77.13 Teikning grafs út frá staðalformi, 2. hluti

7.13.2 Línulegi liðurinn í annars stigs stæðu

Verkefni

Notaðu grafteikniverkfæri eða aðra tækni utan námskeiðsins. Teiknaðu graf jöfnunnar: $y=x²$
Gerðu síðan tilraunir með að bæta við mismunandi línulegum liðum, til dæmis:
$x²+4x$
$x²+20x$
$x²−50x$
Skráðu athuganir þínar.
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Grafið lítur áfram út eins og graf annars stigs falls þegar línulegum lið er bætt við, en það hliðrast bæði lárétt og lóðrétt. Þegar jákvæðu margfeldi af x er bætt við stæðuna x² hliðrast grafið niður og til vinstri. Þegar neikvæðu margfeldi af x er bætt við hliðrast grafið niður og til hægri.

Notaðu athuganir þínar úr spurningu 1 til að svara spurningum 2-5 og fylltu út töfluna.

Jafna	Skurðpunktar við x-ás	x-hnit topppunkts
$y=x²+6x$	2a. _____	2b. _____
$y=x²−10x$	3a. _____	3b. _____
$y=−x²+50x$	4a. _____	4b. _____
$y=−x²−36x$	5a. _____	5b. _____

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna: $y=x²+6x$
1. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  $(0,0), (−6,0)$
2. Hvert er x-hnit topppunktsins?
  Lausn
  $x=−3$

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna: $y=x²−10x$
1. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  $(0,0), (10,0)$
2. Hvert er x-hnit topppunktsins?
  Lausn
  $x=5$

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna: $y=−x²+50x$
1. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  $(0,0), (50,0)$
2. Hvert er x-hnit topppunktsins?
  Lausn
  $x=25$

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna: $y=−x²−36x$
1. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  $(0,0), (−36,0)$
2. Hvert er x-hnit topppunktsins?
  Lausn
  $x=−18$

Sumar annars stigs stæður hafa engan línulegan lið. Í spurningum 6-7 skaltu finna skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir graf hverrar jöfnu: $y=x²−25$ $y=x²+16$

Athugaðu að graf getur verið þannig að það skeri ekki x-ásinn. Ef þú festist skaltu prófa að teikna gröf jafnanna.

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna: $y=x²−25$
1. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  $(5,0), (−5,0)$
2. Hvert er x-hnit topppunktsins?
  Lausn
  $x=0$

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna: $y=x²+16$
1. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?
  Lausn
  Berðu saman svarið þitt:
  Grafið hefur enga skurðpunkta við x-ás.
2. Hvert er x-hnit topppunktsins?
  Lausn
  $x=0$

Sjálfspróf

Finndu x-hnit allra skurðpunkta fallsins við x-ás: $f(x)=x²−5x$

Svarmöguleikar:

$x=0, x=−5$
$x=0$
$x=0, x=5$
$x=5$

Viðbótarefni

Annars stigs föll án línulegra liða

Dæmi

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og topppunkt fallsins:

$f(x)=x²−4$

Skref 1 - Ritaðu fallið á þáttuðu formi. Notaðu mismun ferninga:

$f(x)=x²−4=(x−2)(x+2)$

Skref 2 - Settu hvorn þátt jafnan 0.

$x−2=0$
$x=2$
$x+2=0$
$x=−2$

Skurðpunktarnir við x-ás eru:

$(2,0), (−2,0)$

Skref 3 - Finndu x-gildið í miðjunni á milli skurðpunktanna tveggja við x-ás. Það gerist þegar:

$x=0$

Þetta er x-hnit topppunktsins. Til að finna topppunktinn sjálfan skaltu setja gildið inn í fallið:

$f(0)=0²−4=−4$

Topppunktur:

$(0,−4)$

Reyndu þetta

Annars stigs föll án línulegra liða

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og topppunkt fallsins:

$f(x)=x²−64$

Lausn

Hér er leið til að finna skurðpunktana við x-ás og topppunktinn.

Skref 1 - Ritaðu fallið á þáttuðu formi:

$f(x)=x²−64=(x−8)(x+8)$

Skref 2 - Settu hvorn þátt jafnan 0.

$x−8=0$
$x=8$
$x+8=0$
$x=−8$

Skurðpunktarnir við x-ás eru:

$(8,0), (−8,0)$

Topppunkturinn liggur mitt á milli skurðpunktanna við x-ás, þar sem:

$x=0$

Skref 3 - Til að finna topppunktinn skaltu setja gildið inn í fallið:

$f(0)=0²−64=−64$

Topppunkturinn er:

$(0,−64)$