66 Normaldreifing

6.2 Notkun normaldreifingar

6,2 Notkun normaldreifingar

Skyggða svæðið á eftirfarandi línuriti sýnir svæðið vinstra megin við x. Þetta svæði gæti táknað hlutfall nemenda sem fá lægri einkunn en tiltekna einkunn á lokaprófi. Þetta svæði er táknað með líkindunum P(X < x). Normaldreifingartöflur, tölvur og reiknivélar eru notaðar til að gefa upp eða reikna út líkindin P(X < x).

Bjöllulaga normaldreifingarkúrfa þar sem flatarmálið fyrir líkurnar P(X < x) er skyggt.

Svæðið hægra megin er þá P(X > x) = 1 - P(X < x). Munum að P(X < x) er svæðið vinstra megin við lóðréttu línuna í gegnum x. P(X > x) = 1 - P(X < x) er svæðið hægra megin við lóðréttu línuna í gegnum x. Fyrir samfelldar dreifingar er P(X < x) það sama og P(X ≤ x), og P(X > x) það sama og P(X ≥ x).

Gerum ráð fyrir að línuritið hér að ofan sýni hlutfall nemenda sem fá lægra en 75 á lokaprófi, þar sem þessi líkindi eru jöfn 0,39. Þetta myndi einnig gefa til kynna að hlutfall nemenda sem fá hærra en 75 væri jafnt og 1 að frádregnu 0,39 eða 0,61.

Útreikningur líkinda

Líkindi eru reiknuð með hjálp tækni. Leiðbeiningar eru gefnar eftir þörfum fyrir TI-83+ og TI-84 reiknivélar.

ATHUGIÐ

Til að reikna út líkindin án þess að nota tækni skal nota líkindatöflurnar sem finna má í viðauka H. Töflurnar innihalda leiðbeiningar um hvernig á að nota þær.

Líkindin eru táknuð með svæðinu undir normalkúrfunni. Til að finna líkindin skal reikna z-gildið og fletta því upp í z-töflunni undir z-dálkinum. Flestar z-töflur sýna svæðið undir normalkúrfunni vinstra megin við z. Aðrar sýna svæðið frá meðaltali að z. Sú aðferð sem notuð er verður tilgreind á töflunni.

Við munum fjalla um z-töfluna sem sýnir svæðið undir normalkúrfunni vinstra megin við z. Þegar þú hefur fundið z-gildið skaltu finna samsvarandi svæði. Þetta verður svæðið undir normalkúrfunni, vinstra megin við z-gildið. Þetta svæði er hægt að nota til að finna svæðið hægra megin við z-gildið, með því að draga það frá 1 eða heildarsvæðinu undir normalkúrfunni. Þessi svæði er einnig hægt að nota til að ákvarða svæðið á milli tveggja z-gilda.

Dæmi 6.7

Ef svæðið vinstra megin er 0,0228, þá er svæðið hægra megin 1 – 0,0228 = 0,9772.

Dæmi 6.8

Einkunnir á lokaprófi í tölfræðiáfanga voru normaldreifðar með meðaltalið 63 og staðalfrávikið fimm.

a. Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn nemandi hafi fengið meira en 65 á prófinu.

Lausn

a. Látum X = a vera einkunn á lokaprófi. X ~ N(63, 5), þar sem μ = 63 og σ = 5.

Teiknaðu línurit.

Reiknaðu z-gildið:

z = \frac{x - μ}{σ} = \frac{65 - 63}{5} = \frac{2}{5} = .40

6.4

z-taflan sýnir að svæðið vinstra megin við z er 0,6554. Ef þetta svæði er dregið frá 1 fæst 0,3446.

Finndu síðan P(x > 65).

P (x gt 65) = 0.3446 P (x gt 65) = 0.3446

Bjöllulaga normaldreifingarkúrfa þar sem flatarmálið fyrir líkurnar P(x > 65) = 0.3446 er skyggt.

Líkurnar á því að hvaða nemandi sem er, valinn af handahófi, fái meira en 65 eru 0,3446.

Notkun TI-83, 83+, 84, 84+ reiknivélar

Farðu í 2nd DISTR. Eftir að þú hefur ýtt á 2nd DISTR skaltu ýta á 2:normalcdf.

Málskipan leiðbeininganna er eftirfarandi:

normalcdf(neðra gildi, efra gildi, meðaltal, staðalfrávik). Fyrir þetta dæmi: normalcdf(65,1E99,63,5) = 0.3446. Þú færð 1E99 (= 10^99) með því að ýta á 1, EE-lykilinn (2nd-lykill) og síðan 99. Einnig má slá inn 10^99. Talan 10^99 er langt úti í hægri hala normalkúrfunnar. Hér er flatarmálið milli 65 og 10^99 reiknað. Í sumum tilvikum getur neðra gildi svæðisins verið -1E99 (= -10^99), sem er langt úti í vinstri hala normalkúrfunnar. Veldisvísirinn 99 er valinn vegna þess að hann gefur svo stóra tölu að með sanngirni má gera ráð fyrir að öll gildi undir kúrfunni liggi fyrir neðan hana. Þetta gildi er handahófskennt en hentar vel hér.

b. Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn nemandi hafi fengið minna en 85.

Lausn

b. Teiknaðu línurit.

Finndu síðan P(x < 85) og skyggðu línuritið.

Notaðu tölvu eða reiknivél til að finna P(x < 85) = 1.

normalcdf(0,85,63,5) = 1 (námundast í einn)

Líkurnar á því að einn nemandi fái minna en 85 eru um það bil einn, eða 100 prósent.

c. Finndu 90. prósentumarkina, —það er að segja, finndu einkunnina k þar sem 90 prósent einkunna eru undir k og 10 prósent einkunna eru yfir k.

Lausn

c. Finndu 90. prósentumarkina. Fyrir hvert verkefni eða hluta af verkefni skal teikna nýtt línurit. Teiknaðu x-ásinn. Skyggðu svæðið sem samsvarar 90. prósentumarkinni. Að þessu sinni erum við að leita að einkunn sem samsvarar tilteknu svæði undir kúrfunni.

Látum k vera 90. prósentumarkið. Breytan k er á x-ásnum. P(x < k) er flatarmálið vinstra megin við k. 90. prósentumarkið k skiptir prófeinkunnunum í þær sem eru jafnar eða lægri en k og þær sem eru hærri en k. Níutíu prósent prófeinkunna eru jafnar eða lægri en k og 10 prósent eru hærri. Breytan k er oft kölluð markgildi.

Við þekkjum meðaltalið, staðalfrávikið og svæðið undir normalkúrfunni. Við þurfum að finna z-gildið sem samsvarar svæðinu 0,9 og setja það síðan, ásamt meðaltali og staðalfráviki, inn í jöfnuna okkar fyrir z-gildi. z-taflan sýnir z-gildið um það bil 1,28, fyrir svæði undir normalkúrfunni vinstra megin við z (larger portion) sem er um það bil 0,9. Þannig getum við skrifað eftirfarandi:

1.28 = \frac{x - 63}{5}

Ef margfaldað er báðum megin jöfnunnar með 5 fæst

6.4 = x - 63

Ef 63 er bætt við báðum megin jöfnunnar fæst

69.4 = x.

Þannig er einkunnin okkar, k, 69,4.

k = 69.4 k = 69.4

Normaldreifingarkúrfa með topp við 63 á x-ás. Punkturinn k er hægra megin við 63 og flatarmálið vinstra megin við k er skyggt: P(x < k) = 0.90.

90. prósentumarkið er 69,4. Þetta þýðir að 90 prósent prófeinkunna falla á eða undir 69,4 og 10 prósent falla á eða yfir. Til að fá þetta svar á reiknivélinni skaltu fylgja næsta skrefi:

d. Finndu 70. prósentumarkið, —það er að segja, finndu einkunnina k þannig að 70 prósent einkunna séu undir k og 30 prósent einkunna séu yfir k.

Lausn

d. Finndu 70. prósentumarkið.

Teiknaðu nýtt línurit og merktu það á viðeigandi hátt. k = 65,6

70. prósentumarkið er 65,6. Þetta þýðir að 70 prósent prófeinkunna falla á eða undir 65,6 og 30 prósent falla á eða yfir.

invNorm(0.70,63,5) = 65.6

Dæmi 6.9

Einkatölva er notuð til skrifstofuvinnu heima, rannsókna, samskipta, heimilisfjármála, menntunar, afþreyingar, samfélagsmiðla og ógrynni annarra hluta. Gerum ráð fyrir að meðalfjöldi klukkustunda sem einkatölva á heimili er notuð til afþreyingar séu tvær klukkustundir á dag. Gerum ráð fyrir að tíminn sem fer í afþreyingu sé normaldreifður og að staðalfrávik tímans sé hálf klukkustund.

a. Finndu líkurnar á því að einkatölva á heimili sé notuð til afþreyingar á milli 1,8 og 2,75 klukkustunda á dag.

Lausn

a. Látum X vera þann tíma, í klukkustundum, sem einkatölva á heimili er notuð til afþreyingar. X ~ N(2, 0.5), þar sem μ = 2 og σ = 0.5.

Finndu P (1,8 < x < 2,75).

Reiknaðu fyrst z-gildin fyrir hvert x-gildi.

z = 1,8 − 2/0,5 = − 0,2/0,5 = − 0,40 z = 2,75 − 2/0,5 = 0,75/0,5 = 1,5

Notaðu nú Z-töfluna til að finna flatarmálið undir normalkúrfunni vinstra megin við hvert þessara z-gilda.

Flatarmálið vinstra megin við z-gildið −0,40 er 0,3446. Flatarmálið vinstra megin við z-gildið 1,5 er 0,9332. Flatarmálið á milli þessara gilda verður mismunurinn á flatarmálunum tveimur, eða 0,9332 − 0,3446, sem er jafnt og 0,5886.

Normaldreifingarkúrfa með topp við 2 á x-ás. Gildin 1.8 og 2.75 eru merkt og flatarmálið á milli þeirra er skyggt.

normalcdf(1.8,2.75,2,0.5) = 0.5886

Líkurnar á því að heimilistölva sé notuð á milli 1,8 og 2,75 klukkustunda á dag til afþreyingar eru 0,5886.

b. Finndu hámarksfjölda klukkustunda á dag sem neðsti fjórðungur heimila notar einkatölvu til afþreyingar.

Lausn

b. Til að finna hámarksfjölda klukkustunda á dag sem neðsti fjórðungur heimila notar einkatölvu til afþreyingar skal finna 25. prósentumarkið, k, þar sem P(x < k) = 0,25.

Normaldreifingarkúrfa þar sem vinstri hali er skyggður. Skyggða svæðið sýnir P(x < k) = 0.25 og því er k = 1.67.

invNorm(0.25,2,0.5) = 1.66

Við notum invNorm vegna þess að við erum að leita að k-gildinu.

Hámarksfjöldi klukkustunda á dag sem neðsti fjórðungur heimila notar einkatölvu til afþreyingar er 1,66 klukkustundir.

Dæmi 6.10

Í Bandaríkjunum fylgir aldur snjallsímanotenda á aldrinum 13 til 55 ára og eldri normaldreifingu með áætlað meðaltal 36,9 ár og staðalfrávik 13,9 ár.

a. Ákvarðaðu líkurnar á því að handahófsvalinn snjallsímanotandi á aldrinum 13 til 55 ára og eldri sé á milli 23 og 64,7 ára.

Lausn

a. normalcdf(23,64.7,36.9,13.9) = 0.8186

z-gildin eru reiknuð sem

z = 23 − 36,9/13,9 = − 13,9/13,9 = − 1 z = 64,7 − 36,9/13,9 = 27,8/13,9 = 2

Z-taflan sýnir að flatarmálið vinstra megin við z-gildi með tölugildið 1 er 0,1587. Hún sýnir að flatarmálið vinstra megin við z-gildið 2 er 0,9772. Mismunurinn á flatarmálunum tveimur er 0,8185.

Þetta er örlítið frábrugðið flatarmálinu sem reiknivélin gefur, vegna námundunar.

b. Ákvarðaðu líkurnar á því að handahófsvalinn snjallsímanotandi á aldrinum 13 til 55 ára og eldri sé í mesta lagi 50,8 ára.

Lausn

b. normalcdf(–10 99,50.8,36.9,13.9) = 0.8413

c. Finndu 80. prósentumark þessarar dreifingar og túlkaðu það í heilli setningu.

Lausn

invNorm(0.80,36.9,13.9) = 48.6
80. prósentumarkið er 48,6 ár.
80 prósent snjallsímanotenda á aldrinum 13 til 55 ára og eldri eru 48,6 ára eða yngri.

Dæmi 6.11

Í Bandaríkjunum fylgir aldur snjallsímanotenda á aldrinum 13 til 55 ára og eldri um það bil normaldreifingu með áætlað meðaltal 36,9 ár og staðalfrávik 13,9 ár. Notaðu þessar upplýsingar til að svara eftirfarandi spurningum. —Námundaðu svör að einum aukastaf.

a. Reiknaðu fjórðungaspönnina (IQR).

Lausn

IQR = Q3 – Q1
Reiknaðu Q3 = 75. prósentumark og Q1 = 25. prósentumark.
Mundu að við getum notað invNorm til að finna k-gildið. Við getum notað þetta til að finna fjórðungamörkin.
invNorm(0.75,36.9,13.9) = Q3 = 46.2754
invNorm(0.25,36.9,13.9) = Q1 = 27.5246
IQR = Q3 – Q1 = 18,8

b. Fjörutíu prósent aldursins sem spannar frá 13 til 55+ are eru að minnsta kosti hvaða aldur?

Lausn

Finndu k þar sem P(x ≥ k) = 0,40. Að minnsta kosti þýðir stærra en eða jafnt og.
0,40 = flatarmálið hægra megin
Flatarmálið vinstra megin = 1 – 0,40 = 0,60.
Flatarmálið vinstra megin við k = 0,60
invNorm(0.60,36.9,13.9) = 40.4215
k = 40,4.
Fjörutíu prósent aldursins sem spannar frá 13 til 55+ are eru að minnsta kosti 40,4 ár.

Dæmi 6.12

Sítrusbóndi sem ræktar mandarínur kemst að því að þvermál mandarína sem uppskornar eru á býli hans fylgir normaldreifingu með meðalþvermál 5,85 cm og staðalfrávik 0,24 cm.

a. Finndu líkurnar á því að handahófsvalin mandarína frá þessu býli hafi þvermál sem er stærra en 6,0 cm. Teiknaðu grafið.

Lausn

a. normalcdf(6,10^99,5.85,0.24) = 0.2660

b. Miðju 20 prósent mandarínanna frá þessum bóndabæ hafa þvermál á milli ______ og ______.

Lausn

1 – 0,20 = 0,80. Fyrir utan miðju 20 prósentin verða 80 prósent gildanna.
Halar grafs normaldreifingarinnar hafa hvor um sig flatarmálið 0,40.
Finndu k 1, 40. prósentumarkið, og k 2, 60. prósentumarkið (0,40 + 0,20 = 0,60). Þetta skilur eftir miðju 20 prósentin, í miðri dreifingunni.
k₁ = invNorm(0.40,5.85,0.24) = 5.79 cm
k₂ = invNorm(0.60,5.85,0.24) = 5.91 cm

Þannig að miðju 20 prósent mandarínanna hafa þvermál á milli 5,79 cm og 5,91 cm.

c. Finndu 90. prósentumarkið fyrir þvermál mandarína og túlkaðu það í heilli málsgrein.

Lausn

c. 6,16, Níutíu prósent af þvermáli mandarínanna eru í mesta lagi 6,16 cm.