2.2 Rúmmál reiknað með sneiðum

Rétt eins og flatarmál er tölulegur mælikvarði á tvívítt svæði er rúmmál tölulegur mælikvarði á þrívíðan hlut. Flest okkar hafa reiknað rúmmál hluta með einföldum rúmfræðiformúlum. Rúmmál rétthyrnds strendings má til dæmis reikna með því að margfalda saman lengd, breidd og hæð: $V=lwh.$ Formúlurnar fyrir rúmmál kúlu $\left(V=\frac{4}{3}\pi r^3\right),$ keilu $\left(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\right),$ og píramída $\left(V=\frac{1}{3}Ah\right)$ hafa einnig komið fyrir. Þótt sumar þessara formúla hafi verið leiddar út með rúmfræði einni saman má fá þær allar með heildun.

Við getum einnig reiknað rúmmál sívalnings. Flest okkar sjá líklega fyrir sér sívalning með hringlaga grunnflöt, svo sem niðursuðudós eða málmstöng, en í stærðfræði hefur orðið sívalningur almennari merkingu. Til að fjalla um sívalninga í þessu almenna samhengi þurfum við fyrst að skilgreina nokkur hugtök.

Þversnið hlutarins er skurður hans við sléttu. Sívalningur er sérhver hlutur sem mynda má með því að hliðra sléttu svæði eftir línu sem er hornrétt á svæðið; línan nefnist ás sívalningsins. Öll þversnið sem eru hornrétt á ás sívalnings eru því eins. Hluturinn á mynd 2.11 er dæmi um sívalning með grunnflöt sem er ekki hringlaga. Rúmmál sívalnings fæst þá einfaldlega með því að margfalda flatarmál þversniðsins með hæð sívalningsins: $V=A·h.$ Fyrir réttan hringlaga sívalning (niðursuðudós) verður formúlan $V=\pi r^{2}h.$

Ef þversnið hlutarins er breytilegt (og hluturinn er ekki einn af hinum einföldu grunnformum) er ekki víst að til sé formúla fyrir rúmmálið. Þá getum við reiknað rúmmál hlutarins með ákveðnu heildi. Við skerum hlutinn í sneiðar, metum rúmmál hverrar sneiðar og leggjum nálgunargildin síðan saman. Sneiðarnar eiga allar að vera samsíða og saman eiga þær að mynda allan hlutinn. Skoðum til dæmis hlutinn S á mynd 2.12, sem liggur eftir $x\text{-ás}\text{.}$

Við viljum skipta $S$ í sneiðar sem eru hornréttar á $x\text{-ás}\text{.}$ Síðar í kaflanum koma fyrir tilvik þar sem hentugt er að sneiða hlutinn í aðra stefnu, til dæmis með sneiðum hornréttum á y-ásinn. Miklu skiptir að velja rétta stefnu. Rangt val getur gert útreikningana býsna flókna. Síðar í kaflanum skoðum við slík tilvik nánar og hvernig velja má stefnu sneiðanna. Í þessum hluta notum við þó sneiðar sem eru hornréttar á $x\text{-ás}\text{.}$

Þar sem þversniðsflatarmálið er ekki fast, látum við $A\left(x\right)$ tákna flatarmál þversniðsins í punktinum $x.$ Látum nú $P=\left\{x_0,x_1\text{…},X_n\right\}$ vera reglulega skiptingu á $\left[a,b\right],$ og fyrir $i=1,2\text{,…}n,$ látum við $S_i$ tákna þá sneið af $S$ sem nær yfir bilið $x_{i-1}\text{til}{x}_i.$ Eftirfarandi mynd sýnir sneidda hlutinn þegar $n=3.$

Að lokum veljum við fyrir hvert $i=1,2\text{,…}n,$ einhvern punkt $x_i^{*}$ í $\left[x_{i-1},x_i\right].$ Þá má nálga rúmmál sneiðarinnar $S_i$ með $V\left(S_i\right)\approx A\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x.$ Þegar nálgunargildin eru lögð saman sést að nálga má rúmmál alls hlutarins $S$ með

Við þekkjum þetta sem Riemann-summu og næsta skref er að taka markgildið þegar $n\to \infty .$ Þá fæst

Í þessum hluta gerum við ráð fyrir að sneiðarnar séu hornréttar á $x\text{-ás}\text{.}$ Flatarmálsformúlan er því sett fram sem fall af x og heildismörkin liggja á $x\text{-ás}\text{.}$ Lausnarleiðin hér að ofan gildir þó óháð því í hvaða stefnu hluturinn er sneiddur.

Þegar sneiðaaðferðinni er beitt á snúða er hún oft kölluð skífuaðferð, því sneiðarnar sem notaðar eru til að nálga rúmmál snúðsins eru skífur. Til að sjá þetta skulum við skoða snúð sem myndast þegar svæðinu milli grafs fallsins $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2+1$ og $x\text{-ás}$ á bilinu $\left[\mathrm{-1},3\right]$ er snúið um $x\text{-ás}\text{.}$ Graf fallsins og ein dæmigerð skífa eru sýnd á mynd 2.18 (a) og (b). Snúningssvæðið og snúðurinn eru sýnd á mynd 2.18 (c) og (d).

Rúmmál hlutarins sem við höfum verið að skoða (mynd 2.18) er

Hingað til hafa öll dæmin fjallað um svæði sem er snúið um $x\text{-ás,}$ en mynda má snúð með því að snúa sléttu svæði um hvaða láréttu eða lóðréttu línu sem er. Í næsta dæmi skoðum við snúð sem myndast þegar svæði er snúið um $y\text{-ás}\text{.}$ Skífuaðferðinni er beitt nær eins og þegar $x\text{-ás}$ er snúningsásinn, en við setjum fallið fram sem fall af $y$ og heildum með tilliti til y. Þetta er tekið saman í eftirfarandi reglu.

Sumir snúðar hafa holrúm í miðjunni og ná því ekki alla leið að snúningsásnum. Stundum stafar þetta einfaldlega af lögun snúningssvæðisins miðað við ásinn. Í öðrum tilvikum myndast holrúm þegar snúningssvæðið er svæðið milli grafa tveggja falla. Þriðja orsökin getur verið að annar snúningsás en $x\text{-ás}$ eða $y\text{-ás}$ sé valinn.

Þegar snúður hefur holrúm í miðjunni eru sneiðarnar sem nálga rúmmálið ekki skífur heldur hringkragar (skífur með gati í miðjunni). Skoðum til dæmis svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ og að neðan af grafi fallsins $g\left(x\right)=1$ á bilinu $\left[1,4\right].$ Þegar svæðinu er snúið um $x\text{-ás,}$ myndast hlutur með holrúm í miðjunni og sneiðarnar eru hringkragar. Graf fallsins og dæmigerður hringkragi eru sýnd á mynd 2.22 (a) og (b). Snúningssvæðið og snúðurinn eru sýnd á mynd 2.22 (c) og (d).

Rétt eins og skífuaðferðinni má beita hringkragaaðferðinni á snúða sem myndast þegar svæði er snúið um y-ásinn. Þá gildir eftirfarandi regla.

Í stað dæmis um hringkragaaðferðina þar sem $y\text{-ás}$ er snúningsásinn skoðum við nú dæmi þar sem snúningsásinn er önnur lína en hnitásarnir tveir. Sama almenna aðferð gildir, en nauðsynlegt getur verið að sjá fyrir sér hvernig lýsa skuli þversniðsflatarmáli hlutarins.