Nota sínusregluna til að leysa órétthyrnda þríhyrninga.
Finna flatarmál órétthyrnds þríhyrnings með sínusfallinu.
Leysa hagnýt verkefni með sínusreglunni.
Til að tryggja öryggi þeirra rúmlega 5,000 bandarísku flugvéla sem geta verið samtímis á lofti á álagstímum fylgjast flugumferðarstjórar með þeim og hafa samskipti við þær eftir að hafa fengið gögn frá öflugu ratsjárvitakerfi. Gerum ráð fyrir að tvær ratsjárstöðvar í 20 mílna fjarlægð hvor frá annarri greini flugvél á milli sín. Háhornið sem fyrri stöðin mælir er 35 gráður en háhornið sem sú síðari mælir er 15 gráður. Hvernig getum við ákvarðað flughæð vélarinnar? Á mynd 1 sést að þríhyrningurinn sem flugvélin og stöðvarnar tvær mynda er ekki rétthyrndur og því getum við ekki beitt því sem við vitum um rétthyrnda þríhyrninga. Í þessum hluta lærum við að leysa verkefni um órétthyrnda þríhyrninga.
Notkun sínusreglunnar til að leysa órétthyrnda þríhyrninga
Í sérhverjum þríhyrningi getum við dregið hæð, það er hornrétta línu frá einum hornpunkti að mótlægri hlið, og þannig myndað tvo rétthyrnda þríhyrninga. Þó væri æskilegra að hafa aðferðir sem beita má beint á órétthyrnda þríhyrninga án þess að þurfa fyrst að mynda rétthyrnda þríhyrninga.
Sérhver þríhyrningur sem er ekki rétthyrndur kallast órétthyrndur þríhyrningur. Að leysa órétthyrndan þríhyrning merkir að finna stærðir allra þriggja hornanna og lengdir allra þriggja hliðanna. Til þess þurfum við að þekkja að minnsta kosti þrjár þessara stærða, þar á meðal lengd að minnsta kosti einnar hliðar. Við skoðum þrjár mögulegar gerðir verkefna um órétthyrnda þríhyrninga:
ASA (horn–hlið–horn) Við þekkjum stærðir tveggja horna og hliðarinnar á milli þeirra. Sjá mynd 2 . Mynd
2
AAS (horn–horn–hlið) Við þekkjum stærðir tveggja horna og hlið sem liggur ekki á milli þekktu hornanna. Sjá mynd 3 . Mynd
3
SSA (hlið–hlið–horn) Við þekkjum lengdir tveggja hliða og stærð horns sem liggur ekki á milli þekktu hliðanna. Sjá mynd 4 . Mynd
4
Með því að kunna að leysa hverja þessara gerða getum við leyst órétthyrnda þríhyrninga án þess að draga hornrétta línu og mynda tvo rétthyrnda þríhyrninga. Þess í stað getum við notað þá staðreynd að hlutfall sínuss horns og lengdar mótlægrar hliðar er jafnt hinum tveimur hlutföllum sínuss horns og mótlægrar hliðar. Skoðum hvernig þessi fullyrðing er leidd út með þríhyrningnum á mynd 5.
Af tengslum í rétthyrndum þríhyrningum vitum við að og Ef báðar jöfnurnar eru leystar fyrir fást tvær ólíkar stæður fyrir
Síðan látum við stæðurnar vera jafnar.
Á sama hátt getum við borið saman hin hlutföllin.
Þessi tengsl kallast einu nafni sínusreglan.
Athugið hefðbundna merkingu þríhyrninga: hornið (alfa) er á móti hliðinni hornið (beta) er á móti hliðinni og hornið (gamma) er á móti hliðinni Sjá mynd 6.
Við útreikninga á hornum og hliðum skal halda nákvæmum gildum til lokaútreikningsins. Lokasvör eru almennt námunduð að næsta tíunda hluta nema annað sé tekið fram.
Dæmi 1
Lausn fyrir tvær óþekktar hliðar og horn í AAS-þríhyrningi
Leysið þríhyrninginn á mynd 7 og námundið að næsta tíunda hluta.
Mynd 7
Lausn
Hornin þrjú verða samanlagt 180 gráður. Af því leiðir að
Til að finna óþekkta hlið þurfum við að þekkja mótlæga hornið og eitt þekkt hlutfall. Við vitum að hornið og mótlæg hlið þess er Við getum notað eftirfarandi hlutfall úr sínusreglunni til að finna lengd
Á sama hátt setjum við upp annað hlutfall til að leysa fyrir 𝑏 . b ,
Heildarlausnin fyrir horn og hliðar er því
Notkun sínusreglunnar til að leysa SSA-þríhyrninga
Nota má sínusregluna til að leysa sérhvern órétthyrndan þríhyrning en lausnirnar eru ekki alltaf ótvíræðar. Í sumum tilvikum getur fleiri en einn þríhyrningur uppfyllt gefin skilyrði; það köllum við tvíræða tilvikið. SSA-þríhyrningar, þar sem lengdir tveggja hliða og stærð horns á móti annarri þekktu hliðinni eru gefnar, geta haft eina eða tvær lausnir eða jafnvel enga lausn.
Dæmi 2
Lausn órétthyrnds SSA-þríhyrnings
Finnið óþekktu hliðina í þríhyrningnum á mynd 10 og stærðir óþekktu hornanna, námundað að næsta tíunda hluta.
Mynd 10
Lausn
Notið sínusregluna til að finna hornið og hornið 𝛾 og síðan hliðina Til að leysa fyrir 𝛽 notum við hlutfallið
Á myndinni virðist hornið hins vegar vera gleitt og gæti verið stærra en 90°. Hvernig fengum við hvasst horn og hvernig finnum við stærð Skoðum þetta nánar. Við drögum hornrétta línu frá og skoðum þríhyrninginn út frá rétthyrndum þríhyrningi, eins og á mynd 11. Svo virðist sem annar þríhyrningur geti einnig uppfyllt gefnu skilyrðin.
Mynd 11
Grannhorn er um það bil 49.9°, sem þýðir að (Munið að sínusfallið er jákvætt bæði í fyrsta og öðrum fjórðungi.) Þegar leyst er fyrir 𝛾 fæst
Þá getum við notað þessar stærðir til að leysa hinn þríhyrninginn. Þar sem er grannhorn summu og 𝛽 ′ fæst
Nú þurfum við að finna og
Við fáum
Að lokum
Í stuttu máli eru til tveir þríhyrningar með 35° horn, aðlæga hlið með lengdina 8 og mótlæga hlið með lengdina 6, eins og sýnt er á mynd 12.
Mynd 12
Við leituðum þó að gildunum fyrir þríhyrninginn með gleiða hornið Þau sjást í fyrri þríhyrningnum (a) á mynd 12.
Dæmi 3
Lausn fyrir óþekktar hliðar og horn SSA-þríhyrnings
Leysið fyrir óþekktu hliðina og hornin í þríhyrningnum á mynd 13. Námundið svörin að næsta tíunda hluta.
Mynd 13
Lausn
Þegar valið er hvaða hlutfallapar úr sínusreglunni á að nota skal skoða gefnu upplýsingarnar. Hér þekkjum við hornið og mótlæga hlið þess og við þekkjum hliðina Við notum þetta hlutfall til að leysa fyrir
Beitið andhverfa sínusfallinu til að finna 𝛽 . Andhverfa sínusfallið gefur eitt gildi en hafið í huga að tvö gildi á 𝛽 kunna að vera möguleg. Mikilvægt er að sannreyna niðurstöðuna því tvær gildar lausnir, aðeins ein lausn (algengasta tilvikið) eða engin lausn geta verið fyrir hendi.
Hér sést, ef er dregið frá 180°, að önnur lausn gæti verið möguleg. Því er Til að kanna lausnina drögum við bæði hornin, 131.7° og 85°, frá 180°. Það gefur
sem er ómögulegt og því er
Til að finna þau gildi sem enn vantar reiknum við Nú v nt r aðeins hliðina 𝑎 . a Notið eitt hlutfallanna í sínusreglunni til að leysa fyrir 𝑎 . a
Heildarlausnin fyrir gefna þríhyrninginn er
Dæmi 4
Þríhyrningar sem uppfylla gefin skilyrði
Finnið alla mögulega þríhyrninga ef ein hlið hefur lengdina 4 og er á móti 50° horni og önnur hlið hefur lengdina 10.
Lausn
Með gefnu upplýsingunum getum við leyst fyrir hornið á móti hliðinni sem hefur lengdina 10. Sjá mynd 14.
Mynd 14
Við getum stöðvað hér án þess að finna gildi Þar sem myndmengi sínusfallsins er [ − 1 , 1 ] getur sínusgildið ekki verið 1.915. Ef er slegið inn í grafíska reiknivél birtist raunar skilaboðið ERROR DOMAIN. Því er ekki hægt að teikna neinn þríhyrning með gefnum stærðum.
Flatarmál órétthyrnds þríhyrnings fundið með sínusfallinu
Nú þegar við getum fundið óþekkt gildi í þríhyrningi getum við notað sum þeirra ásamt sínusfallinu til að finna flatarmál órétthyrnds þríhyrnings. Rifjið upp að flatarmálsformúla þríhyrnings er F l a t a r m á l a = 1 2 𝑏 ℎ , þar sem er grunnlínan og er hæðin. Fyrir órétthyrnda þríhyrninga verðum við að finna áður en við getum notað flatarmálsformúluna. Skoðum þríhyrningana tvo á mynd 15, annan hvasshyrndan og hinn gleiðhyrndan. Við getum dregið hornrétta línu sem táknar hæðina og síðan notað hornafræðitengslin s i n 𝛼 = m ó t l æ g l a n g h l i ð til að setja fram jöfnu fyrir flatarmál órétthyrndra þríhyrninga. Í hvasshyrnda þríhyrningnum er eða Í gleiðhyrnda þríhyrningnum drögum við hins vegar hornrétta línu utan við þríhyrninginn og framlengjum grunnlínuna til að mynda rétthyrndan þríhyrning. Hornið sem notað er í útreikningnum er 𝛼 ′ eða
Því er
Á sama hátt fæst
Dæmi 5
Flatarmál órétthyrnds þríhyrnings fundið
Finnið flatarmál þríhyrnings með hliðarnar 𝑎 = 9 0 , 𝑏 = 5 2 og hornið Námundið flatarmálið að næstu heilu tölu.
Lausn
Með formúlunni fæst
Lausn hagnýtra verkefna með sínusreglunni
Því meira sem við kynnum okkur notkun hornafræði, þeim mun betur sjáum við að notkunarmöguleikarnir eru óteljandi. Sum verkefni fjalla um flatar aðstæður sem sýna má á teikningu, en mörg verkefni í stærðfræðigreiningu, verkfræði og eðlisfræði fjalla um þrívídd og hreyfingu.
Dæmi 6
Flughæð fundin
Finnið flughæð vélarinnar í verkefninu í upphafi þessa hluta, sem sýnt er á mynd 16. Námundið hæðina að næsta tíunda hluta úr mílu.
Mynd 16
Lausn
Til að finna flughæð vélarinnar finnum við fyrst fjarlægðina frá annarri stöðinni að vélinni, til dæmis hliðina og notum síðan tengsl í rétthyrndum þríhyrningi til að finna hæð vélarinnar,
Þar sem horn þríhyrningsins eru samanlagt 180 gráður hlýtur óþekkta hornið að vera 180°−15°−35°=130°. Hornið er á móti hliðinni sem hefur lengdina 20 og því getum við sett upp hlutfall samkvæmt sínusreglunni.
Fjarlægðin frá annarri stöðinni að flugvélinni er um 14.98 mílur.
Nú þegar við þekkjum 𝑎 getum við notað tengsl í rétthyrndum þríhyrningi til að leysa fyrir
Flugvélin er í um það bil 3.9 mílna hæð.
8.1 Æfingar hluta
Spurningar
1.
Lýsið hæð þríhyrnings.
2.
Berið saman rétthyrnda og órétthyrnda þríhyrninga.
3.
Hvenær má nota sínusregluna til að finna óþekkt horn?
4.
Hvernig tengjast hornið í teljara og hliðin í nefnara í sínusreglunni?
5.
Hvaða gerð þríhyrnings leiðir til tvíræða tilviksins?
Algebra
Í eftirfarandi dæmum skal gera ráð fyrir að sé á móti hliðinni sé á móti hliðinni 𝑏 og sé á móti hliðinni Leysið hvern þríhyrning ef unnt er. Námundið hvert svar að næsta tíunda hluta.
6.
𝛼=43°,𝛾=69°,𝑎=20
7.
𝛼=35°,𝛾=73°,𝑐=20
8.
𝛼=60°,𝛽=60°,𝛾=60°
9.
𝑎=4,𝛼=60°,𝛽=100°
10.
𝑏=10,𝛽=95°,𝛾=30°
Notið sínusregluna í eftirfarandi dæmum til að finna hliðina sem vantar í hvern órétthyrndan þríhyrning. Námundið hvert svar að næsta hundraðshluta. Gerið ráð fyrir að hornið sé á móti hliðinni hornið sé á móti hliðinni 𝑏 og hornið sé á móti hliðinni
11.
Finnið hliðina þegar
12.
Finnið hliðina þegar
13.
Finnið hliðina þegar
Í eftirfarandi dæmum skal gera ráð fyrir að sé á móti hliðinni sé á móti hliðinni 𝑏 og sé á móti hliðinni Ákvarðið hvort enginn, einn eða tveir þríhyrningar séu mögulegir. Leysið síðan hvern þríhyrning ef unnt er. Námundið hvert svar að næsta tíunda hluta.
14.
𝛼=119°,𝑎=14,𝑏=26
15.
𝛾=113°,𝑏=10,𝑐=32
16.
𝑏=3.5,𝑐=5.3,𝛾=80°
17.
𝑎=12,𝑐=17,𝛼=35°
18.
𝑎=20.5,𝑏=35.0,𝛽=25°
19.
𝑎=7,𝑐=9,𝛼=43°
20.
𝑎=7,𝑏=3,𝛽=24°
21.
𝑏=13,𝑐=5,𝛾=10°
22.
𝑎=2.3,𝑐=1.8,𝛾=28°
23.
𝛽=119°,𝑏=8.2,𝑎=11.3
Notið sínusregluna í eftirfarandi dæmum til að finna óþekktu hliðina eða hornið í hverjum þríhyrningi, eða þríhyrningunum í tvíræða tilvikinu, ef unnt er. Námundið hvert svar að næsta tíunda hluta.
24.
Finnið hornið þegar
25.
Finnið hornið þegar
26.
Finnið hornið þegar
Finnið flatarmál þríhyrningsins með gefnum stærðum í eftirfarandi dæmum. Námundið hvert svar að næsta tíunda hluta.
27.
𝑎=5,𝑐=6,𝛽=35°
28.
𝑏=11,𝑐=8,𝛼=28°
29.
𝑎=32,𝑏=24,𝛾=75°
30.
𝑎=7.2,𝑏=4.5,𝛾=43°
Myndrænt
Finnið lengd hliðarinnar 𝑥 í eftirfarandi dæmum. Námundið að næsta tíunda hluta.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Finnið stærð hornsins 𝑥 í eftirfarandi dæmum ef unnt er. Námundið að næsta tíunda hluta.
37.
38.
39.
40.
41.
Athugið að er gleitt horn.
42.
Leysið þríhyrninginn í eftirfarandi dæmi. Námundið hvert svar að næsta tíunda hluta.
43.
44.
Finnið flatarmál hvers þríhyrnings í eftirfarandi dæmum. Námundið hvert svar að næsta tíunda hluta.
45.
46.
47.
48.
49.
Viðbótarverkefni
50.
Finnið geisla hringsins á mynd 18. Námundið að næsta tíunda hluta.
Mynd 18
51.
Finnið þvermál hringsins á mynd 19. Námundið að næsta tíunda hluta.
Leysið þríhyrninginn á mynd 24. (Vísbending: Dragið hornrétta línu frá að Námundið hvert svar að næsta tíunda hluta.
Mynd 24
57.
Leysið þríhyrninginn á mynd 25. (Vísbending: Dragið hornrétta línu frá að Námundið hvert svar að næsta tíunda hluta.
Mynd 25
58.
Á mynd 26 er ekki samsíðungur. er gleitt. Leysið báða þríhyrningana. Námundið hvert svar að næsta tíunda hluta.
Mynd 26
Raunveruleg viðfangsefni
59.
Staur hallar frá sólu um frá lóðréttu, eins og sýnt er á mynd 27. Þegar sólarhæðin er 5 5 ° varpar staurinn 42 feta löngum skugga á lárétta jörð. Hve langur er staurinn? Námundið svarið að næsta tíunda hluta.
Mynd 27
60.
Til að ákvarða fjarlægð báts frá landi mæla tvær ratsjárstöðvar í 500 feta fjarlægð hvor frá annarri hornin að bátnum, eins og sýnt er á mynd 28. Finnið fjarlægð bátsins frá stöð og fjarlægð hans frá landi. Námundið svörin að næsta heila feti.
Mynd 28
61.
Mynd 29 sýnir gervitungl á braut um jörðu. Gervitunglið fer beint yfir mælistöðvarnar og sem eru í 69 mílna fjarlægð hvor frá annarri. Þegar gervitunglið er öðrum megin við stöðvarnar tvær mælast háhornin við og vera annars vegar og hins vegar 8 6 . 2 ° . Hve langt er gervitunglið frá stöð og hve hátt er það yfir jörðu? Námundið svörin að næstu heilu mílu.
Mynd 29
62.
Fjarskiptaturn stendur efst á brattri hæð, eins og sýnt er á mynd 30. Hallahorn hæðarinnar er Festa á stagvír við topp turnsins og í jörð 165 metrum neðar í brekkunni frá turnfætinum. Hornið milli stagvírsins og hæðarinnar er Finnið nauðsynlega lengd stagvírsins, námundaða að næsta heila metra.
Mynd 30
63.
Þak húss hallar um . 20° Festa á 8 feta sólarrafhlöðu á þakið og hún á að halla um frá láréttu til að skila sem bestum árangri. (Sjá mynd 31.) Hve langur þarf lóðrétti stuðningurinn undir aftari brún rafhlöðunnar að vera? Námundið að næsta tíunda hluta.
Mynd 31
64.
Líkt og háhorn er lághorn hvassa hornið milli láréttrar línu og sjónlínu athuganda að hlut neðan við láréttu línuna. Flugmaður flýgur yfir beinum þjóðvegi. Hann mælir lághornin að tveimur vegalengdarstikum í 6.6 km fjarlægð hvor frá öðrum sem og eins og sýnt er á mynd 32. Finnið fjarlægð flugvélarinnar frá punkti , námundaða að næsta tíunda hluta úr kílómetra.
Mynd 32
65.
Flugmaður flýgur yfir beinum þjóðvegi. Hann mælir lághornin að tveimur vegalengdarstikum í 4.3 km fjarlægð hvor frá öðrum sem 32° og 56°, eins og sýnt er á mynd 33. Finnið fjarlægð flugvélarinnar frá punkti , námundaða að næsta tíunda hluta úr kílómetra.
Mynd 33
66.
Til að áætla hæð byggingar standa tveir nemendur í tiltekinni fjarlægð frá henni í götuhæð. Þaðan mæla þeir háhornið frá götunni að toppi byggingarinnar sem 39°. Síðan færa þeir sig 300 fet nær byggingunni og mæla háhornið sem 50°. Gerið ráð fyrir að gatan sé lárétt og áætlið hæð byggingarinnar að næsta heila feti.
67.
Til að áætla hæð byggingar standa tveir nemendur í tiltekinni fjarlægð frá henni í götuhæð. Þaðan mæla þeir háhornið frá götunni að toppi byggingarinnar sem 35°. Síðan færa þeir sig 250 fet nær byggingunni og mæla háhornið sem 53°. Gerið ráð fyrir að gatan sé lárétt og áætlið hæð byggingarinnar að næsta heila feti.
68.
Punktar og eru sitt hvorum megin við stöðuvatn. Punktur er 97 metra frá Stærð hornsins mælist 101° og stærð hornsins mælist 53°. Hver er fjarlægðin frá til námunduð að næsta heila metra?
69.
Karl og kona sem standa í mílna fjarlægð hvort frá öðru koma samtímis auga á loftbelg. Ef háhornið frá manninum að belgnum er 27° og háhornið frá konunni að honum er 41°, finnið flughæð belgsins að næsta heila feti.
70.
Tveir leitarhópar koma auga á fjallgöngumann í sjálfheldu. Fyrri hópurinn er 0.5 mílur frá þeim síðari og báðir eru í 1 mílu hæð. Háhornið frá fyrri hópnum að fjallgöngumanninum er 15°. Háhornið frá síðari hópnum að honum er 22°. Í hvaða hæð er fjallgöngumaðurinn? Námundið að næsta tíunda hluta úr mílu.
71.
Götuljós er fest á staur. 6 feta hár maður stendur á götunni skammt frá staurnum og varpar skugga. Háhornið frá enda skugga mannsins að hvirfli hans er 28°. 6 feta há kona stendur á sömu götu hinum megin við staurinn. Háhornið frá enda skugga hennar að hvirfli hennar er 28°. Ef maðurinn og konan eru 20 fet hvort frá öðru, hve langt er frá götuljósinu að enda skugga hvors þeirra? Námundið fjarlægðina að næsta tíunda hluta úr feti.
72.
Borgirnar þrjár 𝐴 , 𝐵 og 𝐶 liggja þannig að borg er beint austur af borg Ef borg er 35° vestan við norður frá borg , 100 mílur frá borg og 70 mílur frá borg hve langt er þá milli borga og Námundið fjarlægðina að næsta tíunda hluta úr mílu.
73.
Tvær götur mætast í 80° horni. Byggja á þríhyrndan almenningsgarð við gatnamótin. Finnið flatarmál garðsins ef hann nær 180 fet eftir annarri götunni og 215 fet eftir hinni.
74.
Hús Brians stendur á hornlóð. Finnið flatarmál framgarðsins ef jaðrarnir eru 40 og 56 fet, eins og sýnt er á mynd 34.
Mynd 34
75.
Bermúdaþríhyrningurinn er svæði í Atlantshafi milli Bermúda, Flórída og Púertó Ríkó. Finnið flatarmál hans ef fjarlægðin frá Flórída til Bermúda er 1030 mílur, fjarlægðin frá Púertó Ríkó til Bermúda er 980 mílur og hornið milli leiðanna tveggja er 62°.
76.
Biðskyldumerki er 30 tommur á hverri hlið. Hvert er flatarmál merkisins?
77.
Naomi keypti borðstofuborð með þríhyrndri borðplötu. Finnið flatarmál plötunnar ef tvær hliðanna eru 4 fet og 4.5 fet og minni hornin eru 32° og 42°, eins og sýnt er á mynd 35.
