88 Frekari notkun hornafræði

8.2 Órétthyrndir þríhyrningar: kósínusreglan

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Nota kósínusregluna til að leysa órétthyrnda þríhyrninga.
Leysa hagnýt verkefni með kósínusreglunni.
Nota Heronsformúlu til að finna flatarmál þríhyrnings.

Gerum ráð fyrir að bátur sigli frá höfn, fari 10 mílur, beygi um 20 gráður og fari síðan aðrar 8 mílur, eins og sýnt er á mynd 1. Hve langt er báturinn frá höfninni?

Þríhyrningur með hornpunkta við bátinn, höfnina og staðinn þar sem báturinn beygði. Hliðin milli hafnarinnar og beygjustaðarins er 10 mílur og hliðin milli beygjustaðarins og bátsins er 8 mílur. Hliðin milli hafnarinnar og beygjustaðarins er framlengd með beinni punktalínu. Hornið milli punktalínunnar og 8 mílna hliðarinnar er 20 gráður.

Þótt sínusreglan geri okkur kleift að leysa mörg tilvik órétthyrndra þríhyrninga gagnast hún ekki þegar þekkta hornið liggur milli tveggja þekktra hliða, SAS-þríhyrningur (hlið–horn–hlið), eða þegar allar þrjár hliðarnar eru þekktar en ekkert horn, SSS-þríhyrningur (hlið–hlið–hlið). Í þessum hluta skoðum við annað verkfæri til að leysa órétthyrnda þríhyrninga af þessum tveimur gerðum.

Notkun kósínusreglunnar til að leysa órétthyrnda þríhyrninga

Verkfærið sem við þurfum til að leysa verkefnið um fjarlægð bátsins frá höfninni er kósínusreglan, sem lýsir tengslum hornastærða og hliðarlengda í órétthyrndum þríhyrningum. Kósínusreglan samanstendur af þremur formúlum. Við fyrstu sýn kunna þær að virðast flóknar vegna þess hve margar breytur eru í þeim. Þegar mynstrið hefur verið skilið er þó auðveldara að vinna með kósínusregluna en flestar formúlur á þessu stigi stærðfræðinnar.

Það auðveldar notkun formúlnanna að skilja hvernig kósínusreglan er leidd út. Afleiðslan hefst á almennu reglu Pýþagórasar, sem útvíkkar reglu Pýþagórasar yfir á órétthyrnda þríhyrninga. Hún virkar þannig: Ótiltekinn órétthyrndur þríhyrningur $A B C$ er settur í hnitakerfi þannig að hornpunktur $A$ sé í upphafspunkti, hlið $c$ liggi eftir x-ásnum og hornpunktur $C$ sé í einhverjum punkti $(x, y)$ , eins og sýnt er á mynd 2. Almennt geta þríhyrningar legið hvar sem er í fletinum, en í þessari skýringu staðsetjum við þríhyrninginn eins og lýst var.

Þríhyrningurinn ABC er teiknaður í fjórðungi 1 í xy-hnitakerfi. Hornið A er þeta gráður og mótlæg hlið þess er a; hornin B og C og mótlægar hliðar þeirra b og c eru óþekkt. Hornpunktur A er í upphafspunktinum (0,0), hornpunktur B er í punktinum (x−c, 0) á x-ásnum og punktur C er í fjórðungi 1 í punktinum (b sinnum kósínus af þeta, b sinnum sínus af þeta).

Við getum dregið hornrétta línu frá $C$ að x-ásnum; hún er hæðin. Með hliðsjón af grunnhornafallasamsemdunum vitum við að

\cos θ = \frac{x (adjacent)}{b (hypotenuse)} and \sin θ = \frac{y (opposite)}{b (hypotenuse)}

Með 𝜃 fæst 𝑥 = 𝑏 ⁢ c o s ⁡ 𝜃 $θ, x = b \cos θ$ og $y = b \sin θ .$ Punkturinn $(x, y)$ við $C$ hefur hnitin $(b \cos θ,$ $b \sin θ) .$ Með hliðina $(x - c)$ sem aðra skammhlið rétthyrnds þríhyrnings og $y$ sem hina getum við fundið lengd langhliðarinnar $a$ með reglu Pýþagórasar. Því er

\begin{array}{l} a^{2} = {(x - c)}^{2} + y^{2} \\ = {(b \cos θ - c)}^{2} + {(b \sin θ)}^{2} & Substitute (b \cos θ) for x and (b \sin θ) for y . \\ = (b^{2} \cos^{2} θ - 2 b c \cos θ + c^{2}) + b^{2} \sin^{2} θ & Expand the perfect square . \\ = b^{2} \cos^{2} θ + b^{2} \sin^{2} θ + c^{2} - 2 b c \cos θ & Group terms noting that \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1. \\ = b^{2} (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) + c^{2} - 2 b c \cos θ & Factor out b^{2} . \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos θ \end{array}

Formúlan sem var leidd út er ein af þremur jöfnum kósínusreglunnar. Hinar jöfnurnar eru fengnar á svipaðan hátt.

Hafið í huga að alltaf er gagnlegt að skissa þríhyrninginn þegar finna á horn eða hliðar. Í raunverulegu viðfangsefni skal reyna að teikna mynd af aðstæðunum. Þegar frekari upplýsingar koma fram gæti þurft að breyta myndinni. Gerið þær breytingar og að lokum verður auðveldara að leysa verkefnið.

Kósínusreglan

Kósínusreglan segir að annað veldi hvaða hliðar þríhyrnings sem er jafngildi summu annarra velda hinna hliðanna tveggja að frádregnu tvöföldu margfeldi þeirra og kósínuss hornsins á milli þeirra. Fyrir þríhyrninga merkta eins og á mynd 3, með hornin 𝛼 , 𝛽 $α, β,$ og 𝛾 $γ,$ og mótlægar hliðar þeirra 𝑎 , 𝑏 $a, b,$ og 𝑐 $c,$ , er kósínusreglan sett fram með þremur jöfnum.

\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ \end{array}

Mynd 3

Til að finna óþekkta hlið þarf að þekkja stærð mótlæga hornsins.

Þegar horn er fundið þarf að þekkja lengd mótlægu hliðarinnar. Við getum notað annað form kósínusreglunnar til að leysa fyrir horn.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \end{array} \\ \cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \\ \cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \end{array} \end{array}

Dæmi 1

Óþekkt hlið og horn SAS-þríhyrnings fundin

Finnið óþekktu hliðina og hornin í þríhyrningnum á mynd 4.

Þríhyrningur með hefðbundnum merkingum. Hlið a = 10, hlið c = 12 og hornið beta = 30 gráður. — Mynd 4

Lausn

Skráum fyrst hvað er gefið: tvær hliðar og hornið milli þeirra. Þessi skipan flokkast sem SAS og gefur nauðsynleg gögn til að beita kósínusreglunni.

Hver hinna þriggja forma kósínusreglunnar hefst á öðru veldi óþekktrar hliðar á móti þekktu horni. Í þessu dæmi finnum við fyrst hliðina 𝑏 $b,$ , þar sem við þekkjum stærð mótlæga hornsins $β .$

\begin{array}{l} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β \\ b^{2} = 10^{2} + 12^{2} - 2 (10) (12) \cos (30^{\circ}) \begin{matrix}  \end{matrix} & Substitute the measurements for the known quantities . \\ b^{2} = 100 + 144 - 240 (\frac{\sqrt{3}}{2}) & Evaluate the cosine and begin to simplify . \\ b^{2} = 244 - 120 \sqrt{3} \\ b = \sqrt{244 - 120 \sqrt{3}} & Use the square root property . \\ b \approx 6.013 \end{array}

Þar sem við erum að finna lengd notum við aðeins jákvæðu kvaðratrótina. Nú þegar við þekkjum lengdina 𝑏 $b,$ getum við notað sínusregluna til að finna hornin sem eftir eru. Þegar leyst er fyrir hornið 𝛼 $α,$ fæst

\begin{array}{l} \frac{\sin α}{a} = \frac{\sin β}{b} \\ \frac{\sin α}{10} = \frac{\sin (30°)}{6.013} \\ \sin α = \frac{10 \sin (30°)}{6.013} & Multiply both sides of the equation by 10 . \\ α = \sin^{- 1} (\frac{10 \sin (30°)}{6.013}) \begin{matrix}  \end{matrix} & Find the inverse sine of \frac{10 \sin (30°)}{6.013} . \\ α \approx 56.3° \end{array}

Hinn möguleikinn á $α$ væri $α = 180° - 56.3° \approx 123.7°.$ Á upphaflegu myndinni liggur $α$ að lengstu hliðinni og því er $α$ hvasst horn; þess vegna gengur $123.7°$ ekki upp. Athugið að ef við beitum kósínusreglunni fæst ótvírætt svar. Við þurfum ekki að skoða aðra möguleika því kósínus hefur einkvæmt gildi fyrir horn milli $0°$ og $180°.$ Með 𝛼 ≈ 5 6 . 3 ° $α \approx 56.3°,$ getum við síðan fundið þriðja horn þríhyrningsins.

γ = 180° - 30° - 56.3° \approx 93.7°

Heildarlausnin fyrir horn og hliðar er

\begin{array}{l} α \approx 56.3° \begin{matrix}  \end{matrix} & a = 10 \\ β = 30° & b \approx 6.013 \\ γ \approx 93.7° & c = 12 \end{array}

Dæmi 2

Horn SSS-þríhyrnings fundið

Finnið hornið $α$ í gefna þríhyrningnum ef hlið $a = 20,$ hlið 𝑏 = 2 5 $b = 25,$ og hlið $c = 18.$

Lausn

Í þessu dæmi eru engin horn gefin. Við getum fundið hvaða horn sem er með kósínusreglunni. Til að leysa fyrir hornið 𝛼 $α,$ fæst

\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} −2 b c \cos α \\ 20^{2} = 25^{2} + 18^{2} −2 (25) (18) \cos α & Substitute the appropriate measurements . \\ 400 = 625 + 324 - 900 \cos α & Simplify in each step . \\ 400 = 949 - 900 \cos α \\ −549 = −900 \cos α & Isolate cos α . \\ \frac{−549}{−900} = \cos α \\ 0.61 \approx \cos α \\ \cos^{−1} (0.61) \approx α & Find the inverse cosine . \\ α \approx 52.4° \end{array}

Sjá mynd 5.

Þríhyrningur með hefðbundnum merkingum. Hlið b =25, hlið a = 20, hlið c = 18 og hornið alpha = 52.4 gráður. — Mynd 5

Greining

Þar sem andhverfa kósínusfallið getur skilað hvaða horni sem er milli 0 og 180 gráða verða engin tvíræð tilvik með þessari aðferð.

Lausn hagnýtra verkefna með kósínusreglunni

Rétt eins og sínusreglan gaf hentugar jöfnur til að leysa margvísleg verkefni á kósínusreglan við um aðstæður þar sem gefnu gögnin falla að kósínuslíkönum. Slík verkefni koma meðal annars fyrir í siglingafræði, landmælingum, stjörnufræði og rúmfræði.

Dæmi 3

Kósínusreglan notuð til að leysa fjarskiptaverkefni

Í mörgum GPS-símum er hægt að gefa áætlaða staðsetningu áður en GPS-merkið berst. Það er gert með þríhyrningsmælingu sem notar fjarlægðir frá tveimur þekktum punktum. Gerum ráð fyrir að tveir farsímaturnar séu innan drægis síma. Turnarnir standa með 6000 feta millibili við beinan þjóðveg sem liggur frá austri til vesturs og síminn er norðan við veginn. Af seinkun merkisins má ráða að síminn sé 5,050 fet frá fyrri turninum og 2,420 fet frá þeim síðari. Ákvarðið staðsetningu símans norður og austur af fyrri turninum og fjarlægð hans frá þjóðveginum.

Lausn

Til einföldunar byrjum við á að teikna mynd á borð við mynd 6 og merkja inn gefnu upplýsingarnar.

Þríhyrningur myndaður af farsímaturnunum tveimur við þjóðveg sem liggur frá austri til vesturs og símanum milli þeirra norðan við veginn. Hliðin milli turnanna er 6000 fet, hliðin milli vinstri turnsins og símans er 5050 fet og hliðin milli hægri turnsins og símans er 2420 fet. Hornið milli 5050 og 6000 feta hliðanna er merkt þeta. — Mynd 6

Með kósínusreglunni getum við leyst fyrir hornið $θ .$ Munið að kósínusreglan notar annað veldi einnar hliðar til að finna kósínus mótlæga hornsins. Í þessu dæmi látum við 𝑎 = 2 , 4 2 0 , 𝑏 = 5 , 0 5 0 $a = 2,420, b = 5,050,$ og $c = 6,000.$ Því samsvarar $θ$ mótlægu hliðinni $a = 2,420.$

\begin{matrix} a^{2} & = & b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos θ \\ {(2, 420)}^{2} & = & {(5, 050)}^{2} + {(6, 000)}^{2} - 2 (5, 050) (6, 000) \cos θ \\ \begin{matrix} {(2, 420)}^{2} & - & {(5, 050)}^{2} - {(6, 000)}^{2} \end{matrix} & = & - 2 (5, 050) (6, 000) \cos θ \\ \frac{\begin{matrix} {(2, 420)}^{2} & - & {(5, 050)}^{2} - {(6, 000)}^{2} \end{matrix}}{- 2 (5, 050) (6, 000)} & = & \cos θ \\ \cos θ & \approx & 0.9183 \\ θ & \approx & \cos^{- 1} (0.9183) \\ θ & \approx & 23.3 ° \end{matrix}

Til að svara spurningunum um staðsetningu símans norður og austur af turninum og fjarlægð hans frá þjóðveginum drögum við hornrétta línu frá símanum, eins og á mynd 7. Þá myndast tveir rétthyrndir þríhyrningar, þótt við þurfum aðeins þann sem inniheldur fyrri turninn í þessu verkefni.

Þríhyrningurinn milli símans, vinstri turnsins og punkts á þjóðveginum milli turnanna beint neðan við símann. Hliðin milli símans og vegarins er hornrétt á veginn og er y fet. Hliðin eftir veginum er x fet. Hornið við turninn, sem áður var merkt þeta, er 23.3 gráður. — Mynd 7

Með horninu $θ = 23.3°$ og grunnhornafallasamsemdunum getum við fundið lausnirnar. Því er

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos (23.3°) = \frac{x}{5,050} \end{array} \\ x = 5,050 \cos (23.3°) \\ x \approx 4,638.15 feet \\ \sin (23.3°) = \frac{y}{5,050} \\ y = 5,050 \sin (23.3°) \\ y \approx 1,997.5 feet \end{array}

Síminn er um það bil 4,638 fet austur og 1998 fet norður af fyrri turninum og 1998 fet frá þjóðveginum.

Dæmi 4

Farin vegalengd reiknuð með SAS-þríhyrningi

Víkjum aftur að verkefninu í upphafi hlutans. Gerum ráð fyrir að bátur sigli frá höfn, fari 10 mílur, beygi um 20 gráður og fari síðan aðrar 8 mílur. Hve langt er báturinn frá höfninni? Myndin er endurtekin á mynd 8.

Lausn

Báturinn beygði um 20 gráður og því er gleiða horn órétthyrnda þríhyrningsins grannhornið $180° - 20° = 160° .$ Með því getum við notað kósínusregluna til að finna hliðina sem vantar í gleiðhyrnda þríhyrninginn, það er fjarlægð bátsins frá höfninni.

\begin{array}{l} x^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2 (8) (10) \cos (160°) \\ x^{2} = 314.35 \\ x = \sqrt{314.35} \\ x \approx 17.7 mílur \end{array}

Báturinn er um 17.7 mílur frá höfninni.

Heronsformúla notuð til að finna flatarmál þríhyrnings

Við höfum þegar lært að finna flatarmál órétthyrnds þríhyrnings þegar tvær hliðar og eitt horn eru þekkt. Við þekkjum einnig formúluna sem notar grunnlínu og hæð til að finna flatarmál þríhyrnings. Þegar allar þrjár hliðarnar eru þekktar getum við hins vegar notað Heronsformúlu í stað þess að finna hæðina. Heron frá Alexandríu var rúmfræðingur sem var uppi á fyrstu öld e.Kr. Hann uppgötvaði formúlu til að finna flatarmál órétthyrndra þríhyrninga þegar þrjár hliðar eru þekktar.

Dæmi 5

Heronsformúla notuð til að finna flatarmál gefins þríhyrnings

Finnið flatarmál þríhyrningsins á mynd 9 með Heronsformúlu.

Þríhyrningur með hornin A, B og C og mótlægar hliðar þeirra a, b og c. Hlið a = 10, hlið b - 15 og hlið c = 7. — Mynd 9

Lausn

Fyrst reiknum við $s .$

\begin{array}{l} s = \frac{(a + b + c)}{2} \\ s = \frac{(10 + 15 + 7)}{2} = 16 \end{array}

Síðan beitum við formúlunni.

\begin{array}{l} Area = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} \\ Area = \sqrt{16 (16 - 10) (16 - 15) (16 - 7)} \\ Area \approx 29.4 \end{array}

Flatarmálið er um það bil 29.4 ferningseiningar.

Dæmi 6

Heronsformúlu beitt á raunverulegt viðfangsefni

Byggingaraðili í Chicago vill reisa hús með vinnustofuloftum listamanna á þríhyrndri lóð sem afmarkast af Rush Street, Wabash Avenue og Pearson Street. Framhliðin við Rush Street er um 62.4 metrar, við Wabash Avenue um 43.5 metrar og við Pearson Street um 34.1 metrar. Hve margir fermetrar eru til ráðstöfunar? Mynd 10 sýnir lóðina í borginni.

Þríhyrningur myndaður af Rush Street, N. Wabash Ave. og E. Pearson Street með lengdirnar 62.4, 43.5 og 34.1. — Mynd 10

Lausn

Finnið gildið á 𝑠 $s,$ , sem er helmingur ummálsins.

\begin{array}{l} s = \frac{(62.4 + 43.5 + 34.1)}{2} \\ s = 70 m \end{array}

Beitið Heronsformúlu.

\begin{array}{l} Area = \sqrt{70 (70 - 62.4) (70 - 43.5) (70 - 34.1)} \\ Area = \sqrt{506,118.2} \\ Area \approx 711.4 \end{array}

Byggingaraðilinn hefur um 711.4 fermetra til ráðstöfunar.

8.2 Æfingar hluta

Spurningar

Hvað þurfið þið að vita þegar kósínusreglan er notuð til að finna óþekkta hlið þríhyrnings?

Hvað þurfið þið að vita þegar kósínusreglan er notuð til að finna óþekkt horn þríhyrnings?

Útskýrið hvað $s$ táknar í Heronsformúlu.

Útskýrið tengsl reglu Pýþagórasar og kósínusreglunnar.

Hvenær þarf að nota kósínusregluna í stað reglu Pýþagórasar?

Algebra

Í eftirfarandi dæmum skal gera ráð fyrir að $α$ sé á móti hliðinni $a, β$ sé á móti hliðinni 𝑏 $b,$ og $γ$ sé á móti hliðinni $c .$ Leysið hvern þríhyrning fyrir óþekktu hliðina ef unnt er. Námundið að næsta tíunda hluta.

𝛾=41.2°,𝑎=2.49,𝑏=3.13 $γ = 41.2°, a = 2.49, b = 3.13$

𝛼=120°,𝑏=6,𝑐=7 $α = 120°, b = 6, c = 7$

𝛽=58.7°,𝑎=10.6,𝑐=15.7 $β = 58.7°, a = 10.6, c = 15.7$

𝛾=115°,𝑎=18,𝑏=23 $γ = 115°, a = 18, b = 23$

10.

𝛼=119°,𝑎=26,𝑏=14 $α = 119°, a = 26, b = 14$

11.

𝛾=113°,𝑏=10,𝑐=32 $γ = 113°, b = 10, c = 32$

12.

𝛽=67°,𝑎=49,𝑏=38 $β = 67°, a = 49, b = 38$

13.

𝛼=43.1°,𝑎=184.2,𝑏=242.8 $α = 43.1°, a = 184.2, b = 242.8$

14.

𝛼=36.6°,𝑎=186.2,𝑏=242.2 $α = 36.6°, a = 186.2, b = 242.2$

15.

𝛽=50°,𝑎=105,𝑏=45 $β = 50°, a = 105, b = 45$

Notið kósínusregluna í eftirfarandi dæmum til að finna hornið sem vantar í órétthyrnda þríhyrninginn. Námundið að næsta tíunda hluta.

16.

$a = 42, b = 19, c = 30;$ finnið hornið $A .$

17.

$a = 14, b = 13, c = 20;$ finnið hornið $C .$

18.

$a = 16, b = 31, c = 20;$ finnið hornið $B .$

19.

$a = 13, b = 22, c = 28;$ finnið hornið $A .$

20.

$a = 108, b = 132, c = 160;$ finnið hornið $C .$

Leysið þríhyrninginn í eftirfarandi dæmum. Námundið að næsta tíunda hluta.

21.

𝐴=35°,𝑏=8,𝑐=11 $A = 35°, b = 8, c = 11$

22.

𝐵=88°,𝑎=4.4,𝑐=5.2 $B = 88°, a = 4.4, c = 5.2$

23.

𝐶=121°,𝑎=21,𝑏=37 $C = 121°, a = 21, b = 37$

24.

𝑎=13,𝑏=11,𝑐=15 $a = 13, b = 11, c = 15$

25.

𝑎=3.1,𝑏=3.5,𝑐=5 $a = 3.1, b = 3.5, c = 5$

26.

𝑎=51,𝑏=25,𝑐=29 $a = 51, b = 25, c = 29$

Notið Heronsformúlu í eftirfarandi dæmum til að finna flatarmál þríhyrningsins. Námundið að næsta hundraðshluta.

27.

Finnið flatarmál þríhyrnings með hliðarlengdirnar 18 tommur, 21 tommur og 32 tommur. Námundið að næsta tíunda hluta.

28.

Finnið flatarmál þríhyrnings með hliðarlengdirnar 20 cm, 26 cm og 37 cm. Námundið að næsta tíunda hluta.

29.

𝑎=12m,𝑏=13m,𝑐=14m $a = \frac{1}{2} m, b = \frac{1}{3} m, c = \frac{1}{4} m$

30.

𝑎=12.4 ft,𝑏=13.7 ft,𝑐=20.2 ft $a = 12.4 ft, b = 13.7 ft, c = 20.2 ft$

31.

𝑎=1.6 yd,𝑏=2.6 yd,𝑐=4.1 yd $a = 1.6 yd, b = 2.6 yd, c = 4.1 yd$

Myndrænt

Finnið lengd hliðarinnar 𝑥 $x .$ í eftirfarandi dæmum. Námundið að næsta tíunda hluta.

32.

Þríhyrningur. Eitt horn er 72 gráður og mótlæg hlið þess er side = x. Hinar hliðarnar tvær eru 5 og 6.5.

33.

Þríhyrningur. Eitt horn er 42 gráður og mótlæg hlið þess er side = x. Hinar hliðarnar tvær eru 4.5 og 3.4.

34.

Þríhyrningur. Eitt horn er 40 gráður og mótlæg hlið þess er side = 15. Hinar hliðarnar tvær eru 12 og x.

35.

Þríhyrningur. Eitt horn er 65 gráður og mótlæg hlið þess er side = x. Hinar hliðarnar tvær eru 30 og 23.

36.

Þríhyrningur. Eitt horn er 50 gráður og mótlæg hlið þess er side = x. Hinar hliðarnar tvær eru 225 og 305.

37.

Þríhyrningur. Eitt horn er 123 gráður og mótlæg hlið þess er side = x. Hinar hliðarnar tvær eru 1/5 og 1/3.

Finnið stærð hornsins 𝐴 A . í eftirfarandi dæmum. $A .$

38.

Þríhyrningur. Hornið A er á móti hlið með lengdina 2.3. Hinar hliðarnar tvær eru 1.5 og 2.5.

39.

Þríhyrningur. Hornið A er á móti hlið með lengdina 125. Hinar hliðarnar tvær eru 115 og 100.

40.

Þríhyrningur. Hornið A er á móti hlið með lengdina 6.8. Hinar hliðarnar tvær eru 4.3 og 8.2.

41.

Þríhyrningur. Hornið A er á móti hlið með lengdina 40.6. Hinar hliðarnar tvær eru 38.7 og 23.3.

42.

Finnið stærð hvers horns í þríhyrningnum á mynd 11. Námundið að næsta tíunda hluta.

Þríhyrningurinn ABC. Hornið A er á móti hlið með lengdina 10, hornið B á móti hlið með lengdina 12 og hornið C á móti hlið með lengdina 7. — Mynd 11

Leysið fyrir óþekktu hliðina í eftirfarandi dæmum. Námundið að næsta tíunda hluta.

43.

Þríhyrningur. Eitt horn er 60 gráður og mótlæg hlið þess er óþekkt. Hinar hliðarnar tvær eru 20 og 28.

44.

Þríhyrningur. Eitt horn er 30 gráður og mótlæg hlið þess er óþekkt. Hinar hliðarnar tvær eru 16 og 10.

45.

Þríhyrningur. Eitt horn er 22 gráður og mótlæg hlið þess er óþekkt. Hinar hliðarnar tvær eru 20 og 13.

46.

Þríhyrningur. Eitt horn er 88 gráður og mótlæg hlið þess er side = 9. Önnur hlið er 5.

Finnið flatarmál þríhyrningsins í eftirfarandi dæmum. Námundið að næsta hundraðshluta.

47.

Þríhyrningur með hliðarnar 8, 12 og 17. Hornin eru óþekkt.

48.

Þríhyrningur með hliðarnar 50, 22 og 36. Hornin eru óþekkt.

49.

Þríhyrningur með hliðarnar 1.9, 2.6 og 4.3. Hornin eru óþekkt.

50.

Þríhyrningur með hliðarnar 8.9, 12.5 og 16.2. Hornin eru óþekkt.

51.

Þríhyrningur með hliðarnar 1/2, 2/3 og 3/5. Hornin eru óþekkt.

Viðbótarverkefni

52.

Samsíðungur hefur hliðar með lengdirnar 16 og 10 einingar. Styttri hornalínan er 12 einingar. Finnið lengd lengri hornalínunnar.

53.

Hliðar samsíðungs eru 11 fet og 17 fet. Lengri hornalínan er 22 fet. Finnið lengd styttri hornalínunnar.

54.

Hliðar samsíðungs eru 28 sentímetrar og 40 sentímetrar. Stærra hornið er 100°. Finnið lengd styttri hornalínunnar.

55.

Reglulegur átthyrningur er innritaður í hring með geislann 8 tommur. (Sjá mynd 12.) Finnið ummál átthyrningsins.

Átthyrningur innritaður í hring. — Mynd 12

56.

Reglulegur fimmhyrningur er innritaður í hring með geislann 12 cm. (Sjá mynd 13.) Finnið ummál fimmhyrningsins. Námundið að næsta tíunda hluta úr sentímetra.

Fimmhyrningur innritaður í hring. — Mynd 13

Í eftirfarandi dæmum skal gera ráð fyrir að $x^{2} = 25 + 36 - 60 \cos (52)$ lýsi tengslum þriggja hliða þríhyrnings og kósínuss horns.

57.

Teiknið þríhyrninginn.

58.

Finnið lengd þriðju hliðarinnar.

Finnið flatarmál þríhyrningsins í eftirfarandi dæmum.

59.

Þríhyrningur. Eitt horn er 22 gráður og mótlæg hlið þess er side = 3.4. Önnur hlið er 5.3.

60.

Þríhyrningur. Eitt horn er 80 gráður og mótlæg hlið þess er óþekkt. Hinar hliðarnar tvær eru 8 og 6.

61.

Þríhyrningur. Eitt horn er 18 gráður og mótlæg hlið þess er side = 12.8. Önnur hlið er 18.8.

Raunveruleg viðfangsefni

62.

Landmælingamaður hefur gert mælingarnar sem sýndar eru á mynd 14. Finnið fjarlægðina yfir vatnið. Námundið svörin að næsta tíunda hluta.

Þríhyrningur. Eitt horn er 70 gráður og mótlæg hlið þess er óþekkt, en hún er breidd vatnsins. Hinar hliðarnar tvær eru 800 og 900 fet. — Mynd 14

63.

Gervitungl reiknar fjarlægðirnar og hornið sem sýnd eru á mynd 15 (ekki í réttum hlutföllum). Finnið fjarlægðina milli borganna tveggja. Námundið svörin að næsta tíunda hluta.

Setjið inn alt-texta myndar (töflu): Þríhyrningur myndaður af tveimur borgum á jörðu og gervitungli fyrir ofan þær. Hornið við gervitunglið er 2.1 gráður og mótlæg hlið þess er óþekkt, en hún er fjarlægðin milli borganna. Hinar hliðarnar hafa lengdirnar 370 og 350 km. — Mynd 15

64.

Flugvél flýgur 220 mílur í stefnuna 40° og síðan 180 mílur í stefnuna 170°. Hve langt er flugvélin frá upphafsstaðnum og hvert er stefnuhornið? Námundið svörin að næsta tíunda hluta.

65.

113 feta turn stendur á hæð sem hallar um 34° frá láréttu, eins og sýnt er á mynd 16. Festa á stagvír við topp turnsins og í festipunkt 98 fetum ofar í brekkunni frá turnfætinum. Finnið nauðsynlega lengd vírsins.

Setjið inn alt-texta myndar (töflu): Tveir þríhyrningar, annar ofan á hinum. Neðri þríhyrningurinn er hæðin sem hallar um 34 gráður frá láréttu. Hinn myndast af turnfætinum í brekkunni, turntoppinum og festipunkti vírsins ofar í brekkunni. Hliðarnar eru turninn, hallandi brekkan og vírinn. Turnhliðin er 113 fet og brekkuhliðin 98 fet. — Mynd 16

66.

Tvö skip lögðu samtímis úr höfn. Annað sigldi á 18 mílna hraða á klukkustund í stefnuna 320°. Hitt sigldi á 22 mílna hraða á klukkustund í stefnuna 194°. Finnið fjarlægðina milli skipanna eftir 10 klukkustundir.

67.

Grafið á mynd 17 sýnir tvo báta leggja samtímis frá sömu bryggju. Fyrri báturinn siglir á 18 mílna hraða á klukkustund í stefnuna 327° og sá síðari á 4 mílna hraða á klukkustund í stefnuna 60°. Finnið fjarlægðina milli bátanna eftir 2 klukkustundir.

Setjið inn alt-texta myndar (töflu): Graf með tveimur geislum sem tákna leiðir bátanna. Báðir geislarnir hefjast í upphafspunktinum. Sá fyrri liggur inn í fyrsta fjórðung með 60 gráðu horni á 4 mílna hraða á klukkustund. Sá síðari liggur inn í fjórða fjórðung með 327 gráðu horni frá upphafspunktinum og hraðinn eftir honum er 18 mílur á klukkustund. — Mynd 17

68.

Þríhyrnd sundlaug er 40 fet á einni hlið og 65 fet á annarri. Hliðarnar mynda 50° horn. Hve löng er þriðja hliðin, námunduð að næsta tíunda hluta?

69.

Flugmaður flýgur beina leið í 1 klukkustund og 30 mínútur. Síðan breytir hún stefnu um 10° til hægri frá upphaflegri stefnu og flýgur í 2 klukkustundir í nýju stefnuna. Ef hún heldur jöfnum hraða, 680 mílum á klukkustund, hve langt er hún frá upphafsstaðnum?

70.

Los Angeles er 1,744 mílur frá Chicago, Chicago er 714 mílur frá New York og New York er 2,451 mílur frá Los Angeles. Teiknið þríhyrning milli borganna þriggja og finnið horn hans.

71.

Philadelphia er 140 mílur frá Washington, D.C., Washington, D.C. er 442 mílur frá Boston og Boston er 315 mílur frá Philadelphia. Teiknið þríhyrning milli borganna þriggja og finnið horn hans.

72.

Tvær flugvélar leggja samtímis af stað frá sama flugvelli. Önnur flýgur 20° austan við norður á 500 mílna hraða á klukkustund. Hin flýgur 30° austan við suður á 600 mílna hraða á klukkustund. Hve langt er milli vélanna eftir 2 klukkustundir?

73.

Tvær flugvélar hefja sig til flugs í ólíkar áttir. Önnur flýgur beint í vestur á 300 mílna hraða á klukkustund en hin 25° norðan við vestur á 420 mílna hraða á klukkustund. Hve langt er milli þeirra eftir 90 mínútur, að því gefnu að þær fljúgi í sömu hæð?

74.

Samsíðungur hefur hliðar með lengdirnar 15.4 og 9.8 einingar. Flatarmál hans er 72.9 ferningseiningar. Finnið lengd lengri hornalínunnar.

75.

Fjórar samliggjandi hliðar ferhyrnings hafa lengdirnar 4.5 cm, 7.9 cm, 9.4 cm og 12.9 cm. Hornið milli stystu hliðanna tveggja er 117°. Hvert er flatarmál ferhyrningsins?

76.

Fjórar samliggjandi hliðar ferhyrnings hafa lengdirnar 5.7 cm, 7.2 cm, 9.4 cm og 12.8 cm. Hornið milli stystu hliðanna tveggja er 106°. Hvert er flatarmál ferhyrningsins?

77.

Finnið flatarmál þríhyrndrar lóðar sem er 30 fet á einni hlið og 42 fet á annarri; hornið milli þeirra er 132°. Námundið að næsta heila fermetra.

78.

Finnið flatarmál þríhyrndrar lóðar sem er 110 fet á einni hlið og 250 fet á annarri; hornið milli þeirra er 85°. Námundið að næsta heila fermetra.