Kafli 11

Runan er jafnmunaruna. Fasti mismunurinn er $–2.$

Runan er ekki jafnmunaruna því $3-1\ne 6-3.$

$\left\{1, 6, 11, 16, 21\right\}$

$a_2=2$

$\begin{array}{l}{a}_1=25\hfill \\ a_n=a_{n-1}+12,\text{for }n\ge 2\hfill \end{array}$

$a_n=53-3n$

Formúlan er $T_n=10+4n,$ og það tekur hana 42 mínútur.

Runan er ekki kvótaruna því $\frac{10}{5}\ne \frac{15}{10}$ .

Runan er kvótaruna. Hlutfallstalan er $\frac{1}{5}$ .

$\left\{18,6,2,\frac{2}{3},\frac{2}{9}\right\}$

$\begin{array}{l}{a}_1=2\\ a_n=\frac{2}{3}{a}_{n-1}\text{for }n\ge 2\end{array}$

$a_6=16,384$

$a_n=-{(-3)}^{n-1}$

$\text{26}\text{.4}$

$\text{328}$

$\text{−280}$

$\approx 2,000.00$

$-\frac{3}{11}$

$P(7,7)=5,040$

$P(7,5)=2,520$

$C(10,3)=120$

$-10,206x^4{y}^5$

$\frac{2}{3}$

$\frac{7}{13}$

$\frac{2}{13}$

$\frac{5}{6}$

$\begin{array}{lll}\text{a}\text{. }\frac{1}{91};\hfill & \text{b}\text{. }\frac{\text{5}}{\text{91}};\hfill & \text{c}\text{. }\frac{86}{91}\hfill \end{array}$

Aðfeldi er margfeldi jákvæðrar heiltölu og allra jákvæðra heiltalna sem eru minni en hún. Hrópmerki táknar aðgerðina. Svör geta verið breytileg. Kosturinn við rithátt aðfeldis er meðal annars að mun auðveldara er að rita hann en margfeldið $\text{13}\cdot \text{12}\cdot \text{11}\cdot \text{10}\cdot \text{9}\cdot \text{8}\cdot \text{7}\cdot \text{6}\cdot \text{5}\cdot \text{4}\cdot \text{3}\cdot \text{2}\cdot \text{1}\text{.}$

Fyrstu fjórir liðirnir: $-8,-\frac{16}{3},-4,-\frac{16}{5}$

Fyrstu fjórir liðirnir: $2,\frac{1}{2},\frac{8}{27},\frac{1}{4}$ .

Fyrstu fjórir liðirnir: $1.25,-5,20,-80$ .

Fyrstu fjórir liðirnir: $\frac{1}{3},\frac{4}{5},\frac{9}{7},\frac{16}{9}$ .

Fyrstu fjórir liðirnir: $-\frac{4}{5},4,-20,100$

$\frac{1}{3},\frac{4}{5},\frac{9}{7},\frac{16}{9},\frac{25}{11},31,44,59$

$-0.6,-3,-15,-20,-375,-80,-9375,-320$

$a_n=n^2+3$

$a_n=\frac{2^n}{2n}\text{or }\frac{2^{n-1}}{n}$

$a_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

Fyrstu fimm liðirnir: $3,-9,27,-81,243$

Fyrstu fimm liðirnir: $-1,1,-9,\frac{27}{11},\frac{891}{5}$

$\frac{1}{24},\text{1, }\frac{1}{4},\frac{3}{2},\frac{9}{4},\frac{81}{4},\frac{2187}{8},\frac{531,441}{16}$

$2,10,12,\frac{14}{5},\frac{4}{5},2,10,12$

$a_1=-8,a_n=a_{n-1}+n$

$a_1=35,a_n=a_{n-1}+3$

$720$

$665,280$

Fyrstu fjórir liðirnir: $1,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{2}$

Fyrstu fjórir liðirnir: $-1,2,\frac{6}{5},\frac{24}{11}$

$a_n=2^{n-2}$

$a_1=6,a_n=2a_{n-1}-5$

Fyrstu fimm liðirnir: $\frac{29}{37}$ , $\frac{152}{111}$ , $\frac{716}{333}$ , $\frac{3188}{999}$ , $\frac{13724}{2997}$

$a_{10}=7,257,600$

Ef $a_n=-421$ er liður í rununni gefur lausn jöfnunnar $-421=-6-8n$ fyrir $n$ óneikvæða heiltölu. Hins vegar gefur − 4 2 1 = − 6 − 8 ⁢ 𝑛 $-421=-6-8n,$ gildið $n=51.875$ og því er $a_n=-421$ ekki liður í rununni.

$a_1=1,a_2=0,a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$

$\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=\frac{(n+2)·(n+1)·(n)·(n-1)·\mathrm{...}·3·2·1}{(n-1)·\mathrm{...}·3·2·1}=n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n$

Fasti mismunurinn er $\frac{1}{2}$

Runan er ekki jafnmunaruna því $16-4\ne 64-16.$

$0,\frac{2}{3},\frac{4}{3},2,\frac{8}{3}$

$0,-5,-10,-15,-20$

$a_4=19$

$a_6=41$

$a_1=2$

$a_1=5$

$a_1=6$

$a_{21}=-13.5$

$-19,-20.4,-21.8,-23.2,-24.6$

$\begin{array}{ll}{a}_1=17; a_n=a_{n-1}+9\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{a}_1=12; a_n=a_{n-1}+5\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{a}_1=8.9; a_n=a_{n-1}+1.4\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{a}_1=\frac{1}{5}; a_n=a_{n-1}+\frac{1}{4}\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{}_1=\frac{1}{6}; a_n=a_{n-1}-\frac{13}{12}\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$a_1=4;a_n=a_{n-1}+7;a_{14}=95$

Fyrstu fimm liðirnir: $20,16,12,8,4.$

$a_n=1+2n$

$a_n=-105+100n$

$a_n=1.8n$

$a_n=13.1+2.7n$

$a_n=\frac{1}{3}n-\frac{1}{3}$

$1,4,7,10,13,16,19$

Svör eru breytileg. Dæmi: $a_n=20.6n$ og $a_n=2+20.4\mathrm{n.}$

$a_{11}=-17a+38b$

Runan fær fyrst neikvætt gildi í lið 13 th, þar sem $a_{13}=-\frac{1}{3}$

Svör eru breytileg. Staðfestu að runan sé jafnmunaruna. Dæmi: Endurkvæm formúla: $a_1=3,a_n=a_{n-1}-3.$ Fyrstu 4 liðirnir: $\begin{array}{ll}3,0,-3,-6\hfill & a_{31}=-87\hfill \end{array}$

Hlutfallstalan er $-2$

Runan er kvótaruna. Hlutfallstalan er $-\frac{1}{2}.$

Runan er kvótaruna. Hlutfallstalan er $5.$

$5,1,\frac{1}{5},\frac{1}{25},\frac{1}{125}$

$800,400,200,100,50$

$a_4=-\frac{16}{27}$

$a_7=-\frac{2}{729}$

$7,1.4,0.28,0.056,0.0112$

$\begin{array}{cc}a{}_1=-32,& a_n=\frac{1}{2}{a}_{n-1}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{a}_1=10,& a_n=-0.3a_{n-1}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{a}_1=\frac{3}{5},& a_n=\frac{1}{6}{a}_{n-1}\end{array}$

$a_1=\frac{1}{512},a_n=-4a_{n-1}$

$12,-6,3,-\frac{3}{2},\frac{3}{4}$

$a_n=3^{n-1}$

$a_n=0.8\cdot {(-5)}^{n-1}$

$a_n=-{\left(\frac{4}{5}\right)}^{n-1}$

$a_n=3\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$

$a_{12}=\frac{1}{177,147}$

Það eru $12$ liðir í rununni.

Svör eru breytileg. Dæmi: ${\begin{array}{cc}{a}_1=800,& a_n=0.5a\end{array}}_{n-1}$ og ${\begin{array}{cc}{a}_1=12.5,& a_n=4a\end{array}}_{n-1}$

$a_5=256b$

Runan fer yfir $100$ í lið ¹⁴ th, $a_{14}\approx 107.$

$a_4=-\frac{32}{3}$ er fyrsta gildið sem er ekki heiltala

Svör eru breytileg. Dæmi: Bein formúla með tugabrot sem hlutfallstölu: $a_n=400\cdot {0.5}^{n-1};$ fyrstu 4 liðirnir: $\begin{array}{cc}400,200,100,50;& a_8=3.125\end{array}$

n-ta hlutsumman $n\text{th}$ er summa fyrstu $n$ liða runu.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{4}5n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}4}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{20}8k+2}$

$S_5=\frac{5\left(\frac{3}{2}+\frac{7}{2}\right)}{2}$

$S_{13}=\frac{13\left(3.2+5.6\right)}{2}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{7}8\cdot {0.5}^{k-1}}$

$S_5=\frac{9\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^5\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{121}{9}\approx 13.44$

$S_{11}=\frac{64\left(1-{0.2}^{11}\right)}{1-0.2}=\frac{781,249,984}{9,765,625}\approx 80$

Röðin er skilgreind. $S=\frac{2}{1-0.8}$

Röðin er skilgreind. $S=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}$

Dæmisvar: Graf $S_n$ virðist nálgast 1. Það er eðlilegt því ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^k}$ er skilgreind óendanleg geómetrísk röð með $S=\frac{\frac{1}{2}}{1–\left(\frac{1}{2}\right)}=1.$

$S_7=\frac{147}{2}$

$S_{11}=\frac{55}{2}$

$S_7=5208.4$

$S_{10}=-\frac{1023}{256}$

$S=-\frac{4}{3}$

$S=9.2$

$a_k=30-k$

$r=\frac{4}{5}$

Það eru $m+n$ leiðir fyrir annaðhvort atburð $A$ eða atburð $B$ .

Samantekt; $C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$

$4+2=6$

$5+4+7=16$

$2\times 6=12$

${10}^3=1000$

$P(5,2)=20$

$P(3,3)=6$

$P(11,5)=55,440$

$C(12,4)=495$

$C(7,6)=7$

$2^{10}=1024$

$2^{12}=4096$

$2^9=512$

$\frac{8!}{3!}=6720$

$\frac{12!}{3!2!3!4!}$

Já, í léttvægu tilvikunum 𝑟 = 0 r = 0 og 𝑟 = 1 . r = 1. Ef 𝑟 = 0 , r = 0 , þá er 𝐶 ⁡ ( 𝑛 , 𝑟 ) = 𝑃 ⁡ ( 𝑛 , 𝑟 ) = 1 . C ⁡ ( n , r ) = P ⁡ ( n , r ) = 1 . Ef 𝑟 = 1 , r = 1 , þá er 𝑟 $r=0$= 1 , r = 1 , og 𝐶 $r=1.$⁡ ( 𝑛 , 𝑟 $r=0,$) = 𝑃 ⁡ ( 𝑛 , 𝑟 ) = 𝑛 . $C(n,r)=P(n,r)=1\text{.\hspace{0.17em}}$C ⁡ ( n , r $r=1,$) = P ⁡ ( n , r ) = n . $r=1,$ $C(n,r)=P(n,r)=n.$

$\frac{6!}{2!}\times 4!=8640$

$6-3+8-3=8$

$4\times 2\times 5=40$

$4\times 12\times 3=144$

$P(15,9)=1,816,214,400$

$C(10,3)\times C(6,5)\times C(5,2)=7,200$

$2^{11}=2048$

$\frac{20!}{6!6!8!}=116,396,280$

Tvíliðustuðull er annar ritháttur fyrir samantektina $C(n,r).$ Hann er skilgreindur með $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}.$

Tvíliðusetningin er ${(x+y)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)x^{n-k}}{y}^k$ og má nota til að liða sérhvern tvílið.

$64a^3-48a^{2}b+12a{b}^2-b^3$

$27a^3+54a^{2}b+36a{b}^2+8b^3$

$1024x^5+2560x^{4}y+2560x^3{y}^2+1280x^2{y}^3+320x{y}^4+32y^5$

$1024x^5-3840x^{4}y+5760x^3{y}^2-4320x^2{y}^3+1620x{y}^4-243y^5$

$\frac{1}{x^4}+\frac{8}{x^{3}y}+\frac{24}{x^2{y}^2}+\frac{32}{x{y}^3}+\frac{16}{y^4}$

$a^{17}+17a^{16}b+136a^{15}{b}^2$

$a^{15}-30a^{14}b+420a^{13}{b}^2$

$3,486,784,401a^{20}+23,245,229,340a^{19}b+73,609,892,910a^{18}{b}^2$

$x^{24}-8x^{21}\sqrt{y}+28x^{18}y$

$-720x^2{y}^3$

$220,812,466,875,000y^7$

$35x^3{y}^4$

$1,082,565a^3{b}^{16}$

$\frac{1152y^2}{x^7}$

$f_2(x)=x^4+12x^3$

$f_4(x)=x^4+12x^3+54x^2+108x$

$590,625x^5{y}^2$

$k-1$

Ekki er hægt að liða segðina ${(x^3+2y^2-z)}^5$ með tvíliðusetningunni því ekki er hægt að rita hana sem tvílið.

líkur; Líkur atburðar takmarkast við gildi frá og með 0 0 til og með $0$1 $1,$. 1 $0$, $1.$

Líkur á sammengi tveggja atburða lýsa því hve líklegt er að að minnsta kosti annar atburðurinn í líkindalíkani eigi sér stað. Bæði í sammengi mengja 𝐴 og 𝐵 $A \text{and }B$ og sammengi atburða 𝐴 og 𝐵 $A \text{and} B,$ felur sammengið í sér 𝐴 eða 𝐵 $A \text{or} B$ eða bæði. Munurinn er sá að sammengi mengja er annað mengi en sammengi atburða eru líkur og því tölugildi milli $0$ og $1.$

$\frac{1}{2}.$

$\frac{5}{8}.$

$\frac{1}{2}.$

$\frac{3}{8}.$

$\frac{1}{4}.$

$\frac{3}{4}.$

$\frac{3}{8}.$

$\frac{1}{8}.$

$\frac{15}{16}.$

$\frac{5}{8}.$

$\frac{1}{13}.$

$\frac{1}{26}.$

$\frac{12}{13}.$

$\frac{5}{12}.$

$0.$

$\frac{4}{9}.$

$\frac{1}{4}.$

$\frac{5}{8}$

$\frac{8}{13}$

$\frac{C(12,5)}{C(48,5)}=\frac{1}{2162}$

$\frac{C(12,3)C(36,2)}{C(48,5)}=\frac{175}{2162}$

$\frac{C(20,3)C(60,17)}{C(80,20)}\approx 12.49\%$

$\frac{C(20,5)C(60,15)}{C(80,20)}\approx 23.33\%$

$20.50+23.33-12.49=31.34\%$

$\frac{C(40000000,1)C(277000000,4)}{C(317000000,5)}=36.78\%$

$\frac{C(40000000,4)C(277000000,1)}{C(317000000,5)}=0.11\%$

$2,4,7,11$

$13,103,1003,10003$

Runan er jafnmunaruna. Fasti mismunurinn er $d=\frac{5}{3}.$

$18,10,2,-6,-14$

$a_1=-20,a_n=a_{n-1}+10$

$a_n=\frac{1}{3}n+\frac{13}{24}$

$r=2$

$3,12,48,192,768$

$a_n=-\frac{1}{5}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^5\left(\frac{1}{2}m+5\right).}$

$S_{11}=110$

$S_9\approx 23.95$

$S=\frac{135}{4}$

${10}^4=10\text{,}000$

$P(18,4)=73\text{,}440$

$C\left(15,6\right)=5005$

$2^{50}=1.13\times {10}^{15}$

$\frac{8!}{3!2!}=3360$

$490\text{,}314$

$131\text{,}072a^{17}\text{+}1\text{,}114\text{,}112a^{16}b\text{+}4\text{,}456\text{,}448a^{15}{b}^2$

$\frac{1}{6}$

$\frac{5}{9}$

$\frac{4}{9}$

$1-\frac{C\left(350,8\right)}{C\left(500,8\right)}\approx 94.4\%$

$\frac{C\left(150,3\right)C\left(350,5\right)}{C\left(500,8\right)}\approx 25.6\%$

$-14,-6,-2,0$

Runan er jafnmunaruna. Fasti mismunurinn er $d=\mathrm{0.9.}$

$a_1=-2,a_n=a_{n-1}-\frac{3}{2};a_{22}=-\frac{67}{2}$

Runan er kvótaruna. Hlutfallstalan er $r=\frac{1}{2}.$

$a_1=1,a_n=-\frac{1}{2}\cdot a_n{}_{-1}$

${\displaystyle \sum _{k=-3}^{15}\left(3k^2-\frac{5}{6}k\right)}$

$S_7=-2604.2$

Heildarupphæð á reikningi: $\text{\$}634,261.20;$ Interest earned: $\text{\$}508,261.20$

$5\times 3\times 2\times 3\times 2=180$

$C\left(15,3\right)=455$

$\frac{10!}{2!3!2!}=151\text{,}200$

$\frac{429x^{14}}{16}$

$\frac{4}{7}$

$\frac{5}{7}$

$\frac{C\left(14,3\right)C\left(26,4\right)}{C\left(40,7\right)}\approx 29.2\%$