Svör við verkefnum

Kafli 6

6.2 Gröf hinna hornafallanna

Graf tveggja lota ummyndaðs tangensfalls með aðfellur við x=-3 og x=3.

Grafið speglaðist um línuna 𝑦 = − 1 $y = - 1,$ og yrði vaxandi fall.

$g (x) = 4 \tan (2 x)$

Þetta er lóðrétt speglun fyrra grafsins þar sem $A$ er neikvætt.

Graf einnar lotu ummyndaðs sekansfalls sem líkist fleygboga sem opnast niður og fleygboga sem opnast upp.

Graf einnar lotu ummyndaðs sekansfalls. Tvær lóðfellur eru á grafinu, önnur um það bil við x=-pi/20 og hin um það bil við 3pi/16.

Gröf tveggja lota sekans- og kósínusfalls. Grafið sýnir að kósínusfallið hefur staðbundin hágildi þar sem sekansfallið hefur staðbundin lággildi og öfugt.

6.3 Andhverf hornaföll

$\arccos (0.8776) \approx 0.5$

ⓐ−𝜋2; $- \frac{π}{2};$
ⓑ −𝜋4; $- \frac{π}{4};$
ⓒ 𝜋; $π;$
ⓓ 𝜋3 $\frac{π}{3}$

1.9823 eða 113.578°

$\sin^{−1} (0.6) = 36.87° = 0.6435$ radians

$\frac{π}{8}; \frac{2 π}{9}$

$\frac{3 π}{4}$

$\frac{12}{13}$

$\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

$\frac{4 x}{\sqrt{16 x^{2} + 1}}$

6.1 Kaflaverkefni

Sínus- og kósínusföll hafa þann eiginleika að $f (x + P) = f (x)$ fyrir tiltekið $P .$ Það merkir að fallsgildin endurtaka sig á $P$ eininga fresti á x-ásnum.

Algildi fastans $A$ (útslagið) stækkar heildarmyndmengið og fastinn $D$ (lóðrétta hliðrunin) hliðrar grafinu lóðrétt.

Í punktinum þar sem lokaarmur $t$ sker einingarhringinn má sjá að $\sin t$ er jafnt y-hniti punktsins.

Graf (2/3)cos(x). Útslagið er 2/3, lotan 2pi og myndmengið [-2/3, 2/3].

útslag: $\frac{2}{3};$ lota: $2 π;$ miðlína: $y = 0;$ hágildi: $y = \frac{2}{3}$ fæst við $x = 2 π;$ lággildi: $y = - \frac{2}{3}$ fæst við $x = π;$ í einni lotu hefst grafið við 0 og endar við $2 π$

Graf 4sin(x). Útslagið er 4, lotan 2pi og myndmengið [-4, 4].

útslag: 4; lota: $2 π;$ miðlína: $y = 0;$ hágildið $y = 4$ fæst við $x = \frac{π}{2};$ lággildið $y = - 4$ fæst við $x = \frac{3 π}{2};$ ein heil lota er frá $x = 0$ til $x = 2 π$

11.

Graf cos(2x). Útslagið er 1, lotan pí og myndmengið [-1,1].

útslag: 1; lota: $π;$ miðlína: $y = 0;$ hágildið $y = 1$ fæst við $x = π;$ lággildið $y = - 1$ fæst við $x = \frac{π}{2};$ ein heil lota er teiknuð frá $x = 0$ til $x = π$

13.

Graf 4cos(pi*x). Útslagið er 4, lotan 2 og myndmengið [-4, 4].

útslag: 4; lota: 2; miðlína: $y = 0;$ hágildið $y = 4$ fæst við $x = 2;$ lággildið $y = - 4$ fæst við $x = 1$

15.

Graf 3sin(8(x+4))+5. Útslagið er 3, myndmengið [2, 8] og lotan pi/4.

útslag: 3; lota: $\frac{π}{4};$ miðlína: $y = 5;$ hágildið $y = 8$ fæst við $x = 0.12;$ lággildið $y = 2$ fæst við $x = 0.516;$ lárétt hliðrun: $- 4;$ lóðrétt hliðrun: 5; ein lota er frá $x = 0$ til $x = \frac{π}{4}$

17.

Graf 5sin(5x+20)-2. Útslagið er 5, lotan 2pi/5 og myndmengið [-7,3].

útslag: 5; lota: $\frac{2 π}{5};$ miðlína: $y = −2;$ hágildið $y = 3$ fæst við $x = 0.08;$ lággildið $y = −7$ fæst við $x = 0.71;$ fasahliðrun: $−4;$ lóðrétt hliðrun: $−2;$ eina heila lotu má teikna frá $x = 0$ til $x = \frac{2 π}{5}$

19.

Graf -cos(t+pi/3)+1. Útslagið er 1, lotan 2pi og myndmengið [0,2]. Fasahliðrunin er pi/3 til vinstri.

útslag: 1 ; lota: $2 π;$ miðlína: $y = 1;$ hágildið $y = 2$ fæst við $x = 2.09;$ lággildið $y = 0$ fæst við $t = 5.24;$ fasahliðrun: $- \frac{π}{3};$ lóðrétt hliðrun: 1; ein heil lota er frá $t = 0$ til $t = 2 π$

21.

Graf -sin((1/2)*t + 5pi/3). Útslagið er 1, myndmengið [-1,1], lotan 4pi og fasahliðrunin -10pi/3.

útslag: 1; lota: $4 π;$ miðlína: $y = 0;$ hágildið $y = 1$ fæst við $t = 11.52;$ lággildið $y = - 1$ fæst við $t = 5.24;$ fasahliðrun: $- \frac{10 π}{3};$ lóðrétt hliðrun: 0

23.

útslag: 2; miðlína: $y = - 3;$ lota: 4; jafna: $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{2} x) - 3$

25.

útslag: 2; lota: 5; miðlína: $y = 3;$ jafna: $f (x) = - 2 \cos (\frac{2 π}{5} x) + 3$

27.

útslag: 4; lota: 2; miðlína: $y = 0;$ jafna: $f (x) = - 4 \cos (π (x - \frac{π}{2}))$

29.

útslag: 2; lota: 2; miðlína: $y = 1;$ jafna: $f (x) = 2 \cos (π x) + 1$

31.

$0, π$

33.

$sin (\frac{π}{2}) = 1$

35.

$\frac{π}{2}$

37.

$f (x) = sin x$ is symmetric

39.

$\frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

41.

Hágildi: $1$ við $x = 0$ ; lággildi: $-1$ við $x = π$

43.

Línulegu falli er bætt við lotubundið sínusfall. Grafið hefur ekkert útslag þar sem samsetta fallið $h (x) = x + sin x$ vex án marka þegar línulega fallið vex án marka. Grafið er afmarkað milli grafanna $y = x + 1$ og $y = x - 1$ þar sem sínus sveiflast milli −1 og 1.

Myndin sýnir graf fallsins h(t) sem fall af t. Lárétti ásinn sýnir t frá 0 til 2π, með merkingum við π/2, π og 3π/2. Lóðrétti ásinn sýnir h(t) frá 0 til 6. Ferillinn hefst í upphafspunktinum (0,0) og vex samfellt að um það bil (2π, 6). Hallinn vex fyrst en minnkar síðan umhverfis t=π, þar sem h(t) er um 3, sem sýnir hægari vöxt. Að lokum vex hallinn aftur og vöxturinn hraðnar undir lok bilsins.

45.

Ekkert útslag er til þar sem fallið er ekki takmarkað.

Myndin sýnir graf lotubundins falls í hnitakerfi með öfugum y-ás. x-ásinn, merktur „X“, nær frá 0 til 2pi, með merkingum við pi/2, pí, 3pi/2 og 2pi. Upphafspunktur y-ássins, merktur „f(x)“, er (0) efst og jákvæð heiltölugildi frá 1 til 5 vaxa niður á við. Ferillinn hefst í punktinum (0,0), sem er staðbundið lággildi. Hann lækkar síðan á myndinni, sem táknar hækkandi fallsgildi, og nær staðbundnu hágildi 2 nálægt x=pi/2. Því næst hækkar ferillinn á myndinni og fallsgildið lækkar aftur að staðbundnu lággildi 0 við x=pi. Þá lækkar ferillinn á ný og nær algildu hágildi 5 nálægt x=3pi/2, áður en hann hækkar aftur að staðbundnu lággildi 0 við x=2pi og lýkur einni heilli sveiflu.

47.

Grafið er samhverft um y-ásinn og hefur ekkert útslag þar sem mörk fallsins lækka þegar $| x |$ vex. Láfella virðist vera við $y = 0$ .

Graf deyfðs sveiflufalls sem líkist sin(x)/x. x-ásinn nær frá -5π til 5π og y-ásinn frá -2 til 2. Ferillinn nær hámarki í (0,1) og sker x-ásinn við heiltölumargfeldi pí.

6.2 Kaflaverkefni

Þar sem $y = \csc x$ er umhverfufall 𝑦 = s i n ⁡ 𝑥 $y = \sin x,$ má teikna umhverfur hnitanna á grafi $y = \sin x$ til að fá y-hnit $y = \csc x .$ Skurðpunktar grafsins $y = \sin x$ við x-ás eru lóðfellur grafsins $y = \csc x .$

Svör eru mismunandi. Með einingarhringnum má sýna að $\tan (x + π) = \tan x .$

Lotan er sú sama: $2 π .$

III

11.

lota: 8; lárétt hliðrun: 1 einingu til vinstri

13.

1.5

15.

17.

$- \cot x \cos x - \sin x$

19.

Graf tveggja lota ummyndaðs tangensfalls með tveimur lóðfellum.

teygjustuðull: 2; lota: $\frac{π}{4};$ aðfellur: 𝑥 = 1 4 ⁢ ( 𝜋 2 + 𝜋 ⁢ 𝑘 ) + 8 , þar sem 𝑘 er heiltala $x = \frac{1}{4} (\frac{π}{2} + π k) + 8, þar sem k is an integer$

21.

Graf tveggja lota ummyndaðs kósekansfalls. Lóðfellur eru við x=-6, -3, 0, 3 og 6.

teygjustuðull: 6; lota: 6; aðfellur: 𝑥 = 3 ⁢ 𝑘 , þar sem 𝑘 er heiltala $x = 3 k, þar sem k is an integer$

23.

Graf tveggja lota ummyndaðs tangensfalls. Lóðfellur eru við heiltölumargfeldi pí.

teygjustuðull: 1; lota: $π;$ aðfellur: 𝑥 = 𝜋 ⁢ 𝑘 , þar sem 𝑘 er heiltala $x = π k, þar sem k is an integer$

25.

Graf tveggja lota ummyndaðs tangensfalls með þremur lóðfellum.

Teygjustuðull: 1; lota: $π;$ aðfellur: 𝑥 = 𝜋 4 + 𝜋 ⁢ 𝑘 , þar sem 𝑘 er heiltala $x = \frac{π}{4} + π k, þar sem k is an integer$

27.

Graf tveggja lota ummyndaðs kósekansfalls. Lóðfellur eru við heiltölumargfeldi pí.

teygjustuðull: 2; lota: $2 π;$ aðfellur: 𝑥 = 𝜋 ⁢ 𝑘 , þar sem 𝑘 er heiltala $x = π k, þar sem k is an integer$

29.

Graf tveggja lota ummyndaðs sekansfalls. Lóðfellur eru við x=-pi/2, -pi/6, pi/6 og pi/2.

teygjustuðull: 4; lota: $\frac{2 π}{3};$ aðfellur: 𝑥 = 𝜋 6 ⁢ 𝑘 , þar sem 𝑘 er oddatala $x = \frac{π}{6} k, þar sem k is an odd integer$

31.

Graf tveggja lota ummyndaðs sekansfalls með fjórum lóðfellum sem eru með pi/5 millibili.

teygjustuðull: 7; lota: $\frac{2 π}{5};$ aðfellur: 𝑥 = 𝜋 1 0 ⁢ 𝑘 , þar sem 𝑘 er oddatala $x = \frac{π}{10} k, þar sem k is an odd integer$

33.

Graf tveggja lota ummyndaðs kósekansfalls með þremur lóðfellum sem eru með pí millibili.

teygjustuðull: 2; lota: $2 π;$ aðfellur: 𝑥 = − 𝜋 4 + 𝜋 ⁢ 𝑘 , þar sem 𝑘 er heiltala $x = - \frac{π}{4} + π k, þar sem k is an integer$

35.

Graf ummyndaðs kósekansfalls með fjórum lóðfellum.

teygjustuðull: $\frac{7}{5};$ lota: $2 π;$ aðfellur: 𝑥 = 𝜋 4 + 𝜋 ⁢ 𝑘 , þar sem 𝑘 er heiltala $x = \frac{π}{4} + π k, þar sem k is an integer$

37.

$y = \tan (3 (x - \frac{π}{4})) + 2$

Graf tveggja lota ummyndaðs tangensfalls. Lóðfellur eru við x=-pi/4 og pi/12.

39.

$f (x) = \csc (2 x)$

41.

$f (x) = \csc (4 x)$

43.

$f (x) = 2 \csc x$

45.

$f (x) = \frac{1}{2} \tan (100 π x)$

47.

Graf algildis kótangensfallsins. Myndmengið er frá 0 til óendanlegs.

49.

51.

Graf tveggja lota ummyndaðs sekansfalls. Lóðfellur eru við margfeldi 500pi.

53.

Graf sýnir lárétta bláa línu við y=1 í kartesísku hnitakerfi. x-ásinn er merktur með margfeldum af pi/2 og y-ásinn með heiltölum frá -2 til 2.

55.

ⓐ (−𝜋2,𝜋2); $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2});$
ⓑ
ⓒ $x = - \frac{π}{2}$ og $x = \frac{π}{2};$ fjarlægðin vex án marka þegar $| x |$ nálgast $\frac{π}{2}$ — það er, hornrétt á línuna sem sýnir hánorður væri báturinn svo langt í burtu að fiskimaðurinn sæi hann ekki;
ⓓ 3; þegar 𝑥 = − 𝜋 3 $x = - \frac{π}{3},$ er báturinn 3 km í burtu;
ⓔ 1.73; þegar 𝑥 = 𝜋 6 $x = \frac{π}{6},$ er báturinn um 1.73 km í burtu;
ⓕ 1.5 km; þegar $x = 0$

57.

ⓐ ℎ⁡(𝑥)=2⁢tan⁡(𝜋120⁢𝑥); $h (x) = 2 \tan (\frac{π}{120} x);$
ⓑ
ⓒ $h (0) = 0 :$ eftir 0 sekúndur er eldflaugin 0 mílur yfir jörðu; $h (30) = 2 :$ eftir 30 sekúndur er eldflaugin í 2 mílna hæð;
ⓓ Þegar $x$ nálgast 60 sekúndur verða gildi $h (x)$ sífellt stærri. Fjarlægðin að eldflauginni verður svo mikil að myndavélin getur ekki lengur fylgt henni.

6.3 Kaflaverkefni

Fallið 𝑦 = s i n ⁡ 𝑥 y = sin $y = \sin x$ ⁡ x er eintækt á [ − 𝜋 2 , 𝜋 2 ] ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}];$ [ − π/2 , π/2 ] ; þetta bil er því myndmengi andhverfa fallsins við 𝑦 = s i n ⁡ 𝑥 y = sin ⁡ x , , 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = s i n − 1 ⁡ 𝑥 . f ⁡ ( x ) = sin − 1 ⁡ $y = \sin x,$ $f (x) = \sin^{- 1} x .$ x . Fallið 𝑦 = c o s ⁡ 𝑥 y $y = \cos x$ = cos ⁡ x er eintækt á [ 0 , 𝜋 ] ; [ $[0, π];$ 0 , π ] ; þetta bil er því myndmengi andhverfa fallsins við 𝑦 = c o s ⁡ 𝑥 , 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = c o s − 1 ⁡ 𝑥 . y = cos ⁡ x , f ⁡ ( x ) = cos − 1 ⁡ x . $y = \cos x, f (x) = \cos^{- 1} x .$

$\frac{π}{6}$ er radíanamál horns milli $- \frac{π}{2}$ og $\frac{π}{2}$ sem hefur sínusgildið 0.5.

Til að fall hafi andhverfu verður það að vera eintækt og standast próf láréttrar línu. Venjulega sínusfallið er ekki eintækt nema skilgreiningarmengi þess sé takmarkað. Samkomulag stærðfræðinga er að takmarka sínusfallið við bilið $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ svo það verði eintækt og hafi andhverfu.

Satt. Hornið $θ_{1}$ sem er jafnt $\arccos (- x)$ , $x > 0$ , er horn í öðrum fjórðungi með viðmiðunarhornið $θ_{2}$ þar sem $θ_{2}$ er jafnt $\arccos x$ , $x > 0$ . Þar sem $θ_{2}$ er viðmiðunarhorn $θ_{1}$ gildir $θ_{2} = π - θ_{1}$ og $\arccos (- x)$ = $π - \arccos x$ -

$- \frac{π}{6}$

11.

$\frac{3 π}{4}$

13.

$- \frac{π}{3}$

15.

$\frac{π}{3}$

17.

1.98

19.

0.93

21.

1.41

23.

0.56 radíanar

25.

27.

0.71

29.

-0.71

31.

$- \frac{π}{4}$

33.

0.8

35.

$\frac{5}{13}$

37.

$\frac{x - 1}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}}$

39.

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

41.

$\frac{x + 0.5}{\sqrt{- x^{2} - x + \frac{3}{4}}}$

43.

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{| x + 1 |}$

45.

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x}$

47.

$t$

49.

Graf andhverfa kósínusfallsins á bilinu -1 til 1. Myndmengi fallsins er frá 0 til pí.

skilgreiningarmengi $[- 1, 1];$ myndmengi $[0, π]$

51.

um það bil $x = 0.00$

53.

0.395 radíanar

55.

1.11 radíanar

57.

1.25 radíanar

59.

0.405 radíanar

61.

Nei. Hornið sem stiginn myndar við láréttan flöt er 60 gráður.

Upprifjunarverkefni

útslag: 3; lota: $2 π;$ miðlína: $y = 3;$ engar aðfellur

Graf tveggja lota falls með kósínusfall sem grunnfall. Myndmengi grafsins er [0,6] og það er teiknað frá -2pi til 2pi. Hágildi eru við -pí og pí.

útslag: 3; lota: $2 π;$ miðlína: $y = 0;$ engar aðfellur

Graf fjögurra lota falls með kósínusfall sem grunnfall. Það er teiknað frá -4pi til 4pi. Myndmengið er [-3,3].

útslag: 3; lota: $2 π;$ miðlína: $y = - 4;$ engar aðfellur

Graf tveggja lota sínuslaga falls. Myndmengið er [-7,-1]. Hágildi eru við -5pi/4 og 3pi/4.

útslag: 6; lota: $\frac{2 π}{3};$ miðlína: $y = - 1;$ engar aðfellur

Sínuslaga graf yfir tvær lotur. Myndmengið er [-7,5], útslagið er 6 og lotan er 2pi/3.

teygjustuðull: enginn; lota: $π;$ miðlína: $y = - 4;$ aðfellur: $x = \frac{π}{2} + π k,$ þar sem $k$ er heiltala

Graf tveggja lota tangensfalls. Það er teiknað frá -pí til pí og hefur aðfellur við -pi/2 og pi/2.

11.

teygjustuðull: 3; lota: $\frac{π}{4};$ miðlína: $y = - 2;$ aðfellur: $x = \frac{π}{8} + \frac{π}{4} k,$ þar sem $k$ er heiltala

Graf tveggja lota tangensfalls. Aðfellur eru við -pi/8 og pi/8, lotan er pi/4 og miðlínan er y=-2.

13.

útslag: ekkert; lota: $2 π;$ engin fasahliðrun; aðfellur: $x = \frac{π}{2} k,$ þar sem $k$ er oddatala

Graf tveggja lota sekansfalls. Lotan er 2 pí og grafið er teiknað frá -2pi til 2pi. Aðfellur eru við -3pi/2, -pi/2, pi/2 og 3pi/2.

15.

útslag: ekkert; lota: $\frac{2 π}{5};$ engin fasahliðrun; aðfellur: $x = \frac{π}{5} k,$ þar sem $k$ er heiltala

Graf kósekansfalls yfir tvær og hálfa lotu. Það er teiknað frá -pí til pí og lotan er 2pi/5.

17.

útslag: ekkert; lota: $4 π;$ engin fasahliðrun; aðfellur: $x = 2 π k,$ þar sem $k$ er heiltala

Graf tveggja lota kósekansfalls. Það er teiknað frá -4pi til 4pi. Aðfellur eru við margfeldi 2pi og lotan er 4pi.

19.

stærst: 20,000; minnst: 4,000

21.

útslag: 8,000; lota: 10; fasahliðrun: 0

23.

Árið 2007 er áætlaður mannfjöldi 4,413. Árið 2010 verður mannfjöldinn 11,924.

25.

5 tommur

27.

10 sekúndur

29.

$\frac{π}{6}$

31.

$\frac{π}{4}$

33.

$\frac{π}{3}$

35.

Engin lausn

37.

$\frac{12}{5}$

39.

Gröfin eru ekki samhverf um línuna $y = x .$ Þau eru samhverf um $y$ -ásinn.

Gröf kósínus af x og sekans af x. Kósínus af x hefur hágildi þar sem sekans hefur lággildi og öfugt. Aðfellur eru við x=-3pi/2, -pi/2, pi/2 og 3pi/2.

41.

Gröfin virðast vera eins.

Tvö gröf tveggja eins falla á bilinu [-1 til 1]. Bæði gröfin virðast sínuslaga.

Æfingapróf

útslag: 0.5; lota: $2 π;$ miðlína $y = 0$

Graf tveggja lota sínuslaga falls, teiknað frá -2pi til 2pi. Myndmengið er [-0.5,0.5]. Skurðpunktar við x-ás eru við margfeldi pí.

útslag: 5; lota: $2 π;$ miðlína: $y = 0$

Tvær lotur sínusfalls, teiknaðar frá -2pi til 2pi. Myndmengið er [-5,5], útslagið 5 og lotan 2pi.

útslag: 1; lota: $2 π;$ miðlína: $y = 1$

Graf tveggja lota kósínusfalls, teiknað frá -7pi/3 til 5pi/3. Myndmengið er [0,2], lotan 2pi og útslagið 1.

útslag: 3; lota: $6 π;$ miðlína: $y = 0$

Graf tveggja lota kósínusfalls, teiknað frá -7pi/2 til 17pi/2. Myndmengið er [-3,3], lotan 6pi og útslagið 3.

útslag: ekkert; lota: $π;$ miðlína: $y = 0,$ aðfellur: $x = \frac{2 π}{3} + π k,$ þar sem $k$ er heiltala

Graf tveggja lota tangensfalls frá -5pi/6 til 7pi/6. Lotan er pí og miðlínan er y=0.

11.

útslag: ekkert; lota: $\frac{2 π}{3};$ miðlína: $y = 0,$ aðfellur: $x = \frac{π}{3} k,$ þar sem $k$ er heiltala

Graf tveggja lota kósekansfalls frá -2pi/3 til 2pi/3. Lóðfellur eru við margfeldi pi/3 og lotan er 2pi/3.

13.

útslag: ekkert; lota: $2 π;$ miðlína: $y = - 3$

Graf tveggja lota kósekansfalls frá -9pi/4 til 7pi/4. Lotan er 2pi og miðlínan y=-3.

15.

útslag: 2; lota: 2; miðlína: $y = 0;$ $f (x) = 2 \sin (π (x - 1))$

17.

útslag: 1; lota: 12; fasahliðrun: $−6;$ miðlína $y = −3$

19.

$D (t) = 68 - 12 \sin (\frac{π}{12} x)$

21.

lota: $\frac{π}{6};$ lárétt hliðrun: $−7$

23.

$f (x) = \sec (π x);$ lota: 2; fasahliðrun: 0

25.

$4$

27.

Myndirnar eru ólíkar þar sem lota bylgjunnar er $\frac{1}{25} .$ Á stærra skilgreiningarmengi sjást fleiri lotur grafsins.

Tvö gröf sínuslaga falls hlið við hlið. Fyrra grafið er teiknað frá 0 til 1 og hið síðara frá 0 til 3. Mörg lotubil sjást á hvoru grafi.

29.

$\frac{3}{5}$

31.

Á nálgunarbilunum $(0.5, 1), (1.6, 2.1), (2.6, 3.1), (3.7, 4.2), (4.7, 5.2), (5.6, 6.28)$

33.

$f (x) = 2 \cos (12 (x + \frac{π}{4})) + 3$

Graf einnar lotu kósínusfalls, teiknað frá -pi/4 til 0. Myndmengið er [1,5] og lotan pi/6.

35.

Grafið er lotubundið með lotuna $2 π .$

Graf tveggja lota sínuslaga falls. Lotan er 2pi.

37.

$\frac{π}{3}$

39.

$\frac{π}{2}$

41.

$\sqrt{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

43.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}}$

45.

$\frac{x + 1}{x}$

47.

Ósatt

49.

um það bil 0.07 radíanar