77.13 Teikning grafs út frá staðalformi, 2. hluti

7.13.4 Að rita annars stigs jöfnur út frá rauntölulausnum

Í spurningum 1-4 skaltu nota eftirfarandi upplýsingar:

Fleygbogi sker x-ásinn í punktunum: $(−1,0), (2,0)$

Við viljum rita annars stigs jöfnu með þessum skurðpunktum við x-ás. Það er hægt að gera án þess að teikna grafið.

Þegar y=0, hvað hlýtur x að vera?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Við vitum að punktarnir (−1,0) og (2,0) eru á grafinu þegar:

$y=0$

Þess vegna eru tveir möguleikar fyrir x:

$x=−1, x=2$

Gildin x=−1 og x=2 kallast rauntölulausnir annars stigs jöfnunnar, því þau eru lausnir jöfnunnar þegar við setjum y=0.

Umritaðu jöfnurnar úr spurningu 1 þannig að þær séu báðar jafnar 0.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$x+1=0, x−2=0$

Þar sem hvor jafna er jöfn 0 verður margfeldi þeirra líka jafnt 0.

Hvaða jöfnu færðu þegar þú margfaldar fyrri jöfnurnar saman?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$(x+1)(x−2)=0$

Margfaldaðu tvíliðurnar.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$x²−x−2=0$

Þetta svar gefur líka almennara annars stigs fall með sömu skurðpunktum við x-ás. Við skiptum 0 út fyrir y til að sýna að y-gildið breytist og er ekki alltaf 0.

$y=x²−x−2$

Þetta er jafna fleygboga sem sker x-ásinn í x=−1 og x=2.

Sjálfspróf

Rauntölulausnir annars stigs jöfnu eru: $x=4, x=−8$

Hver er jafnan?

$x²+32x−12=0$
$x²+4x−32=0$
$x²−32x+4=0$
$x²−4x+32=0$

Viðbótarefni

Þegar þú ritar annars stigs jöfnu á þáttuðu formi hjálpar það þér að finna skurðpunktana við x-ás.

$y=x²+2x−3$

$y=(x+3)(x−1)$

Þegar við setjum y=0 finnum við staðina þar sem fleygboginn sker x-ásinn.

$0=(x+3)(x−1)$

Þá fæst:

$0=x+3, 0=x−1$
$x=−3, x=1$

Gildin −3 og 1 kallast rauntölulausnir annars stigs jöfnunnar.

Við getum líka byrjað á rauntölulausnunum og notað þær til að rita annars stigs jöfnur.

Þegar við vitum að lausnirnar eru x=−3 og x=1 þýðir það að:

$0=x+3, 0=x−1$

$0=(x+3)(x−1)$

Með FOIL-aðferðinni fæst:

$0=x²+2x−3$

Þegar y er ekki 0 höfum við annars stigs jöfnuna:

$y=x²+2x−3$

Það er nákvæmlega jafnan sem við byrjuðum með.

Reyndu þetta

Að rita annars stigs jöfnur út frá rauntölulausnum

Ritaðu annars stigs jöfnu út frá rauntölulausnunum x=1 og x=7 án þess að teikna graf.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$y=x²−8x+7$

Lausnirnar x=1 og x=7 verða:

$x−1=0, x−7=0$

Því fæst:

$y=(x−1)(x−7)=x²−x−7x+7=x²−8x+7$