44.11 Teikning falls með umbreytingum

4.11.3 Láréttar hliðranir

Verkefni

Láréttar hliðranir

1. Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri. Teiknaðu eftirfarandi línuleg föll.

$f (x) = 2 (x + 4)$
$f (x) = 2 (x + 2)$
$f (x) = 2 x$
$f (x) = 2 (x - 2)$
$f (x) = 2 (x - 4)$

Lausn

Berðu vinnuna þína saman:

A graph with six linear functions, each with different colors.

2. Hver er stefnan og lárétta fjarlægðin milli skurðpunkta við $x$ -ás hjá $f (x) = 2 (x)$ og $f (x) = 2 (x - 2)$ ?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Skurðpunkturinn við $x$ -ás hjá $f (x) = 2 (x - 2)$ er 2 einingum hægra megin við skurðpunktinn hjá $f (x) = 2 (x)$ .

3. Hvernig er hægt að hliðra fallinu $f (x) = 2 (x)$ svo það falli saman við $f (x) = 2 (x - 4)$ ?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Hliðraðu því 4 einingar til hægri.

4. Hver er stefnan og lárétta fjarlægðin milli skurðpunkta við $x$ -ás hjá $f (x) = 2 (x)$ og $f (x) = 2 (x + 2)$ ?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Skurðpunkturinn við $x$ -ás hjá $f (x) = 2 (x + 2)$ hefur hliðrast 2 einingar til vinstri miðað við skurðpunktinn hjá $f (x) = 2 (x)$ .

5. Hvernig er hægt að hliðra fallinu $f (x) = 2 (x)$ svo það falli saman við $f (x) = 2 (x + 4)$ ?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Hliðraðu því 4 einingar til vinstri.

Í línulegum föllum hegðar grafið sér eins og lárétt hliðrun hafi verið gerð þegar gildi er lagt við eða dregið frá inntaksgildinu, það er $x$ -gildunum. Þetta er önnur tegund umbreytingar á grafinu.

Lárétt hliðrun falls

Lárétt hliðrun umbreytir grunnfallinu í annað fall með því að færa grafið til vinstri eða hægri um $c$ einingar.

Lárétt hliðrun → $f (x - c)$

Ef gildi $c$ er jákvætt hliðrast graf fallsins til hægri. Ef gildi $c$ er neikvætt hliðrast graf fallsins til vinstri.

Athugaðu þó formerkið: í reglunni er $c$ á eftir frádráttarmerki. Þegar jafnan er einfölduð breytist formerki $c$ -gildisins.

Ítarefni

Láréttar hliðranir og skurðpunktar við $x$ -ás

Auk þess að hliðrast lóðrétt geta gröf líka hliðrast til hægri eða vinstri. Fyrir línuleg föll getur verið erfitt að koma auga á þetta, því lína sem hefur hliðrast lárétt getur litið út fyrir að hafa hliðrast lóðrétt.

Hliðrum grunnfallinu $f (x) = x$ lárétt til vinstri um 7 einingar.

Ef línan hliðrast 7 einingar til vinstri, hliðrast skurðpunkturinn við $x$ -ás líka 7 einingar til vinstri.

A graph shows two lines: a solid blue line with positive slope and a dashed red line.

Graf grunnfallsins $f (x) = x$ er sýnt með appelsínugulri brotalínu. Heila bláa línan sýnir línuna sem var hliðruð 7 einingar til vinstri.

Til að ákvarða jöfnu hliðruðu línunnar notum við hallatöluna 1 og punktinn $(- 7, 0)$ á línunni.

Þegar þessi gildi eru sett inn í punkthallaform fæst:

$\begin{aligned} (y - y_{1}) & = m (x - x_{1}) \\ (y - 0) & = 1 (x - (- 7)) \\ y & = 1 (x + 7) \end{aligned}$

Jafna línu sem hefur verið hliðrað 7 einingar til vinstri frá grunnfallinu $f (x) = x$ er því $y = x + 7$ .

Það getur líka litið út eins og fallinu $f (x) = x + 7$ hafi verið hliðrað upp um 7 einingar. Ástæðan er sú að $f (x) = x + 7$ jafngildir $f (x) = 1 (x + 7)$ , og þess vegna geta láréttar hliðranir verið erfiðar að sjá.

Dæmi 1

Hvernig hefur fallinu $f (x) = 3 (x - 4)$ verið breytt frá $f (x) = 3 x$ ?

Lausn

Skoðaðu fyrst hvernig $x$ -gildin, þar á meðal skurðpunkturinn við $x$ -ás, breytast. Í fallinu er 4 dregið frá hverju $x$ -gildi, svo fallinu er hliðrað um 4 einingar.

Næst þarf að ákvarða í hvaða átt $x$ -gildin hliðrast. Skoðum gröfin.

Graph with x and y axes showing a transformed line shifted right.

Heila bláa línan sýnir graf $f (x) = 3 (x - 4)$ . Appelsínugula brotalínan sýnir graf $f (x) = 3 x$ .

Á grafinu má skoða tiltekna punkta á grunnfallinu, til dæmis skurðpunktinn við $x$ -ás, $(0, 0)$ , og punktinn $(1, 3)$ . Umbreytta línan er hægra megin við grunnfallið. Til að finna hversu langt til hægri línan hefur hliðrast teljum við láréttu einingarnar milli línanna.

Punkturinn $(0, 0)$ samsvarar punktinum $(4, 0)$ á umbreyttu línunni.
Punkturinn $(1, 3)$ samsvarar punktinum $(5, 3)$ á umbreyttu línunni.
Hverjum punkti á grunnfallinu hefur verið hliðrað 4 einingar til hægri.

Því virðist línan sem sýnir $f (x) = 3 (x - 4)$ hafa hliðrast 4 einingar til hægri frá fallinu $f (x) = 3 x$ .

Dæmi 2

Notaðu skurðpunktinn við $x$ -ás til að lýsa hvernig fallinu $f (x) = x + 9$ hefur verið breytt frá grunnfallinu $f (x) = x$ .

Lausn

Við vitum að hliðrunin er 9 einingar, en þurfum að finna í hvaða átt skurðpunkturinn við $x$ -ás hefur færst.

Graph with solid blue line and dashed orange line.

Appelsínugula brotalínan sýnir grunnfallið $f (x) = x$ og heila bláa línan sýnir hliðraða fallið.

Þegar skurðpunktarnir við $x$ -ás eru skoðaðir vandlega sést að línan sem sýnir $f (x) = x + 9$ hefur hliðrast 9 einingar til vinstri frá grunnfallinu $f (x) = x$ .

Oft er lárétt hliðrun táknuð með svigum til að sýna skýrt hvernig gildum óháðu breytunnar, eða formengisins, er breytt.

Dæmi 3

Lýstu hvernig fallinu $f (x) = \frac{1}{2} (x + 4)$ er umbreytt lárétt í $g (x) = \frac{1}{2} (x - 2)$ .

Lausn

Endurritum jöfnurnar á punkthallaformi, $(y - y_{1}) = m (x - x_{1})$ :

$\begin{aligned} f (x) & = \frac{1}{2} (x + 4) \\ (y - 0) & = \frac{1}{2} (x + 4) \\ (y - 0) & = \frac{1}{2} (x - (- 4)) \end{aligned}$

Skurðpunkturinn við $x$ -ás er því $(- 4, 0)$ .

$\begin{aligned} g (x) & = \frac{1}{2} (x - 2) \\ (y - 0) & = \frac{1}{2} (x - 2) \end{aligned}$

Skurðpunkturinn við $x$ -ás er því $(2, 0)$ .

Skurðpunktur $f (x)$ við $x$ -ás byrjar í $(- 4, 0)$ og færist í $(2, 0)$ . Þetta táknar hliðrun um 6 einingar til hægri.

Við getum líka athugað þetta með gröfum.

A graph with two parallel lines, one red and dashed and one solid blue.

Þegar skurðpunkturinn við $x$ -ás hjá $f (x) = \frac{1}{2} (x + 4)$ er skoðaður á appelsínugulu brotalínunni sést að $(- 4, 0)$ hliðrast 6 einingar til hægri og lendir í $(2, 0)$ á $g (x) = \frac{1}{2} (x - 2)$ , sem er sýnd með heilu bláu línunni.

Við getum því greint láréttar hliðranir annaðhvort með gröfum eða algebrulegum jöfnum.

Lárétt hliðrun falls

Lárétt hliðrun umbreytir grunnfallinu í annað fall með því að færa grafið til vinstri eða hægri um $c$ einingar.

Lárétt hliðrun → $f (x - c)$

Ef gildi $c$ er jákvætt hliðrast graf fallsins til hægri. Ef gildi $c$ er neikvætt hliðrast graf fallsins til vinstri. Athugaðu þó að í reglunni er $c$ á eftir frádráttarmerki; þegar jafnan er einfölduð breytist formerki $c$ -gildisins.