55 Samfelldar slembibreytur

5.2 The Uniform Distribution

5.2 Jöfn dreifing

Jöfn dreifing er samfelld líkindadreifing sem á við um atburði sem eru jafnlíklegir. Þegar leyst eru dæmi með jafnri dreifingu skal gæta þess vel hvort endapunktar gagnanna séu meðtaldir eða undanskildir.

Dæmi 5.2

Gögnin í töflu 5.1 sýna 55 brostíma, í sekúndum, hjá átta vikna gömlu barni.

10,4	19,6	18,8	13,9	17,8	16,8	21,6	17,9	12,5	11,1	4,9
12,8	14,8	22,8	20,0	15,9	16,3	13,4	17,1	14,5	19,0	22,8
1,3	0,7	8,9	11,9	10,9	7,3	5,9	3,7	17,9	19,2	9,8
5,8	6,9	2,6	5,8	21,7	11,8	3,4	2,1	4,5	6,3	10,7
8,9	9,4	9,4	7,6	10,0	3,3	6,7	7,8	11,6	13,8	18,6

Úrtaksmeðaltalið er 11,49 og staðalfrávik úrtaksins er 6,23.

Við gerum ráð fyrir að brostímarnir, í sekúndum, fylgi jafnri dreifingu á bilinu frá núlli til 23 sekúndna, að báðum mörkum meðtöldum. Þetta þýðir að allir brostímar frá núlli til og með 23 sekúndum eru jafnlíklegir. Stuðlaritið sem hægt væri að gera úr úrtakinu er reynsludreifing sem fellur vel að fræðilegu jöfnu dreifingunni.

Látum X tákna lengd brosins, í sekúndum, hjá átta vikna gömlu barni.

Rithátturinn fyrir jafna dreifingu er

X ~ U(a, b), þar sem a er lægsta gildi x og b er hæsta gildi x.

Þéttifallið er f(x) = 1/(b - a) fyrir a ≤ x ≤ b.

Í þessu sýnidæmi er X ~ U(0, 23) og f(x) = 1/(23 - 0) = 1/23 fyrir 0 ≤ x ≤ 23.

Jöfnur fyrir fræðilegt meðaltal og staðalfrávik eru

μ = \frac{a + b}{2} og σ = \sqrt{\frac{{(b - a)}^{2}}{12}}

Fyrir þetta dæmi eru fræðilegt meðaltal og staðalfrávik

μ = \frac{0 + 23}{2} = 11,50 sekúndur og σ = \sqrt{\frac{{(23 - 0)}^{2}}{12}} = 6,64 sekúndur .

Takið eftir að fræðilega meðaltalið og staðalfrávikið eru nálægt úrtaksmeðaltalinu og staðalfráviki úrtaksins í þessu sýnidæmi.

Dæmi 5.3

a. Sjá sýnidæmi 5.2. Hverjar eru líkurnar á því að átta vikna gamalt barn, valið af handahófi, brosi á milli tveggja og 18 sekúndna?

Lausn

P(2 < x < 18) = (grunnlína)(hæð) = (18 - 2)(1/23) = 16/23

Þetta línurit sýnir jafndreifingu. Lárétti ásinn spannar frá 0 til 15. Dreifingin er líkanuð með rétthyrningi sem nær frá x = 0 til x = 15. Svæði frá x = 2 til x = 18 er skyggt inni í rétthyrningnum. — Mynd 5.11

b. Finndu 90. hundraðsmarkið fyrir brostíma átta vikna gamals barns.

Lausn

b. Níutíu prósent brostímanna eru undir 90. hundraðsmarkinu, k, þannig að P(x < k) = 0,90.

P (x < k) = 0,90

(grunnlína) (hæð) = 0,90

(k - 0) (\frac{1}{23}) = 0,90

k = (23) (0,90) = 20,7

Hér sést línurit fallsins f(x) = 1/15. Lárétt lína liggur frá punktinum (0, 1/15) til punktsins (15, 1/15). Lóðrétt lína nær frá x-ásnum að enda línunnar í punktinum (15, 1/15) og myndar rétthyrning. Svæði er skyggt inni í rétthyrningnum frá x = 0 til x = k. Skyggða svæðið táknar P(x < k) = 0.90. — Mynd 5.12

c. Finndu líkurnar á því að átta vikna gamalt barn, valið af handahófi, brosi lengur en í 12 sekúndur, að því gefnu að barnið brosi lengur en í átta sekúndur.

Lausn

c. Þessi líkindaspurning snýst um skilyrt líkindi. Beðið er um að finna líkurnar á því að átta vikna gamalt barn brosi lengur en í 12 sekúndur þegar þegar er vitað að barnið hefur brosað lengur en í átta sekúndur.

Finndu P(x > 12 | x > 8). Það eru tvær leiðir til að leysa dæmið. Fyrri leiðin er að nýta sér að þetta eru skilyrt líkindi sem breyta útkomurúminu. Línuritið sýnir nýja útkomurúmið. Þú veist nú þegar að barnið brosti lengur en í átta sekúndur.

fyrir 8 < x < 23

Skrifaðu nýtt f(x): f(x) = 1/(23 - 8) = 1/15 fyrir 8 < x < 23.

P(x > 12 | x > 8) = (23 - 12)(1/15) = 11/15

Línurit af f(X)=1/15 sem sýnir kassað svæði sem samanstendur af láréttri línu sem liggur til hægri frá punktinum 1/15 á y-ás, lóðréttri línu upp frá punktunum 8 og 23 á x-ás, og x-ásnum. Skyggt svæði frá punktunum 12-23 er innan þessa svæðis. — Mynd 5.13

Fyrir seinni leiðina skal nota jöfnuna fyrir skilyrt líkindi úr kaflanum um líkindafræði með upprunalegu dreifingunni.

P(A | B) = P(A og B)/P(B)

Í þessu dæmi er A atburðurinn (x > 12) og B er atburðurinn (x > 8).

Því er P(x > 12 | x > 8) = P(x > 12 og x > 8)/P(x > 8) = P(x > 12)/P(x > 8) = (11/23)/(15/23) = 11/15

Hér sést línurit fallsins f(x) = 1/23. Lárétt lína liggur frá punktinum (0, 1/23) til punktsins (23, 1/23). Lóðrétt lína nær frá x-ásnum að enda línunnar í punktinum (23, 1/23) og myndar rétthyrning. Skyggt svæði afmarkast af lóðréttum línum sem ná frá lárétta ásnum að línuritinu í x = 8 og x = 12. — Mynd 5.14

Dæmi 5.4

Sá tími, í mínútum, sem manneskja þarf að bíða eftir strætó er jafnt dreifður á bilinu frá núlli til 15 mínútna, að báðum mörkum meðtöldum.

a. Hverjar eru líkurnar á því að manneskja bíði skemur en í 12,5 mínútur?

Lausn

a. Látum X tákna fjölda mínútna sem manneskja þarf að bíða eftir strætó. Þá eru a = 0 og b = 15, svo X ~ U(0, 15). Skrifaðu þéttifallið: f(x) = 1/(15 - 0) = 1/15 fyrir 0 ≤ x ≤ 15.

Finndu P(x < 12,5). Teiknaðu línurit.

P (x < k) = (grunnlína) (hæð) = (12,5 - 0) (\frac{1}{15}) = 0,8333

Líkurnar á því að manneskja bíði skemur en í 12,5 mínútur eru 0,8333.

b. Hversu lengi þarf manneskja að bíða að meðaltali? Finndu meðaltalið, μ, og staðalfrávikið, σ.

Lausn

b. μ = (a + b)/2 = (15 + 0)/2 = 7,5. Að meðaltali þarf manneskja að bíða í 7,5 mínútur. σ = sqrt((b - a)^2/12) = sqrt((15 - 0)^2/12) = 4,3. Staðalfrávikið er 4,3 mínútur.

c. Níutíu prósent tilvika er biðtíminn, í mínútum, undir hvaða gildi?

Lausn

c. Finndu 90. hundraðsmarkið. Teiknaðu línurit. Látum k vera 90. hundraðsmarkið. P(x < k) = (grunnlína)(hæð) = (k - 0)(1/15). Þá er 0,90 = k(1/15), svo k = 0,90(15) = 13,5. k er stundum kallað gagnrýnigildi. 90. hundraðsmarkið er 13,5 mínútur. Í 90 prósentum tilvika þarf manneskja að bíða í mesta lagi í 13,5 mínútur.

Línurit af f(X)=1/15 sem sýnir kassað svæði sem samanstendur af láréttri línu sem liggur til hægri frá punktinum 1/15 á y-ás, lóðréttri línu upp frá handahófskenndum punkti á x-ás, og x- og y-ásunum. Skyggt svæði frá punktunum 0-k er innan þessa svæðis. Flatarmál þessa líkindasvæðis er jafnt og 0.90. — Mynd 5.16

Dæmi 5.5

Gerum ráð fyrir að tíminn sem það tekur níu ára barn að borða kleinuhring sé á milli 0,5 og 4 mínútna, að báðum mörkum meðtöldum. Látum X tákna tímann, í mínútum, sem það tekur níu ára barn að borða kleinuhring. Þá er X ~ U(0,5, 4).

a. Líkurnar á því að níu ára barn, valið af handahófi, borði kleinuhring á að minnsta kosti tveimur mínútum eru _______.

Lausn

a. 0,5714

b. Finnið líkurnar á því að annað níu ára barn borði kleinuhring á meira en tveimur mínútum, að því gefnu að barnið hafi þegar verið að borða kleinuhringinn í meira en 1,5 mínútur.

Önnur spurningin felur í sér skilyrtar líkur. Beðið er um að finna líkurnar á því að níu ára barn borði kleinuhring á meira en tveimur mínútum, að því gefnu að barnið hafi þegar verið að borða kleinuhringinn í meira en 1,5 mínútur. Leysið dæmið á tvo mismunandi vegu (sjá sýnidæmi 5.3). Það þarf að minnka útkomurúmið. Fyrri leiðin: Þar sem vitað er að barnið hefur þegar verið að borða kleinuhringinn í meira en 1,5 mínútur er ekki lengur byrjað á a = 0,5 mínútum. Upphafspunkturinn er 1,5 mínútur.

Skrifið nýtt f(x):

f (x) = \frac{1}{4 - 1,5} = \frac{2}{5} fyrir 1,5 \leq x \leq 4.

Finnið P(x > 2 | x > 1,5). Teiknið línurit.

f(X)=2/5 línurit sem sýnir kassa sem samanstendur af láréttri línu sem liggur til hægri frá punktinum 2/5 á y-ás, lóðréttum línum upp frá punktunum 1.5 og 4 á x-ás, og x-ásnum sjálfum. Skyggt svæði frá punktunum 2-4 er innan þessa svæðis. — Mynd 5.17

P (x > 2 | x > 1,5) = (grunnlína)(ný hæð) = (4 – 2) (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5}

Lausn

b. 4/5

Líkurnar á því að níu ára barn borði kleinuhring á meira en tveimur mínútum, að því gefnu að barnið hafi þegar verið að borða kleinuhringinn í meira en 1,5 mínútur, eru 4/5.

Seinni leiðin: Teiknið upprunalega línuritið fyrir X ~ U(0,5, 4). Notið jöfnuna fyrir skilyrtar líkur

P (x > 2 | x > 1,5) = \frac{P (x > 2 A N D x > 1,5)}{P (x > 1,5)} = \frac{P (x > 2)}{P (x > 1,5)} = \frac{\frac{2}{3,5}}{\frac{2,5}{3,5}} = 0,8 = \frac{4}{5}

Dæmi 5.6

Ace Heating and Air Conditioning Service kemst að því að tíminn sem viðgerðarmaður þarf til að gera við kyndiofn er jafnt dreifður á milli 1,5 og fjögurra klukkustunda. Látum x tákna tímann sem þarf til að gera við kyndiofn. Þá er x ~ U(1,5, 4).

Finnið líkurnar á því að viðgerð á kyndiofni, valin af handahófi, taki meira en tvær klukkustundir.
Finnið líkurnar á því að viðgerð á kyndiofni, valin af handahófi, taki minna en þrjár klukkustundir.
Finnið 30. hundraðsmarkið fyrir viðgerðartíma kyndiofna.
Lengstu 25 prósent viðgerðartíma kyndiofna taka að minnsta kosti hversu langan tíma? (Með öðrum orðum: finnið lágmarkstíma fyrir lengstu 25 prósent viðgerðartíma.) Hvaða hundraðsmarki samsvarar þetta?
Finnið meðaltal og staðalfrávik

Lausn

a. Til að finna f(x): f(x) = 1/(4 - 1,5) = 1/2,5, þannig að f(x) = 0,4

P(x > 2) = (grunnlína)(hæð) = (4 - 2)(0,4) = 0,8

Þetta sýnir línurit fallsins f(x) = 0.4. Lárétt lína nær frá punktinum (1.5, 0.4) til punktsins (4, 0.4). Lóðréttar línur liggja frá x-ásnum að línuritinu í x = 1.5 og x = 4 og mynda rétthyrning. Svæði er skyggt innan rétthyrningsins frá x = 2 til x = 4. — **Mynd 5.18.** Jöfn dreifing á milli 1,5 og fjögurra með skyggðu svæði á milli tveggja og fjögurra sem táknar líkurnar á því að viðgerðartíminn x sé meiri en tveir

b. P(x < 3) = (grunnlína)(hæð) = (3 - 1,5)(0,4) = 0,6

Línurit rétthyrningsins sem sýnir alla dreifinguna myndi haldast óbreytt. Hins vegar ætti línuritið að vera skyggt á milli x = 1,5 og x = 3. Athugið að skyggða svæðið byrjar í x = 1,5 frekar en í x = 0. Vegna þess að X ~ U(1,5, 4) getur x ekki verið minna en 1,5.

P(x < k) = 0,30. P(x < k) = (grunnlína)(hæð) = (k - 1,5)(0,4). Þá er 0,30 = (k - 1,5)(0,4). Leysið til að finna k: 0,75 = k - 1,5, fengið með því að deila báðum hliðum með 0,4. k = 2,25, fengið með því að bæta 1,5 við báðar hliðar. 30. hundraðsmark viðgerðartíma er 2,25 klukkustundir. 30 prósent viðgerðartíma eru 2,25 klukkustundir eða styttri.

Sýnt er línurit með x-ás og f(x)-ás. Kassi er teiknaður á línuritið á milli 1.5 og 4 á x-ás, og 0 og 0.4 á f(x)-ás. Kassinn er skyggður blár frá mælingu k til 4. Texti fyrir ofan kassann segir „skyggða svæðið táknar P(x>k)=0.25“. — **Mynd 5.21.** Jöfn dreifing á milli 1,5 og 4 með svæði sem er 0,25 skyggt til hægri, sem táknar lengstu 25 prósent viðgerðartíma.

P(x > k) = 0,25. P(x > k) = (grunnlína)(hæð) = (4 - k)(0,4). Þá er 0,25 = (4 - k)(0,4). Leysið fyrir k: 0,625 = 4 - k, fengið með því að deila báðum hliðum með 0,4. -3,375 = -k, fengið með því að draga fjóra frá báðum hliðum, svo k = 3,375. Lengstu 25 prósent viðgerða á kyndiofnum taka að minnsta kosti 3,375 klukkustundir. Athugið: Þar sem 25 prósent viðgerðartíma eru 3,375 klukkustundir eða lengri þýðir það að 75 prósent viðgerðartíma eru 3,375 klukkustundir eða skemmri. 3,375 klukkustundir er 75. hundraðsmark viðgerðartíma kyndiofna.

e. μ = (a + b)/2 og σ = sqrt((b - a)^2/12). μ = (1,5 + 4)/2 = 2,75 klukkustundir og σ = sqrt((4 - 1,5)^2/12) = 0,7217 klukkustundir.