88 Frekari notkun hornafræði

Meginatriði

8.1 Órétthyrndir þríhyrningar: sínusreglan

Nota má sínusregluna til að leysa órétthyrnda þríhyrninga.
Samkvæmt sínusreglunni er hlutfall sínuss horns og lengdar mótlægrar hliðar jafnt samsvarandi hlutfalli fyrir hin hornin tvö.
Þrjú tilvik koma til greina: ASA, AAS og SSA. Út frá gefnum upplýsingum má velja viðeigandi jöfnu til að finna lausnina sem leitað er að. Sjá dæmi 1 .
Tvíræða tilvikið kemur upp þegar fleiri en ein útkoma er möguleg fyrir órétthyrndan þríhyrning.
Þrjú tilvik geta komið upp við SSA-röðun: ein lausn, tvær mögulegar lausnir eða engin lausn. Sjá dæmi 2 og dæmi 3 .
Nota má sínusregluna til að leysa þríhyrninga með gefnum skilyrðum. Sjá dæmi 4 .
Almenna flatarmálsformúlan fyrir þríhyrninga gildir einnig um órétthyrnda þríhyrninga þegar viðeigandi hæð hefur fyrst verið fundin. Sjá dæmi 5 .
Hornafræði hefur margvíslega hagnýtingu. Oft má leysa slík verkefni með því að teikna fyrst mynd af gefnum upplýsingum og nota síðan viðeigandi jöfnu. Sjá dæmi 6 .

8.2 Órétthyrndir þríhyrningar: kósínusreglan

Kósínusreglan lýsir sambandinu milli hornastærða og hliðarlengda í órétthyrndum þríhyrningum.
Almenna regla Pýþagórasar er kósínusreglan fyrir tvö tilvik órétthyrndra þríhyrninga: SAS og SSS. Með því að draga ímyndaða hæð má skipta órétthyrnda þríhyrningnum í tvo rétthyrnda þríhyrninga eða mynda einn slíkan. Þá má tengja hliðarnar saman og reikna óþekktar stærðir. Sjá dæmi 1 og dæmi 2 .
Kósínusreglan nýtist í margs konar hagnýtum verkefnum. Fyrsta skrefið er yfirleitt að teikna skissu af aðstæðunum. Ef gefnu upplýsingarnar falla að einu líkananna þriggja, það er einni jafnanna þriggja, er kósínusreglan notuð til að finna lausn. Sjá dæmi 3 og dæmi 4 .
Með Heronsformúlu má reikna flatarmál órétthyrndra þríhyrninga. Lengdir allra þriggja hliðanna verða að vera þekktar. Sjá dæmi 5 og sjá dæmi 6 .

8.3 Pólhnit

Pólhnitanet er röð sammiðja hringa sem liggja út frá skautinu, það er upphafspunktinum.
Til að staðsetja punkt á forminu $(r, θ), θ > 0,$ er farið rangsælis frá pólhnitaásnum um hornið 𝜃 $θ,$ og síðan dregið stefnt línustrik af lengdinni $r$ frá skautinu í stefnu $θ .$ Ef $θ$ er neikvætt er farið réttsælis og stefnt línustrik af lengdinni $r$ dregið í stefnu $θ .$ Sjá dæmi 1 .
Ef $r$ er neikvætt er stefnda línustrikið dregið í gagnstæða stefnu við $θ .$ Sjá dæmi 2 .
Til að breyta pólhnitum í rétthyrnd hnit eru notaðar formúlurnar $x = r \cos θ$ og $y = r \sin θ .$ Sjá dæmi 3 og dæmi 4 .
Til að breyta rétthyrndum hnitum í pólhnit eru notaðar ein eða fleiri formúlanna $\cos θ = \frac{x}{r}, \sin θ = \frac{y}{r}, \tan θ = \frac{y}{x},$ og $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ Sjá dæmi 5 .
Að breyta jöfnum milli pólforms og rétthyrnds forms felur í sér að setja inn viðeigandi stærðir samkvæmt tiltækum formúlum og beita algebrureikningi. Sjá dæmi 6 , dæmi 7 og dæmi 8 .
Með viðeigandi innsetningum má umrita póljöfnu sem rétthyrnda jöfnu og teikna síðan graf hennar í rétthyrnda hnitakerfinu. Sjá dæmi 9 , dæmi 10 og dæmi 11 .

8.4 Pólhnit: gröf

Auðveldara er að teikna gröf póljaafna ef hægt er að prófa samhverfu jafnanna um línuna $θ = \frac{π}{2},$ pólhnitaásinn eða skautið.
Þrjú samhverfupróf gefa til kynna hvort graf póljöfnu sýni samhverfu. Þótt jafna standist ekki tiltekið samhverfupróf getur graf hennar samt verið samhverft. Sjá dæmi 1 .
Teikna má graf póljöfnu með því að gera gildistöflu fyrir $θ$ og $r .$
Hágildi póljöfnu fæst með því að setja inn það gildi $θ$ sem gefur hágildi hornafallastæðunnar.
Núllstöðvar póljöfnu finnast með því að setja $r = 0$ og leysa fyrir $θ .$ Sjá dæmi 2 .
Meðal formúlna sem gefa graf hrings í pólhnitum eru $r = a \cos θ$ og $r = a \sin θ .$ Sjá dæmi 3 .
Formúlurnar sem gefa gröf hjartaferla eru $r = a \pm b \cos θ$ og $r = a \pm b \sin θ,$ fyrir $a > 0,$ $b > 0,$ og $\frac{a}{b} = 1.$ Sjá dæmi 4 .
Formúlurnar sem gefa gröf einlykkju-snigilferla eru $r = a \pm b \cos θ$ og $r = a \pm b \sin θ$ fyrir $1 < \frac{a}{b} < 2.$ Sjá dæmi 5 .
Formúlurnar sem gefa gröf snigilferla með innri lykkju eru $r = a \pm b \cos θ$ og $r = a \pm b \sin θ$ fyrir $a > 0,$ $b > 0,$ og $a < b .$ Sjá dæmi 6 .
Formúlurnar sem gefa gröf lemniskata eru $r^{2} = a^{2} \cos 2 θ$ og $r^{2} = a^{2} \sin 2 θ,$ þar sem $a \neq 0.$ Sjá dæmi 7 .
Formúlurnar sem gefa gröf rósa eru $r = a \cos n θ$ og $r = a \sin n θ,$ þar sem $a \neq 0;$ ef $n$ er slétt tala eru krónublöðin $2 n$ talsins, en ef $n$ er oddatala eru þau $n$ talsins. Sjá dæmi 8 og dæmi 9 .
Formúlan sem gefur graf vefju Arkimedesar er $r = θ,$ $θ \geq 0.$ Sjá dæmi 10 .

8.5 Pólform tvinntalna

Tvinntölur á forminu $a + b i$ eru teiknaðar í tvinntalnaplan á svipaðan hátt og rétthyrnd hnit í rétthyrndu hnitakerfi. x-ásinn er merktur sem raunás og y-ásinn sem þverás. Sjá dæmi 1 .
Tölugildi tvinntölu er hið sama og stærð hennar. Það er fjarlægðin frá upphafspunkti að punktinum: $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Sjá dæmi 2 og dæmi 3 .
Til að rita tvinntölur á pólformi eru notaðar formúlurnar $x = r \cos θ, y = r \sin θ,$ og $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ Þá er $z = r (\cos θ + i \sin θ) .$ Sjá dæmi 4 og dæmi 5 .
Til að breyta úr pólformi í rétthyrnt form eru hornaföllin fyrst reiknuð. Síðan er margfaldað inn í svigann með $r .$ Sjá dæmi 6 og dæmi 7 .
Til að finna margfeldi tveggja tvinntalna eru tölugildi þeirra margfölduð og hornin lögð saman. Reiknið hornaföllin og margfaldið með dreifireglu. Sjá dæmi 8 .
Til að finna kvóta tveggja tvinntalna á pólformi er fundinn kvóti tölugildanna og mismunur hornanna. Sjá dæmi 9 .
Til að finna veldi tvinntölunnar 𝑧 𝑛 $z^{n},$ er $r$ hafið í veldið 𝑛 $n,$ og $θ$ margfaldað með $n .$ Sjá dæmi 10 .
Að finna rætur tvinntölu jafngildir því að hefja tvinntölu í veldi, en með ræðum veldisvísi. Sjá dæmi 11 .

8.6 Stikajöfnur

Að stika feril felur í sér að breyta rétthyrndri jöfnu í breytunum $x$ og 𝑦 $y,$ í tvær jöfnur í breytunum þremur x, y og t. Oft fást meiri upplýsingar úr stikajöfnupári. Sjá dæmi 1 , dæmi 2 og dæmi 3 .
Stundum er einfaldara að teikna graf jafna þegar þær eru ritaðar á rétthyrndu formi. Þegar 𝑡 t , er eytt fæst jafna $t,$ í 𝑥 x $x$ og $y$ 𝑦 . y
Til að eyða 𝑡 $t,$ er önnur jafnan leyst fyrir 𝑡 $t,$ og stæðan sett inn í hina jöfnuna. Sjá dæmi 4 , dæmi 5 , dæmi 6 og dæmi 7 .
Að finna rétthyrnda jöfnu ferils sem er gefinn með stikajöfnum jafngildir í meginatriðum því að eyða stikanum. Leysið aðra jöfnuna fyrir $t$ og setjið stæðuna inn í hina jöfnuna. Sjá dæmi 8 .
Velja má óendanlega mörg stikajöfnupör fyrir feril sem er gefinn með rétthyrndri jöfnu.
Finnið stæðu fyrir $x$ þannig að skilgreiningarmengi stikajöfnupársins haldist hið sama og skilgreiningarmengi upprunalegu rétthyrndu jöfnunnar. Sjá dæmi 9 .

8.7 Stikajöfnur: gröf

Þegar þriðja breytan er til staðar, það er þriðji stikinn sem $x$ og $y$ eru háð, má nota stikajöfnur.
Til að teikna graf stikajafna með punktum er gerð tafla með þremur dálkum merktum 𝑡 , 𝑥 ⁡ ( 𝑡 ) $t, x (t),$ og $y (t) .$ Veljið vaxandi gildi fyrir $t$ og teiknið punktana úr síðustu tveimur dálkunum fyrir $x$ og $y .$ Sjá dæmi 1 og dæmi 2 .
Þegar stikaferill er teiknaður með punktum skal merkja viðeigandi t-gildi og sýna stefnu ferilsins með örvum á grafinu. Sjá dæmi 3 og dæmi 4 .
Stikajöfnur gera kleift að sýna stefnu ferils á grafinu. Teikna má gröf jafna sem eru ekki föll og nota þær í mörgum verkefnum um hreyfingu. Sjá dæmi 5 .
Kasthreyfing byggist á stikajöfnunum tveimur $x = (v_{0} \cos θ) t$ og $y = - 16 t^{2} + (v_{0} \sin θ) t + h .$ Upphafshraðinn er táknaður með $v_{0} . θ$ táknar upphafshorn hlutarins þegar honum er kastað og $h$ hæðina sem honum er kastað úr.

8.8 Vigrar

Upphafspunktur staðsetningarvigurs er í upphafspunkti hnitakerfisins. Sjá dæmi 1 .
Ef tveir vigrar hafa sama staðsetningarvigur eru þeir jafnir. Sjá dæmi 2 .
Vigrar ákvarðast af stærð og stefnu. Sjá dæmi 3 .
Ef tveir vigrar hafa sömu stærð og stefnu eru þeir jafnir. Sjá dæmi 4 .
Við samlagningu eða frádrátt vigra fæst nýr vigur með því að leggja saman eða draga frá samsvarandi þætti. Sjá dæmi 5 .
Margföldun vigurs með tölu felst í að margfalda vigurinn með fasta. Aðeins stærðin breytist en stefnan helst óbreytt. Sjá dæmi 6 og dæmi 7 .
Vigrar hafa tvo þætti: láréttan þátt eftir jákvæða x-ásnum og lóðréttan þátt eftir jákvæða y-ásnum. Sjá dæmi 8 .
Einingarvigur í sömu stefnu og tiltekinn vigur sem er ekki núllvigur fæst með því að deila vigrinum með stærð hans.
Stærð vigurs í rétthyrndu hnitakerfi er $| v | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Sjá dæmi 9 .
Í rétthyrndu hnitakerfi má setja einingarvigra fram með $i$ og $j$ þar sem $i$ táknar lárétta þáttinn og $j$ lóðrétta þáttinn. Þá er v = a i + b j margfeldi $v$ með rauntölunum 𝑎 og 𝑏 . $a og b .$ Sjá dæmi 10 og dæmi 11 .
Að leggja saman og draga frá vigra sem eru settir fram með i og j felst í að leggja saman eða draga frá samsvarandi stuðla við i og samsvarandi stuðla við j. Sjá dæmi 12 .
Vigurinn v = a i + b j er settur fram með stærð og stefnu sem $v = | v | \cos θ i + | v | \sin θ j .$ Sjá dæmi 13 .
Innfeldi tveggja vigra er margfeldi $i$ -liðanna að viðbættu margfeldi $j$ -liðanna. Sjá dæmi 14 .
Nota má innfeldi til að finna hornið milli tveggja vigra. Dæmi 15 og dæmi 16 .
Innfeldi nýtast í margs konar verkefnum í eðlisfræði. Sjá dæmi 17 .