88 Frekari notkun hornafræði

8.4 Pólhnit: gröf

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Prófa pólhnitajöfnur með tilliti til samhverfu.
Teikna gröf pólhnitajafna með því að merkja inn punkta.

Reikistjörnurnar ferðast um geiminn á sporöskjulaga, lotubundnum brautum um sólina, eins og sýnt er á mynd 1. Þær eru á stöðugri hreyfingu og því gildir nákvæm staðsetning hverrar reikistjörnu aðeins eitt augnablik. Með öðrum orðum getum við aðeins fest augnabliksstaðsetningu hennar. Þetta er ein hagnýting pólhnita, sem eru táknuð $(r, θ) .$ Við túlkum $r$ sem fjarlægð frá miðju sólar og $θ$ sem stefnuhorn reikistjörnunnar, það er stefnu hennar frá miðju sólar. Í þessum hluta einbeitum við okkur að pólhnitakerfinu og gröfum sem verða til beint út frá pólhnitum.

Teikning af sólkerfinu með sólina í miðju og brautir Merkúríusar, Venusar, jarðar og Mars. — **Mynd 1.** Reikistjörnur fylgja sporöskjulaga brautum um sólina. (mynd: breytt verk eftir NASA/JPL-Caltech)

Prófun pólhnitajafna með tilliti til samhverfu

Rétt eins og rétthyrnda jafnan $y = x^{2}$ lýsir tengslum $x$ og $y$ á kartesísku neti lýsir pólhnitajafna tengslum $r$ og $θ$ á pólhnitaneti. Munið að hnitaparið $(r, θ)$ merkir að við förum rangsælis frá pólhnitaásnum (jákvæða x-ásnum) um hornið 𝜃 $θ,$ og drögum geisla frá skautinu (upphafspunktinum) $r$ einingar í stefnu $θ .$ Allir punktar sem uppfylla pólhnitajöfnuna liggja á grafinu.

Samhverfa er eiginleiki sem hjálpar okkur að þekkja og teikna graf sérhverrar jöfnu. Ef graf jöfnu er samhverft um ás merkir það að ef grafið væri brotið saman eftir ásnum félli hluti þess öðrum megin saman við hlutann hinum megin. Með þremur prófunum sjáum við hvernig beita má eiginleikum samhverfu á pólhnitajöfnur. Auk þess notum við samhverfu, ásamt því að merkja inn lykilpunkta, núllstöðvar og hágildi 𝑟 $r)$ , til að ákvarða graf pólhnitajöfnu.

Í fyrstu prófuninni skoðum við samhverfu um línuna $θ = \frac{π}{2}$ (y-ásinn). Við skiptum $(r, θ)$ út fyrir $(- r, - θ)$ til að kanna hvort nýja jafnan sé jafngild upphaflegu jöfnunni. Gerum til dæmis ráð fyrir að gefin sé jafnan $r = 2 \sin θ;$

\begin{array}{l} r = 2 \sin θ \\ - r = 2 \sin (- θ) \begin{matrix}  \end{matrix} & Replace (r, θ) with (- r, - θ) . \\ - r = −2 \sin θ & Identity: \sin (- θ) = - \sin θ . \\ r = 2 \sin θ & Multiply both sides by −1. \end{array}

Jafnan er samhverf um línuna $θ = \frac{π}{2} .$

Í annarri prófuninni skoðum við samhverfu um pólhnitaásinn ( $x$ x -ásinn). Við skiptum $(r, θ)$ út fyrir $(r, - θ)$ eða $(- r, π - θ)$ til að kanna hvort prófaða jafnan sé jafngild upphaflegu jöfnunni. Gerum til dæmis ráð fyrir að gefin sé jafnan $r = 1 - 2 \cos θ .$

\begin{array}{l} r = 1 - 2 \cos θ \\ r = 1 - 2 \cos (- θ) \begin{matrix}  \end{matrix} & Replace (r, θ) with (r, - θ) . \\ r = 1 - 2 \cos θ & Even/Odd identity \end{array}

Graf jöfnunnar er samhverft um pólhnitaásinn.

Í þriðju prófuninni skoðum við samhverfu um skautið (upphafspunktinn). Við skiptum $(r, θ)$ út fyrir $(- r, θ)$ til að kanna hvort prófaða jafnan sé jafngild upphaflegu jöfnunni. Gerum til dæmis ráð fyrir að gefin sé jafnan $r = 2 \sin (3 θ).$

\begin{matrix} r = 2 \sin (3 θ) \\ - r = 2 \sin (3 θ) \end{matrix}

Jafnan stenst ekki samhverfuprófið, en það merkir ekki að hún sé ekki samhverf um skautið. Ef jafna stenst eitt eða fleiri samhverfupróf staðfestir það að graf hennar hafi viðkomandi samhverfu. Þótt prófin bregðist þarf grafið hins vegar ekki að vera ósamhverft um línuna $θ = \frac{π}{2},$ pólhnitaásinn eða skautið. Í slíkum tilvikum getum við staðfest samhverfu með því að teikna spegilpunkta yfir ætlaðan samhverfuás eða um skautið. Samhverfuprófun einfaldar teikningu pólhnitajafna en aðferðin er ekki fullkomin.

Dæmi 1

Prófun pólhnitajöfnu með tilliti til samhverfu

Prófið jöfnuna $r = 2 \sin θ$ með tilliti til samhverfu.

Lausn

Prófið allar þrjár gerðir samhverfu.

1) Þegar ( r , θ ) er skipt út fyrir ( − r , − θ ) fæst sama niðurstaða. Grafið er því samhverft um línuna θ = π/2 .	− 𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( − 𝜃 ) − 𝑟 = − 2 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 E v e n - o d d i d e n t i t y 𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 M u l t i p l y b y − 1 P a s s e d − r = 2 ⁢ sin ⁡ ( − θ ) − r = −2 ⁢ sin ⁡ θ Even-odd identity r = 2 ⁢ sin ⁡ θ Multiply by −1 Passed
2) Þegar θ er skipt út fyrir − θ fæst ekki sama jafna. Grafið stenst því ekki prófið og kann að vera samhverft um pólhnitaásinn eða ekki.	𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( − 𝜃 ) 𝑟 = − 2 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 E v e n - o d d i d e n t i t y 𝑟 = − 2 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 ≠ 2 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 F a i l e d r = 2 ⁢ sin ⁡ ( − θ ) r = −2 ⁢ sin ⁡ θ Even-odd identity r = −2 ⁢ sin ⁡ θ ≠ 2 ⁢ sin ⁡ θ Failed
3) Þegar r er skipt út fyrir – r breytist jafnan og stenst ekki prófið. Grafið kann að vera samhverft um skautið eða ekki.	− 𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 𝑟 = − 2 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 ≠ 2 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 F a i l e d − r = 2 ⁢ sin ⁡ θ r = −2 ⁢ sin ⁡ θ ≠ 2 ⁢ sin ⁡ θ Failed

Greining

Með grafreikni sjáum við að jafnan $r = 2 \sin θ$ lýsir hring með miðju í $(0, 1)$ og geisla $r = 1$ ; grafið er í raun samhverft um línuna $θ = \frac{π}{2} .$ Við sjáum einnig að grafið er hvorki samhverft um pólhnitaásinn né skautið. Sjá mynd 3.

Graf hringsins á pólhnitaneti. Miðjan er í (0,1) og geislinn er 1. — Mynd 3

Að teikna gröf pólhnitajafna með punktum

Til að teikna graf í rétthyrndu hnitakerfi búum við til töflu yfir gildi $x$ og $y$ . Til að teikna graf í pólhnitakerfi búum við til töflu yfir gildi $θ$ og $r$ . Við setjum gildi $θ$ inn í pólhnitajöfnu og reiknum $r .$ Með því að nýta samhverfu og finna lykilgildi $θ$ og $r$ þarf þó færri útreikninga.

Að finna núllstöðvar og hágildi

Til að finna núllstöðvar pólhnitajöfnu leysum við fyrir þau gildi $θ$ sem gefa $r = 0.$ Munið að til að finna núllstöðvar margliðufalla setjum við jöfnuna jafna núlli og leysum síðan fyrir $x .$ Sama ferli er notað fyrir pólhnitajöfnur. Setjið 𝑟 = 0 $r = 0,$ og leysið fyrir $θ .$

Fyrir mörg þeirra forma sem við skoðum fæst hágildi pólhnitajöfnu með því að setja inn þau gildi $θ$ sem gefa hágildi hornafallanna. Skoðum $r = 5 \cos θ;$ mesta fjarlægð milli ferilsins og skautsins er 5 einingar. Hágildi kósínusfallsins er 1 þegar 𝜃 = 0 $θ = 0,$ , svo pólhnitajafnan okkar er 5 ⁢ c o s ⁡ 𝜃 $5 \cos θ,$ og gildið $θ = 0$ gefur hágildi $| r | .$

Hágildi sínus er 1 við 𝜃 = 𝜋 2 . $θ = \frac{π}{2},$ Fyrir 𝑟 = 5 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 $r = 5 \sin θ,$ gefur $θ = \frac{π}{2}$ hágildi $| r | .$ Reiknið einnig $r$ við 𝜃 = 0 $θ = 0.$ til að finna skurðpunkta við pólhnitaásinn.

Dæmi 2

Að finna núllstöðvar og hágildi pólhnitajöfnu

Notið jöfnuna í sýnidæmi 1 til að finna núllstöðvar og hágildi $| r |$ og, ef þörf krefur, skurðpunkta við pólhnitaásinn fyrir $r = 2 \sin θ .$

Lausn

Til að finna núllstöðvarnar setjum við $r$ jafnt og núll og leysum fyrir $θ .$

\begin{array}{l} 2 \sin θ = 0 \\ \sin θ = 0 \\ θ = \sin^{- 1} 0 \\ θ = n π & where n is an integer \end{array}

Setjið eitthvert gildanna á $θ$ inn í jöfnuna. Við notum $0.$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = 2 \sin (0) \end{array} \\ r = 0 \end{array}

Punktarnir $(0, 0)$ og $(0, \pm n π)$ eru núllstöðvar jöfnunnar. Þeir falla allir saman og því sést aðeins einn punktur á grafinu. Punkturinn er jafnframt eini skurðpunkturinn við pólhnitaásinn.

Til að finna hágildi jöfnunnar skoðum við hágildi hornafallsins s i n ⁡ 𝜃 $\sin θ,$ , sem verður þegar $θ = \frac{π}{2} \pm 2 k π$ og gefur $\sin (\frac{π}{2}) = 1.$ Setjið $\frac{π}{2}$ inn fyrir $θ.$

\begin{array}{l} r = 2 \sin (\frac{π}{2}) \\ r = 2 (1) \\ r = 2 \end{array}

Greining

Punkturinn $(2, \frac{π}{2})$ gefur hágildi grafsins. Merkjum inn nokkra punkta til viðbótar til að staðfesta hringlaga grafið. Sjá töflu 2 og mynd 4.

𝜃 θ	𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 r = 2 ⁢ sin ⁡ θ	𝑟 r
0	𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 0 ) = 0 r = 2 ⁢ sin ⁡ ( 0 ) = 0	0 0
𝜋 6 π/6	𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 𝜋 6 ) = 1 r = 2 ⁢ sin ⁡ ( π/6 ) = 1	1 1
𝜋 3 π/3	𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 𝜋 3 ) ≈ 1 . 7 3 r = 2 ⁢ sin ⁡ ( π/3 ) ≈ 1.73	1 . 7 3 1.73
𝜋 2 π/2	𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 𝜋 2 ) = 2 r = 2 ⁢ sin ⁡ ( π/2 ) = 2	2 2
2 ⁢ 𝜋 3 2 ⁢ π/3	𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 2 ⁢ 𝜋 3 ) ≈ 1 . 7 3 r = 2 ⁢ sin ⁡ ( 2 ⁢ π/3 ) ≈ 1.73	1 . 7 3 1.73
5 ⁢ 𝜋 6 5 ⁢ π/6	𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 5 ⁢ 𝜋 6 ) = 1 r = 2 ⁢ sin ⁡ ( 5 ⁢ π/6 ) = 1	1 1
𝜋 π	𝑟 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 𝜋 ) = 0 r = 2 ⁢ sin ⁡ ( π ) = 0	0 0

Graf hrings á pólhnitaneti. Miðjan er í (0,1) og geislinn er 1. Sex punktar á hringferlinum eru merktir: (0,0), (1, pi/6), (1.3, pi/3), (2, pi/2), (1.73, 2pi/3) og (1, 5pi/6). — Mynd 4

Rannsókn hringa

Nú höfum við séð jöfnu hrings í pólhnitakerfinu. Í síðustu tveimur sýnidæmum var sama jafnan notuð til að sýna eiginleika samhverfu og hvernig finna má núllstöðvar, hágildi og punkta sem mynda gröfin. Hringurinn er þó aðeins eitt af mörgum formum pólhnitaferla.

Fimm sígildir pólhnitaferlar eru hjartaferlar, snigilferlar, lemniskötur, rósir og vefjur Arkimedesar. Við skoðum fyrst stuttlega pólhnitaformúlur hrings og förum síðan yfir sígildu ferlana og afbrigði þeirra.

Dæmi 3

Að skissa graf pólhnitajöfnu hrings

Skissið graf $r = 4 \cos θ .$

Lausn

Fyrst prófum við jöfnuna með tilliti til samhverfu og sjáum að grafið er samhverft um pólhnitaásinn. Næst finnum við núllstöðvar og hágildi $| r |$ fyrir $r = 4 \cos θ .$ Setjum fyrst 𝑟 = 0 $r = 0,$ og leysum fyrir $θ$ . Núllstöð verður því þegar $θ = \frac{π}{2} \pm k π .$ Lykilpunktur til að merkja inn er $(0, \frac{π}{2}) .$

Til að finna hágildi 𝑟 $r,$ athugum við að hágildi kósínusfallsins er 1 þegar $θ = 0 \pm 2 k π .$ Setjið $θ = 0$ inn í jöfnuna:

\begin{matrix} r = 4 \cos θ \\ r = 4 \cos (0) \\ r = 4 (1) = 4 \end{matrix}

Hágildi jöfnunnar er 4. Lykilpunktur til að merkja inn er $(4, 0) .$

Þar sem $r = 4 \cos θ$ er samhverft um pólhnitaásinn þurfum við aðeins að reikna r-gildi fyrir $θ$ á bilinu $[0,$ $π] .$ Síðan má spegla punkta í efri fjórðungi yfir í neðri fjórðung. Búið til gildistöflu svipaða töflu 3. Grafið er sýnt á mynd 6.

𝜃 θ	0	𝜋 6 π/6	𝜋 4 π/4	𝜋 3 π/3	𝜋 2 π/2	2 ⁢ 𝜋 3 2 ⁢ π/3	3 ⁢ 𝜋 4 3 ⁢ π/4	5 ⁢ 𝜋 6 5 ⁢ π/6	𝜋 π
𝑟 r	4	3.46	2.83	2	0	−2	−2.83	−3.46	−4

Graf 4=4cos(theta) í pólhnitum. Punktarnir (0, pi/2), (-2, 2pi/3), (4,0) og (2, pi/3) eru merktir á hringferilinn. — Mynd 6

Rannsókn hjartaferla

Þótt umritun pólhnita í kartesísk hnit kunni stundum að virðast einfaldari er í raun auðveldara að teikna sígildu ferlana í pólhnitakerfinu. Næsti ferill nefnist hjartaferill vegna þess að hann líkist hjarta. Þetta form er oft talið til ferlafjölskyldu snigilferla, en hér fjöllum við sérstaklega um hjartaferilinn.

Dæmi 4

Að skissa graf hjartaferils

Skissið graf $r = 2 + 2 \cos θ .$

Lausn

Fyrst prófum við jöfnuna með tilliti til samhverfu og sjáum að graf hennar er samhverft um pólhnitaásinn. Næst finnum við núllstöðvar og hágildi. Þegar 𝑟 = 0 $r = 0,$ fæst $θ = π + 2 k π .$ Núllstöð jöfnunnar er í $(0, π) .$ Grafið fer gegnum þennan punkt.

Hágildi $r = 2 + 2 \cos θ$ fæst þegar $\cos θ$ er í hámarki, það er þegar $\cos θ = 1$ eða $θ = 0.$ Setjið $θ = 0$ inn í jöfnuna og leysið fyrir $r .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = 2 + 2 \cos (0) \end{array} \\ r = 2 + 2 (1) = 4 \end{array}

Punkturinn $(4, 0)$ gefur hágildi grafsins.

Við komumst að því að pólhnitajafnan er samhverf um pólhnitaásinn, en þar sem grafið nær inn í alla fjóra fjórðunga þurfum við að teikna gildi á bilinu $[0, π] .$ Síðan er efri hluti grafsins speglaður um pólhnitaásinn. Næst búum við til gildistöflu eins og töflu 4, merkjum punktana inn og teiknum grafið. Sjá mynd 8.

𝜃 θ	0 0	𝜋 4 π/4	𝜋 2 π/2	2 ⁢ 𝜋 3 2 ⁢ π/3	𝜋 π
𝑟 r	4	3.41	2	1	0

Graf r=2+2cos(theta). Hjartaferill sem nær til hægri. Punktarnir (0,pí), (4,0), (3.4, pi/4), (2,pi/2) og (1, 2pi/3) eru merktir á jaðarinn. — Mynd 8

Rannsókn snigilferla

Orðið limaçon er fornfranska og merkir „snigill“, sem lýsir lögun grafsins. Eins og áður kom fram tilheyrir hjartaferill fjölskyldu snigilferla og líkindi grafanna eru augljós. Önnur form í þessum flokki eru einlykkju- og tvílykkjuferlar, einnig nefndir innri lykkjuferlar. Einlykkjuferlar eru stundum nefndir dældaðir snigilferlar þegar $1 < \frac{a}{b} < 2$ og kúptir snigilferlar þegar $\frac{a}{b} \geq 2.$

Dæmi 5

Að skissa graf einlykkju-snigilferils

Teiknið graf jöfnunnar $r = 4 - 3 \sin θ .$

Lausn

Fyrst prófum við jöfnuna með tilliti til samhverfu. Hún stenst ekkert prófanna þriggja, sem merkir að grafið kann að vera samhverft eða ekki og við getum því ekki nýtt samhverfu við teikninguna. Graf jöfnunnar er þó greinilega samhverft um línuna 𝜃 = 𝜋 2 $θ = \frac{π}{2},$ þótt jafnan standist ekkert prófanna. Grafreiknir sýnir speglunareiginleika grafsins þegar í stað.

Finnum núllstöðvar, hágildi og spegilpunkta. Þegar $r = 0$ er $θ$ óskilgreint. Það á einnig við um $θ$ þegar $θ$ krefst $\sin θ > 1.$ Ekkert $θ$ eða gildi á $θ$ uppfyllir $\sin θ > 1.$ Grafið fer því ekki gegnum skautið. Finnið aðra skurðpunkta með $r$ við $θ = 0.$

\begin{array}{l} r (0) = 4 - 3 \sin (0) \\ r = 4 - 3 \cdot 0 = 4 \end{array}

Því er að minnsta kosti einn skurðpunktur við pólhnitaásinn í $(4, 0) .$

Þar sem hágildi sínusfallsins er 1 þegar 𝜃 = 𝜋 2 $θ = \frac{π}{2},$ setjum við næst $θ = \frac{π}{2}$ inn í jöfnuna og leysum fyrir $r .$ Því er $r = 1.$

Búið til hnitatöflu svipaða töflu 5.

𝜃 θ	0 0	𝜋 6 π/6	𝜋 3 π/3	𝜋 2 π/2	2 ⁢ 𝜋 3 2 ⁢ π/3	5 ⁢ 𝜋 6 5 ⁢ π/6	𝜋 π	7 ⁢ 𝜋 6 7 ⁢ π/6	4 ⁢ 𝜋 3 4 ⁢ π/3	3 ⁢ 𝜋 2 3 ⁢ π/2	5 ⁢ 𝜋 3 5 ⁢ π/3	1 1 ⁢ 𝜋 6 11 ⁢ π/6	2 ⁢ 𝜋 2 ⁢ π
𝑟 r	4	2.5	1.4	1	1.4	2.5	4	5.5	6.6	7	6.6	5.5	4

Grafið er sýnt á mynd 10.

Graf snigilferilsins r=4-3sin(theta) sem nær niður. Punktarnir (1,pi/2), (4,0), (4,pí) og (7, 3pi/2) eru merktir á jaðarinn. — **Mynd 10.** Einlykkju-snigilferill

Greining

Þetta er dæmi um feril þar sem gildistafla er nauðsynleg til að fá nákvæmt graf. Samhverfuprófin bregðast og núllstöðin er óskilgreind. Þótt líklegt kunni að virðast að jafna sem inniheldur $\sin θ$ sé samhverf um línuna 𝜃 = 𝜋 2 $θ = \frac{π}{2},$ hjálpar mat á fleiri punktum við að staðfesta að grafið sé rétt.

Önnur gerð snigilferils, snigilferill með innri lykkju, dregur nafn sitt af lykkjunni innan í almenna snigilferilsforminu. Þýski listamaðurinn Albrecht Dürer (1471–1528) uppgötvaði ferilinn og birti aðferð til að teikna hann í bók sinni Underweysung der Messing frá 1525. Öld síðar enduruppgötvaði Étienne Pascal (1588–1651), faðir stærðfræðingsins Blaise Pascal, ferilinn.

Dæmi 6

Að skissa graf snigilferils með innri lykkju

Skissið graf $r = 2 + 5 cos θ .$

Lausn

Við prófun á samhverfu kemur í ljós að graf jöfnunnar er samhverft um pólhnitaásinn. Núllstöðvarnar fást þegar 𝑟 = 0 r = 0 , og þá er 𝜃 = 1 . 9 8 . θ = 1.98. Hágildi | 𝑟 | | r | fæst þegar c $r = 0,$ $θ = 1.98.$ o s ⁡ 𝜃 $| r |$ = 1 cos ⁡ $\cos θ = 1$ θ = 1 $θ = 0.$ eða þegar 𝜃 = 0 . θ = 0. Hágildið er því í punktinum (7, 0).

Þótt við höfum fundið samhverfu, núllstöð og hágildi hjálpar það að merkja inn fleiri punkta við að ákvarða lögunina; þá kemur mynstur í ljós.

Sjá töflu 6.

𝜃 θ

0 0

𝜋 6 π/6

𝜋 3 π/3

𝜋 2 π/2

2 ⁢ 𝜋 3 2 ⁢ π/3

5 ⁢ 𝜋 6 5 ⁢ π/6

𝜋 π

7 ⁢ 𝜋 6 7 ⁢ π/6

4 ⁢ 𝜋 3 4 ⁢ π/3

3 ⁢ 𝜋 2 3 ⁢ π/2

5 ⁢ 𝜋 3 5 ⁢ π/3

1 1 ⁢ 𝜋 6 11 ⁢ π/6

2 ⁢ 𝜋 2 ⁢ π

𝑟 r

6.3

4.5

−0.5

−2.3

−3

−2.3

−0.5

4.5

6.3

Eins og við var að búast byrja gildin að endurtaka sig eftir $θ = π .$ Grafið er sýnt á mynd 12.

Graf snigilferilsins með innri lykkju r=2+5cos(theta), sem nær til hægri. Punktarnir (7,0), (4.5, pi/3), (2, pi/2) og (-3, pí) eru merktir á jaðarinn. — **Mynd 12.** Snigilferill með innri lykkju

Rannsókn lemniskata

Lemniskata er pólhnitaferill sem líkist óendanleikamerkinu $\infty$ eða tölustafnum 8. Lemniskata með miðju í skautinu er samkvæmt skilgreiningu samhverf.

Dæmi 7

Að skissa graf lemniskötu

Skissið graf $r^{2} = 4 \cos 2 θ .$

Lausn

Jafnan er samhverf um línuna 𝜃 = 𝜋 2 $θ = \frac{π}{2},$ , pólhnitaásinn og skautið.

Finnum núllstöðvarnar. Aðferðin ætti nú að vera kunnugleg, en við nálgumst þessa jöfnu á svolítið annan hátt með innsetningunni $u = 2 θ .$

\begin{array}{l} 0 = 4 \cos 2 θ \\ 0 = 4 \cos u \\ 0 = \cos u \\ \cos^{- 1} 0 = \frac{π}{2} \\ u = \frac{π}{2} & Substitute 2 θ back in for u . \\ 2 θ = \frac{π}{2} \\ θ = \frac{π}{4} \end{array}

Punkturinn $(0, \frac{π}{4})$ er því núllstöð jöfnunnar.

Finnum nú hágildið. Þar sem hágildi $\cos u = 1$ fæst þegar 𝑢 = 0 $u = 0,$ fæst hágildi $\cos 2 θ = 1$ þegar $2 θ = 0.$ Því fæst

\begin{matrix} r^{2} = 4 \cos (0) \\ r^{2} = 4 (1) = 4 \\ r = \pm \sqrt{4} \pm 2 \end{matrix}

Hágildi er í (2, 0). Þar sem grafið er samhverft um skautið, línuna 𝜃 = 𝜋 2 $θ = \frac{π}{2},$ og pólhnitaásinn þurfum við aðeins að merkja inn punkta í fyrsta fjórðungi.

Búið til töflu svipaða töflu 7.

𝜃 θ	0	𝜋 6 π/6	𝜋 4 π/4
𝑟 r	± 2 ± 2	± √ 2 ± 2	0

Merkið punktana inn á grafið, eins og sýnt er á mynd 14.

Graf r^2 = 4cos(2theta). Lárétt lemniskata eftir x-ásnum. Punktarnir (2,0), (rad2, pi/6) og (rad2 7pi/6) eru merktir á jaðarinn. — **Mynd 14.** Lemniskata

Greining

Innsetning á borð við $u = 2 θ$ er algeng í stærðfræði þar sem hún getur einfaldað útreikninga. Við megum þó ekki gleyma að skipta innsettu stærðinni aftur út fyrir upphaflegu stærðina í lokin og leysa síðan fyrir óþekktu stærðina.

Sumir punktar grafsins birtast ef til vill ekki með Trace-aðgerð TI-84 grafreiknis og tafla reiknisins kann að sýna villu fyrir sömu gildi $r .$ Ástæðan er að engar rauntölukvaðratrætur eru til fyrir þessi gildi $θ .$ Með öðrum orðum eru samsvarandi r-gildi $\sqrt{4 \cos (2 θ)}$ tvinntölur þar sem neikvæð tala er undir rótarmerkinu.

Rannsókn rósa

Næsta gerð pólhnitajöfnu gefur krónublaðalögun sem nefnist rós. Þótt gröfin virðist flókin myndar einföld pólhnitajafna mynstrið.

Dæmi 8

Að skissa graf rósar (n slétt)

Skissið graf $r = 2 \cos 4 θ .$

Lausn

Við samhverfuprófun sjáum við aftur að prófin segja ekki alla söguna. Grafið er ekki aðeins samhverft um pólhnitaásinn heldur einnig um línuna $θ = \frac{π}{2}$ og skautið.

Finnum núllstöðvarnar. Gerið fyrst innsetninguna $u = 4 θ .$

\begin{matrix} 0 = 2 \cos 4 θ \\ 0 = \cos 4 θ \\ 0 = \cos u \\ \cos^{- 1} 0 = u \\ u = \frac{π}{2} \\ 4 θ = \frac{π}{2} \\ θ = \frac{π}{8} \end{matrix}

Núllstöðin er $θ = \frac{π}{8} .$ Punkturinn $(0, \frac{π}{8})$ liggur á ferlinum.

Næst finnum við hágildi $| r | .$ Við vitum að hágildi $\cos u = 1$ fæst þegar $θ = 0.$ Því fæst

\begin{array}{l} r = 2 \cos (4 \cdot 0) \\ r = 2 \cos (0) \\ r = 2 (1) = 2 \end{array}

Punkturinn $(2, 0)$ liggur á ferlinum.

Graf rósarinnar hefur sérstaka eiginleika sem koma fram í töflu 8.

𝜃 θ	0	𝜋 8 π/8	𝜋 4 π/4	3 ⁢ 𝜋 8 3 ⁢ π/8	𝜋 2 π/2	5 ⁢ 𝜋 8 5 ⁢ π/8	3 ⁢ 𝜋 4 3 ⁢ π/4
𝑟 r	2	0	−2	0	2	0	−2

Þar sem $r = 0$ þegar 𝜃 = 𝜋 8 $θ = \frac{π}{8},$ er eðlilegt að skipta gildunum í töflunni með millibili sem nemur $\frac{π}{8}$ einingum. Skýrt mynstur kemur fram. Skoðið röð r-gildanna: 2, 0, −2, 0, 2, 0, −2 og svo framvegis. Þetta sýnir hvernig ferillinn myndast eitt krónublað í einu. Frá 𝑟 = 0 $r = 0,$ nær hvert krónublað út í fjarlægðina 𝑟 = 2 $r = 2,$ og snýr síðan aftur í núll $2 n$ sinnum, svo krónublöðin verða alls átta. Sjá grafið á mynd 16.

Skissa af rósinni r=2*cos(4 theta). Hvert krónublað nær út í fjarlægðina 2 og þau eru 2n talsins (hér 2*4=8 sinnum). — **Mynd 16.** Rós, n slétt

Greining

Best er að merkja punkta þessara ferla inn í réttri röð eins og í töflu 8. Þá sjáum við hvernig grafið nær hágildi, oddi krónublaðs, fer í lykkju aftur gegnum skautið, nær gagnstæðu hágildi og fer aftur í skautið. Ferlið heldur samfellt áfram þar til öll krónublöðin hafa verið teiknuð.

Dæmi 9

Að skissa graf rósar (n oddatala)

Skissið graf $r = 2 \sin (5 θ) .$

Lausn

Graf jöfnunnar er samhverft um línuna $θ = \frac{π}{2} .$ Næst finnum við núllstöðvar og hágildi. Við notum innsetninguna $u = 5 θ .$

\begin{matrix} 0 = 2 \sin (5 θ) \\ 0 = \sin u \\ \sin^{- 1} 0 = 0 \\ u = 0 \\ 5 θ = 0 \\ θ = 0 \end{matrix}

Hágildið er reiknað við hornið þar sem $\sin θ$ er í hámarki. Því fæst

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = 2 \sin (5 \cdot \frac{π}{2}) \end{array} \\ r = 2 (1) = 2 \end{array}

Hágildi pólhnitajöfnunnar er því 2. Það er lengd hvers krónublaðs. Þar sem ferill með oddatölu $n$ hefur jafn mörg krónublöð og 𝑛 $n,$ verða fimm krónublöð á grafinu. Sjá mynd 17.

Graf rósarinnar r=2sin(5theta). Fimm jafndreifð krónublöð ganga út frá upphafspunktinum. Punkturinn (2, pi/2) á jaðrinum er merktur. — **Mynd 17.** Rós, n oddatala

Búið til gildistöflu svipaða töflu 9.

𝜃 θ	0	𝜋 6 π/6	𝜋 3 π/3	𝜋 2 π/2	2 ⁢ 𝜋 3 2 ⁢ π/3	5 ⁢ 𝜋 6 5 ⁢ π/6	𝜋 π
𝑟 r	0	1	−1.73	2	−1.73	1	0

Rannsókn vefju Arkimedesar

Síðasta pólhnitajafnan sem við fjöllum um er vefja Arkimedesar, nefnd eftir þeim sem uppgötvaði hana, gríska stærðfræðingnum Arkimedesi (um 287 f.Kr.–um 212 f.Kr.), sem á heiðurinn af fjölmörgum uppgötvunum í rúmfræði og aflfræði.

Dæmi 10

Að skissa graf vefju Arkimedesar

Skissið graf $r = θ$ á $[0, 2 π] .$

Lausn

Þar sem $r$ er jafnt 𝜃 $θ,$ hefst graf vefju Arkimedesar í skautinu í punktinum (0, 0). Grafið gefur vísbendingu um samhverfu en stenst formlega ekkert samhverfupróf. Ekkert hágildi er heldur til nema skilgreiningarmengið sé takmarkað.

Búið til töflu eins og töflu 10.

𝜃 θ	𝜋 4 π/4	𝜋 2 π/2	𝜋 π	3 ⁢ 𝜋 2 3 ⁢ π/2	7 ⁢ 𝜋 4 7 ⁢ π/4	2 ⁢ 𝜋 2 ⁢ π
𝑟 r	0.785	1.57	3.14	4.71	5.50	6.28

Athugið að r-gildin eru einfaldlega tugabrotaform hornanna mældra í radíönum. Þau sjást á grafinu á mynd 19.

Graf vefju Arkimedesar r=theta á [0,2pi]. Það hefst í upphafspunktinum og vefst eina umferð út rangsælis. Punktarnir (pi/4, pi/4), (pi/2,pi/2), (pí,pí), (5pi/4, 5pi/4), (7pi/4, pi/4) og (2pi, 2pi) eru merktir. — **Mynd 19.** Vefja Arkimedesar

Greining

Skilgreiningarmengi þessa pólhnitaferils er $[0, 2 π] .$ Almennt er skilgreiningarmengi fallsins þó $(- \infty, \infty) .$ Fremur einfalt er að teikna jöfnu vefju Arkimedesar þótt myndin láti hana virðast flókna.

Yfirlit ferla

Í þessum hluta höfum við skoðað nokkra pólhnitaferla sem virðast flóknir. Mynd 20 og mynd 21 draga saman gröf og jöfnur hvers ferils.

Fjögur gröf hlið við hlið í yfirliti. (A) er hringur: r=asin(theta) eða r=acos(theta). (B) er hjartaferill: r= a plús eða mínus bcos(theta), eða r = a plús eða mínus bsin(theta). a>0, b>0, a/b=1. (C) eru einlykkju-snigilferlar: r= a plús eða mínus bcos(theta), eða r= a plús eða mínus bsin(theta). a>0, b>0, 1<a/b<2. (D) eru snigilferlar með innri lykkju: R = a plús eða mínus bcos(theta), eða r = a plús eða mínus bsin(theta). A>0, b>0, a<b.

Fjögur gröf hlið við hlið í yfirliti. (A) Lemniskötur: r² = a²cos(2θ) eða r² = a²sin(2θ), þar sem a er ekki núll. (B) Rós með sléttu n: r = acos(nθ) eða r = asin(nθ); krónublöðin eru 2n. (C) Rós með oddatölu n: r = acos(nθ) eða r = asin(nθ); krónublöðin eru n. (D) Vefja Arkimedesar: r = θ og θ ≥ 0.

8.4 Æfingar

Hugtök

Lýsið þremur gerðum samhverfu pólhnitagrafa og berið þær saman við samhverfu kartesíska plansins.

Hverjar af þremur gerðum samhverfu pólhnitagrafa samsvara samhverfu um x-ás, y-ás og upphafspunkt?

Hvaða skrefum skal fylgja þegar pólhnitajöfnur eru teiknaðar?

Lýsið lögun grafa hjartaferla, snigilferla og lemniskata.

Hvaða hluti jöfnunnar ákvarðar lögun grafs pólhnitajöfnu?

Gröf

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið prófa jöfnuna með tilliti til samhverfu.

𝑟=5⁢cos⁡3⁢𝜃 $r = 5 \cos 3 θ$

𝑟=3−3⁢cos⁡𝜃 $r = 3 - 3 \cos θ$

𝑟=3+2⁢sin⁡𝜃 $r = 3 + 2 \sin θ$

𝑟=3⁢sin⁡2⁢𝜃 $r = 3 \sin 2 θ$

10.

𝑟=4 $r = 4$

11.

𝑟=2⁢𝜃 $r = 2 θ$

12.

𝑟=4⁢cos⁡𝜃2 $r = 4 \cos \frac{θ}{2}$

13.

𝑟=2𝜃 $r = \frac{2}{θ}$

14.

𝑟=3⁢√1−cos2⁡𝜃 $r = 3 \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$

15.

𝑟=√5⁢sin⁡2⁢𝜃 $r = \sqrt{5 \sin 2 θ}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið teikna graf pólhnitajöfnunnar og tilgreina heiti lögunarinnar.

16.

𝑟=3⁢cos⁡𝜃 $r = 3 \cos θ$

17.

𝑟=4⁢sin⁡𝜃 $r = 4 \sin θ$

18.

𝑟=2+2⁢cos⁡𝜃 $r = 2 + 2 \cos θ$

19.

𝑟=2−2⁢cos⁡𝜃 $r = 2 - 2 \cos θ$

20.

𝑟=5−5⁢sin⁡𝜃 $r = 5 - 5 \sin θ$

21.

𝑟=3+3⁢sin⁡𝜃 $r = 3 + 3 \sin θ$

22.

𝑟=3+2⁢sin⁡𝜃 $r = 3 + 2 \sin θ$

23.

𝑟=7+4⁢sin⁡𝜃 $r = 7 + 4 \sin θ$

24.

𝑟=4+3⁢cos⁡𝜃 $r = 4 + 3 \cos θ$

25.

𝑟=5+4⁢cos⁡𝜃 $r = 5 + 4 \cos θ$

26.

𝑟=10+9⁢cos⁡𝜃 $r = 10 + 9 \cos θ$

27.

𝑟=1+3⁢sin⁡𝜃 $r = 1 + 3 \sin θ$

28.

𝑟=2+5⁢sin⁡𝜃 $r = 2 + 5 \sin θ$

29.

𝑟=5+7⁢sin⁡𝜃 $r = 5 + 7 \sin θ$

30.

𝑟=2+4⁢cos⁡𝜃 $r = 2 + 4 \cos θ$

31.

𝑟=5+6⁢cos⁡𝜃 $r = 5 + 6 \cos θ$

32.

𝑟2=36⁢cos⁡(2⁢𝜃) $r^{2} = 36 \cos (2 θ)$

33.

𝑟2=10⁢cos⁡(2⁢𝜃) $r^{2} = 10 \cos (2 θ)$

34.

𝑟2=4⁢sin⁡(2⁢𝜃) $r^{2} = 4 \sin (2 θ)$

35.

𝑟2=10⁢sin⁡(2⁢𝜃) $r^{2} = 10 \sin (2 θ)$

36.

𝑟=3⁢sin⁡(2⁢𝜃) $r = 3 sin (2 θ)$

37.

𝑟=3⁢cos⁡(2⁢𝜃) $r = 3 cos (2 θ)$

38.

𝑟=5⁢sin⁡(3⁢𝜃) $r = 5 sin (3 θ)$

39.

𝑟=4⁢sin⁡(4⁢𝜃) $r = 4 sin (4 θ)$

40.

𝑟=4⁢sin⁡(5⁢𝜃) $r = 4 sin (5 θ)$

41.

𝑟=−𝜃 $r = - θ$

42.

𝑟=2⁢𝜃 $r = 2 θ$

43.

𝑟=−3⁢𝜃 $r = - 3 θ$

Tækni

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota grafreikni til að skissa graf pólhnitajöfnunnar.

44.

𝑟=1𝜃 $r = \frac{1}{θ}$

45.

𝑟=1√𝜃 $r = \frac{1}{\sqrt{θ}}$

46.

$r = 2 \sin θ \tan θ,$ síssóíða

47.

$r = 2 \sqrt{1 - \sin^{2} θ}$ , hippópeda

48.

𝑟=5+cos⁡(4⁢𝜃) $r = 5 + \cos (4 θ)$

49.

𝑟=2−sin⁡(2⁢𝜃) $r = 2 - \sin (2 θ)$

50.

𝑟=𝜃2 $r = θ^{2}$

51.

𝑟=𝜃+1 $r = θ + 1$

52.

𝑟=𝜃⁢sin⁡𝜃 $r = θ \sin θ$

53.

𝑟=𝜃⁢cos⁡𝜃 $r = θ \cos θ$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota grafbúnað til að teikna hvert par pólhnitajafna á skilgreiningarmenginu $[0, 4 π]$ og útskýra síðan muninn sem sést á gröfunum.

54.

𝑟=𝜃,𝑟=−𝜃 $r = θ, r = - θ$

55.

𝑟=𝜃,𝑟=𝜃+sin⁡𝜃 $r = θ, r = θ + \sin θ$

56.

𝑟=sin⁡𝜃+𝜃,𝑟=sin⁡𝜃−𝜃 $r = \sin θ + θ, r = \sin θ - θ$

57.

𝑟=2⁢sin⁡(𝜃2),𝑟=𝜃⁢sin⁡(𝜃2) $r = 2 \sin (\frac{θ}{2}), r = θ \sin (\frac{θ}{2})$

58.

𝑟=sin⁡(cos⁡(3⁢𝜃))⁢𝑟=sin⁡(3⁢𝜃) $r = \sin (\cos (3 θ)) r = \sin (3 θ)$

59.

Notið grafbúnað til að teikna $r = \sin (\frac{16}{5} θ)$ á $[0$ , $4 π]$ , $[0$ , $8 π]$ , $[0$ , $12 π]$ og $[0$ , $16 π] .$ Lýsið áhrifum þess að breikka skilgreiningarmengið.

60.

Notið grafbúnað til að teikna og skissa $r = \sin θ + {(\sin (\frac{5}{2} θ))}^{3}$ á $[0, 4 π] .$

61.

Notið grafbúnað til að teikna hverja pólhnitajöfnu. Útskýrið líkindi og mun sem þið sjáið á gröfunum.

\begin{array}{l} r_{1} = 3 \sin (3 θ) \\ r_{2} = 2 \sin (3 θ) \\ r_{3} = \sin (3 θ) \end{array}

62.

Notið grafbúnað til að teikna hverja pólhnitajöfnu. Útskýrið líkindi og mun sem þið sjáið á gröfunum.

\begin{array}{l} r_{1} = 3 + 3 \cos θ \\ r_{2} = 2 + 2 \cos θ \\ r_{3} = 1 + \cos θ \end{array}

63.

Notið grafbúnað til að teikna hverja pólhnitajöfnu. Útskýrið líkindi og mun sem þið sjáið á gröfunum.

\begin{array}{l} r_{1} = 3 θ \\ r_{2} = 2 θ \\ r_{3} = θ \end{array}

Viðbótarverkefni

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið teikna hverja pólhnitajöfnu á sama pólhnitanet og finna skurðpunkta þeirra.

64.

𝑟1=3+2⁢sin⁡𝜃,𝑟2=2 $r_{1} = 3 + 2 \sin θ, r_{2} = 2$

65.

𝑟1=6−4⁢cos⁡𝜃,𝑟2=4 $r_{1} = 6 - 4 \cos θ, r_{2} = 4$

66.

𝑟1=1+sin⁡𝜃,𝑟2=3⁢sin⁡𝜃 $r_{1} = 1 + \sin θ, r_{2} = 3 \sin θ$

67.

𝑟1=1+cos⁡𝜃,𝑟2=3⁢cos⁡𝜃 $r_{1} = 1 + \cos θ, r_{2} = 3 \cos θ$

68.

𝑟1=cos⁡(2⁢𝜃),𝑟2=sin⁡(2⁢𝜃) $r_{1} = \cos (2 θ), r_{2} = \sin (2 θ)$

69.

𝑟1=sin2⁡(2⁢𝜃) $r_{1} = \sin^{2} (2 θ)$ , 𝑟2 =1 −cos⁡(4⁢𝜃) $r_{2} = 1 - \cos (4 θ)$

70.

𝑟1=√3,𝑟2=2⁢sin⁡(𝜃) $r_{1} = \sqrt{3}, r_{2} = 2 \sin (θ)$

71.

𝑟1⁢2=sin⁡𝜃,𝑟2⁢2=cos⁡𝜃 $r_{1}^{2} = \sin θ, r_{2}^{2} = \cos θ$

72.

𝑟1=1+cos⁡𝜃 $r_{1} = 1 + \cos θ$ , 𝑟2 =1 −sin ⁡𝜃 $r_{2} = 1 - \sin θ$