \frac{S}{S_0}={10}^{\frac{3M}{2}}\hfill \\ S=S_0{10}^{\frac{3M}{2}}\hfill \end{array}$

Látum $y=b^x$ fyrir einhverja rauntölu 𝑏 ≥ 0 $b$ þar sem $b\ne 1.$ Þá gildir:

$\begin{array}{l}\ln (y)=\ln (b^x)\hfill \\ \ln (y)=x\ln (b)\hfill \\ e^{\ln (y)}=e^{x\ln (b)}\hfill \\ y=e^{x\ln (b)}\hfill \end{array}$

$A=125e^{\left(-0.3567t\right)};A\approx 43$ mg

um $60$ dagar

$A(t)=250e^{(-0.00822t)};$ helmingunartími: um $\text{84}$ mínútur

$r\approx -0.0667,$ þannig að hrörnunarhraðinn á klukkustund er um $6.67\%$

$f(t)=1350e^{(0.03466t)};$ after 3 hours: $P(180)\approx 691,200$

$f(t)=256e^{(0.068110t)};$ tvöföldunartími: um $10$ mínútur

um $\text{88}$ mínútur

$T(t)=90e^{(-0.008377t)}+75,$ þar sem $t$ er mælt í mínútum.

um $\text{113}$ mínútur

$\log \left(x\right)=1.5;x\approx 31.623$

MMS-stærð: $5.82$

$N(3)\approx 71$

Skurðpunktur við y-ás á grafi lógistískrar jöfnu samsvarar upphaflegum stofnstærð í stofnlíkaninu.

$P(0)=22$ ; 175

$p\approx 2.67$

skurðpunktur við y-ás: $\left(0,15\right)$

$4$ koi-fiskar

um $6.8$ mánuðir.

$f\left(x\right)=776.682{\left(1.426\right)}^x$

$f\left(x\right)={731.92e}^{-0.3038x}$

When $f\left(x\right)=250,x\approx 3.6$

$y=5.063+1.934\text{log}\left(x\right)$

Þegar $f\left(10\right)\approx 2.3$

When $f\left(x\right)=8,x\approx 0.82$

$f(x)=\frac{25.081}{1+3.182e^{-0.545x}}$

When $f\left(x\right)=68,x\approx 4.9$

$f\left(x\right)=1.034341{\left(1.281204\right)}^x$ ; $g\left(x\right)=4.035510$ ; aðhvarfsferlarnir eru samhverfir um $y=x$ og virðast því vera andhverf föll.

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{\text{ln}(a)-\text{ln}\left(\frac{c}{x}-1\right)}{b}$