44.11 Teikning falls með umbreytingum

4.11.5 Láréttar teygjur og samþjöppun

Verkefni

Láréttar teygjur og samþjöppun

Opnaðu Desmos-leiðbeiningarnar sem PDF-skjal til að fá ábendingar um lausn verkefna með Desmos-grafreiknivélinni.

1. Teiknaðu eftirfarandi línuleg föll á sama hnitakerfi. Þú þarft ekki að merkja línurnar í grafteikniverkfærinu.

Lína i: $f (x) = x$
Lína j: $f (2 x)$
Lína k: $f (\frac{1}{2} x)$

Lausn

Berðu vinnuna þína saman:

A graph compares f(x)=x, f(2x), and f(1/2x).

2. Hver er munurinn á því sem þú slærð inn fyrir föll línanna j og k miðað við fall línu i?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Lína i er línulega grunnfallið. Línurnar j og k sýna sama fallregluverk, en inntakið hefur verið breytt áður en fallið er reiknað.

3. Teiknaðu nú línurnar m og n á sama graf og línurnar i-k.

Lína m: $m (x) = 2 x$
Lína n: $n (x) = \frac{1}{2} x$

Lausn

Berðu vinnuna þína saman:

A graph compares f(x), f(2x), f(1/2x), m(x), and n(x).

4. Hvernig er lína j í samanburði við línu m?

Lína j táknar: $f (2 x)$

Lína m táknar: $m (x) = 2 x$

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Sömu punktar eru á báðum föllum. Línurnar virðast vera nákvæmlega eins.

5. Hvernig er lína k í samanburði við línu n?

Lína k táknar: $f (\frac{1}{2} x)$

Lína n táknar: $n (x) = \frac{1}{2} x$

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Sömu punktar eru á báðum föllum. Línurnar virðast vera nákvæmlega eins.

Lárétt skölun, hvort sem hún teygir eða þjappar línulegu falli, getur verið erfið að greina á grafi vegna þess að hún getur litið út eins og lóðrétt skölun. Munurinn er sá að lárétt skölun breytir inntaksgildum áður en fallreglan er notuð.

Lóðréttar umbreytingar breyta úttaksgildum.
Láréttar umbreytingar breyta inntaksgildum.

6. Teiknaðu línurnar hér fyrir neðan á sama hnitakerfi.

Lína i: $f (x) = x$
Lína j: $f (2 x)$
Lína p: $f (3 x)$
Lína q: $f (4 x)$

Lausn

Berðu vinnuna þína saman:

Line graph comparing f(x), f(2x), f(3x), and f(4x).

7. Hvað gerist við grafið þegar stuðullinn við inntakið stækkar?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Línan færist nær og nær $y$ -ásnum vegna þess að fallið þjappast lárétt saman.

8. Teiknaðu línurnar hér fyrir neðan á sama hnitakerfi.

Lína i: $f (x) = x$
Lína k: $f (\frac{1}{2} x)$
Lína r: $f (\frac{1}{4} x)$
Lína s: $f (\frac{1}{10} x)$

Lausn

Berðu vinnuna þína saman:

A graph shows f(x), f(1/2x), f(1/4x), and f(1/10x).

9. Hvað gerist við grafið þegar stuðullinn við inntakið nálgast 0?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Línan færist fjær $y$ -ásnum vegna þess að fallið teygist lárétt.

10. Teiknaðu línurnar hér fyrir neðan á sama hnitakerfi.

Lína t: $f (\frac{1}{2} x)$
Lína u: $f (- \frac{1}{2} x)$

Lausn

Berðu vinnuna þína saman:

Útskýring

Í fallinu $f (b x)$ virkar $b$ sem lárétt teygja eða lárétt samþjöppun grunnfallsins. Hún breytir láréttum kvarða grafsins.

Lárétt teygja og samþjöppun falls

Lárétt teygja eða samþjöppun breytir grunnfallinu í annað fall með því að skala grafið lárétt.

Lárétt teygja/samþjöppun: $f (b x)$

Ef $b$ er neikvætt speglast grafið um $y$ -ás.

Ef $b > 1$ þjappast grafið lárétt saman. Ef $0 < b < 1$ teygist grafið lárétt.

Graph with colorful horizontal transformations of f(x).

Viðbótarefni

Láréttar umbreytingar línulegra falla

Láréttar umbreytingar verða þegar inntaksgildum er breytt áður en fallreglan er notuð. Lóðréttar umbreytingar verða þegar úttaksgildum er breytt eftir að fallreglan hefur verið notuð.

Dæmi 1

Lýstu hvernig grunnfallinu er breytt í eftirfarandi fall. $f (x)$ $f (x - 3)$

Lausn

Byrjaðu á að teikna grunnfallið $f (x)$ . Skoðum inntaksgildið $x = 2$ . Í grunnfallinu fæst $f (2) = 2$ . Til að fá sama úttak í umbreytta fallinu þarf að nota inntakið $x = 5$ . Þá gildir $f (x - 3) = f (5 - 3) = f (2)$ .

Á grafinu er $x = 5$ þremur einingum hægra megin við $x = 2$ . Þess vegna er grafið hliðrað 3 einingar til hægri.

Láréttar hliðranir eru táknaðar með reglunni $f (x - c)$ , þar sem $c$ segir til um hversu margar einingar grafið hliðrast til hægri eða vinstri.

Dæmi 2

Teiknaðu umbreytta fallið þegar upphaflega fallið er gefið. Finndu síðan jöfnu umbreytta fallsins. $f (x + 2)$ ; $f (x) = \frac{1}{2} x - 3$

Lausn

Teiknaðu gefna fallið $f (x) = \frac{1}{2} x - 3$ . Skurðpunkturinn við $y$ -ás er $(0; - 3)$ . Hallatalan er $\frac{1}{2}$ . Fyrir láréttar hliðranir er gagnlegt að finna skurðpunkt við $x$ -ás. Á grafinu er núllstöðin $(6; 0)$ .
Beittu tilgreindu umbreytingunni. Reglan fyrir lárétta hliðrun er $f (x - c)$ . Ef fallið er endurritað á jafngilt form sést gildi $c$ betur: $f (x + 2) = f (x - (- 2))$ ; $c = - 2$ .

Því táknar $f (x + 2)$ lárétta hliðrun um 2 einingar til vinstri. Skurðpunkturinn við $x$ -ás færist úr $(6; 0)$ í $(4; 0)$ : $(6; 0) \to (4; 0)$ .

Skref 3: Finndu jöfnu umbreytta fallsins. Skurðpunktur umbreyttu línunnar við $y$ -ás er $(0; - 2)$ . Hallatala línunnar er $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Jafnan verður því $f (x + 2) = \frac{1}{2} x - 2$ .

Við getum líka athugað þetta algebrulega með því að setja $x + 2$ inn í $f (x)$ : $f (x) = \frac{1}{2} x - 3$ ; $f (x + 2) = \frac{1}{2} (x + 2) - 3 = \frac{1}{2} x + 1 - 3 = \frac{1}{2} x - 2$ .

Dæmi 3

Teiknaðu umbreytta fallið þegar upphaflega fallið er gefið. Finndu síðan jöfnu umbreytta fallsins. $f (4 x)$ ; $f (x) = \frac{1}{2} x - 3$

Lausn

Teiknaðu gefna fallið $f (x) = \frac{1}{2} x - 3$ . Skurðpunkturinn við $y$ -ás er $(0; - 3)$ . Hallatalan er $\frac{1}{2}$ . Núllstöðin er $(6; 0)$ .
Beittu tilgreindu umbreytingunni. Reglan fyrir lárétta skölun er $f (b x)$ . Þegar $b$ er stærra en 1 verður lárétt samþjöppun: $b > 1$ . Vegna láréttu samþjöppunarinnar lítur línulega fallið brattara út; það þjappast saman með kvarðaþættinum 4.

Á grafinu þýðir þetta að skurðpunkturinn við $x$ -ás þjappast úr $(6; 0)$ í $(1,5; 0)$ : $(6; 0) \to (1,5; 0)$ .

Skref 3: Finndu jöfnu umbreytta fallsins. Skurðpunktur umbreyttu línunnar við $y$ -ás er $(0; - 3)$ . Hallatala línunnar er $\frac{3}{1,5} = 2$ . Jafnan verður því $f (4 x) = 2 x - 3$ .

Við getum líka athugað þetta algebrulega með því að setja $4 x$ inn í $f (x)$ : $f (x) = \frac{1}{2} x - 3$ ; $f (4 x) = \frac{1}{2} (4 x) - 3 = 2 x - 3$ .