6.2 Using the Normal Distribution
6,2 Notkun normaldreifingar
Skyggða svæðið á eftirfarandi línuriti sýnir svæðið vinstra megin við x. Þetta svæði gæti táknað hlutfall nemenda sem fá lægri einkunn en tiltekna einkunn á lokaprófi. Þetta svæði er táknað með líkindunum P(X < x). Normaldreifingartöflur, tölvur og reiknivélar eru notaðar til að gefa upp eða reikna út líkindin P(X < x).
Svæðið hægra megin er þá P(X > x) = 1 - P(X < x). Munum að P(X < x) er svæðið vinstra megin við lóðréttu línuna í gegnum x. P(X > x) = 1 - P(X < x) er svæðið hægra megin við lóðréttu línuna í gegnum x. Fyrir samfelldar dreifingar er P(X < x) það sama og P(X ≤ x), og P(X > x) það sama og P(X ≥ x).
Gerum ráð fyrir að línuritið hér að ofan sýni hlutfall nemenda sem fá lægra en 75 á lokaprófi, þar sem þessi líkindi eru jöfn 0,39. Þetta myndi einnig gefa til kynna að hlutfall nemenda sem fá hærra en 75 væri jafnt og 1 að frádregnu 0,39 eða 0,61.
Útreikningur líkinda
Líkindi eru reiknuð með hjálp tækni. Leiðbeiningar eru gefnar eftir þörfum fyrir TI-83+ og TI-84 reiknivélar.
Dæmi 6.7
Dæmi 6.8
Einkunnir á lokaprófi í tölfræðiáfanga voru normaldreifðar með meðaltalið 63 og staðalfrávikið fimm.
a. Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn nemandi hafi fengið meira en 65 á prófinu.
Lausn
a. Látum X = a vera einkunn á lokaprófi. X ~ N(63, 5), þar sem μ = 63 og σ = 5.
Teiknaðu línurit.
Reiknaðu z-gildið:
z-taflan sýnir að svæðið vinstra megin við z er 0,6554. Ef þetta svæði er dregið frá 1 fæst 0,3446.
Finndu síðan P(x > 65).
Líkurnar á því að hvaða nemandi sem er, valinn af handahófi, fái meira en 65 eru 0,3446.
b. Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn nemandi hafi fengið minna en 85.
Lausn
b. Teiknaðu línurit.
Finndu síðan P(x < 85) og skyggðu línuritið.
Notaðu tölvu eða reiknivél til að finna P(x < 85) = 1.
normalcdf(0,85,63,5) = 1 (námundast í einn)
Líkurnar á því að einn nemandi fái minna en 85 eru um það bil einn, eða 100 prósent.
c. Finndu 90. prósentumarkina, —það er að segja, finndu einkunnina k þar sem 90 prósent einkunna eru undir k og 10 prósent einkunna eru yfir k.
Lausn
c. Finndu 90. prósentumarkina. Fyrir hvert verkefni eða hluta af verkefni skal teikna nýtt línurit. Teiknaðu x-ásinn. Skyggðu svæðið sem samsvarar 90. prósentumarkinni. Að þessu sinni erum við að leita að einkunn sem samsvarar tilteknu svæði undir kúrfunni.
Látum k vera 90. prósentumarkið. Breytan k er á x-ásnum. P(x < k) er flatarmálið vinstra megin við k. 90. prósentumarkið k skiptir prófeinkunnunum í þær sem eru jafnar eða lægri en k og þær sem eru hærri en k. Níutíu prósent prófeinkunna eru jafnar eða lægri en k og 10 prósent eru hærri. Breytan k er oft kölluð markgildi.
Við þekkjum meðaltalið, staðalfrávikið og svæðið undir normalkúrfunni. Við þurfum að finna z-gildið sem samsvarar svæðinu 0,9 og setja það síðan, ásamt meðaltali og staðalfráviki, inn í jöfnuna okkar fyrir z-gildi. z-taflan sýnir z-gildið um það bil 1,28, fyrir svæði undir normalkúrfunni vinstra megin við z (larger portion) sem er um það bil 0,9. Þannig getum við skrifað eftirfarandi:
Ef margfaldað er báðum megin jöfnunnar með 5 fæst
Ef 63 er bætt við báðum megin jöfnunnar fæst
Þannig er einkunnin okkar, k, 69,4.
90. prósentumarkið er 69,4. Þetta þýðir að 90 prósent prófeinkunna falla á eða undir 69,4 og 10 prósent falla á eða yfir. Til að fá þetta svar á reiknivélinni skaltu fylgja næsta skrefi:
d. Finndu 70. prósentumarkið, —það er að segja, finndu einkunnina k þannig að 70 prósent einkunna séu undir k og 30 prósent einkunna séu yfir k.
Lausn
d. Finndu 70. prósentumarkið.
Teiknaðu nýtt línurit og merktu það á viðeigandi hátt. k = 65,6
70. prósentumarkið er 65,6. Þetta þýðir að 70 prósent prófeinkunna falla á eða undir 65,6 og 30 prósent falla á eða yfir.
invNorm(0.70,63,5) = 65.6
Dæmi 6.9
Einkatölva er notuð til skrifstofuvinnu heima, rannsókna, samskipta, heimilisfjármála, menntunar, afþreyingar, samfélagsmiðla og ógrynni annarra hluta. Gerum ráð fyrir að meðalfjöldi klukkustunda sem einkatölva á heimili er notuð til afþreyingar séu tvær klukkustundir á dag. Gerum ráð fyrir að tíminn sem fer í afþreyingu sé normaldreifður og að staðalfrávik tímans sé hálf klukkustund.
a. Finndu líkurnar á því að einkatölva á heimili sé notuð til afþreyingar á milli 1,8 og 2,75 klukkustunda á dag.
Lausn
a. Látum X vera þann tíma, í klukkustundum, sem einkatölva á heimili er notuð til afþreyingar. X ~ N(2, 0.5), þar sem μ = 2 og σ = 0.5.
Finndu P (1,8 < x < 2,75).
Reiknaðu fyrst z-gildin fyrir hvert x-gildi.
z = 1,8 − 2/0,5 = − 0,2/0,5 = − 0,40 z = 2,75 − 2/0,5 = 0,75/0,5 = 1,5
Notaðu nú Z-töfluna til að finna flatarmálið undir normalkúrfunni vinstra megin við hvert þessara z-gilda.
Flatarmálið vinstra megin við z-gildið −0,40 er 0,3446. Flatarmálið vinstra megin við z-gildið 1,5 er 0,9332. Flatarmálið á milli þessara gilda verður mismunurinn á flatarmálunum tveimur, eða 0,9332 − 0,3446, sem er jafnt og 0,5886.
normalcdf(1.8,2.75,2,0.5) = 0.5886
Líkurnar á því að heimilistölva sé notuð á milli 1,8 og 2,75 klukkustunda á dag til afþreyingar eru 0,5886.
b. Finndu hámarksfjölda klukkustunda á dag sem neðsti fjórðungur heimila notar einkatölvu til afþreyingar.
Lausn
b. Til að finna hámarksfjölda klukkustunda á dag sem neðsti fjórðungur heimila notar einkatölvu til afþreyingar skal finna 25. prósentumarkið, k, þar sem P(x < k) = 0,25.
invNorm(0.25,2,0.5) = 1.66
Við notum invNorm vegna þess að við erum að leita að k-gildinu.
Hámarksfjöldi klukkustunda á dag sem neðsti fjórðungur heimila notar einkatölvu til afþreyingar er 1,66 klukkustundir.
Dæmi 6.10
Dæmi 6.11
Dæmi 6.12
Sítrusbóndi sem ræktar mandarínur kemst að því að þvermál mandarína sem uppskornar eru á býli hans fylgir normaldreifingu með meðalþvermál 5,85 cm og staðalfrávik 0,24 cm.
a. Finndu líkurnar á því að handahófsvalin mandarína frá þessu býli hafi þvermál sem er stærra en 6,0 cm. Teiknaðu grafið.
Lausn
a. normalcdf(6,10^99,5.85,0.24) = 0.2660
b. Miðju 20 prósent mandarínanna frá þessum bóndabæ hafa þvermál á milli ______ og ______.
Lausn
b.
- 1 – 0,20 = 0,80. Fyrir utan miðju 20 prósentin verða 80 prósent gildanna.
- Halar grafs normaldreifingarinnar hafa hvor um sig flatarmálið 0,40.
- Finndu k 1, 40. prósentumarkið, og k 2, 60. prósentumarkið (0,40 + 0,20 = 0,60). Þetta skilur eftir miðju 20 prósentin, í miðri dreifingunni.
- k1 = invNorm(0.40,5.85,0.24) = 5.79 cm
- k2 = invNorm(0.60,5.85,0.24) = 5.91 cm
Þannig að miðju 20 prósent mandarínanna hafa þvermál á milli 5,79 cm og 5,91 cm.
c. Finndu 90. prósentumarkið fyrir þvermál mandarína og túlkaðu það í heilli málsgrein.
Lausn
c. 6,16, Níutíu prósent af þvermáli mandarínanna eru í mesta lagi 6,16 cm.