9.10.4 Að endurrita stæður á topppunktsformi

Verkefni

1. Hér er ein leið til að endurrita stæðuna á topppunktsformi.

   $$3x^2+12x+9$$

   1. Skoðaðu skrefin og skrifaðu stutta skýringu á því hvað gerist í hverju skrefi.

      Upphaflega stæðan:

      $$3x^2+12x+9$$
      $$3(x^2+4x+3)$$
      $$3(x^2+4x+4+3-4)$$
      $$3(x^2+4x+4-1)$$
      $$3((x+2{)}^2-1)$$
      $$3(x+2{)}^2-3$$
      Lausn

      Berðu saman svörin þín:

      1. Ritaðu stæðuna með 3 sem þætti.

      2. Leggðu 4 við til að fylla í ferninginn og dragðu 4 frá til að halda gildi stæðunnar óbreyttu.

      3. Dragðu saman líka liði svo ferningur tvíliðu sjáist.

      4. Ritaðu ferning tvíliðu sem veldi.

      5. Beittu dreifireglunni til að fá topppunktsform.

      $$3(x+2{)}^2-3$$

   2. b. Hvert er $x$-hnit topppunkts grafsins sem táknar þessa stæðu?

      Lausn

      $x$-hnit topppunktsins er −2.

   3. c. Hvert er $y$-hnit topppunkts grafsins sem táknar þessa stæðu?

      Lausn

      $y$-hnit topppunktsins er −3.

   4. d. Opnast grafið upp eða niður? Útskýrðu hvernig þú veist það.

      Lausn

      Berðu saman svarið þitt:

      Grafið opnast upp. Til dæmis sáum við í fyrri kafla að þegar stuðullinn við ferningsliðinn er jákvæður opnast grafið upp.

      $$(x-h{)}^2$$

2. Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

   $$-2x^2-4x+6$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$-2(x+1{)}^2+8$$

3. Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

   $$4x^2+24x+20$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$4(x+3{)}^2-16$$

4. Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

   $$-x^2+20x$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$-(x-10{)}^2+100$$

Viltu prófa meira?

Dýpkun

1. Fylltu inn í eyðurnar í topppunktsformi fallsins án þess að fylla í ferninginn. Vísbending: Hugsaðu um núllstöðvar fallsins.

1. a. Hvert er gildið á a?

   Lausn

   2.

2. b. Hvert er formerkið við b?

   Lausn

   Frádráttur (−).

3. c. Hvert er gildið á c?

   Lausn

   6.

4. d. Hvert er formerkið við d?

   Lausn

   Frádráttur (−).

5. e. Hvert er gildið á e?

   Lausn

   18.

6. f. Undirbúðu þig undir að sýna rökstuðning fyrir svörunum þínum.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Núllstöðvar fallsins eru 3 og 9. Þar sem graf annars stigs falls hefur lóðréttan samhverfuás í gegnum topppunktinn hlýtur $x$-hnit topppunktsins að vera 6.

   $y$-hnit topppunktsins er −18 vegna þess að:

   $$f(6)=-18$$

   Þetta þýðir að fallið má rita svona:

   $$f(x)=a(x-6{)}^2-18$$

   Ef við margföldum upp úr upphaflegu formi sést að stuðullinn við ferningsliðinn er 2. Þess vegna verður $a$ í topppunktsforminu líka að vera 2.

   $$2(x-3)(x-9)$$

2. Fylltu inn í eyðurnar í topppunktsformi fallsins án þess að fylla í ferninginn.

1. a. Hvert er gildið á a?

   Lausn

   2.

2. b. Hvert er formerkið við b?

   Lausn

   Frádráttur (−).

3. c. Hvert er gildið á c?

   Lausn

   6.

4. d. Hvert er formerkið við d?

   Lausn

   Samlagning (+).

5. e. Hvert er gildið á e?

   Lausn

   3.

6. f. Undirbúðu þig undir að sýna rökstuðning fyrir svörunum þínum.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Þótt 3 og 9 séu ekki núllstöðvar fallsins $g$, þá er $g(x)$ jafnt og 21 þegar $x$ er 3 og þegar $x$ er 9.

   $$g(3)=g(9)=21$$

   Þar sem gröf annars stigs falla eru samhverf er $x$-hnit topppunktsins enn 6. $y$-hnit topppunktsins er 3 vegna þess að:

   $$g(6)=3$$

   Gildið á $a$ er 2 af sömu ástæðu og hjá fallinu $f$.

Myndband

Myndbandið í upprunanum fjallar um að endurrita stæður á topppunktsformi. Sjálft myndbandið er utan texta- og stærðfræðiyfirferðarinnar.

Sjálfspróf

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

1. $2(x+5{)}^2-15$
2. $2(x^2+10x+10)$
3. $2(x+5{)}^2-30$
4. $2(x+5{)}^2$

Viðbótarefni

Topppunktsform með forystustuðli sem er ekki 1

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

1. Ritaðu stæðuna með 2 sem þætti.

2. Leggðu 4 við til að fylla í ferninginn og dragðu 4 frá til að halda gildi stæðunnar óbreyttu.

3. Dragðu saman líka liði svo ferningur tvíliðu sjáist.

4. Ritaðu ferning tvíliðu sem veldi.

5. Beittu dreifireglunni til að fá topppunktsform.

Reyndu þetta

Topppunktsform með forystustuðli sem er ekki 1

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

Lausn

Svona má rita annars stigs stæðuna á topppunktsformi:

$$4x^2+24x+12$$

1. Ritaðu stæðuna með 4 sem þætti.

2. Leggðu 9 við til að fylla í ferninginn og dragðu 9 frá til að halda gildi stæðunnar óbreyttu.

3. Dragðu saman líka liði svo ferningur tvíliðu sjáist.

4. Ritaðu ferning tvíliðu sem veldi.

5. Beittu dreifireglunni til að fá topppunktsform.

$$4(x+3{)}^2-24$$