Svör við verkefnum

Kafli 9

9.2 Línuleg jöfnuhneppi með þremur breytum

$(1, −1, 1)$

Engin lausn.

Óendanlega margar lausnir af gerðinni $(x, 4 x −11, −5 x + 18) .$

9.3 Ólínuleg jöfnu- og ójöfnuhneppi með tveimur breytum

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ og $(2, 8)$

$(−1, 3)$

${(1, 3), (1, −3), (−1, 3), (−1, −3)}$

Graf sýnir bláa línu og appelsínugulan fleygboga sem skerast í (-1, 0) og (2, 3). Svæðið milli ferlanna frá öðrum skurðpunktinum til hins er skyggt ljósblátt.

9.4 Stofnbrot

$\frac{3}{x −3} - \frac{2}{x −2}$

$\frac{6}{x −1} - \frac{5}{{(x −1)}^{2}}$

$\frac{3}{x −1} + \frac{2 x −4}{x^{2} + 1}$

$\frac{x −2}{x^{2} −2 x + 3} + \frac{2 x + 1}{{(x^{2} −2 x + 3)}^{2}}$

9.5 Fylki og fylkjaaðgerðir

$A + B = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 6 \\ 0 \\ −3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ −4 \end{matrix} \begin{matrix} −2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}]$
$= [\begin{matrix} 2 + 3 \\ 1 + 1 \\ 1 + (−4) \end{matrix} \begin{matrix} 6 + (−2) \\ 0 + 5 \\ −3 + 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ −3 \end{matrix} \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}]$

$−2 B = [\begin{matrix} −8 & −2 \\ −6 & −4 \end{matrix}]$

9.6 Lausn jöfnuhneppa með Gauss-eyðingu

$[\begin{matrix} 4 & −3 \\ 3 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} 11 \\ 4 \end{matrix}]$

$\begin{matrix} x - y + z = 5 \\ 2 x - y + 3 z = 1 \\ y + z = −9 \end{matrix}$

$(2, 1)$

$[\begin{matrix} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{17}{2} \\ 9 \\ 2 \end{matrix}]$

$(1, 1, 1)$

$150,000 við 7%, $750,000 við 8%, $600,000 við 10%

9.7 Lausn jöfnuhneppa með andhverfum fylkjum

\begin{array}{l} A B = [\begin{array}{r} 1 & 4 \\ −1 & −3 \end{array}] \begin{array}{r}  \end{array} [\begin{array}{r} −3 & −4 \\ 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 (−3) + 4 (1) & 1 (−4) + 4 (1) \\ −1 (−3) + −3 (1) & −1 (−4) + −3 (1) \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \\ B A = [\begin{array}{r} −3 & −4 \\ 1 & 1 \end{array}] \begin{array}{r}  \end{array} [\begin{array}{r} 1 & 4 \\ −1 & −3 \end{array}] = [\begin{array}{r} −3 (1) + −4 (−1) & −3 (4) + −4 (−3) \\ 1 (1) + 1 (−1) & 1 (4) + 1 (−3) \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \end{array}

$A^{−1} = [\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ - \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{matrix}]$

$A^{−1} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & −3 \\ 3 & 6 & −5 \end{matrix}]$

$X = [\begin{matrix} 4 \\ 38 \\ 58 \end{matrix}]$

9.8 Lausn jöfnuhneppa með reglu Cramers

$(3, - 7)$

$- 10$

$(- 2, \frac{3}{5}, \frac{12}{5})$

9.1 Kaflaverkefni

Nei, lausnirnar geta verið engar, ein eða óendanlega margar. Skoðaðu gröfin.

Þetta merkir að enginn raunhæfur núllpunktur rekstrar er til. Þegar fyrirtækið hefur framleitt eina einingu er það þegar farið að skila hagnaði.

Leystu með innsetningu, með því að einangra $x$ eða $y$ , með grafískri aðferð eða með samlagningu.

Já

11.

$(−1, 2)$

13.

$(−3, 1)$

15.

$(- \frac{3}{5}, 0)$

17.

Engar lausnir eru til.

19.

$(\frac{72}{5}, \frac{132}{5})$

21.

$(6, −6)$

23.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{10})$

25.

Engar lausnir eru til.

27.

$(- \frac{1}{5}, \frac{2}{3})$

29.

$(x, \frac{x + 3}{2})$

31.

$(−4, 4)$

33.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$

35.

$(\frac{1}{6}, 0)$

37.

$(x, 2 (7 x −6))$

39.

$(- \frac{5}{6}, \frac{4}{3})$

41.

Samkvæmt hneppi með eina lausn

43.

Samkvæmt hneppi með eina lausn

45.

Háð hneppi með óendanlega margar lausnir

47.

$(−3.08, 4.91)$

49.

$(−1.52, 2.29)$

51.

$(\frac{A + B}{2}, \frac{A - B}{2})$

53.

$(\frac{−1}{A - B}, \frac{A}{A - B})$

55.

$(\frac{C E - B F}{B D - A E}, \frac{A F - C D}{B D - A E})$

57.

Reksturinn skilar aldrei hagnaði.

59.

$(1, 250, 100, 000)$

61.

Tölurnar eru 7.5 og 20.5.

63.

24,000

65.

790 nemendur á öðru ári, 805 nemendur á fyrsta ári

67.

56 karlar, 74 konur

69.

10 gallon af 10% solution, 15 gallon af 60% solution

71.

Swan Peak: $750,000, Riverside: $350,000

73.

$12,500 á fyrri reikningnum, $10,500 á þeim síðari.

75.

Háir skór: 45, lágir skór: 15

77.

Óendanlega margar lausnir. Frekari upplýsingar vantar.

9.2 Kaflaverkefni

Nei, lausnirnar geta aðeins verið ein, engar eða óendanlega margar.

Ekki endilega. Lausnirnar gætu verið engar, ein eða óendanlega margar. Til dæmis er $(0, 0, 0)$ ekki lausn hneppisins hér að neðan, en það merkir ekki að hneppið hafi enga lausn.

$\begin{array}{l} 2 x + 3 y −6 z = 1 \\ −4 x −6 y + 12 z = −2 \\ x + 2 y + 5 z = 10 \end{array}$

Sérhvert jöfnuhneppi má leysa með grafískri aðferð, innsetningu og samlagningu. Hneppi þriggja jafna verða hins vegar mjög flókin í grafískri lausn og því eru aðrar aðferðir yfirleitt heppilegri.

Nei

Já

11.

$(−1, 4, 2)$

13.

$(- \frac{85}{107}, \frac{312}{107}, \frac{191}{107})$

15.

$(1, \frac{1}{2}, 0)$

17.

$(4, −6, 1)$

19.

$(x, \frac{1}{27} (65 −16 x), \frac{x + 28}{27})$

21.

$(- \frac{45}{13}, \frac{17}{13}, −2)$

23.

Engar lausnir eru til

25.

$(0, 0, 0)$

27.

$(\frac{4}{7}, - \frac{1}{7}, - \frac{3}{7})$

29.

$(7, 20, 16)$

31.

$(−6, 2, 1)$

33.

$(5, 12, 15)$

35.

$(−5, −5, −5)$

37.

$(10, 10, 10)$

39.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{4}{5})$

41.

$(\frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5})$

43.

$(2, 0, 0)$

45.

$(1, 1, 1)$

47.

$(\frac{128}{557}, \frac{23}{557}, \frac{28}{557})$

49.

$(6, −1, 0)$

51.

24, 36, 48

53.

70 afar og ömmur, 140 foreldrar, 190 börn

55.

Þinn hlutur var $19.95, hlutur Shani var $40 og hlutur hins sambýlingsins var $22.05.

57.

Lausnirnar eru óendanlega margar; frekari upplýsingar vantar

59.

500 nemendur, 225 börn og 450 fullorðnir

61.

BMW-bíllinn kostaði $49,636, Jeep-bíllinn $42,636 og Toyota-bíllinn $47,727.

63.

$400,000 á reikningnum sem greiðir 3% interest, $500,000 á reikningnum sem greiðir 4% interest og $100,000 á reikningnum sem greiðir 2% interest.

65.

Bandaríkin notuðu 26.3%, Japan 7.1% og Kína 6.4% af olíu heimsins.

67.

Sádi-Arabía flutti inn 16.8%, Kanada 15.1% og Mexíkó 15.0%

69.

Fuglar voru 19.3%, fiskar 18.6% og spendýr 17.1% af tegunda í útrýmingarhættu

9.3 Kaflaverkefni

Ólínulegt hneppi gæti táknað tvo hringi sem skarast í tveimur punktum og gefa því tvær lausnir. Það gæti einnig táknað fleygboga og hring þar sem oddpunktur fleygbogans liggur á hringnum og báðar greinar hans skera hringinn; þá eru lausnirnar þrjár.

Nei. Leyfilegt svæði þarf ekki að vera til. Skoðaðu hneppi sem afmarkast af tveimur samsíða línum. Önnur ójafnan táknar svæðið ofan við efri línuna og hin svæðið neðan við neðri línuna. Enginn punktur plansins liggur þá á báðum svæðunum og því er ekkert leyfilegt svæði til.

Veldu tölu milli sérhverra tveggja lausna og settu hana inn í $C (x)$ og $R (x) .$ Ef $C (x) < R (x),$ fæst hagnaður.

$(0, −3), (3, 0)$

$(- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}), (\frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2})$

11.

$(−3, 0), (3, 0)$

13.

$(\frac{1}{4}, - \frac{\sqrt{62}}{8}), (\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{62}}{8})$

15.

$(- \frac{\sqrt{398}}{4}, \frac{199}{4}), (\frac{\sqrt{398}}{4}, \frac{199}{4})$

17.

$(0, 2), (1, 3)$

19.

$(- \sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{5} −1)}, \frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})), (\sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{5} −1)}, \frac{1}{2} (1 - \sqrt{5}))$

21.

$(5, 0)$

23.

$(0, 0)$

25.

$(3, 0)$

27.

Engar lausnir eru til

29.

Engar lausnir eru til

31.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

33.

$(2, 0)$

35.

$(- \sqrt{7}, −3), (- \sqrt{7}, 3), (\sqrt{7}, −3), (\sqrt{7}, 3)$

37.

$(- \sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{73} −5)}, \frac{1}{2} (7 - \sqrt{73})), (\sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{73} −5)}, \frac{1}{2} (7 - \sqrt{73}))$

39.

Graf sýnir fleygboga sem opnast niður, er samhverfur um y-ásinn og hefur oddpunkt í (0, 9). Fleygboginn sker x-ásinn við x = -3 og x = 3. Svæðið undir fleygboganum er skyggt ljósblátt niður að y = -10. x-ásinn er merktur frá -5 til 5 og y-ásinn frá -10 til 10.

41.

$Hnitakerfi með x-ás frá -5 til 2 og y-ás frá -6 til 2. Ljósblátt skyggt svæði afmarkast af strikalínu. Svæðið er skilgreint með tveimur merktum punktum, efri punkti við $(\sqrt{2}-1, 2(\sqrt{2}-1))$ og neðri punkti við $(-1-\sqrt{2}, -2(1+\sqrt{2}))$. Það liggur frá neðri vinstri hluta til efri hægri hluta og líkist ílöngum, bognum fleti.$

43.

Graf í kartesísku hnitakerfi sýnir tvö linsulaga skyggð svæði sem eru samhverf um y-ásinn. Vinstra svæðið liggur milli x=-2 og x=-5 og hægra svæðið milli x=2 og x=5. Fjórir punktar eru merktir.

45.

Graf í hnitakerfi sýnir x-ás og y-ás. Svæðið milli tveggja greina breiðboga er skyggt ljósblátt. Breiðboginn opnast upp og niður og skyggða svæðið líkist stundaglasi. Oddpunktar breiðbogans eru (sqrt(19/10), sqrt(47/10)), (-sqrt(19/10), sqrt(47/10)), (sqrt(19/10), -sqrt(47/10)) og (-sqrt(19/10), -sqrt(47/10)). Mörk skyggða svæðisins eru sýnd með strikalínum sem merkir að mörkin sjálf tilheyra ekki svæðinu.

47.

Graf sýnir tvo ferla og skyggt svæði í xy-hnitakerfi. Appelsínugulur ferill hækkar í gegnum (0,1). Blár ferill lækkar í gegnum (1,0). Rétthyrningur í fjórða fjórðungi er skyggður frá x=0 til x=3 og frá y=0 til y=-3.

49.

$(−2 \sqrt{\frac{70}{383}}, −2 \sqrt{\frac{35}{29}}), (−2 \sqrt{\frac{70}{383}}, 2 \sqrt{\frac{35}{29}}), (2 \sqrt{\frac{70}{383}}, −2 \sqrt{\frac{35}{29}}), (2 \sqrt{\frac{70}{383}}, 2 \sqrt{\frac{35}{29}})$

51.

Engin lausn er til

53.

$x = 0, y > 0$ og $0 < x < 1, \sqrt{x} < y < \frac{1}{x}$

55.

12, 288

57.

2–20 tölvur

9.4 Kaflaverkefni

Nei, ræðu falli verður aðeins liðað í stofnbrot ef hægt er að þátta nefnarann. Til dæmis er ekki hægt að liða $\frac{1}{x^{2} + 1}$ þar sem nefnarinn verður ekki þáttaður.

Teiknaðu gröf beggja hliða og staðfestu að þær séu jafnar.

Ef við veljum $x = −1,$ hverfur B-liðurinn og við sjáum strax að $A = 3.$ Að öðrum kosti gætum við sett inn $x = - \frac{5}{3}$ og fengið B-gildið $−2.$

$\frac{8}{x + 3} - \frac{5}{x −8}$

$\frac{1}{x + 5} + \frac{9}{x + 2}$

11.

$\frac{3}{5 x −2} + \frac{4}{4 x −1}$

13.

$\frac{5}{2 (x + 3)} + \frac{5}{2 (x −3)}$

15.

$\frac{3}{x + 2} + \frac{3}{x −2}$

17.

$\frac{9}{5 (x + 2)} + \frac{11}{5 (x −3)}$

19.

$\frac{8}{x −3} - \frac{5}{x −2}$

21.

$\frac{1}{x −2} + \frac{2}{{(x −2)}^{2}}$

23.

$- \frac{6}{4 x + 5} + \frac{3}{{(4 x + 5)}^{2}}$

25.

$- \frac{1}{x −7} - \frac{2}{{(x −7)}^{2}}$

27.

$\frac{4}{x} - \frac{3}{2 (x + 1)} + \frac{7}{2 {(x + 1)}^{2}}$

29.

$\frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{3}{3 x + 2} + \frac{7}{2 {(3 x + 2)}^{2}}$

31.

$\frac{x + 1}{x^{2} + x + 3} + \frac{3}{x + 2}$

33.

$\frac{4 −3 x}{x^{2} + 3 x + 8} + \frac{1}{x −1}$

35.

$\frac{2 x −1}{x^{2} + 6 x + 1} + \frac{2}{x + 3}$

37.

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{4}{x −1}$

39.

$\frac{2}{x^{2} −3 x + 9} + \frac{3}{x + 3}$

41.

$- \frac{1}{4 x^{2} + 6 x + 9} + \frac{1}{2 x −3}$

43.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} - \frac{4 x}{x^{2} −6 x + 36}$

45.

$\frac{x + 6}{x^{2} + 1} + \frac{4 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

47.

$\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{2 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

49.

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 25} - \frac{3 x}{{(x^{2} + 3 x + 25)}^{2}}$

51.

$\frac{1}{8 x} - \frac{x}{8 (x^{2} + 4)} + \frac{10 - x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

53.

$- \frac{16}{x} - \frac{9}{x^{2}} + \frac{16}{x −1} - \frac{7}{{(x −1)}^{2}}$

55.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{5}{{(x + 1)}^{3}}$

57.

$\frac{5}{x −2} - \frac{3}{10 (x + 2)} + \frac{7}{x + 8} - \frac{7}{10 (x −8)}$

59.

$- \frac{5}{4 x} - \frac{5}{2 (x + 2)} + \frac{11}{2 (x + 4)} + \frac{5}{4 (x + 4)}$

9.5 Kaflaverkefni

Nei, fylkin verða að vera jafnstór. Dæmi eru tvö fylki af ólíkri stærð. Ekki er hægt að leggja saman eftirfarandi fylki þar sem hið fyrra er $2 \times 2$ fylki og hið síðara $2 \times 3$ fylki. Summan $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}]$ er ekki skilgreind.

Já, ef stærð $A$ er $m \times n$ og stærð $B$ er 𝑛 $\times ⁠$ 𝑚 $n \times m,$ eru bæði margfeldin skilgreind.

Ekki endilega. Til að finna 𝐴 ⁢ 𝐵 $A B,$ margföldum við fyrstu línu $A$ með fyrsta dálki $B$ og fáum fyrsta stak $A B .$ Til að finna 𝐵 ⁢ 𝐴 $B A,$ margföldum við fyrstu línu $B$ með fyrsta dálki $A$ og fáum fyrsta stak $B A .$ Ef þessi stök eru ekki jöfn er fylkjamargföldun því ekki víxlin.

$[\begin{matrix} 11 & 19 \\ 15 & 94 \\ 17 & 67 \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} −4 & 2 \\ 8 & 1 \end{matrix}]$

11.

Óskilgreint; stærðirnar passa ekki saman

13.

$[\begin{matrix} 9 & 27 \\ 63 & 36 \\ 0 & 192 \end{matrix}]$

15.

$[\begin{matrix} −64 & −12 & −28 & −72 \\ −360 & −20 & −12 & −116 \end{matrix}]$

17.

$[\begin{matrix} 1, 800 & 1, 200 & 1, 300 \\ 800 & 1, 400 & 600 \\ 700 & 400 & 2, 100 \end{matrix}]$

19.

$[\begin{matrix} 20 & 102 \\ 28 & 28 \end{matrix}]$

21.

$[\begin{matrix} 60 & 41 & 2 \\ −16 & 120 & −216 \end{matrix}]$

23.

$[\begin{matrix} −68 & 24 & 136 \\ −54 & −12 & 64 \\ −57 & 30 & 128 \end{matrix}]$

25.

Óskilgreint; stærðirnar passa ekki saman.

27.

$[\begin{matrix} −8 & 41 & −3 \\ 40 & −15 & −14 \\ 4 & 27 & 42 \end{matrix}]$

29.

$[\begin{matrix} −840 & 650 & −530 \\ 330 & 360 & 250 \\ −10 & 900 & 110 \end{matrix}]$

31.

$[\begin{matrix} −350 & 1, 050 \\ 350 & 350 \end{matrix}]$

33.

Óskilgreint; innri stærðirnar passa ekki saman.

35.

$[\begin{matrix} 1, 400 & 700 \\ −1, 400 & 700 \end{matrix}]$

37.

$[\begin{matrix} 332, 500 & 927, 500 \\ −227, 500 & 87, 500 \end{matrix}]$

39.

$[\begin{matrix} 490, 000 & 0 \\ 0 & 490, 000 \end{matrix}]$

41.

$[\begin{matrix} −2 & 3 & 4 \\ −7 & 9 & −7 \end{matrix}]$

43.

$[\begin{matrix} −4 & 29 & 21 \\ −27 & −3 & 1 \end{matrix}]$

45.

$[\begin{matrix} −3 & −2 & −2 \\ −28 & 59 & 46 \\ −4 & 16 & 7 \end{matrix}]$

47.

$[\begin{matrix} 1 & −18 & −9 \\ −198 & 505 & 369 \\ −72 & 126 & 91 \end{matrix}]$

49.

$[\begin{matrix} 0 & 1.6 \\ 9 & −1 \end{matrix}]$

51.

$[\begin{matrix} 2 & 24 & −4.5 \\ 12 & 32 & −9 \\ −8 & 64 & 61 \end{matrix}]$

53.

$[\begin{matrix} 0.5 & 3 & 0.5 \\ 2 & 1 & 2 \\ 10 & 7 & 10 \end{matrix}]$

55.

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

57.

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

59.

$B^{n} = {\begin{cases} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}], n even, \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}], n odd . \end{cases}$

9.6 Kaflaverkefni

Já. Stuðlar breytanna í hverri jöfnu eru ritaðir þvert yfir samsvarandi línu, síðan er dregið lóðrétt strik og fastarnir ritaðir hægra megin við það.

Nei, margar réttar leiðir eru til að beita línuaðgerðum á fylki. Tvær mögulegar leiðir eru: (1) Víxlaðu línum 1 og 2. Þá er $R_{2} = R_{2} −9 R_{1} .$ (2) $R_{2} = R_{1} −9 R_{2} .$ Deildu síðan línu 1 með 9.

Nei. Fylki með 0 í öllum stökum einnar línu hefur annaðhvort enga lausn eða óendanlega margar lausnir.

$[\begin{array}{r} 0 & 16 \\ 9 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 4 \\ 2 \end{array}]$

$[\begin{array}{r} 1 & 5 & 8 \\ 12 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 9 \end{array} | \begin{array}{r} 19 \\ 4 \\ −7 \end{array}]$

11.

$\begin{array}{l} −2 x + 5 y = 5 \\ 6 x −18 y = 26 \end{array}$

13.

$\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 3 \\ - x −9 y + 4 z = −1 \\ 8 x + 5 y + 7 z = 8 \end{array}$

15.

$\begin{array}{l} 4 x + 5 y −2 z = 12 \\ y + 58 z = 2 \\ 8 x + 7 y −3 z = −5 \end{array}$

17.

Engar lausnir

19.

$(−1, −2)$

21.

$(6, 7)$

23.

$(3, 2)$

25.

$(\frac{1}{5}, \frac{1}{2})$

27.

$(x, \frac{4}{15} (5 x + 1))$

29.

$(3, 4)$

31.

$(\frac{196}{39}, - \frac{5}{13})$

33.

$(31, −42, 87)$

35.

$(\frac{21}{40}, \frac{1}{20}, \frac{9}{8})$

37.

$(\frac{18}{13}, \frac{15}{13}, - \frac{15}{13})$

39.

$(x, y, \frac{1}{2} (1 −2 x −3 y))$

41.

$(x, - \frac{x}{2}, −1)$

43.

$(125, −25, 0)$

45.

$(8, 1, −2)$

47.

$(1, 2, 3)$

49.

$(x, \frac{31}{28} - \frac{3 x}{4}, \frac{1}{28} (−7 x −3))$

51.

Engar lausnir eru til.

53.

860 rauðar flauelskökur, 1,340 súkkulaðikökur

55.

4% fyrir reikningur 1, 6% fyrir reikningur 2

57.

$126

59.

Banana var 3%, grasker var 7% og Rocky Road var 2%

61.

100 möndlur, 200 kasjúhnetur, 600 pistasíuhnetur

9.7 Kaflaverkefni

Ef $A^{−1}$ er andhverfa 𝐴 $A,$ þá er $A A^{−1} = I,$ þar sem 𝐼 er einingarfylkið. Þar sem $A$ er einnig andhverfa 𝐴 − 1 gildir 𝐴 − 1 ⁢ 𝐴 = 𝐼 . $A^{−1}, A^{−1} A = I .$ Einnig má sannreyna þetta fyrir $2 \times 2$ fylki.

Nei, því bæði $a d$ og $b c$ eru 0, svo 𝑎 ⁢ 𝑑 − 𝑏 ⁢ 𝑐 = 0 . $a d - b c = 0,$ Þá þyrftum við að deila með 0 í formúlunni.

Já. Skoðaðu fylkið $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] .$ Andhverfan fæst með eftirfarandi útreikningi: $A^{−1} = \frac{1}{0 (0) −1 (1)} [\begin{matrix} 0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] .$

$A B = B A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = I$

11.

$A B = B A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = I$

13.

$\frac{1}{29} [\begin{matrix} 9 & 2 \\ −1 & 3 \end{matrix}]$

15.

$\frac{1}{69} [\begin{matrix} −2 & 7 \\ 9 & 3 \end{matrix}]$

17.

Engin andhverfa er til

19.

$\frac{4}{7} [\begin{matrix} 0.5 & 1.5 \\ 1 & −0.5 \end{matrix}]$

21.

$\frac{1}{17} [\begin{matrix} −5 & 5 & −3 \\ 20 & −3 & 12 \\ 1 & −1 & 4 \end{matrix}]$

23.

$\frac{1}{209} [\begin{matrix} 47 & −57 & 69 \\ 10 & 19 & −12 \\ −24 & 38 & −13 \end{matrix}]$

25.

$[\begin{matrix} 18 & 60 & −168 \\ −56 & −140 & 448 \\ 40 & 80 & −280 \end{matrix}]$

27.

$(−5, 6)$

29.

$(2, 0)$

31.

$(\frac{1}{3}, - \frac{5}{2})$

33.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{11}{6})$

35.

$(7, \frac{1}{2}, \frac{1}{5})$

37.

$(5, 0, −1)$

39.

$\frac{1}{34} (−35, −97, −154)$

41.

$\frac{1}{690} (65, −1136, −229)$

43.

$(- \frac{37}{30}, \frac{8}{15})$

45.

$(\frac{10}{123}, −1, \frac{2}{5})$

47.

$\frac{1}{2} [\begin{array}{r} 2 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

49.

$\frac{1}{39} [\begin{array}{r} 3 & 2 & 1 & - 7 \\ 18 & - 53 & 32 & 10 \\ 24 & - 36 & 21 & 9 \\ - 9 & 46 & - 16 & - 5 \end{array}]$

51.

$[\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

53.

Óendanlega margar lausnir.

55.

50% oranges, 25% bananas, 20% apples

57.

10 stráhattar, 50 prjónahúfur, 40 kúrekahattar

59.

Micah borðaði 6, Joe 3 og Albert 3.

61.

124 appelsínur, 10 sítrónur, 8 granatepli

9.8 Kaflaverkefni

Ákveða er summa margfelda staka í fylkinu og því er alltaf hægt að reikna hana, jafnvel þótt niðurstaðan verði 0.

Andhverfan er ekki til.

$- 2$

$7$

$- 4$

11.

$0$

13.

$- 7, 990.7$

15.

$3$

17.

$- 1$

19.

$224$

21.

$15$

23.

$- 17.03$

25.

$(1, 1)$

27.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$

29.

$(2, 5)$

31.

$(- 1, - \frac{1}{3})$

33.

$(15, 12)$

35.

$(1, 3, 2)$

37.

$(- 1, 0, 3)$

39.

$(\frac{1}{2}, 1, 2)$

41.

$(2, 1, 4)$

43.

Óendanlega margar lausnir

45.

$24$

47.

$1$

49.

Já; 18, 38

51.

Já; 33, 36, 37

53.

$7,000 á fyrri reikningnum, $3,000 á þeim síðari.

55.

120 börn, 1,080 fullorðinn

57.

4 gallon af gulum lit, 6 gallon af bláum lit

59.

13 grænir tómatar, 17 rauðir tómatar

61.

jarðarber 18%, appelsínur 9%, kíví 10%

63.

100 fyrir kvikmynd 1, 230 fyrir kvikmynd 2, 312 fyrir kvikmynd 3

65.

300 möndlur, 400 trönuber, 300 kasjúhnetur

Upprifjunarverkefni

Nei

$(- 2, 3)$

$(4, - 1)$

Engar lausnir eru til.

$(300, 60, 000)$

11.

Óendanlega margar lausnir

13.

Engar lausnir eru til.

15.

$(- 1, - 2, 3)$

17.

$(x, \frac{8 x}{5}, \frac{14 x}{5})$

19.

11, 17, 33

21.

$(2, - 3), (3, 2)$

23.

Engin lausn

25.

Engin lausn

27.

Hnitakerfi með x- og y-ása frá -5 til 5. Ljósblár skyggður sporbaugur með miðju í upphafspunktinum (0,0) hefur dökkbláan strikaðan jaðar. Hann nær lárétt frá x = -4 til x = 4 og lóðrétt frá y = -2 til y = 2.

29.

Tvívítt graf sýnir x-ás og y-ás. Ljósblátt skyggt svæði afmarkast af tveimur strikalínum. Önnur mörkin eru línustrik milli punktanna (1, 3) og (4, 0). Hin mörkin eru samfelldur ferill sem hefst í (0, 3), liggur um það bil í gegnum (-0.5, 0) og (0, -1) og endar í (6, -2). Svæðið nær yfir alla fjóra fjórðunga.

31.

$\frac{2}{x + 2}, \frac{- 4}{x + 1}$

33.

$\frac{7}{x + 5}, \frac{- 15}{{(x + 5)}^{2}}$

35.

$\frac{3}{x - 5}, \frac{- 4 x + 1}{x^{2} + 5 x + 25}$

37.

$\frac{x - 4}{(x^{2} - 2)}, \frac{5 x + 3}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

39.

$[\begin{matrix} - 16 & 8 \\ - 4 & - 12 \end{matrix}]$

41.

óskilgreint; stærðirnar passa ekki saman

43.

óskilgreint; innri stærðirnar passa ekki saman

45.

$[\begin{matrix} 113 & 28 & 10 \\ 44 & 81 & - 41 \\ 84 & 98 & - 42 \end{matrix}]$

47.

$[\begin{matrix} - 127 & - 74 & 176 \\ - 2 & 11 & 40 \\ 28 & 77 & 38 \end{matrix}]$

49.

óskilgreint; innri stærðirnar passa ekki saman

51.

$\begin{array}{l} x - 3 z = 7 \\ y + 2 z = - 5 \end{array}$ með óendanlega margar lausnir

53.

$[\begin{array}{r} - 2 & 2 & 1 \\ 2 & - 8 & 5 \\ 19 & - 10 & 22 \end{array} | \begin{array}{r} 7 \\ 0 \\ 3 \end{array}]$

55.

$[\begin{array}{r} 1 & 0 & 3 \\ −1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} | \begin{array}{r} 12 \\ 0 \\ −7 \end{array}]$

57.

Engar lausnir eru til.

59.

Engar lausnir eru til.

61.

$\frac{1}{8} [\begin{matrix} 2 & 7 \\ 6 & 1 \end{matrix}]$

63.

Engin andhverfa er til.

65.

$(- 20, 40)$

67.

$(- 1, 0.2, 0.3)$

69.

17% oranges, 34% bananas, 39% apples

71.

73.

75.

$(6, \frac{1}{2})$

77.

(x, 5x + 3)

79.

$(0, 0, - \frac{1}{2})$

Æfingapróf

Já

Engar lausnir eru til.

$\frac{1}{20} (10, 5, 4)$

$(x, \frac{16 x}{5} - \frac{13 x}{5})$

$(- 2 \sqrt{2}, - \sqrt{17}), (- 2 \sqrt{2}, \sqrt{17}), (2 \sqrt{2}, - \sqrt{17}), (2 \sqrt{2}, \sqrt{17})$

11.

Graf sýnir hnitakerfi með x- og y-ása frá -4 til 4. Ljósblátt skyggt svæði táknar lausnamengið. Svæðið liggur utan strikaðs hrings með miðju í upphafspunktinum (0,0) og geislann 2. Hringurinn liggur um punktana (2,0), (0,2), (-2,0) og (0,-2). Skyggða svæðið er einnig ofan við strikaðan fleygboga sem opnast upp og hefur oddpunkt í (0,1). Fleygboginn virðist liggja um það bil í gegnum (-1, 2) og (1, 2).

13.

$\frac{5}{3 x + 1} - \frac{2 x + 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

15.

$[\begin{matrix} 17 & 51 \\ - 8 & 11 \end{matrix}]$

17.

$[\begin{matrix} 12 & - 20 \\ - 15 & 30 \end{matrix}]$

19.

$- \frac{1}{8}$

21.

$[\begin{array}{r} 14 & - 2 & 13 \\ - 2 & 3 & - 6 \\ 1 & - 5 & 12 \end{array} | \begin{array}{r} 140 \\ - 1 \\ 11 \end{array}]$

23.

Engar lausnir eru til.

25.

$(100, 90)$

27.

$(\frac{1}{100}, 0)$

29.

32 eða fleiri farsímar á dag