44.11 Teikning falls með umbreytingum

4.11.4 Lóðréttar teygjur og samþjöppun

Verkefni

Lóðréttar teygjur og samþjöppun

1. Teiknaðu eftirfarandi línuleg föll á sama hnitakerfi. Þú þarft ekki að merkja línurnar í grafteikniverkfærinu.

Lína a: $f (x) = 3 x$
Lína b: $f (x) = 2 x$
Lína c: $f (x) = x$

Lausn

Berðu vinnuna þína saman:

A graph showing three lines with slopes 3, 2, and 1.

2. Hvað tekur þú eftir við hallatölur línanna c, b og a þegar stuðullinn verður stærri?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Eftir því sem stuðullinn stækkar verður línan brattari.

3. Teiknaðu nú línurnar d og e á sama graf og línurnar a-c.

Lína d: $f (x) = \frac{1}{2} x$
Lína e: $f (x) = \frac{1}{3} x$

Lausn

Berðu vinnuna þína saman:

A graph comparing five positive-slope linear functions.

4. Hvernig er lína d í samanburði við línu b?

Lína d táknar: $f (x) = \frac{1}{2} x$

Lína b táknar: $f (x) = 2 x$

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Eftir því sem stuðullinn minnkar verður línan minna brött.

5. Skoðaðu línurnar d og e. Hvað má segja um línurnar þegar eftirfarandi gildir? $0 < m < 1$

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Eftir því sem stuðullinn minnkar verður línan minna brött.

6. Teiknaðu eftirfarandi línuleg föll á sama hnitakerfi.

Lína f: $f (x) = - 2 x$
Lína g: $f (x) = - x$
Lína h: $f (x) = - \frac{1}{2} x$

Lausn

Berðu vinnuna þína saman:

7. Berðu jöfnur línanna f-h saman við jöfnur línanna b-d. Hvað breyttist?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Stuðullinn er neikvæður í jöfnum línanna f-h, en jákvæður í jöfnum línanna b-d.

8. Berðu gröf línanna f-h saman við gröf línanna b-d. Hvaða áhrif höfðu jöfnurnar á gröfin?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Þar sem stuðullinn er neikvæður eru gröf línanna f-h speglanir af samsvarandi jákvæðum línum um $x$ -ás. Gröfin speglast því lóðrétt.

Útskýring

Í jöfnunni $f (x) = a x$ virkar $a$ sem lóðrétt teygja eða lóðrétt samþjöppun grunnfallsins. Það breytir lóðréttum kvarða grafsins. Þegar $a$ er neikvætt speglast grafið líka um $x$ -ás.

Þegar jafnan $f (x) = x$ er margfölduð með $a$ teygist graf $f$ lóðrétt með kvarðaþættinum $a$ ef $a > 1$ . Ef $0 < a < 1$ þjappast graf $f$ lóðrétt saman með kvarðaþættinum $a$ .

Því stærra sem algildi $a$ er, því brattari verður línan.

Seven versions of f(x)=x with different vertical scale factors.

Í $f (x) = m x + b$ virkar $m$ sem lóðréttur kvarðaþáttur, það er teygju- eða samþjöppunarþáttur.

Þetta er umbreyting á grafi $f (x) = x$ .

Lóðrétt teygja og samþjöppun falls

Lóðrétt teygja eða samþjöppun breytir grunnfalli í annað fall með því að breyta lóðréttum kvarða grafsins.

Lóðrétt teygja/samþjöppun → $a f (x)$

Ef $a$ er neikvætt speglast grafið um $x$ -ás.

Ef eftirfarandi skilyrði gildir teygist grafið með kvarðaþættinum $a$ : $a > 1$ .

Ef eftirfarandi skilyrði gildir þjappast grafið saman með kvarðaþættinum $a$ : $0 < a < 1$ .

Myndband: Að þekkja lóðrétta teygju og samþjöppun

Horfðu á eftirfarandi myndband til að læra meira um lóðrétta teygju og samþjöppun.

Viðbótarefni

Lóðréttar umbreytingar línulegra falla

Notaðu umbreytingar til að teikna línulegt fall á forminu $f (x) = m x + b$ .

Dæmi

Teiknaðu eftirfarandi fall með umbreytingum: $f (x) = \frac{1}{2} x - 3$

Skref 1: Teiknaðu grunnfallið $f (x) = x$ .

Skref 2: Teygðu eða þjappaðu grafinu lóðrétt með kvarðaþættinum $m$ . Jafnan sýnir $m = \frac{1}{2}$ . Þess vegna þjappast graf grunnfallsins lóðrétt saman með kvarðaþættinum $\frac{1}{2}$ .

Grafið sýnir föllin: $y = \frac{1}{2} x$ og $y = x$ .

Fyrra fallið fer um punktana $(0, 0)$ og $(2, 1)$ , en seinna fallið fer um punktana $(0, 0)$ og $(1, 1)$ .

Skref 3: Hliðraðu grafinu upp eða niður um $b$ einingar.

Jafnan sýnir að $b = - 3$ , svo grafið hliðrast niður um 3.

Grafið sýnir föllin: $y = \frac{1}{2} x$ og $y = \frac{1}{2} x - 3$ .

Fyrra fallið fer um punktana $(0, 0)$ og $(2, 1)$ , en seinna fallið fer um punktana $(0, - 3)$ og $(2, - 2)$ .

Prófaðu sjálf(ur)

Nefndu umbreytingarnar sem færa grunnfallið $f (x) = x$ yfir í $f (x) = 4 + 2 x$ .

Lausn

Hallatalan $m = 2$ sýnir fyrst að grafið teygist lóðrétt með kvarðaþættinum 2.

Skurðpunkturinn við $y$ -ás er 4, svo grafið hliðrast upp um 4.