9.10.3 Að breyta úr staðalformi í topppunktsform

Verkefni

Þú hefur liðað úr þáttuðu formi yfir á staðalform. Til að læra að breyta staðalformi í topppunktsform annars stigs stæðu skaltu byrja á að fara öfuga leið og breyta annars stigs stæðu úr topppunktsformi í staðalform.

1. Ritaðu stæðuna á staðalformi.

   $$(x+5{)}^2+1$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$x^2+10x+26$$

2. Ritaðu stæðuna á staðalformi.

   $$(x-3{)}^2-7$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$x^2-6x+2$$

3. Hugsaðu um skrefin sem þú notaðir og hvernig má snúa þeim við. Prófaðu að breyta annarri eða báðum stæðunum úr staðalformi aftur í topppunktsform. Útskýrðu hvernig þú ferð að því.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Til að breyta eftirfarandi stæðu aftur í topppunktsform má fylla í ferninginn með því að leggja 9 við og draga 9 frá, svo stæðan breytist ekki.

   $$x^2-6x+2$$

   Sá hluti sem er ferningur tvíliðu má rita á topppunktsformi:

   $$x^2-6x+9=(x-3{)}^2$$

   Þá stendur eftir:

   $$2-9=-7$$

4. Prófaðu aðferðina með því að rita stæðuna í topppunktsformi.

   $$x^2+10x+9$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$(x+5{)}^2-16$$

5. Athugaðu stæðuna sem þú endurritaðir í topppunktsformi. Notaðu Desmos-grafteiknitæki eða aðra tækni utan námskerfisins til að teikna graf beggja stæðnanna.

   $$x^2+10x+9$$
   $$(x+5{)}^2-16$$

   1. Virðist sem báðar stæðurnar skilgreini sama fall?

      Lausn

      Já. Báðar stæðurnar virðast gefa sama graf.

   2. Ef þú breytir stæðunni í topppunktsformi aftur í staðalform, færðu þá þessa stæðu?

      $$x^2+10x+9$$
      Lausn

      Berðu saman svarið þitt:

      $$\begin{array}{rcl}(x+5{)}^2-16& =& x^2+10x+25-16\\ & =& x^2+10x+9\end{array}$$

Sjálfspróf

Hvert eftirfarandi er jafngilt topppunktsform stæðunnar?

1. $(x+7{)}^2+46$
2. $(x+7{)}^2-52$
3. $(x+7{)}^2-3$
4. $(x+7{)}^2$

Viðbótarefni

Úr staðalformi í topppunktsform

Mismunandi form nýtast til að finna mismunandi eiginleika annars stigs falla.

Æfðu þig í að rita þessa stæðu á topppunktsformi:

1. Finndu gildið sem þarf til að fylla í ferninginn.

2. Bættu gildinu við til að mynda ferning tvíliðu og dragðu sama gildi frá upprunalega fastaliðnum. Þetta er eins og að leggja 0 við.

3. Þáttaðu þríliðinn og einfaldaðu.

Reyndu þetta

Úr staðalformi í topppunktsform

Breyttu annars stigs stæðunni í topppunktsform:

Lausn

Svona má rita annars stigs stæðuna í topppunktsformi:

1. Finndu gildið sem þarf til að fylla í ferninginn.

2. Bættu gildinu við til að mynda ferning tvíliðu og dragðu sama gildi frá upprunalega fastaliðnum.

3. Þáttaðu þríliðinn og einfaldaðu.

$$(x+8{)}^2-74$$