55 Samfelldar slembibreytur

Chapter Review

Upprifjun kafla

5.1 Samfelld líkindaföll

Þéttifall er notað til að lýsa líkum fyrir samfelldar slembibreytur. Flatarmálið undir þéttiferlinum milli tveggja punkta samsvarar líkunum á því að breytan falli milli þessara tveggja gilda. Með öðrum orðum er flatarmálið undir þéttiferlinum milli punktanna a og b jafnt P(a < x < b). Dreififallið gefur líkindin sem flatarmál. Ef X er samfelld slembibreyta er þéttifallið f(x) notað til að teikna graf líkindadreifingarinnar. Heildarflatarmálið undir grafi f(x) er einn. Flatarmálið undir grafi f(x) milli gildanna a og b gefur líkindin P(a < x < b).

Grafið til vinstri sýnir almennan þéttiferil, y = f(x). Svæðið undir ferlinum og ofan við x-ásinn er skyggt. Flatarmál skyggða svæðisins er jafnt og 1. Þetta sýnir að allar mögulegar útkomur eru táknaðar með ferlinum. Grafið til hægri sýnir sama þéttiferil. Lóðréttar línur x = a og x = b ná frá ásnum að ferlinum og svæðið milli línanna er skyggt. Flatarmál skyggða svæðisins táknar líkindin á því að gildi x falli milli a og b. — **Mynd 5.35.** Mynd 5.35

Dreififall X er skilgreint sem P(X ≤ x). Það er fall af x sem gefur líkurnar á því að slembibreytan sé minni en eða jöfn x.

5.2 Jöfn dreifing

$μ = \frac{a + b}{2}$ $σ = \sqrt{\frac{{(b - a)}^{2}}{12}}$ $f (x) = \frac{1}{b - a}$ $\frac{x - a}{b - a}$

Grafið sýnir rétthyrning með heildarflatarmál jafnt og 1. Rétthyrningurinn nær frá x = a til x = b á x-ásnum og hefur hæðina 1/(b-a). — **Mynd 5.36.** Mynd 5.36

Finna má líkindin P(c < X < d) með því að reikna flatarmálið undir f(x) milli c og d. Þar sem samsvarandi svæði er rétthyrningur má finna flatarmálið með því að margfalda breiddina og hæðina.

5.3 Veldisdreifing (valfrjálst)

Ef X hefur veldisdreifingu með meðaltali μ, þá er hrörnunarstikinn m = $\frac{1}{μ}$ og við ritum X ~ Exp(m), þar sem x ≥ 0 og m > 0. Þéttifall X er $f (x) = \frac{1}{μ} e^{- x / μ}$ , eða jafngilt f(x) = (1/μ)e^(-x/μ). Dreififall X er P(X ≤ x) = 1 - e^(-mx).

Veldisdreifingin hefur minnisleysiseiginleikann, sem segir að framtíðarlíkur séu óháðar öllum fyrri upplýsingum. Stærðfræðilega er það P(X > x + k | X > x) = P(X > k).

$P (X = k) = \frac{λ^{k} e^{- k}}{k!}$