1111 Kí-kvaðrat dreifingin

11.6 Próf á dreifni í einu þýði

Próf á dreifni í einu þýði gerir ráð fyrir að undirliggjandi dreifing sé normaldreifing. Núlltilgáta og gagntilgáta eru settar fram með dreifni þýðis eða staðalfráviki þýðis. Prófstærðin er:

χ^{2} = \frac{(n - 1) s^{2}}{σ^{2}}

Þar sem:

n = heildarfjöldi gagnagilda.
s² = úrtaksdreifni.
σ² = dreifni þýðis.

Líta má á s sem slembibreytuna í þessu prófi. Fjöldi frígráða er df = n − 1. Próf á dreifni í einu þýði getur verið hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða. Dæmi 11.10 sýnir hvernig núlltilgáta og gagntilgáta eru settar fram; þær innihalda fullyrðingar um dreifni þýðis.

Dæmi 11.10

Stærðfræðikennarar hafa ekki aðeins áhuga á meðaltali prófárangurs nemenda sinna, heldur einnig á því hversu breytileg prófskorin eru. Fyrir marga kennara getur dreifnin, eða staðalfrávikið, verið mikilvægari en meðaltalið.

Gerum ráð fyrir að stærðfræðikennari telji að staðalfrávik lokaprófsins sé fimm stig. Einn af bestu nemendum hans telur annað og heldur því fram að staðalfrávikið sé meira en fimm stig. Ef nemandinn framkvæmdi tilgátupróf, hverjar væru núlltilgátan og gagntilgátan?

Þótt staðalfrávik þýðis sé gefið má setja prófið upp með dreifni þýðis:

H₀: σ² = 5².
Hₐ: σ² > 5².

Dæmi 11.11

Með aðskildum röðum við mismunandi afgreiðsluglugga kemst pósthús að því að staðalfrávik normaldreifðra biðtíma viðskiptavina á föstudagseftirmiðdegi er 7,2 mínútur. Pósthúsið prófar eina sameiginlega aðalbiðröð og finnur að í slembiúrtaki 25 viðskiptavina er staðalfrávik biðtímans 3,5 mínútur.

Prófið við 5 prósent marktektarstig þá fullyrðingu að ein sameiginleg röð valdi minni breytileika í biðtíma viðskiptavina.

Þar sem fullyrðingin er að ein sameiginleg röð valdi minni breytileika er þetta próf á dreifni í einu þýði. Stikinn er dreifni þýðis, σ², eða staðalfrávik þýðis, σ.

Slembibreyta: Úrtaksstaðalfrávikið s er slembibreytan. Látum s tákna staðalfrávik biðtímans.

H₀: σ² = 7,2².
Hₐ: σ² < 7,2².

Orðið „minni“ segir okkur að þetta er vinsturhliða próf.

Dreifing prófsins er χ²-dreifing með 24 frígráðum, þar sem n = 25 og df = n − 1 = 25 − 1 = 24.

Reiknum prófstærðina:

χ^{2} = \frac{(n - 1) s^{2}}{σ^{2}} = \frac{(25 - 1) {(3,5)}^{2}}{{7,2}^{2}} = 5,67

Hér er n = 25, s = 3,5 og σ = 7,2.

Graf:

This is a nonsymmetrical chi-square curve with values of 0 and 5.67 labeled on the horizontal axis. The point 5.67 lies to the left of the peak of the curve. A vertical upward line extends from 5.67 to the curve and the region to the left of this line is shaded. The shaded area is equal to the p-value. — **Mynd 11.8.** Mynd 11.8

p -gildi = P (χ^{2} < 5,67) = 0,000042

Berið saman α og p-gildið: α = 0,05, p-gildi = 0,000042 og α > p-gildi. Þar sem α > p-gildi höfnum við H₀. Það þýðir að við höfnum σ² = 7,2². Með öðrum orðum teljum við ekki að breytileikinn í biðtímanum samsvari staðalfráviki 7,2 mínútna; við teljum að breytileikinn sé minni.

Við 5 prósent marktektarstig gefa gögnin nægar vísbendingar til að álykta að ein sameiginleg röð valdi minni breytileika í biðtíma viðskiptavina.

Á TI-83, TI-83+, TI-84 eða TI-84+ er notað 7:χ2cdf undir 2nd DISTR. Skipunin notar færibreyturnar (neðri mörk, efri mörk, df). Í dæmi 11.11 er χ2cdf(-1E99,5.67,24) notað og p-gildið er 0,000042.