66 Normaldreifingin

Inngangur

Myndin sýnir mörg mismunandi skópör í ýmsum litum. Skórnir virðast hanga á vegg í snúrum. — **Mynd 6.1.** Ef þú spyrð nógu marga um skóstærð þeirra muntu komast að því að grafísk framsetning gagnanna hefur lögun bjöllukúrfu og hægt er að lýsa þeim sem normaldreifðum. (ljósmynd: Ömer Ünlϋ)

Inngangur

Normaldreifingin, sem er samfelld dreifing, er mikilvægust allra dreifinga. Hún er mikið notuð og enn meira misnotuð. Graf hennar er bjöllulaga. Þú sérð bjöllukúrfuna í næstum öllum fræðigreinum, þar á meðal sálfræði, viðskiptafræði, hagfræði, raungreinum, hjúkrunarfræði og auðvitað stærðfræði. Sumir kennarar þínir gætu notað normaldreifingu til að ákvarða einkunnina þína. Flest greindarvísitölustig eru normaldreifð. Oft fylgir fasteignaverð normaldreifingu. Normaldreifingin er afar mikilvæg, en ekki er hægt að beita henni á allt í raunheimum.

Í þessum kafla muntu kynna þér normaldreifingu, staðlaða normaldreifingu og hagnýtingu þeirra.

Normaldreifingin hefur tvær stikur: meðaltalið (μ) og staðalfrávikið (σ). Ef X er stærð sem á að mæla og hefur normaldreifingu með meðaltali (μ) og staðalfráviki (σ), táknum við það með því að skrifa

$f (x) = \frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 \cdot π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$

Myndin sýnir bjöllulaga graf normaldreifingar merkt NORMAL: X ~ N(μ, σ). — **Mynd 6.2.** Mynd 6.2

Kúrfan er samhverf um lóðrétta línu sem dregin er í gegnum meðaltalið, μ. Fræðilega séð er meðaltalið það sama og miðgildið, vegna þess að grafið er samhverft um μ. Í normaldreifingu liggja meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi á sama punkti. Normaldreifingin er eingöngu háð meðaltalinu og staðalfrávikinu. Þar sem flatarmálið undir kúrfunni verður að vera jafnt og einn veldur breyting á staðalfrávikinu, σ, breytingu á lögun kúrfunnar; kúrfan verður breiðari eða mjórri eftir σ. Breyting á μ veldur því að grafið hliðrast til vinstri eða hægri. Þetta þýðir að til er óendanlegur fjöldi normaldreifinga. Ein dreifing sem er sérstaklega áhugaverð kallast stöðluð normaldreifing.

Samvinnuverkefni

Kennarinn skráir hæð karla og kvenna í bekknum, í sitthvoru lagi. Teiknaðu stuðlarit af gögnunum. Teiknaðu síðan mjúka kúrfu í gegnum hvert stuðlarit. Er hvor kúrfa nokkurn veginn bjöllulaga? Heldurðu að kúrfurnar myndu líta út fyrir að vera bjöllulaga ef skráð væru 200 gagnagildi fyrir karla og 200 fyrir konur? Reiknaðu meðaltalið fyrir hvort gagnasafn. Skrifaðu meðaltölin á x-ás viðeigandi grafs undir toppnum. Skyggðu um það bil það svæði sem táknar líkurnar á því að handahófsvalinn karlmaður sé hærri en 182,9 cm. Skyggðu um það bil það svæði sem táknar líkurnar á því að handahófsvalin kona sé lægri en 152,4 cm. Ef heildarflatarmálið undir hvorri kúrfu er einn, virðast hvorar líkurnar vera meiri en 0,5?